Chuyen-de-vec-tơ

Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/ VECTƠ Vấn đề cần nắm: Định nghĩa phép toán vectơ Các quy tắc kết ứng dụng vectơ Trục hệ trục tọa độ mặt phẳng Fanpage "Thư viện tài liệu 2004" nơi chia sẻ tài liệu học tập miễn phí, chia sẻ kinh nghiệm học tập làm cho bạn học sinh sinh năm 2004 Với mục đích giúp em có đủ kiến thức tài liệu bổ trợ để đạt 9, 10 lớp Các em nhớ like follow fanpage "Thư viện tài liệu 2004" Group "Cộng đồng luyện thi 2k4 Tốn - Lý - Hóa - Anh" để cập nhật tài liệu môn thường xuyên nhé! Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/ Nhận thêm tài liệu đây: http://bit.ly/Tài-liệu-Miễn-Phí-cho-2k4 §1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ A Lý thuyết Các định nghĩa • Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB + Ta cịn sử dụng kí hiệu a, b, để biểu diễn vectơ • Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ • Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, độ dài vủa vectơ AB kí hiệu AB STUDY TIP - Độ dài vectơ số khơng âm • song trùng - Vectơ đơn vị vectơ có độ dài 1, vectơ quy ước để so sánh - Khi nhắc đến vectơ ta Hai vectơ a b gọi phương giá chúungsong + Hai vectơ phương hướng ngược hướng • Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu nói tới điểm đặt, giá, phương, chiều, độ lớn + Vectơ phương, hướng với vectơ vectơ + Mọi vectơ = + Giá vectơ-không đường thẳng qua Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/ • Hai vectơ a b gọi chúng hướng có độ dài, kí hiệu a = b + Khi cho trước vectơ a điểm O, ta ln tìm điểm A cho OA = a Các phép tốn vectơ a Tổng hai vectơ • Quy tắc cộng: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: AB + BC = AC + Quy tắc mở rộng cho n điểm A1 , A2 , A3 , , An ta có: A1 An = A1 A2 + A2 A3 + + An−1 An + Quy tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB + AD = AC • Tính chất: với ba vectơ a, b, c tùy ý + a + b = a + b (tính chất giao hốn); ( STUDY TIP - Có thể phân tich vectơ tổng nhiều vectơ cách chèn điểm theo quy tắc phép cộng OB − OA = AB ( ) + a + = + a = a (tính chất vectơ – khơng) b Hiệu hai vectơ • Vectơ đối: vectơ b vectơ đối a b = a a , b hai vectơ chung ngược hướng Kí hiệu b = −a điểm đầu dồn phía trước AO − BO = AB ) + a + b + c = a + b + c (tính chất kết hợp); + Vectơ đối chung ( ) + a − b = a + −b điểm cuối dồn phía sau ( ) ( ) + a + −a = −a + a = • Quy tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tùy ý, ta có: OB − OA = AB Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/ c) Tích vectơ với số • Cho vectơ a số k  k a vectơ xác định sau: + k a hướng với vectơ a k  , k a ngược hướng với vectơ a k  + ka = k a • Tính chất: Với vectơ a , b tùy ý h, k  ( ) + k a + b = ka + kb; + ( h + k ) a = + ka; ( ) + h ka = ( hk ) a; + 1.a = a; ( −1) a = −a;0.a = 0; k.0 = 0; + ka =  k = a = • Điều kiện để hai vectơ phương: Cho hai vectơ a , b với a  phương k  : b = ka • Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  : AB = k AC • Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương: Cho hai vectơ a , b khơng phương x tùy ý Khi tồn cặp số h, k  : x = + kb * Chú ý: • Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Với I trung điểm đoạn thẳng AB ta có: ✓ IA + IB = 0; ✓ MA + MB = 2MI (M tùy ý) Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/ • Hệ thức trọng tâm tam giác: Với G trọng tâm ABC ta có: ✓ GA + GB + GC = 0; STUDY TIP - Trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác với hệ thức trường hợp riêng tâm tỉ cự ✓ MA + MB + MC = 3MG (M tùy ý) • Tâm tỉ cự: Điểm I gọi tâm tỉ cự hệ điểm A1 , A2 , , An gắn với hệ số 1 ,  , ,  n mà 1 +  + +  n  1 IA1 + 2 IA2 + + n IAn = B Các dạng tốn điển hình Dạng Các toán khái niệm vectơ Phương pháp: - Sử dụng định nghĩa vectơ, vectơ-không, độ dài vectơ, hai vectơ nhau… - Xác định phương, hướng vectơ - Áp dụng tính chất hình học hình hình học phẳng để giải tốn STUDY TIP -Với hình n giác ta lập n ( n − 1) vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh n giác Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, xác định vectơ khác vectơkhơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C? A B C D 12 Lời giải Ta có vectơ: AB, BA, BC , CB, CA, AC Đáp án B Ví dụ 2: Cho hai vectơ khơng phương a b Mệnh đề sau A Khơng có vectơ phương với hai vectơ a b B Có vơ số vectơ phương với hai vectơ a b Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/ C Có vectơ phương với hai vectơ a b , vectơ D Cả A, B, C sai STUDY TIP Lời giải - Hai vectơ chúng chiều độ dài - Hai vectơ chiều phương hai vectơ phương chưa chiều Vì vectơ phương với vectơ Nên có vectơ phương với hai vectơ a b , vectơ Đáp án C Ví dụ 3: Cho hình lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác vectơ khơng, phương với vectơ OB có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác A B C D 10 Lời giải Các vectơ phương với vectơ OB là: BE , EB, DC , CD, FA, AF Đáp án B Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Mệnh đề sau sai? A MN = QP B QP = MN C MQ = NP D MN = AC Lời giải  MN //PQ Ta có  (do song song AC )  MN = PQ Do MNPQ hình bình hành Đáp án D Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/ Ví dụ 5: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng Mệnh đề sau đúng? A AB = BC B CA CB hướng C AB AC ngược hướng D BA BC phương Lời giải Với ba trường hợp A, B, C nằm ta ln có BA, BC phương Đáp án D Ví dụ 6: Cho tam giác ABC với trực tâm H D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định sau đúng? A HA = CD AD = CH B HA = CD DA = HC C HA = CD AD = HC D AD = HC OB = OD Lời giải Ta có BD đường kính  OB = DO AH ⊥ BC , DC ⊥ BC  AH / / DC (1) Ta lại có CH ⊥ AB, DA ⊥ AB  CH / / DA (2) Từ (1) (2)  tứ giác HADC hình bình hành  HA = CD; AD = HC Đáp án C Ví dụ 7: Cho ABC với điểm M nằm tam giác Gọi A ', B ', C ' trung điểm BC, CA, AB N, P, Q điểm đối xứng với M qua A ', B ', C ' Câu sau đúng? A AM = PC QB = NC B AC = QN AM = PC C AB = CN AP = QN D AB ' = BN MN = BC Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/ Lời giải Ta có AMCP hình bình hành  AM = PC Lại có AQBM BMCN hình bình hành  NC = BM = QA  AQNC hình bình hành  AC = QN Đáp án B Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành - Biến đổi vế thành vế - Biến đổi đẳng thức cần chứng minh thành đẳng thức biết hiển nhiên - Từ đẳng thức biến đổi thành đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M, N trung điểm BC AD Tìm đẳng thức sai: A AM + AN = AC B AM + AN = AB + AD C AM + AN = MC + NC D AM + AN = DB Lời giải + Tứ giác AMCN hình bình hành  AM + AN = AC  A + ABCD hình bình hành  AB + AD = AC = AM + AN  B + AM = NC , AN = MC  AM + AN = MC + NC  C Đáp án D Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/ Ví dụ 2: Cho điểm A, B, C, D, E, F phân biệt Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A AB + DF + BD + FA = B BE − CE + CF − BF = C AD + BE + CF = AE + BF + CD D FD + BE + AC = BD + AE + CF Lời giải + Ta có: AB + DF + BD + FA = AB + BD + DF + FA = AA =  A + BE − CE + CF − BF = BC + CB =  B + AD + BE + CF = AE + BF + CD  AD + DC + CF = AE + EB + BF  AF = AF  C + FD + DB + BE + EA + AC + FC =  2FC =  F  C (mâu thuẫn giả thiết)  D sai Đáp án D Ví dụ 3: Cho ABC với H, O, G trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm Hệ thức sau đúng? A OH = OG B HO = 3OG C OG = GH D 2GO = −3OH Lời giải Ta có GA + GB + GC =  OA + OB + OC = 3OG (1) Gọi I trung điểm BC, A ' đối xứng với A qua O Dễ thấy HBA ' C hình bình hành  HB + HC = HA '  HA + HB + HC = HA + HA ' = 2HO  3HO + OA + OB + OC = 2HO  OH = OA + OB + OC (2) Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/ Từ (1) (2)  OH = 3OG  OG + GH = 3OG  GH = 2OG  OG = GH Đáp án C Ví dụ 4: Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Đẳng thức sau sai? A AB + CD = 2IJ B AC + BD = 2IJ C AD + BC = 2IJ D 2IJ + DB + CA = Lời giải + B AC + BD = AI + IJ + JC + BI + IJ + JD ( ) ( ) = IJ + AI + BI + JC + JD = IJ + C AD + BC = AI + IJ + JD + BI + IJ + JC = 2IJ + D AC + BD = 2IJ  2IJ + CA + DB = Đáp án A Ví dụ 5: Cho ABC , M điểm cạnh BC Khi đẳng thức sau đúng? A AM = MC MB AB + AC BC BC C 3CM = MB MA AB + AC AC AB B BM = MA MB AC + BC AB AB D AM = MC MB AB + AC BC BC Lời giải Kẻ MN / / AC , N  AB Áp dụng định lí Ta-lét ta có AN = NM = AN MC AB = AB AB BC NM MB AC = AC AC BC Fanpage: https://www.facebook.com/Thuvientailieu2004/ Group:https://www.facebook.com/groups/494440714438872/  AM = AN + NM = MC MB AB + AC BC BC Đáp án A Ví dụ 6: Cho ABC , AM, BN, CP trung tuyến D, E, F trung điểm AM, BN CP Với O điểm Đẳng thức sau đúng? A OA + OB + OC = OD + OE + OF ( ) ( B OA + OB + OC = OD + OE + OF ( ) ( ) C OA + OB + OC = OD + OE + OF D OA + OB + OC = OD + OE + OF ) Lời giải Ta có: 2OA + OB + OC = 2OA + 2OM = 4OD (1) Tương tự OA + 2OB + OC = 4OE (2) OA + OB + 2OC = 4OF (3) Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta đáp án A Đáp án A Ví dụ 7: Cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Hình chiếu M xuống ba cạnh D, E, F Hệ thức sau đúng? A MD + ME + MF = MO B MD + ME + MF = MO C MD + ME + MF = MO D MD + ME + MF = MO Lời giải Qua M kẻ đường thẳng A1B1 / / AB, A2C1 / / AC, B2C2 / / BC  Các tam giác MB1C1 , MA1C2 , MA2 B2 10