(SKKN HAY NHẤT) phương pháp tìm tọa độ điểm trong bài toán cực trị của hình học không gian

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong sách giáo khoa hình học trường phổ thơng, lớp 10, học sinh bước đầu làm quen với phương pháp tọa độ mặt phẳng Ở lớp 12, học sinh tiếp tục làm quen với phương pháp tọa độ khơng gian Nhờ phương pháp đó, chuyển nhiều tốn hình học sang toán đại số ngược lại, từ kết đại số, ta suy tính chất mối quan hệ hình Trong đề thi THPT Quốc gia mơn tốn, phần phân loại câu hỏi khó, tương ứng với điểm 8, 9, 10; thường xuyên rơi vào chủ đề: “hình học tọa độ khơng gian Oxyz”, “số phức”, “tích phân”, “bài toán thực tiễn”,… Đặc biệt chủ đề “hình học tọa độ khơng gian Oxyz” tốn tìm tọa độ điểm liên quan đến cực trị thường xuất nhiều khó giải Với mong muốn giúp em học sinh THPT tiếp thu tốt kiến thức tìm tọa độ điểm tốn cực trị hình học khơng gian, đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải tốn áp dụng thực tiễn Đặc biệt, biết sử dụng kiến thức hình học tọa độ khơng gian để giải tốn khó liên quan đến cực trị, tơi chọn đề tài “Phương pháp tìm tọa độ điểm tốn cực trị hình học khơng gian ” 1.2 Mục đính nghiên cứu Các tốn cực trị hình tọa độ khơng gian dạng tập học sinh THPT, làm thay đổi tư nhìn nhận vấn đề hình học theo hướng tư đại số, mang tính trừu tượng bước đầu làm cho HS có ngỡ ngàng, thiếu tính logic Một kiến thức mới, cần phải có thời gian để học sinh thực hành làm quen Tuy nhiên khó người giáo viên giảng dạy hình tọa độ không gian phương pháp tọa độ khơng gian đưa vào chương trình cuối SGK hình học 12 kết thúc chương trình giáo dục phổ thông nên thời gian giành để nghiên cứu bị hạn chế Vì vậy, việc hướng dẫn học sinh biết hệ thống kiến thức xây dựng lớp tốn tìm tọa độ điểm tốn cực trị hình học khơng gian Có vậy, học sinh giải nhanh tập khó cực trị hình học đề thi trắc nghiệm toán Vậy vấn đề đặt là:  Cần giúp HS tiếp cận hệ thống ghi nhớ đầy đủ tính chất khái niệm phương pháp tọa độ không gian  Cần giúp HS biết phân loại tập tìm tọa độ điểm tốn cực trị hình học khơng gian tìm phương pháp giải cụ thể cho lớp toán  Giúp HS biết vận dụng kiến thức tọa độ điểm tốn cực trị hình khơng gian thực tế sống hàng ngày 1.3 Đối tượng nghiên cứu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để giải vấn đề nêu trên, đề tài đề xuất ý tưởng nghiên cứu sau:  Cần cho HS tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm hình tọa độ khơng gian dạng sơ đồ tư để từ khắc sâu kiến thức  Từ toán cụ thể, dẫn dắt HS tự đúc kết kinh nghiệm giải tốn Qua tự tìm thuật giải cho tốn tìm tọa độ điểm tốn cực trị hình học khơng gian  Cho HS thấy mối liên hệ kiến thức học với thực tiễn sống 1.4 Phương pháp nghiên cứu  Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan tự đốc rút khái niệm tính chất  Thống kê số liệu để phân loại toán tìm tọa độ điểm tốn cực trị hình học khơng gian rút hệ thống sơ đồ tư giải tập dạng  Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy học trường sở để đưa thuật giải logic, ngắn gọn, dễ hiểu dễ nhớ  Từ toán đưa mối liên hệ tọa độ điểm nghiên cứu toán học, vật lí, khoa học, kĩ thuật LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm  Căn vào nội dung chương trình SGK mơn hình học lớp 12 (chương III)  Căn vào hệ thống tập ôn tập chương III hình học lớp 12  Căn vào phân loại dạng tập tài liệu tham khảo: 18 chủ đề hình học 12 (chủ biên: Nguyễn Văn Dũng - Nguyễn Tất Thu) Tuy nhiên, tài liệu tham khảo đa phần nặng lí thuyết, chưa phân dạng tốn tìm tọa độ điểm liên quan đến cực trị cách chi tiết, chưa đưa kết cấu làm dạng sơ đồ tư duy, đặc biệt tọa độ điểm liên quan đến mặt cầu cịn khơng đủ dạng Dựa vào tài liệu trên, hướng dẫn học sinh phân loại dạng toán cụ thể xây dựng hệ thống tư cho lớp tập tìm tọa độ điểm tốn cực trị hình học khơng gian Vì vậy, cần đọc đề học sinh phân loại nhận dạng tập cần làm (theo sơ đồ tư định sẵn có đầu học không sa vào chứng minh rườm rà) Khi học sinh cần áp dụng kết cuối sử lí theo số liệu cụ thể đề Đây bí để học sinh rút ngắn thời gian làm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau học xong khái niệm, cho học sinh thực hành làm trắc nghiệm 50 câu với phân loại 50 câu đủ ba phần: Câu hỏi nhận dạng, câu hỏi vận dụng câu hỏi vận dụng cao Thực kiểm chứng lớp với 45 học sinh 12 A1 năm học 2020 – 2021 thu kết sau: Thơng hiểu(có thể vận Vận dụng linh hoạt dụng lý thuyết để giải (giải đa số toán) tập đưa ra) Số Số Số Phần trăm Phần trăm Phần trăm học sinh học sinh học sinh 45 100% 20 44,4% 15,6% Tuy nhiên thời gian thu kết sau: Nhận biết(nắm vững lý thuyết) Từ phút/ 1,8 phút / đến 10 phút/ Số Số Số Phần Phần Phần học học học trăm trăm trăm sinh sinh sinh 4,4% 11,1% 13 28,9% Đặc điểm lớp thực nghiệm là: Số học sinh lớp: 45 Từ phút/ đến phút/ Trên 10 phút / Số học sinh 20 Phần trăm 55,6% LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết học tập mơn tốn năm học 2018 – 2019 là: học sinh có học lực giỏi, 13 học sinh có học lực khá, 21 học sinh có học lực trung bình học sinh có học lực yếu Như qua khảo sát ta thấy đa số học sinh chưa đảm bảo với yêu cầu kiểm tra đánh giá 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải đề 2.3.1 Bài toán tọa độ điểm mặt phẳng Bài tốn 1: Trong khơng gian cho điểm Xét véc tơ Trong số thực cho trước thỏa mãn Tìm điểm thuộc mặt phẳng cho nhỏ Phương pháp: Gọi điểm thỏa mãn: (Như điểm Ta có nên hồn tồn xác định điểm cố định) ( với ) Do Vì số khác khơng nên có giá trị nhỏ nhỏ nhất, mà nên điểm cần tìm hình chiếu mặt phẳng Sau ví dụ minh họa để giáo viên hướng dẫn cụ thể cho học sinh thực Ví dụ 1: Trong khơng gian cho điểm mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng cho: a) đạt giá trị nhỏ b) đạt giá trị nhỏ Học sinh thực lời giải chi tiết sau: a) Gọi trung điểm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có: nên nên điểm Giả sử nên từ nên đạt giá trị nhỏ cần tìm hình chiếu ( véc tơ pháp tuyến nhỏ Mà ) ta có Vậy điểm b) Gọi Ta có nên cần tìm là điểm thỏa mãn Do có giá trị nhỏ chiếu mặt phẳng Gọi ta có tọa độ nhỏ nhất, hình thỏa mãn hệ Suy tọa độ điểm cần tìm Ví dụ 2: Cho điểm mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng cho: a) đạt giá trị nhỏ b) đạt giá trị nhỏ Học sinh thực lời giải chi tiết sau: a) Gọi trọng tâm tam giác Ta có nên đạt giá trị nhỏ nên điểm cần tìm hình chiếu Giả sử nên từ ( véc tơ pháp tuyến , nhỏ Mà ) ta có Vậy điểm b) Gọi cần tìm điểm thỏa mãn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có: suy Vì đạt giá trị nhỏ điểm mặt phẳng Tọa độ điểm Điểm nên biểu thức nhỏ nhất, hình chiếu thỏa mãn hệ cần tìm Bài tốn 2: Trong khơng gian , cho điểm Xét biểu thức Trong số thực cho trước Tìm điểm thuộc mặt phẳng cho a) có giá trị nhỏ biết b) có giá trị lớn biết Phương pháp: Gọi điểm thỏa mãn (Như điểm hoàn toàn xác định, điểm cố định.) Ta có (với ) nên Do Vì khơng đổi nên a) Với đạt giá trị nhỏ nhỏ b) Với đạt giá trị lớn nhỏ Mà nên nhỏ điểm hình chiếu mặt phẳng Sau ví dụ minh họa để giáo viên hướng dẫn cụ thể cho học sinh thực Ví dụ 1: Trong không gian cho điểm mặt phẳng Tìm điểm thuộc mặt phẳng cho: a) có giá trị nhỏ b) có giá trị lớn Học sinh thực lời giải chi tiết sau: a) Gọi trung điểm Khi Ta có Do chiếu điểm nhỏ mặt phẳng nhỏ nhất, hình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tọa độ điểm Vậy điểm b) Gọi Ta có: thỏa mãn hệ phương trình cần tìm là điểm thỏa mãn Do lớn lớn nhất, hay nhất, nên hình chiếu điểm mặt phẳng Tọa độ điểm thỏa mãn hệ phương trình nhỏ Điểm cần tìm Ví dụ 2: Trong khơng gian cho điểm mặt phẳng Tìm điểm thuộc mặt phẳng cho: a) có giá trị nhỏ b) có giá trị lớn Học sinh thực lời giải chi tiết sau: a) Gọi trọng tâm tam giác Khi nên Do đạt giá trị nhỏ nhỏ nhất, hình chiếu điểm Ta có điểm cần tìm b) Gọi điểm thỏa mãn Ta có Nên lớn hình chiếu điểm mặt phẳng Tọa độ điểm thỏa mãn hệ phương trình Bài tốn 3: Trong khơng gian mặt phẳng cho:  nhỏ  lớn với Phương pháp: , cho điểm Tìm điểm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với câu hỏi 1: nhỏ nhất: Bước 1: Xét vị trí tương đối điểm  Nếu nằm phía với mặt phẳng  Nếu nằm khác phía với mặt phẳng Bước 2: nhỏ Trường hợp 1: Hai điểm khác phía so với mặt phẳng nhỏ so với mặt phẳng hai điểm hai điểm Trường hợp 2: Hai điểm phía so với mặt phẳng Gọi đối xứng với qua mặt phẳng Ta có: Vậy nhỏ Với câu hỏi 2: lớn nhất: Trường hợp 1: Hai điểm phía so với mặt phẳng Vì phía so với mặt phẳng nên lớn Trường hợp 2: Hai điểm khác phía so với Gọi đối xứng với qua mặt phẳng Khi phía với nên Vậy lớn Sau giáo viên đưa ví dụ để học sinh thực giải chi tiết Ví dụ 1: Cho điểm Tìm điểm thuộc cho: a) có giá trị nhỏ b) có giá trị lớn c) có giá trị nhỏ mặt phẳng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com d) có giá trị lớn Học sinh thực lời giải chi tiết sau: Ta có: nằm phía nằm khác phía a) Ta có nằm khác phía so với nhỏ nên Phương trình đường thẳng Ta có mà Vậy điểm nên: cần tìm b) Ta có nằm phía so với lớn Tọa độ điểm thỏa mãn hệ phương trình Vậy điểm c) Gọi Ta có cần tìm là hình chiếu điểm ( Tọa độ điểm Vì phía so với Ta có: Do Vì ) nên tọa độ qua mặt phẳng nên thỏa mãn khác phía so với nên đạt giá trị nhỏ nên Vậy điểm d) Gọi mặt phẳng véc tơ pháp tuyến đối xứng với nên cần tìm đối xứng với qua khác phía so với nên phía so với LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có nên đạt giá trị lớn Do nên Vậy tọa độ điểm cần tìm 2.3.2 Bài toán: Tọa độ điểm đường thẳng Bài toán 1: Trong không gian , cho điểm đường thẳng Tìm điểm thuộc đường thẳng cho Câu hỏi 1: Độ dài véc tơ đạt giá trị nhỏ với số thực cho trước thỏa mãn ; Câu hỏi 2: Biểu thức  Có giá trị nhỏ biết  Có giá trị lớn biết Câu hỏi 3: Diện tích tam giác nhỏ (Trong trường hợp chéo nhau) Phương pháp: Vì nên Đối với câu hỏi 1: Tính Đối với câu hỏi 2: Tính Đối với câu hỏi 3: Tính diện tích tam giác Sau tính ta biểu thức phụ thuộc Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tam thức bậc hai ẩn t Giáo viên đửaa ví dụ để học sinh thực hiện, Ví dụ 1: Cho Tìm điểm a) b) c) a) thuộc đường thẳng cho: nhỏ nhỏ Diện tích tam giác nhỏ Học sinh thực giải chi tiết: Vì điểm nên Ta có Nên 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy điểm b) Ta có: cần tìm Vậy giá trị nhỏ điểm , đạt có tọa độ c) Ta có nên Vì diện tích tam giác Vậy giá trị nhỏ diện tích tam giác Ví dụ 2: Cho điểm Tìm điểm a) b) Vì a) Ta có , xảy đường thẳng thuộc đường thẳng cho: lớn nhỏ nên 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giá trị nhỏ b) Ta có hay nên Vì Do giá trị nhỏ đạt điểm có tọa độ Bài tốn 2: Trong khơng gian cho điểm đường thẳng Tìm điểm thuộc đường thẳng cho đạt giá trị nhỏ Phương pháp: Vì nên Tính Lập tổng Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ biểu thức chứa tham số Áp dụng bất đẳng thức học sinh đánh giá toán Ví dụ: Cho đường thẳng Tìm điểm điểm thuộc đường thẳng cho: a) b) nhỏ nhỏ Học sinh thực giải chi tiết sau: a) Gọi ta có Do 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hay giá trị nhỏ cần tìm b) Gọi Ta có hay tọa độ điểm Xét hai véc tơ Ta có nên Hay Dấu đẳng thức có hay điểm cần tìm 2.3.3 Bài tốn: Tọa độ điểm mặt cầu Bài tốn 1: Trong khơng gian cho mặt cầu kính Tìm điểm cho véc tơ độ nhỏ Phương pháp: Gọi điểm thỏa mãn: Ta có tâm bán có tọa Vậy Xét vị trí với mặt cầu  Nếu nằm ngồi với mặt cầu Học sinh tìm hai điểm để loại nghiệm tâm , cần phải thử 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Nếu nằm với tâm mặt cầu Tương tự trường hợp trên, học sinh tìm điểm cần phải thử lại để loại nghiệm Ví dụ: Trong không gian cho mặt cầu điểm điểm cho véc tơ Học sinh thực lời giải chi tiết sau: Gọi điểm thỏa mãn Ta có Nên Suy Đường thẳng cắt Ta có qua điểm tâm Tìm có độ dài nhỏ mặt cầu Vậy Vậy điểm thỏa mãn Bài toán 2: Trong hệ trục tọa độ , cho mặt cầu tâm bán kính Mặt cầu Mặt phẳng Tìm điểm thuộc mặt cầu cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớn nhất, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nhỏ Phương pháp: Xét vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng cách so sánh khoảng cách 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Nếu khơng có điểm chung Khi giao đường thẳng với Trong đó, đường thẳng qua vng góc với Tìm ta có hai điểm Tính khoảng cách từ hai điểm đến , khoảng cách lớn điểm điểm , điểm cịn lại điểm  Nếu tiếp xúc với Giá trị nhỏ tiếp điểm Giá trị lớn đối xứng với qua tâm  Nếu đường tròn Giá trị nhỏ nằm đường trịn Tìm có hai điểm Tính khoảng cách từ hai điểm đến , khoảng cách lớn điểm tương ứng điểm M Ví dụ: Trong khơng gian cho mặt cầu Tìm điểm cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớn nhất, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nhỏ nhất, với: a) b) c) Học sinh thực giải chi tiết sau: a) Ta có Do khơng có điểm chung Gọi đường thẳng qua tâm góc với mặt cầu vng Phương trình 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi Suy hai điểm thỏa mãn Ta có Vậy điểm cần tìm b) Ta có Gọi tiếp xúc với đường thẳng qua vng góc với Giao điểm hai điểm Do nên: Khoảng cách từ điểm thuộc mặt cầu 0, đạt Khoảng cách từ điểm thuộc mặt cầu 6, đạt c) Ta có đến mặt phẳng nhỏ đến mặt phẳng lớn nên Khoảng cách từ điểm thuộc mặt cầu đến nhỏ 0, đạt với đường tròn giao tuyến Điểm thuộc mặt cầu đến mặt phẳng lớn điểm có khoảng cách đến lớn giao điểm Trong đường thẳng qua tâm mặt cầu vng góc với Giao điểm Ta có với 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nên điểm cần tìm Ngồi hai tốn tổng qt trên, tốn điểm mặt cầu cịn gặp số tốn đặc biệt Trong đó, muốn có lời giải ngắn gọn chi tiết cần kiểm tra tính chất đặc biệt có đề Học sinh tìm hiểu thơng qua hai ví dụ sau: Ví dụ 1: Trong không gian cho mặt cầu hai điểm Tìm điểm cho biểu thức có giá trị nhỏ Học sinh giải chi tiết sau: Kiểm tra liệu đề cách thay tọa độ vào ta Như nằm Gọi trung điểm nằm ngồi Trong khơng đổi nên Lập tâm mặt cầu với Tìm Vậy Ví dụ 2: Trong khơng gian cho mặt cầu Tìm điểm thức đạt giá trị lớn với Học sinh thực giải chi tiết sau: Ta có cho giá trị biểu Ta có Như qua cách kiểm tra liệu đề ta thấy điểm Điểm tồn Khoảng cách (Với nằm bán kính mặt cầu) Vậy đạt tiếp xúc với với 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có với ( số thực) véc tơ pháp tuyến Vậy điểm cần tìm 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh dự thi học sinh giỏi, phụ đạo học sinh yếu kém, tích lũy số kinh nghiệm tìm tọa độ điểm tốn cực trị hình học không gian, đặc biệt áp dụng cụ thể việc giảng dạy mơn hình học lớp 12 Đây thực tài liệu hữu ích kiểm chứng thực tế cho kết tốt Thường em học sinh có học lực giỏi giải tương đối tốt tốn đặt ra, nhiên lời giải cịn chưa ngắn gọn, xúc tích Dựa vào học sinh giỏi, giáo viên tổng kết thành bước làm cụ thể Thơng qua hoạt động nhóm em có học lực tốt giúp đỡ bạn có học lực yếu trung bình Các tốn tổng qt với sơ đồ tư “ đèn dẫn lối” cho em tìm thấy hướng kết tương đối khả quan: Kiểm chứng lớp với 45 học sinh 12 A1 năm học 2020 – 2021 thu kết sau: Thơng hiểu(có thể vận Vận dụng linh hoạt dụng lý thuyết để giải (giải đa số toán) tập đưa ra) Số Số Số Phần trăm Phần trăm Phần trăm học sinh học sinh học sinh 45 100% 40 88,9% 35 77,8% Về thời gian thu kết sau: Nhận biết(nắm vững lý thuyết) 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1,8 phút / Số học sinh 15 Phần trăm 33,3% Từ phút/ đến phút/ Số học sinh 20 Phần trăm 44,4% Từ phút/ đến 10 phút/ Số Phần học trăm sinh 11,15% Trên 10 phút / Số học sinh Phần trăm 11,15% KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên tơi giới thiệu số phương pháp tìm tọa độ điểm tốn cực trị hình học không gian Tôi áp dụng trực tiếp học sinh mà dạy, thấy học sinh thực lời giải nhanh kết tính tốn xác 3.2 Kiến nghị Tuy nhiên thời gian thực sáng kiến kinh nghiệm eo hẹp quy định hạn hẹp số trang sáng kiến kinh nghiệm nên khơng tránh sai sót thực để tài Mong góp ý bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm hoàn chỉnh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Hà Thị Thu Hồng 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học 12- Nhà xuất giáo dục 18 chủ đề hình học 12 (Chủ biên Nguyễn Văn Dũng – Nguyễn Tất Thu) Tài liệu tham khảo mạng internet 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... luanvanchat@agmail.com Hay giá trị nhỏ cần tìm b) Gọi Ta có hay tọa độ điểm Xét hai véc tơ Ta có nên Hay Dấu đẳng thức có hay điểm cần tìm 2.3.3 Bài tốn: Tọa độ điểm mặt cầu Bài toán 1: Trong khơng gian cho... nên đạt giá trị lớn Do nên Vậy tọa độ điểm cần tìm 2.3.2 Bài toán: Tọa độ điểm đường thẳng Bài tốn 1: Trong khơng gian , cho điểm đường thẳng Tìm điểm thuộc đường thẳng cho Câu hỏi 1: Độ dài véc... đạt giá trị nhỏ nhỏ nhất, hình chiếu điểm Ta có điểm cần tìm b) Gọi điểm thỏa mãn Ta có Nên lớn hình chiếu điểm mặt phẳng Tọa độ điểm thỏa mãn hệ phương trình Bài tốn 3: Trong không gian mặt