Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu Bài 35 trang 11 SBT Toán lớp 8 Tập 2 Em hãy chọn khẳng định đúng trong hai khẳng định sau đây a) Hai phương trình tương đương với nhau thì phải có cùng điều kiện xác đ[.]
Bài 5: Phương trình chứa ẩn mẫu Bài 35 trang 11 SBT Toán lớp Tập 2: Em chọn khẳng định hai khẳng định sau đây: a) Hai phương trình tương đương với phải có điều kiện xác định b) Hai phương trình có điều kiện xác định khơng tương đương với Lời giải: Hai phương trình tương đương với chúng có tập nghiệm Vì điều kiện xác định phương trình khơng ảnh hưởng đến quan hệ tương đương hai phương trình Phát biểu câu b Bài 36 trang 11 SBT Tốn lớp Tập 2: Khi giải phương trình bạn Hà làm sau: Theo định nghĩa hai phân thức nhau, ta có: − 3x 3x + = −2x − 2x + ⇔ (2 – 3x)(2x + 1) = (3x + 2)(– 2x – 3) ⇔ – 6x2 + x + = – 6x2 – 13x – ⇔ 14x = – ⇔x= −4 Vậy phương trình có nghiệm x = −4 Em nhận xét làm bạn Hà Lời giải: − 3x 3x + = , −2x − 2x + Đáp số toán lời giải bạn Hà chưa đầy đủ Lời giải bạn Hà thiếu bước tìm điều kiện xác định bước đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện để kết luận nghiệm Trong tốn điều kiện xác định phương trình là: x −3 −1 x 2 So sánh với điều kiện xác định giá trị x = Vậy x = −4 thỏa mãn −4 nghiệm phương trình Bài 37 trang 11 SBT Toán lớp Tập 2: Các khẳng định sau hay sai: a) Phương trình 4x − + (4 − 2x) = có nghiệm x = x +1 b) Phương trình (x + 2)(2x − 1) − x − = có tập nghiệm S = {– 2; 1} x2 − x + x + 2x +1 = có nghiệm x = – c) Phương trình x +1 x (x − 3) = có tập nghiệm S = {0; 3} d) Phương trình x Lời giải: a) Đúng Vì x2 + > với x nên phương trình cho tương đương với phương trình: 4x – + (4 – 2x) = ⇔ 2x – = ⇔ 2x = ⇔x=2 Vậy phương trình có nghiệm x = b) Đúng 1 Vì x – x + = x − + với x nên phương trình cho tương đương 2 với phương trình: (x + 2)(2x – 1) – x – = ⇔ (x + 2)(2x – 2) = ⇔ x + = 2x – = Nếu x + = x = – Nếu 2x – = x = Vậy tập nghiệm phương trình S = {– 2; 1} c) Sai Vì điều kiện xác định phương trình x + ≠ ⇔ x ≠ – x + 2x +1 = khơng thể có nghiệm x = – Do phương trình x +1 d) Sai Vì điều kiện xác định phương trình x ≠ x (x − 3) =0 Do x = khơng phải nghiệm phương trình x Bài 38 trang 12 SBT Toán lớp Tập 2: Giải phương trình sau: a) 1− x 2x + + 3= ; x +1 x +1 b) (x + 2)2 x + 10 ; − 1= 2x − 2x − 5x − 2x − x2 + x − + =1− c) ; − 2x 1− x d) − 2x (x +1)(x − 1) (x +2)(1 − 3x) + = 3x − 9x − Lời giải: a) 1− x 2x + + 3= (Điều kiện xác định: x −1 ) x +1 x +1 − x 3(x +1) 2x + + = x +1 x +1 x +1 – x + 3(x + 1) = 2x + ⇔ – x + 3x + – 2x – = ⇔ 0x = – vô lí Vậy phương trình vơ nghiệm b) (x + 2)2 x + 10 − 1= 2x − 2x − (ĐKXĐ: x (x + 2)2 2x − x + 10 − = 2x − 2x − 2x − (x + 2)2 – (2x – 3) = x2 + 10 ⇔ x2 + 4x + – 2x + – x2 – 10 = ⇔ 2x = ⇔ x = (loại) Phương trình vơ nghiệm ) 5x − 2x − x2 + x − + = − c) − 2x 1− x (ĐKXĐ: x ) 5x − (2x − 1)(1 − x) 2(1 − x) 2(x + x − 3) + = − 2(1 − x) 2(1 − x) 2(1 − x) 2(1 − x) 5x – + (2x – 1)(1 – x) = 2(1 – x) – 2(x2 + x – 3) ⇔ 5x – + 2x – 2x2 – + x – + 2x + 2x2 + 2x – = ⇔ 12x – 11 = ⇔x= 11 (thoả mãn) 12 Vậy phương trình có nghiệm x = 11 12 d) − 2x (x +1)(x − 1) (x +2)(1 − 3x) + = 3x − 9x − (5 − 2x)(3x − 1) 3.(x +1)(x − 1) (x +2)(1 − 3x) + = 3(3x − 1) 3(3x − 1) 3(3x − 1) (ĐKXĐ: x ) (5 – 2x)(3x – 1) + 3(x + 1)(x – 1) = (x + 2)(1 – 3x) ⇔ 15x – – 6x2 + 2x + 3x2 – = x – 3x2 + – 6x ⇔ – 6x2 + 3x2 + 3x2 + 15x + 2x – x + 6x = + + ⇔ 22x = 10 ⇔x = 10 = (thỏa mãn) 22 11 Vậy phương trình có nghiệm x = 11 Bài 39 trang 12 SBT Toán lớp Tập 2: 2x − 3x − a) Tìm x cho biểu thức x2 − b) Tìm x cho giá trị hai biểu thức 6x − 2x + x −3 3x + c) Tìm y cho giá trị hai biểu thức y + y +1 −8 − y −1 y − (y − 1)(y − 3) Lời giải: 2x − 3x − = (1) a)Ta có: x2 − ĐKXĐ: x ≠ x ≠ – (1) 2x2 – 3x – = 2(x2 – 4) ⇔ 2x2 – 3x – = 2x2 – ⇔ 2x2 – 2x2 – 3x = – + ⇔ – 3x = – ⇔ x = (loại) Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn điều kiện tốn b)Ta có: 6x − 2x + = x −3 3x + (ĐKXĐ: x (6x − 1)(x − 3) (2x + 5)(3x +2) = (3x + 2)(x − 3) (x − 3)(3x + 2) (6x – 1)(x – 3) = (2x + 5)(3x + 2) ⇔ 6x2 – 18x – x + = 6x2 + 4x + 15x + 10 −2 ; x 3) ⇔ 6x2 – 6x2 – 18x – x – 4x – 15x = 10 – ⇔ – 38x = ⇔x = −7 (thỏa mãn) 38 Vậy x = c)Ta có: 6x − −7 2x + giá trị hai biểu thức 38 x −3 3x + y + y +1 −8 = (ĐKXĐ: y 1; y ) − y − y − (y − 1)(y − 3) (y + 5)(y − 3) (y +1)(y − 1) −8 − = (y − 1)(y − 3) (y − 3)(y − 1) (y − 1)(y − 3) (y + 5)(y – 3) – (y + 1)(y – 1) = – ⇔ y2 – 3y + 5y – 15 – y2 + = – ⇔ 2y = ⇔ y = (loại khơng thỏa mãn điều kiện) Vậy khơng có giá trị y thỏa mãn điều kiện toán Bài 40 trang 12 SBT Toán lớp Tập 2: Giải phương trình sau: a) − 6x 9x + x(3x − 2) +1 + = ; x − x +2 x2 − b) + x 5x = + ; − x (x + 2).(3 − x) x + c) 2x + (2x − 1)(2x +1) + = ; x −1 x + x +1 x −1 d) x − (x − 1)3 7x − x = − (4x + 3)(x − 5) 4x + x − Lời giải: a) − 6x 9x + x(3x − 2) +1 + = x − x +2 x2 − (ĐKXĐ: x 2 ) (1 − 6x)(x +2) (9x + 4)(x − 2) x(3x − 2) +1 + = (x − 2)(x +2) (x + 2)(x − 2) (x + 2)(x − 2) (1 – 6x)(x + 2) + (9x + 4)(x – 2) = x(3x – 2) + ⇔ x + – 6x2 – 12x + 9x2 – 18x + 4x – = 3x2 – 2x + ⇔ – 6x2 + 9x2 – 3x2 + x – 12x – 18x + 4x + 2x = – + ⇔ – 23x = ⇔ x = −7 (thỏa mãn) 23 Vậy phương trình có nghiệm x = b) + −7 23 x 5x = + − x (x + 2).(3 − x) x + (ĐKXĐ: x − 2;x ) (x + 2)(3 − x) x(x +2) 5x 2(3 − x) + = + (x + 2)(3 − x) (3 − x)(x + 2) (x + 2).(3 − x) (x + 2)(3 − x) (x + 2)(3 – x) + x(x + 2) = 5x + 2(3 – x) ⇔ 3x – x2 + – 2x + x2 + 2x = 5x + – 2x ⇔ x2 – x2 + 3x – 2x + 2x – 5x + 2x = – ⇔ 0x = với x Phương trình cho có nghiệm với giá trị x thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x c) x ≠ x ≠ – 2 2x + (2x − 1)(2x +1) + = x −1 x + x +1 x −1 (ĐKXĐ: x ) 2(x +x + 1) (2x + 3)(x − 1) (2x − 1)(2x +1) + = (x − 1)(x + x + 1) (x + x + 1)(x − 1) ( x − 1) ( x + x + 1) 2(x2 + x + 1) + (2x + 3)(x – 1) = (2x – 1)(2x + 1) ⇔ 2x2 + 2x + + 2x2 – 2x + 3x – = 4x2 – ⇔ 2x2 + 2x2 – 4x2 + 2x – 2x + 3x = – – + ⇔ 3x = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = −3 ; x 5) d) x − (x − 1)3 7x − x = − (4x + 3)(x − 5) 4x + x − x − (x − 3x + 3x − 1) (7x − 1)(x − 5) x(4x + 3) = − (4x + 3)(x − 5) (4x + 3)(x − 3) (x − 5)(4x + 3) (ĐKXĐ: x x3 – (x3 – 3x2 + 3x – 1) = (7x – 1)(x – 5) – x(4x + 3) ⇔ x3 – x3 + 3x2 – 3x + = 7x2 – 35x – x + – 4x2 – 3x ⇔ 3x2 – 7x2 + 4x2 – 3x + 35x + x + 3x = – ⇔ 36x = ⇔ x = = (thoả mãn) 36 Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 41 trang 13 SBT Toán lớp Tập 2: Giải phương trình sau: a) 2x +1 5(x − 1) = ; x −1 x +1 b) x −3 x −2 + = −1; x−2 x− c) 2x − ; + = x −1 x −1 x + x +1 d) 13 + = (x − 3)(2x + 7) 2x + x − Lời giải: a) 2x +1 5(x − 1) = (ĐKXĐ: x 1) x −1 x +1 (2x +1)(x + 1) 5(x − 1)(x − 1) = (x − 1)(x + 1) (x +1)(x − 1) (2x + 1)(x + 1) = 5(x – 1)(x – 1) ⇔ 2x2 + 2x + x + = 5x2 – 10x + ⇔ 2x2 – 5x2 + 2x + x + 10x + – = ⇔ – 3x2 + 13x – = ⇔ 3x2 – x – 12x + = ⇔ x(3x – 1) – 4(3x – 1) = ⇔ (x – 4)(3x – 1) = ⇔ x – = 3x – = Nếu x – = ⇔ x = (thỏa mãn) Nếu 3x – = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 4; x = b) x −3 x −2 + = −1 x−2 x− (ĐKXĐ: x 2;x ) (x − 3)(x − 4) (x − 2)(x − 2) (x − 4)(x − 2) + =− (x − 2)(x − 4) (x − 4)(x − 2) (x − 4)(x − 2) (x – 3)(x – 4) + (x – 2)(x – 2) = – (x – 2)(x – 4) ⇔ x2 – 4x – 3x + 12 + x2 – 2x – 2x + = – x2 + 4x + 2x – ⇔ 3x2 – 17x + 24 = ⇔ 3x2 – 9x – 8x + 24 = ⇔ 3x(x – 3) – 8(x – 3) = ⇔ (3x – 8)(x – 3) = ⇔ 3x – = x – = Nếu 3x – = ⇔ x = (thỏa mãn) Nếu x – = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = ; x = 3 c) 2x − + = x −1 x −1 x + x +1 (ĐKXĐ: x 1) 1(x +x + 1) 2x − 4(x − 1) + = 2 (x − 1)(x + x + 1) (x − 1)(x + x + 1) (x + x +1)(x − 1) x2 + x + + 2x2 – = 4(x – 1) ⇔ x2 + x + + 2x2 – = 4x – ⇔ 3x2 – 3x = ⇔ 3x(x – 1) = ⇔ x = (thỏa mãn) x – = ⇔ x = (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = −7 ) d) 13 + = (x − 3)(2x + 7) 2x + x − 13(x + 3) 1(x + 3)(x − 3) 6(2x + 7) + = (x − 3)(2x + 7)(x +3) (2x + 7)(x +3)(x − 3) (x +3)(x − 3) (ĐKXĐ: x 3;x 13(x + 3) + x2 – = 6(2x + 7) ⇔ 13x + 39 + x2 – = 12x + 42 ⇔ x2 + x – 12 = ⇔ x2 – 3x + 4x – 12 = ⇔ x(x – 3) + 4(x – 3) = ⇔ (x + 4)(x – 3) = ⇔ x + = x – = Nếu x + = ⇔ x = – (thỏa mãn) Nếu x – = ⇔ x = (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = – Bài 42 trang 13 SBT Tốn lớp Tập 2: Cho phương trình ẩn x: x + a x − a a(3a + 1) + = a − x a + x a2 − x2 a) Giải phương trình a = – 3; b) Giải phương trình a = 1; c) Giải phương trình a = 0; d) Tìm giá trị a cho phương trình nhận x = Lời giải: nghiệm a) Khi a = – 3, ta có phương trình: x − x + −33.(−3) +1 + = −3 − x −3 + x (−3) − x (ĐKXĐ: x ) − x x +3 24 + = x + x − − x2 − x x +3 −24 + = x +3 x −3 x −9 (3 − x)(x − 3) (x + 3)(x + 3) −24 + = (x + 3)(x − 3) (x − 3)(x + 3) (x + 3)(x − 3) (3 – x)(x – 3) + (x + 3)2 = – 24 ⇔ 3x – – x2 + 3x + x2 + 6x + = – 24 ⇔ 12x = – 24 ⇔ x = – (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = – b) Khi a = 1, ta có phương trình: x + x − 1(3.1 + 1) + = − x +x − x2 (ĐKXĐ: x 1 ) (x + 1)(1 +x) (x − 1)(1 − x) + = (1 − x)(1 + x) (1 +x)(1 − x) (1 + x)(1 − x) (x + 1)2 + (x – 1)(1 – x) = ⇔ x2 + 2x + + x – x2 – + x = ⇔ 4x = ⇔ x = (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm c) Khi a = 0, ta có phương trình: x x + = −x x −x (ĐKXĐ: x ) −x x + = x x x −x + x = 0x = Phương trình nghiệm với giá trị x ≠ Vậy phương trình có nghiệm x d) Thay x = x ≠ vào phương trình, ta có: 1 +a −a a(3a +1) 2 + = 1 1 a− a+ a − 2 2 (ĐKXĐ: a ) + 2a − 2a 4a(3a +1) + = 2a − 2a + 4a − (1 + 2a)(2a + 1) (1 − 2a)(2a − 1) 4a(3a +1) + = (2a − 1)(2a + 1) (2a + 1)(2a − 1) (2a + 1)(2a − 1) ⇔ (1 + 2a)(2a + 1) + (1 – 2a)(2a – 1) = 4a(3a + 1) ⇔ 2a + + 4a2 + 2a + 2a – – 4a2 + 2a = 12a2 + 4a ⇔ 12a2 – 4a = ⇔ 4a(3a – 1) = ⇔ 4a = 3a – = ⇔ a = (thỏa mãn) a = (thỏa mãn) Vậy a = a = x + a x − a a(3a + 1) + = phương trình có nghiệm a − x a + x a2 − x2 x= Bài tập bổ sung Bài 5.1 trang 13 SBT Toán lớp Tập 2: Giải phương trình: a) x+ x +1 1+ x −2 = ; 3x − x +1 x −1 − x −1 x − x +1 b) ; = x +1 2(x + 1) 1+ x −1 c) + = + x x +1 x + x + Lời giải: a) Ta có: 1 x − x(2x − 1) + x − 2x − 2(x − 1) x+ =x + =x + = = = x +1 2x − 2x − 2x − 2x − 2x − 1+ x −2 x−2 x+ x +1 1+ x +2 = 2 ( x − 1) = 2x − x2 −1 2x − ĐKXĐ phương trình x ≠ 2; x ≠ 1 ; x ≠ 1; x ≠ –1; x ≠ Ta biến đổi phương trình cho thành 2x − = x − 3x − Khử mẫu rút gọn ta được: (2x − 1)(3x − 1) = 6(x2 − 1) 6x2 – 2x – 3x + = 6x2 – ⇔ −5x + = −6 ⇔ x= Giá trị x = thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có nghiệm x = b) ĐKXĐ: x≠ ± x +1 x −1 − x −1 x − x +1 Ta có: = x +1 2(x + 1) 1+ x −1 Biến đổi vế trái thành x +1 x −1 − x +1 x − x +1 x + x − VT = = − : + x +1 x −1 x − x +1 1+ x −1 (x + 1) − (x − 1) x − + x +1 = : (x − 1)(x + 1) x −1 x +2x + − x +2x − 2x = : (x − 1)(x +1) x −1 = 4x x −1 = (x − 1)(x + 1) 2x x +1 Ta đưa phương trình cho dạng x −1 = x +1 2(x + 1) Giải phương trình cách khử mẫu: 4(x + 1) = (x − 1)(x + 1) ⇔ (x + 1)(4 – x + 1) = ⇔x = −1 x = Trong hai giá trị vừa tìm được, có x = thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình cho có nghiệm x = c) ĐKXĐ: x ≠ {0; −1; −2; −3} Ta biến đổi phương trình sau: + = + x x +1 x + x + 5 + 1 + +1 = +1 + + 1 x x +1 x + x + + x +x +x + x + = + x x +1 x + x + + x +x +x + x + − − =0 x x +1 x + x + 1 1 (5 + x). + − − =0 x x +1 x + x + + x = 1 1 + − − =0 x x +1 x + x + Ta có: + x = x = − Và 1 1 + − − =0 x x +1 x + x + Với x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: 1 1 ; x x + x +1 x + Do đó, 1 1 − 0; − 0 x x +2 x +1 x + 1 1 + − − Do đó, phương trình (2) vô nghiệm x x +1 x + x + Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {− 5} ... 11 Bài 39 trang 12 SBT Toán lớp Tập 2: 2x − 3x − a) Tìm x cho biểu thức x2 − b) Tìm x cho giá trị hai biểu thức 6x − 2x + x −3 3x + c) Tìm y cho giá trị hai biểu thức y + y +1 ? ?8 − y −1 y −... 2) ⇔ 6x2 – 18x – x + = 6x2 + 4x + 15x + 10 −2 ; x 3) ⇔ 6x2 – 6x2 – 18x – x – 4x – 15x = 10 – ⇔ – 38x = ⇔x = −7 (thỏa mãn) 38 Vậy x = c)Ta có: 6x − −7 2x + giá trị hai biểu thức 38 x −3 3x +... +1 ? ?8 = (ĐKXĐ: y 1; y ) − y − y − (y − 1)(y − 3) (y + 5) (y − 3) (y +1)(y − 1) ? ?8 − = (y − 1)(y − 3) (y − 3)(y − 1) (y − 1)(y − 3) (y + 5) (y – 3) – (y + 1)(y – 1) = – ⇔ y2 – 3y + 5y – 15 –