Bài 5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu Câu hỏi 1 trang 19 SGK Toán lớp 8 Tập 2 Giá trị x = 1 có phải là nghiệm của phương trình hay không ? Vì sao ? Lời giải Giá trị x = 1 không phải là nghiệm của phương tr[.]
Bài 5: Phương trình chứa ẩn mẫu Câu hỏi trang 19 SGK Toán lớp Tập 2: Giá trị x = có phải nghiệm phương trình hay khơng ? Vì ? Lời giải Giá trị x = nghiệm phương trình Vì x = có mẫu 0,vơ lí x −1 Câu hỏi trang 20 SGK Tốn lớp Tập 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x x+4 ; = x − x +1 b) 2x − = −x x−2 x−2 Lời giải a) Phương trình x x+4 xác định: = x − x +1 x − 1 x x + x − Vậy ĐKXĐ phương trình x ≠ ±1 b) Phương trình 2x − = − x xác định khi: x−2 x−2 x – ≠ x ≠ Vậy ĐKXĐ phương trình x ≠ Câu hỏi trang 22 SGK Toán lớp Tập2: Giải phương trình câu hỏi Lời giải a) x x+4 ; = x − x +1 Điều kiện xác định: x 1 x x+4 = x − x +1 x(x +1) (x − 1)(x +4) = (x − 1)(x + 1) (x +1)(x − 1) Suy x(x + 1) = (x - 1)(x + 4) Ta có: x(x + 1) = (x - 1)(x + 4) ⇔ x2 + x = x2 + 4x - x – x + x − x − 4x + x + = ( x − x ) + ( x − 4x + x ) + = −2x + = ⇔ 2x = ⇔ x = (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm phương trình : S = {2} b) Điều kiện xác định : x ≠ 2x − = −x x−2 x−2 2x − x(x − 2) = − x−2 x−2 x−2 Suy = 2x - - x(x - 2) ⇔ = 2x – - (x2 - 2x) ⇔ = 2x - - x2 + 2x ⇔ = 4x - - x2 ⇔ x2 – 4x + = ⇔ (x - 2)2 = ⇔ x - 2= ⇔ x = ( không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm phương trình : S = ∅ Bài tập Bài 27 trang 22 SGK Toán lớp tập 2: Giải phương trình: a) 2x − = 3; x +5 x2 − =x+ ; b) x c) (x +2x) − (3x + 6) = 0; x −3 d) = 2x − 3x + Lời giải: a) Điều kiện xác định: x ≠ -5 2x − =3 x +5 2x − 3(x + 5) = x+5 x+5 Suy ra: 2x – = 3(x + 5) ⇔ 2x – = 3x + 15 ⇔ 2x – 3x = 15 + ⇔ -x = 20 nên x = -20 (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20} b) Điều kiện xác định: x ≠ x2 − =x+ x 2(x − 6) 2x + 3x = 2x 2x Suy ra: 2(x2 – 6) = 2x2 + 3x ⇔ 2x2 – 12 – 2x2 – 3x = ⇔ - 12 - 3x = ⇔ -3x = 12 ⇔ x = -4 (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4} c) Điều kiện xác định: x ≠ (x +2x) − (3x + 6) = 0; x −3 Suy ra: (x2 + 2x) – (3x + 6) = ⇔ x(x + 2) – 3(x + 2) = ⇔ (x – 3)(x + 2) = ⇔ x – = x + = + Nếu x – = ⇔ x = (Không thỏa mãn đkxđ) + Nếu x + = ⇔ x = -2 (Thỏa mãn đkxđ) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2} d) Điều kiện xác định: x − = 2x − 3x + (2x − 1).(3x + 2) = 3x + 3x + Suy ra: = (2x – 1)(3x + 2) hay (2x – 1)(3x + 2) = ⇔ 2x.3x + 2x.2 – 1.3x – 1.2 = ⇔ 6x2 + 4x – 3x – – = ⇔ 6x2 + x – = ⇔ 6x2 – 6x + 7x – = (Tách để phân tích vế trái thành nhân tử) ⇔ 6x(x – 1) + 7(x – 1) = ⇔ (6x + 7)(x – 1) = ⇔ 6x + = x – = +Nếu 6x + = ⇔ 6x = - ⇔ x = −7 (thỏa mãn đkxđ) +Nếu x – = ⇔ x = (thỏa mãn đkxđ) Vậy phương trình có tập nghiệm S = − ; 1 Bài 28 trang 22 SGK Toán lớp tập 2: Giải phương trình: a) 2x − 1 ; +1 = x −1 x −1 b) 5x −6 ; + 1= 2x +2 x +1 c) x + d) 1 = x2 + ; x x x +3 x − + = x+1 x Lời giải: a) Điều kiện xác định: x ≠ 2x − 1 + 1= x −1 x −1 2x − + 1(x − 1) = x −1 x −1 Suy ra: 2x – + x – = ⇔ 3x – = ⇔ 3x = ⇔ x = (khơng thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình vô nghiệm b) Điều kiện xác định: x ≠ -1 5x −6 + 1= 2x + x +1 ( x + 1) ( −6 ) 5x + = ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 5x + 2(x + 1) −6.2 = 2(x + 1) 2(x +1) Suy ra: 5x + 2(x + 1) = -12 ⇔ 5x + 2x + = -12 ⇔ 7x + = -12 ⇔ 7x = -14 ⇔ x = -2 (thỏa mãn đkxđ) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2} c) Điều kiện xác định: x ≠ x+ 1 = x2 + ; x x x3 + x x + = x2 x2 Suy ra: x3 + x = x4 + ⇔ x4 + – x – x3 = ⇔ (x4 – x3) + (1 – x) = ⇔ x3(x – 1) – (x – 1) = ⇔ (x3 – 1)(x – 1) = ⇔ (x – 1)(x2 + x + 1)(x – 1) = ⇔ (x – 1)2 (x2 + x + 1) = ⇔x–1=0 (vì x + x + 1= x + x + + 4 2 1 = x + + x ) 2 ⇔ x = (thỏa mãn đkxđ) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1} d) Điều kiện xác định: x ≠ x ≠ -1 x +3 x − + =2 x+1 x (x + 3).x (x − 2)(x + 1) 2x(x + 1) + = (x + 1).x x(x +1) x(x + 1) Suy ra: (x + 3)x + (x - 2)(x + 1) = 2.x(x + 1) ⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) – 2x(x + 1) = ⇔ x2 + 3x + x2 – 2x + x – – (2x2 + 2x) = ⇔ x2 + 3x + x2 – 2x + x – – 2x2 - 2x = ⇔ (x2 + x2 – 2x2) + (3x + x – 2x – 2x) – = ⇔ 0x – = ⇔ 0x = vơ lí Vậy phương trình vơ nghiệm Luyện tập (trang 22-23 sgk Toán Tập 2) Bài 29 trang 22-23 SGK Toán lớp tập 2: Bạn Sơn giải phương trình x − 5x =5 x−5 (1) sau: (1)⇔ x2 – 5x = 5(x – 5) ⇔ x2 – 5x = 5x – 25 ⇔ x2 – 10x + 25 =0 ⇔ (x - 5)2 = ⇔x=5 Bạn Hà cho Sơn giải sai nhân hai vế với biểu thức x – có chứa ẩn Hà giải cách rút gọn vế trái sau: (1) x(x − 5) =5 x =5 x −5 Hãy cho biết ý kiến em hai lời giải Lời giải: +) Cách làm bạn Sơn sai chưa đặt điều kiện xác định cho phương trình nhân hai vế với ( x- 5) +) Cách làm bạn Hà sai chưa đặt điều kiện xác định cho phương trình rút gọn hai vế cho biểu thức (x- 5) phụ thuộc biến x +) Cách giải Điều kiện xác định: x ≠ x − 5x Ta có: =5 x−5 x − 5x 5(x − 5) = x−5 x −5 Suy ra: x2 – 5x = 5( x - 5) ⇔ x( x - 5) – 5(x – 5) = ⇔ ( x - 5).( x - 5) =0 ⇔ (x - 5)2 = ⇔ x – 5= ⇔ x = ( khơng thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài 30 (trang 23 SGK Tốn tập 2): Giải phương trình: a) x −3 ; + 3= x−2 2−x 2x 4x b) 2x − = + ; x +3 x +3 c) x +1 x − ; − = x − x +1 x − d) 3x − 6x +1 = x + 2x − Lời giải: a) Điều kiện xác định: x ≠ x −3 + 3= x−2 2−x + 3(x − 2) −(x − 3) = x−2 x −2 Suy ra: + 3(x – 2) = -(x – 3) ⇔ + 3x – = -x + ⇔ 3x + x = + – ⇔ 4x = ⇔ x = (khơng thỏa mãn đkxđ) Vậy phương trình vơ nghiệm b) Điều kiện xác định: x ≠ -3 2x 4x 2x − = + x +3 x +3 7.2x(x + 3) − 7.2x 7.4x 2(x + 3) = + 7(x + 3) 7.(x + 3) 7(x + 3) Suy ra: 14x(x + 3) – 14x2 = 28x + 2(x + 3) ⇔ 14x2 + 42x – 14x2 = 28x + 2x + ⇔ 42x – 28x – 2x = ⇔ 12x = ⇔x= (thỏa mãn điều kiện) 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2 c) Điều kiện xác định: x ≠ ±1 x +1 x − − = ; x −1 x +1 x −1 (x +1)(x + 1) (x − 1)(x − 1) − = (x − 1)(x + 1) (x +1)(x − 1) (x + 1)(x − 1) Suy ra: x2 + 2x + – (x2 – 2x + 1) = ⇔ x2 + 2x + – x2 + 2x – = ⇔ 4x = ⇔ x = (khơng thỏa mãn đkxđ) Vậy phương trình vơ nghiệm d) Điều kiện xác định: x ≠ -7; x ≠ 3x − 6x +1 = x + 2x − 3 (3x − 2)(2x − 3) (6x +1)(x + 7) = (x + 7)(2x − 3) (2x − 3)(x + 7) Suy ra: (3x – 2)(2x – 3) = (6x + 1)(x + 7) ⇔ 6x2 – 9x – 4x + = 6x2 + 42x + x + ⇔ - 4x - 9x - 42x - x = - ⇔ - 56x = ⇔x= −1 (thỏa mãn đkxđ) 56 −1 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 56 Bài 31 trang 23 SGK Toán lớp tập 2: Giải phương trình: a) 3x 2x ; − = x − x −1 x + x +1 b) + = ; (x − 1)(x − 2) (x − 3)(x − 1) (x − 2)(x − 3) c)1 + d) 12 ; = x + + x3 13 + = (x − 3).(2x + 7) 2x + (x − 3)(x + 3) Lời giải: a) + Tìm điều kiện xác định : 1 1 x + x + = x + x + + = x + + với x ∈ R 2 4 Do x2 + x + ≠ với x ∈ x3 – ≠ ⇔ (x – 1)(x2 + x + 1) ≠ ⇔ x – ≠ ⇔ x ≠ Vậy điều kiện xác định phương trình x ≠ + Giải phương trình: 3x 2x − = x − x −1 x + x +1 3x 2x − = 2 x − (x − 1)(x +x + 1) x + x + x +x +1 3x 2x(x − 1) − = 2 (x − 1)(x +x + 1) (x − 1)(x + x + 1) (x + x + 1)(x − 1) ⇒ x2 + x + – 3x2 = 2x(x – 1) ⇔ -2x2 + x + = 2x2 – 2x −2x + x + − 2x + 2x = ⇔ -4x2 + 3x + = ⇔ -4x2 + 4x - x + = ⇔ -4x(x – 1) – ( x – 1) = ⇔ (-4x - 1)(x – 1) = ⇔ - 4x - = x – = +) Nếu - 4x - = ⇔ - 4x = ⇔ x = −1 (thỏa mãn đkxđ) +) Nếu x – = ⇔ x = (khơng thỏa mãn đkxđ) −1 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 4 b) Điều kiện xác định: x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 3 + = (x − 1)(x − 2) (x − 3)(x − 1) (x − 2)(x − 3) 3(x − 3) 2(x − 2) 1.(x − 1) + = (x − 1)(x − 2)(x − 3) (x − 3)(x − 1)(x − 2) (x − 2)(x − 3)(x − 1) ⇒ 3(x – 3) + 2(x – 2) = x – ⇔ 3x – + 2x – = x – ⇔ 3x + 2x – x = + – ⇔ 4x = 12 ⇔ x = (không thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình vơ nghiệm c) +) Ta có: + x3 = (2 + x).( - 2x+ x2 ) Mà - 2x + x2 = (1 – 2x + x2 ) + = (1- x)2 + > với x Do đó: + x3 ≠ ⇔ + x ≠ ⇔ x ≠ -2 +) Điều kiện xác định: x ≠ -2 1+ 12 = x + + x3 1+ 12 = x + (2 +x)(4 −2x + x ) (2 + x).(4 − 2x + x ) +1.(4 − 2x + x ) 12 = x +2 (2 +x)(4 −2x + x ) ⇔ (2 + x) (4 – 2x + x2) + – 2x + x2 = 12 ⇔ + x3 + – 2x + x2 – 12 = ⇔ x3 + x2 – 2x = ⇔ x(x2 + x – 2) =0 Do đó, x = x2 + x – = Giải phương trình x2 + x – = ⇔ x2 – + x – = ⇔ (x + 1)(x - 1) + 1(x - 1) = ⇔(x - 1)(x + + 1) = ⇔(x - 1)(x + 2) = ⇔ x – = x + = Nếu x – = x = Nếu x + = x = -2 Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm phương trình S = {0; 1} d) Điều kiện xác định: x ≠ ±3; x ≠ −7 13 + = (x − 3).(2x + 7) 2x + (x − 3)(x + 3) 13(x + 3) +1.(x − 3)(x + 3) 6(2x + 7) = (x − 3).(2x + 7)(x + 3) (x − 3)(x + 3)(2x + 7) ⇒ 13(x + 3) + (x – 3)(x + 3) = 6(2x + 7) ⇔ 13x + 39 + x2 – = 12x + 42 ⇔ x2 + x – 12 = ⇔ x2 + 4x – 3x – 12 = ⇔ x(x + 4) – 3(x + 4) = ⇔ (x – 3)(x + 4) = ⇔ x – = x + = Nếu x – = ⇔ x = (không thỏa mãn đkxđ) Nếu x + = ⇔ x = -4 (thỏa mãn đkxđ) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4} Bài 32 (trang 23 SGK Toán tập 2): Giải phương trình: a) 1 + = + (x +1) ; x x 2 1 1 b) x + 1+ = x − − x x Lời giải: a) ĐKXĐ: x 1 + = + (x +1) x x 1 + − + (x +1) = x x 1 + (1 − x −1) = x 1 + (− x ) = x −1 1 1 + = = −2 x = x x −x = x =0 x=0 Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm x = 1 1 b) x + 1+ = x − − x x ĐKXĐ: x 2 1 1 x + 1+ = x − − x x −1 2 1 1 x + 1+ − x − − = x x 1 1 x + 1+ + x − − x + + − x + + = x x x x 2 2x + = x 2x = x=0 x=0 2 2 + = = − x = −1 x x Kết hợp điều kiện, nghiệm phương trình x = -1 Bài 33 trang 23 SGK Toán lớp tập 2: Tìm giá trị a cho biểu thức sau có giá trị 2: a) 3a − a − ; + 3a +1 a + b) 10 3a − 7a + − − 4a + 12 6a +18 Lời giải: a) Biểu thức có giá trị thì: 3a − a − + =2 3a +1 a + ĐKXĐ: a −3;a −1 3a − a − + =2 3a +1 a + (3a − 1).(a + 3) + (a − 3)(3a + 1) 2(3a + 1).(a + 3) = (3a + 1).(a + 3) (3a + 1).(a + 3) Suy ra: (3a – 1).(a + 3) + (a – 3)(3a + 1) = 2(3a + 1) (a + 3) 3a2 + 9a – a – + 3a2 + a – 9a – = 2(3a2 + 9a + a + 3) 6a2 – = 6a2 + 18a + 2a + 6a2 – - 6a2 - 18a - 2a – = -20a – 12 = -20a = 12 a= −3 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy với a = −3 biểu thức cho có giá trị b) Để biểu thức có giá trị 10 3a − 7a + − − =2 4a + 12 6a +18 ĐKXĐ: a − Ta có: 10 3a − 7a + − − =2 4a + 12 6a +18 10 3a − 7a + − − =2 4(a + 3) 6(a + 3) 10.4(a + 3) − 3(3a − 1) − 2(7a + 2) 2.12(a + 3) = 12(a + 3) 12(a + 3) Suy ra: 10.4(a + 3) – 3(3a – 1) – 2.(7a + 2) = 2.12(a + 3) 40 ( a + 3) − ( 3a − 1) − ( 7a + ) = 24.( a + 3) 40a + 120 – 9a + – 14a – = 24a + 72 17a + 119 = 24a + 72 17a – 24a = 72 - 119 -7a = - 47 a= 47 (thỏa mãn điều kiện) Vậy với a = 47 biểu thức cho có giá trị ... Điều kiện xác định: x ≠ x − 5x Ta có: =5 x? ?5 x − 5x 5( x − 5) = x? ?5 x ? ?5 Suy ra: x2 – 5x = 5( x - 5) ⇔ x( x - 5) – 5( x – 5) = ⇔ ( x - 5) .( x - 5) =0 ⇔ (x - 5) 2 = ⇔ x – 5= ⇔ x = ( khơng thỏa mãn... (trang 22-23 sgk Toán Tập 2) Bài 29 trang 22-23 SGK Toán lớp tập 2: Bạn Sơn giải phương trình x − 5x =5 x? ?5 (1) sau: (1)⇔ x2 – 5x = 5( x – 5) ⇔ x2 – 5x = 5x – 25 ⇔ x2 – 10x + 25 =0 ⇔ (x - 5) 2... 10x + 25 =0 ⇔ (x - 5) 2 = ⇔x =5 Bạn Hà cho Sơn giải sai nhân hai vế với biểu thức x – có chứa ẩn Hà giải cách rút gọn vế trái sau: (1) x(x − 5) =5 x =5 x ? ?5 Hãy cho biết ý kiến em hai lời giải