Microsoft word bài 1 QUY t?c ð?m – HOÁN v? CH?NH h?p – t? h?p

Microsoft Word Bài 1 QUY T?C Ð?M – HOÁN V? CH?NH H?P – T? H?P doc Trang 1 TỔ HỢP XÁC SUẤT BÀI GIẢNG QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững quy tắc cộng, quy tắc nhân[.]

TỔ HỢP XÁC SUẤT BÀI GIẢNG QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững quy tắc cộng, quy tắc nhân + Hiểu phân biệt khái niệm: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp  Kĩ   + Vận dụng quy tắc cộng nhân cho toán đếm + Giải dạng toán đếm liên quan đến tổ hợp, chỉnh hợp + Giải phương trình liên quan đến cơng thức tổ hợp, chỉnh hợp Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các quy tắc đếm Mở rộng: Một công việc hoàn thành a) Quy tắc cộng Định nghĩa k phương án A1 , A2 , A3 , , Ak Nếu phương án A1 có m1 Một cơng việc thực theo cách thực hiện, phương án A có m cách 2 hai phương án A B Nếu phương án A có m thực hiện,…phương án Ak có mk cách thực cách thực hiện, phương án B có n cách thực và cách thực phương không trùng với cách phương án A án khơng trùng cơng việc cơng việc có m  n cách thực có m1  m2  m3   mk cách thực Công thức Nếu A, B tập hợp khơng giao n  A  B   n  A  n  B  Cho tập A1 , A2 , , An đôi rời Khi đó: A1  A2   An  A1  A2   An b) Quy tắc nhân Định nghĩa Một công việc bao gồm hai cơng đoạn A Mở rộng: Một cơng việc hồn thành B Nếu cơng đoạn A có m cách thực ứng với k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak liên tiếp cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc Nếu hành động A1 có m1 cách thực hiện, có m.n cách thực hành động A2 có m2 cách thực hiện, , Công thức Nếu A, B tập hữu hạn phần tử n  A  B   n  A  n  B  Hoán vị Định nghĩa Một tập hợp gồm n phần tử  n  1 Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn  n !  1.2.3 n Hoán vị lặp Cho k phần tử khác a1 , a2 , , ak Mỗi cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1 ; n2 phần tử a2 ; ; nk phần tử ak  n1 , n2 , , nk  n  theo thứ tự gọi hoán vị lặp cấp n kiểu  n1 , n2 , , nk  k phần tử TOANMATH.com hành động Ak có mk cách thực cơng việc có m1.m2 m3 mk cách hoàn thành Cho tập A1 , A2 , , An hữu hạn phần tử Khi đó: A1  A2   An  A1 A2 An Quy ước: 0!  n !   n  1 ! n n!   p  1  p   n p! ( với n, p  , n  p ) n!   n  p  1  n  p   n  n  p ! Trang   Số hoán vị lặp cấp n kiểu  n1 , n2 , , nk  k phần tử là: Pn  n1 , n2 , , nk   (với n, p  , n  p ) n! n1 !n2 ! nk ! Hốn vị vịng quanh Cho tập A gồm n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn   n  1 ! Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A 1  k  n  theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank  n  n  1 n    n  k  1  Công thức cho trường hợp n!  n  k ! k  k  n Khi k  n Ann  Pn  n ! Chỉnh hợp lặp Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A , phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank  n k Tổ hợp Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm Quy ước: Cn0  k 1  k  n  phần tử A gọi tổ hợp chập k Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp n phần tử Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công Số tổ hợp chập k n phần tử: thức: Ak n! C  n  k ! k ! n  k  ! k n Tính chất Cn0  Cnn  1; Cnk  Cnn  k ; Ank  k !Cnk + Chỉnh hợp: có thứ tự + Tổ hợp: khơng có thứ tự + Những tốn mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử ta dùng chỉnh hợp Ngược TOANMATH.com Trang   Cnk  Cnk11  Cnk1 ; Cnk  kCnk  nCnk11 ;  k  1 kC k n   n  1 nC k 1 n 1 n  k  k 1 Cn ; k 1 Cnk  Cnk11 ; k 1 n 1 lại, tổ hợp Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử k  n + Không thứ tự, không hồn lại: Cnk + Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank Tổ hợp lặp Cho tập A  a1 ; a2 ; ; an  số tự nhiên k Một tổ + Có thứ tự, có hồn lại: Ank hợp lặp chập k n phần tử tập hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Cnk  Cnk k 1  Cnnk11 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA QUY TẮC CỘNG Công việc A Phương án A1 m1 cách Phương án A2 m2 cách … Phương án Ak … mk cách m1  m2   mk cách TOANMATH.com Trang   QUY TẮC NHÂN Công việc A Hành động A1 m1 cách Hành động A2 m2 cách … Hành động Ak … mk cách m1  m2   mk cách II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Quy tắc đếm Phương pháp giải Để đếm số cách lựa chọn thực cơng việc Ví dụ Một trường THPT cử học sinh dự A quy tắc cộng, ta thực bước: trại hè toàn quốc Nhà trường định chọn học sinh tiên tiến lớp 11A lớp 12B Biết lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến Hỏi nhà trường có cách chọn? Bước 1: Phân tích xem có phương án Hướng dẫn giải riêng biệt để thực cơng việc A (có nghĩa cơng Nhà trường chọn học sinh tiên tiến lớp việc A hồn thành 11A lớp 12B phương án A1 ; A2 ; ; Ak Bước 2: Đếm số cách chọn x1 ; x2 ; ; xk Chọn học sinh tiên tiến lớp 11A có 31 cách chọn Chọn học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 phương án A1 ; A2 ; ; Ak cách chọn Bước 3: Dùng quy tắc cộng, ta tính số cách Theo quy tắc cộng, số cách cử học sinh dự lựa chọn để thực công việc A trại hè là: 31  22  53 (cách) x  x1  x2  xk Ví dụ Một bó hoa có bơng hoa hồng trắng, Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A hoa hồng đỏ hoa hồng vàng Hỏi có quy tắc nhân, ta thực bước: TOANMATH.com cách chọn lấy ba hoa có đủ ba màu? Trang   Bước 1: Phân tích xem có cơng đoạn liên Hướng dẫn giải tiếp cần phải tiến hành để thực công việc A (giả Để lấy ba hoa có đủ ba màu ta sử A hồn thành sau cơng đoạn lấy loại Số cách lấy hoa hồng trắng cách A1 ; A2 ; ; Ak hoàn thành) Bước 2: Đếm số cách chọn x  x1  x2  xk Số cách lấy hoa hồng đỏ cách Số cách lấy hoa hồng vàng cách công đoạn A1 ; A2 ; ; Ak Theo quy tắc nhân ta có số cách lấy ba bơng có đủ Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính số cách lựa ba màu là: 5.6.7  210 chọn để thực công việc A x  x1  x2  xk Ví dụ mẫu Ví dụ Một người có quần khác nhau, áo khác nhau, cà vạt khác a) Để chọn quần áo cà vạt số cách chọn A 13 B 72 C 12 D 30 Hướng dẫn giải Số cách chọn quần cách Số cách chọn áo cách Số cách chọn cà vạt cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn là:    13 (cách) Chọn A b) Số cách chọn gồm quần, áo cà vạt A 13 B 72 C 12 D 30 Hướng dẫn giải Số cách chọn quần cách Số cách chọn áo cách Số cách chọn cà vạt cách Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là: 4.6.3  72 (cách) Chọn B Ví dụ Trên giá sách có 10 sách Văn khác nhau, sách Toán khác sách Tiếng Anh khác Hỏi có cách chọn hai sách khác môn? Hướng dẫn giải Theo quy tắc nhân, ta có: Có 10.8  80 cách chọn sách Văn sách Toán khác 10.6  60 cách chọn sách Văn sách Tiếng Anh khác TOANMATH.com Trang   8.6  48 cách chọn sách Toán sách Tiếng Anh khác Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai sách khác môn 80  60  48  188 (cách) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trên bàn có bút chì khác nhau, bút bi khác 10 tập khác Một học sinh muốn chọn đồ vật bút chì bút bi tập số cách chọn khác A 480 B 24 C 48 D 60 Câu 2: An muốn qua nhà Bình để Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường đến nhà Cường? A B C 10 D 24 Câu 3: Các thành phố A, B, C, D nối với đường hình vẽ Hỏi có cách từ A đến D mà qua B C lần? A B 10 C 18 D 24 Câu 4: Có cách cắm hoa vào lọ khác (mỗi lọ cắm không một bông)? A 60 B 10 C 15 D 720 Câu 5: Một thi có 15 người tham dự, giả thiết khơng có hai người có điểm Nếu kết thi việc chọn giải nhất, nhì, ba có kết có thể? A 2730 B 2703 C 2073 D 2370 Dạng 2: Các toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Phương pháp giải Hoán vị: Một tập hợp gồm n phần tử  n  1 Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử tập A 1  k  n  theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1  k  n) phần tử tập A gọi tổ hợp chập k n phần tử Ví dụ mẫu Ví dụ Từ số tự nhiên 1, 2,3, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? Hướng dẫn giải Mỗi cách xếp thứ tự bốn chữ số 1, 2,3, ta số tự nhiên theo yêu cầu đề Do số số tự nhiên có bốn chữ số khác lập từ chữ số 1, 2,3, là: 4!  24 TOANMATH.com Trang   Ví dụ Có cách xếp học sinh có An Bình vào hàng ghế dài gồm ghế cho An Bình ngồi hai ghế đầu? Hướng dẫn giải An Bình ngồi đầu ngồi cuối, hốn đổi cho nên có 2! cách xếp Xếp vị trí cho bạn cịn lại, ta có 5! cách xếp Vậy ta có 2!.5!  240 cách xếp Ví dụ Có học sinh thầy giáo xếp thành hàng ngang Hỏi có cách xếp cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau? Hướng dẫn giải Có 8! cách xếp người Có 2! cách xếp hai giáo viên đứng cạnh Khi có 2!.7! cách xếp người cho hai giáo viên đứng cạnh Mà hai giáo viên không đứng cạnh nên số cách xếp 8! 2!.7!  30240 cách xếp Ví dụ Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, ,9? A 15120 B 95 C 59 D 126 Hướng dẫn giải Số số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, ,9 số cách xếp thứ tự chữ số khác từ chữ số cho Do số số thỏa mãn là: A95  15120 Chọn A Ví dụ Có cách xếp học sinh ngồi xung quanh bàn trịn có Hốn vị vòng quanh: Cho ghế? tập A gồm n phần tử Hướng dẫn giải Một cách xếp n phần Xếp học sinh theo hình trịn nên ta phải cố định vị trí bạn, sau xếp tử tập A thành vị trí cho bạn cịn lại có 7! cách dãy kín gọi Vậy có 7!  5040 cách hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử Qn   n  1 ! Ví dụ Trong túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng Các viên bi khác có kích cỡ Tính số cách lấy viên bi xếp chúng vào ô cho ô bi có viên bi đỏ Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   Số cách chọn viên bi C45 cách Bước 1: Chọn bi Số cách chọn viên bi khơng có viên bi đỏ C353 cách Số cách chọn viên bi có viên bi đỏ C45  C355 cách Số cách xếp viên bi vào ô 5! Theo quy tắc nhân ta có 5!  C45  C355   107655240 (cách) Bước 2: Sắp xếp viên bi Ví dụ Một thầy giáo có 10 sách khác có sách Tốn, sách Lí, sách Hóa Thầy muốn lấy tặng cho em học sinh A, B, C , D, E em Hỏi thầy giáo có cách tặng cho em học sinh cho số sách cịn lại có đủ ba loại? Hướng dẫn giải Trường hợp 1: Tặng hết sách Tốn Tìm tốn đối tìm Số cách chọn sách Tốn cách số cách cho sau Số cách chọn lại cách tặng sách xong có mơn Vậy có cách chọn sách hết sách Số cách tặng sách cho em học sinh A55  120 cách Vậy có 6.120  720 cách Trường hợp 2: Tặng hết sách Lí Số cách chọn sách Lí cách Số cách chọn lại C72 cách Vậy có 21 cách chọn sách Số cách tặng sách cho em học sinh A55  120 cách Vậy có 21.120  2520 cách Trường hợp 3: Tặng hết sách Hóa: Tương tự trường hợp có 2520 cách Số cách chọn 10 tặng cho em C105 A55  30240 cách Vậy số cách chọn cho sau tặng xong, loại sách cịn lại 30240  720  2520  2520  24480 (cách) Ví dụ Có cách xếp người vào toa tàu cho trống toa? Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   Ta thực bước sau: Chọn toa toa để xếp người, ta có C74 cách chọn Chọn toa chọn người lên toa có C52 C41 cách chọn Xếp người vào toa cịn lại chọn, có 3! cách chọn Vậy số cách xếp thỏa mãn đầu là: C74 C52 C41 3!  8400 (cách) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tập A có n phần tử  n  *  , khẳng định sau sai? A Số hoán vị  n  1 phần tử Pn  1.2.3  n   n  1 n B Số chỉnh hợp chập k n phân tử Ank  C Số tổ hợp chập k n phần tử Cnk  n! với k  n, k  *  n  k ! n! với k  n, k   k ! n  k  ! D Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì Pn  Ann Câu 2: Một tổ gồm có bạn học sinh nam học sinh nữ Có cách chọn bạn ln có bạn nam nữ? A 120 (cách) B 126 (cách) C (cách) cho D 60 (cách) Câu 3: Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam 10 nữ, có cách chọn nhóm người cho có nam có nữ? A 12900 (cách) B 450 (cách) C 633600 (cách) D 15494 (cách) Câu 4: Có cách xếp bạn nam, bạn nữ cô giáo ngồi vào bàn trịn có chỗ cho cô giáo ngồi bạn nữ? A (cách) B 72 (cách) C 12 (cách) D 36 (cách) Câu 5: Một trường cấp có giáo viên toán gồm nữ nam, giáo viên vật lý có giáo viên nam Có cách chọn đồn tra có người có đủ hai mơn tốn lý vả có đủ giáo viên nam giáo viên nữ? A 90 (cách) B 60 (cách) C 12960 (cách) D 120 (cách) Câu 6: Một hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số từ tới 10 20 cầu xanh đánh số từ 11 tới 30 Lấy hai hộp Có cách lấy hai cầu có số chẵn? A 210 (cách) B 55 (cách) C 50 (cách) D 105 (cách) Câu 7: Cho hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu xanh, cầu đỏ Hộp thứ hai có chứa cầu xanh, cầu vàng Lấy hộp cầu Có cách lấy tổng cộng mà có đủ màu? A 981 (cách) B 2184 (cách) C 1944 (cách) D 630 (cách) Câu 8: Có cách chia quà khác cho người cho người có quà, người quà, người có quà? A 381024 (cách) B 30240 (cách) C 5040 (cách) D 7560 (cách) TOANMATH.com Trang 10   Nhận xét 2016      gồm 2015 dấu  cách Chọn dấu  2015 dấu  để hình thành số a, b, c có C2015 Suy có C2015 cách chọn số có tổng 2016 (tính hốn vị) Ta xét trường hợp: Trường hợp : a  b  c  672, có số Trường hợp 2: có số nhau, chẳng hạn a  b  c  2a  c  2016 Khi c chẵn c  1008  a  Vì a  nên c  2014 Do c  2; 4;6; ; 2014 \ 672 Vậy có 1006 cách chọn c Bộ a; a; c có hốn vị Vậy số cách chọn trường hợp 1006.3  3018 cách a  b  c   3018  2026086 số abc thỏa mãn  Vây có C2015  a  b  c  2016 Mỗi số a; b; c lập có 3!  cách hốn đổi vị trí Do số cách lập số a; b; c thỏa yêu cầu a  b  c 2026086  337681 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Từ chữ số 0,1, 2,3,5 lập số gồm chữ số khác không chia hết cho 5? A 72 B 120 C 54 D 69 Câu 2: Có số tự nhiên có sáu chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền chữ số ? A 249 B 1500 C 3204 D 2942 Câu 3: Có số tự nhiên nhỏ 1000 lập từ chữ số 0,1, 2,3, 4? A 125 B 120 C 100 D 69 Câu 4: Lập số tự nhiên có chữ số khác chọn từ tập A  1; 2;3; 4;5 cho số lập ln có mặt chữ số 3? A 72 B 36 C 32 D 48 Câu 5: Cho tập A  0;1; 2;3; 4;5; 6 từ tập A lập số tự nhiên có chữ số chia hết cho 2? A 1230 TOANMATH.com B 2880 C 1260 D 8232 Trang 17   Câu 6: Có số tự nhiên có chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền hai chữ số 3? A 3204 số B 249 số C 2942 số D 7440 số Câu 7: Có số có chữ số viết từ chữ số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 cho số chia hết cho 15? A 234 B 243 C 132 D 432 Câu 8: Từ chữ số 1; 2;3; 4;5;6 lập số tự nhiên chẵn có sáu chữ số thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số số khác chữ số hàng nghìn lớn 2? A 720 số B 360 số C 288 số D 240 số Câu 9: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số 5;6;7;8;9 Tính tổng tất số thuộc tập S A 9333420 B 46666200 C 9333240 D 46666240 Câu 10: Từ chữ số 2,3, lập số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần? A 1260 B 40320 C 120 D 1728 Dạng Các tốn liên quan đến hình học Phương pháp giải Một số kết thường gặp • Cho n điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng + Số đường thẳng qua điểm: Cn2  n  n  1 + Số vectơ nối hai điểm bất kì: n  + Số vectơ khác nối hai điểm bất kì: An2  n  n  1 + Số tam giác tạo thành: Cn3  n  n  1 n   + Nếu n điểm khơng có điểm đồng phẳng số tứ diện tạo thành: Cn4 • Cho đa giác lồi n đỉnh: + Số đường chéo đa giác: Cn2  n  n  n  3 + Số đường chéo qua đỉnh đa giác: n  + Nếu khơng có đường chéo đồng quy số giao điểm đường chéo Cn4  n  n  1 n   n  3 24 + Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác: Cn3  n  n  1 n   + Số tam giác có cạnh đa giác cạnh lại đường chéo: nCn1  n  n   + Số tam giác có cạnh đa giác cạnh lại đường chéo: n TOANMATH.com Trang 18   + Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác: Cn3  n  n  n    n  n  9n  20  + Số tam giác vuông: Khi n chẵn: số tam giác vuông n.C n2 Khi n lẻ: số tam giác vuông + Số tam giác tù: Khi n chẵn: số tam giác tù n.C n2 Khi n lẻ: số tam giác tù n.C n21 + Số tam giác nhọn = số tam giác - (số tam giác vuông + số tam giác tù)   Khi n chẵn: số tam giác nhọn Cn3  n  C n2  C n2   2  Khi n lẻ: số tam giác nhọn Cn3  n.C n21 Cho đa giác 2n đỉnh n  : + Số đường chéo xuyên qua tâm  n số hình chữ nhật: Cn2  n  n  1 + Số tam giác vuông:  2n   n MỘT SỐ KẾT QUẢ HAY GẶP VỀ TAM GIÁC Số đỉnh đa giác Số tam giác cân Số tam giác Số tam giác cân 6n 2n 6n  3n  1  2.2n 6n  3n  1  3.2n 6n   6n  1 3n  6n  1 3n 6n   6n   3n  6n   3n 6n  2n  6n   6n   3n  1  6n   3n  1 6n   6n  5 3n    6n  5 3n   không  6n  3 3n  1   2n  1  6n  3 3n  1   2n  1 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai đường thẳng song song d1 , d Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, d lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác mà ba đỉnh chọn từ 25 điểm nói trên? Hướng dẫn giải Số tam giác lập thuộc hai loại sau: TOANMATH.com Trang 19   Loại 1: Hai đỉnh thuộc d1 đỉnh thuộc vào d Số cách chọn hai điểm 10 điểm thuộc d1 C102 Số cách chọn điểm 15 điểm thuộc d C151 Loại có C102 C151 tam giác Loại 2: Một đỉnh thuộc d1 hai đỉnh thuộc d Số cách chọn điểm 10 điểm thuộc d1 C101 Số cách chọn hai điểm 15 điểm thuộc d C152 Loại có: C101 C152 tam giác Vậy có tất cả: C102 C151  C101 C152 tam giác thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Một đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh Hỏi đa giác có cạnh? Hướng dẫn giải Đa giác có n cạnh  n  , n  3 Số đường chéo đa giác là: Cn2  n Ta có: Cn2  n  2n  n  n!  3n  n  n  1  6n    n  (vì n ³ )  n  !.2! n  Vậy đa giác có cạnh Ví dụ Cho hai đường thẳng d1 d song song với Trên d1 có 10 điểm phân biệt, d2 có n điểm phân biệt  n   Biết có 1725 tam giác có đỉnh ba số điểm thuộc d1 d nói Tìm n Hướng dẫn giải Để tạo thành tam giác có hai khả năng: Lấy điểm thuộc d1 điểm thuộc d lấy điểm thuộc d1 điểm thuộc d Tổng số tam giác tạo thành là: S  C101 Cn2  C102 Cn1 Theo giả thiết có S  1725 Ta có phương trình C101 Cn2  C102 Cn1  1725  10 n! n!  45  1725 2!  n   !  n  1!  5n  n  1  45n  1725  5n  40n  1725   n  15   n  15 (vì n  )  n  23 Vậy n  15 TOANMATH.com Trang 20 ... Trang 11   Điều kiện: x  ,  x  12 C14x  C14x   2C14x ? ?1  14 ! 14 ! 14 !  2 x !? ?14  x  !  x   !? ?12  x  !  x  1? ??!? ?13  x ! Rút gọn hai vế đại lượng  14 ! ta được: x !? ?12  x  ! ? ?14 ... Tính chất: Cn0  Cnn  1; kCnk  nCnk? ?11 ; n! ;  n  k ! Cnk  Cnk? ?11  Cnk? ?1 ; Cnk  n  k  k ? ?1 Cn ; k 1 Cnk  Cnk? ?11 ;  k  1? ?? kCnk   n  1? ?? nCnk? ?11 k ? ?1 n ? ?1 Ví dụ mẫu Ví dụ Có số... đỉnh thuộc d Số cách chọn điểm 10 điểm thuộc d1 C1 01 Số cách chọn hai điểm 15 điểm thuộc d C152 Loại có: C1 01 C152 tam giác Vậy có tất cả: C102 C1 51  C1 01 C152 tam giác thỏa mãn yêu cầu toán