giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn

giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao nguyenxuan@hust edu vn 32 GIẢI TÍCH 2 BÀI 9 CHƯƠNG IV TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT A TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1 Tích phân đường loại 1 1 Đặt v[.]

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI CHƯƠNG IV TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT A TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1 Tích phân đường loại 1 Đặt vấn đề  Chia C thành n phần Định nghĩa f  x, y  xác định đường cong C  AB (không dẫm lên nhau) điểm A  A0, A1, , An  B  Gọi tên độ dài cung thứ i : A i 1Ai si, i  1, n  Lấy tuỳ ý Mi(xi ; yi)  A i 1Ai , lập tổng In  n  f Mi  si i 1 Nếu có lim In  I với cách chia C cách chọn điểm Mi ta gọi I tích n  phân đường loại hàm f(x, y) lấy đường cong C kí hiệu I  f  x, y  ds   C Ví dụ Tính  2ds, C: x  f  x, y  ds AB + y = 9, x  0, từ (0 ; 3) đến (0 ; 3) C Ví dụ Xét  C 1, x   D  x, y  ds , C:  x  1, y = 0, D  x, y    0, x  I Sự tồn Định lí f(x, y) liên tục đường cong trơn C tồn  f  x, y  ds C  Ý nghĩa học f(x, y) > mật độ khối lượng đường cong vật chất C có khối lượng đường cong m  f  x, y  ds  C Tính chất Có tính chất giống tích phân xác định trừ tính chất sau  f  x, y  ds   f  x, y  ds AB Cách tính Ta cần tính BA  f  x, y  ds C 32 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn b  f  x, y  ds   f  x, y  x  a) C : y = y(x), a  x  b, ta có C  y 2  x dx a Ví dụ Tính I   C Ví dụ Tính x 4y  1 nối điểm A  1;  với B(2 ; 2) ds , C : y   2 x  xy ds , C : |x| + |y| = a, a > C  b) C: x = x(t), y = y(t),   t  , có  f  x, y  ds   f  x t  ; y t  C Ví dụ Tính  xy ds , C : x x2  t   y 2  t dt  + y = R , x  0, y  C Ví dụ Tính   x  y  ds , C : x + y2 =ax C c) x = x(t), y = y(t), z = z(t),   t  , có   f  x, y, z  ds   f  x  t , y t , z t  C x 2  t   y 2  t   z2  t dt  Ví dụ Tính   x  y  ds, x  t, y  C Ví dụ Tính t , z  t 3,  t  ds  x  y  z2 , x = a cost, y = a sint, z = bt, t  C §2 Tích phân đường loại hai Đặt vấn đề    Định nghĩa Cho hàm vectơ F  M   P  M  i  Q  M  j xác định đường     , vectơ T  M   cos   M  i  sin   M  j vectơ cong C nối hai điểm A, B, C  AB  tiếp tuyến với C M, (M) = T , Ox  , tích phân đường loại hàm   f  x, y   F T  P  M  cos   M   Q  M  sin   M  đường C   I  F T ds  P  M  cos   M   Q  M  sin   M  ds  C  C  gọi tích phân đường loại hai hàm F  M  hay hàm P(M), Q(M) lấy C từ A đến B Ta có I  P  x, y  dx  Q  x, y  dy AB Tương tự, ta có tích phân đường loại hai hàm 33 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn      F  M   P  M  i  Q  M  j  R  M  k , M   I  P  x, y , z  dx  Q  x, y , z  dy  R  x, y , z  dz   C   P cos  Q cos   R cos   ds C  , ,  góc tiếp tuyến T với trục Ox, Oy, Oz  Ví dụ Tính xdx  e xy dy , C: y = 1, x :  C  sin x dx  dy , C : x = 2, y :  Ví dụ Xét C Sự tồn Định lí Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục đường cong trơn khúc C tồn  P  x, y  dx  Q  x, y  dy C Ý nghĩa học : Tính cơng lực di chuyển chất điểm dọc theo đường cong C Tính chất : Có tính chất giống tích phân xác định, chẳng hạn :  P dx  Q dy    Pdx  Qdy AB BA Cách tính a) Nếu C : y = y(x), x : a  b có b  Pdx  Qdy   P  x, y  x   Q  x, y  x   y   x  dx C a Ví dụ Tính  xydx   y  x  dy , C a) C : y = x2, x :  b) C : y = 0, x :  c) x = 1, y :  Ví dụ Tính  ABCDA dx  dy , ABCDA chu tuyến hình vng với đỉnh x y A(1 ; 0), B(0 ; 1), C(1 ; 0), D(0, 1) b) C: x = x(t), y = y(t), t:   , có   Pdx  Qdy   P  x  t , y  t  x  t   Q  x t , y t  y  t dt C  34 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Ví dụ Tính thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  xdx   x  y  dy , C : x = R cost, y = R sint, t :  2 C Ví dụ Tính C  x  y  dx   x  y  dy , C x2 x y  + y2 = a2 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Chú ý Tương tự có công thức C : x = x(t), y = y(t), z(t), t :    Công thức Green Định lí Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục với đạo hàm riêng cấp miền D compact, giới hạn đường cong kín, trơn khúc C, có  Pdx  Qdx   Qx  Py  dxdy C Ví dụ Tính D  1  x  ydx  1  y  xdy , C: x + y2 = R2 C Ví dụ Tính   xy  x  y  dx   xy  x  y  dy , C : x + y2 = ax C Điều kiện để tích phân khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Định lí (ĐL mệnh đề tương đương) Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục với đạo hàm riêng cấp miền D đơn liên bốn mệnh đề sau tương đương 1/ P Q  ,   x, y   D y x 2/  Pdx  Qdx  ,  L kín thuộc D L 3/  Pdx  Qdy phụ thuộc vào A, B mà không phụ thuộc vào đường nối A, B AB 4/ U  x, y  : du  Pdx  Qdy Chú ý :  dU  U  AB B  U (B )  U ( A ) A  ; 3 Ví dụ  xdy  ydx  1; 2 35 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1; 1 3   x y  3y   dx  3 x y  xy   dy Ví dụ Tính 0 ; 0 Ví dụ Tính x  ( x  y )2 [( x  2y )dx  2xydy ] , L L: y   x , từ A(1,0) đến B(0,1) Chú ý Tương tự mở rộng định lí cho đường cong không gian: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t :    HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 36 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... Ox  , tích phân đường loại hàm   f  x, y   F T  P  M  cos   M   Q  M  sin   M  đường C   I  F T ds  P  M  cos   M   Q  M  sin   M  ds  C  C  gọi tích phân... x, y  dx  Q  x, y  dy AB Tương tự, ta có tích phân đường loại hai hàm 33 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn    ... Tính   xy  x  y  dx   xy  x  y  dy , C : x + y2 = ax C Điều kiện để tích phân khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Định lí (ĐL mệnh đề tương đương) Các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục