giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn

giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao nguyenxuan@mail hust edu vn 10 GIẢI TÍCH 2 BÀI 3 § 2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số 2 1 Định nghĩa Cho K(x, t) liên tục trê[.]

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI § Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm số 2.1 Định nghĩa Cho K(x, t) liên tục hình chữ nhật D: a  t  b, c  x  d, hàm (x), (x)  x liên tục [c ; d] thoả mãn a  (x)  b, a  (x)  b, ta gọi I  x     K  x, t  dt  x tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm số 2.2 Tính liên tục, khả vi Định lí Cho K(x, t) liên tục hình chữ nhật D: a  t  b, c  x  d, hàm (x), (x) liên tục [c ; d] thoả mãn a  (x), (x)  b, ta có 1/ I(x) liên tục [c ; d]  K  x, t  liên tục D, hàm  ( x ),  ( x ) khả vi , có I(x) khả 2/ Nếu thêm x vi [c ; d] có  x I  x    x  K  x, t  dt     x  K  x,   x       x  K  x,   x    x  1 x Ví dụ Cho I ( x )   dt  t  x3 x cos y Ví dụ Xét tính khả vi tính đạo hàm I ( x )   e yx dx sin y § Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3.1 Hội tụ  Định nghĩa Ta gọi I  x    K  x, t  dt tích phân phụ thuộc tham số x a hội tụ với x  [c ; d] b Tương tự xét   K  x, t  dt,  K  x, t  dt   Định nghĩa I(x) gọi hội tụ [c ; d ]   > 0,  N() > 0,  b  > N(),  x  [c ; d]   K  x, t  dt   b 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn 3.2 Tiêu chuẩn Cauchy  Định lí (tiêu chuẩn Cauchy) I  x   K  x, t  dt hội tụ [c ; d]   b0 để có  b2  K  x, t  dt   ,  b1, b2  b0,  x  c ; d  b1 3.3 Dấu hiệu Weierstrass Cho:  K  x, t   F  t  ,  x  c ; d ,  t  b  a , F(t)  khả tích    F  t  dt hội tụ a  Khi  K  x, t  dt hội tụ tuyệt đối [c ; d] a  Ví dụ CMR sintx  a2  t dt hội tụ R  Ví dụ Xét tính hội tụ e x t x dt , a  0, t  [0, a]  Ví dụ Chứng minh  e  yx dx hội tụ (t0;  ), t0  3.4 Tiêu chuẩn Dirichlet Cho b   K  x, t  dt  C0 ,  b > a,  x  [c ; d],  C0 > a  (x, t) hội tụ theo x đến khi t   đơn điệu theo t với x cố định thuộc [c ; d]  Khi  K  x, t   t, x  dt hội tụ [c ; d] a  Ví dụ Xét tính hội tụ  sin xt dt , x  [x0 ; +), x0 > t 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  Ví dụ CMR  e  tx thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn sin x dx , t  x 3.5 Tiêu chuẩn Abel Giả thiết rằng:  1/  K  x, t  dt hội tụ [c ; d] a 2/   x, t   C0 ,  C0 > 0,  t  a,  x  [c ; d], với x cố định ta có hàm (x, t) đơn điệu theo t  Khi ta có  K  x, t   t, x  dt hội tụ [c ; d] a  Ví dụ Xét tính hội tụ  e  tx x2  t dt , x  [x0 ; +), x0 > HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 12 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ...PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn 3.2 Tiêu chuẩn Cauchy  Định lí (tiêu chuẩn Cauchy) I... 3.3 Dấu hiệu Weierstrass Cho:  K  x, t   F  t  ,  x  c ; d ,  t  b  a , F(t)  khả tích    F  t  dt hội tụ a  Khi  K  x, t  dt hội tụ tuyệt đối [c ; d] a  Ví dụ CMR sintx... , x  [x0 ; +), x0 > t 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  Ví dụ CMR  e  tx thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn sin x dx , t  x 3.5 Tiêu chuẩn