giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn

giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao nguyenxuan@mail hust edu vn 28 GIẢI TÍCH 2 BÀI 8 B TÍCH PHÂN BA LỚP (TT) 3 10 Cách tính Gặp nhiều khó khăn trong việc tính tích phân ba lớ[.]

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI B TÍCH PHÂN BA LỚP (TT) 3.10 Cách tính Gặp nhiều khó khăn việc tính tích phân ba lớp định nghĩa Giải pháp hợp lí dựa vào kĩ thuật tính tích phân hai lớp tích phân lớp a) Tích phân ba lớp hình hộp chữ nhật Định lí Fubini Cho f khả tích hình hộp chữ nhật đóng P = [a, a][b, b][c, c] 1/ Với (x, y)    a, a  b, b , hàm số z  f  x, y , z  khả tích đoạn [c, c c] hàm số   x, y   f  x, y , z  dz khả tích  có  c c  f  x, y, z  dx dy dz     x, y  dx dy   dx dy  f  x, y, z  dz P R R (10.1) c  x, y   f  x, y , z  R = [a, a][b, b] hàm số   z    f  x, y , z  dx dy 2/ Với z  [c, c], hàm số khả tích hình chữ nhật khả tích [c, c] R c c  f  x, y, z  dx dy, dz    z  dz   dz  f  x, y, z  dx dy P c c (10.2) R b) Cho hàm f liên tục hình hộp chữ nhật đóng P, ta có cơng thức c (10.1) (10.2), hàm số  x, y     x, y    f  x, y , z  dz liên tục c hình chữ nhật R = [a, a][b, b], nên ta có a b c  f  x, y, z  dx dy dz   dx  dy  f  x, y, z  dz P a b c c) Cho tập D đo theo Jordan  , hàm số 1, 2: D   khả tích D 1(x, y)  2(x, y),  (x1, x2)  D, B = {(x, y, z)   : (x, y)  D, 1(x, y)  z  2(x, y)} (vật thể hình trụ) Định lí (Fubini) Cho hàm f : B   khả tích B Với (x, y)  D, hàm số z  f  x, y , z  khả tích đoạn [1(x, y), 2(x, y)] hàm số 2  x , y    x, y    f  x, y , z  dz 1 x, y  khả tích D có 28 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn 2  x , y   f  x, y, z  dx dy dz    x, y  dx dy    B f  x, y , z  dzdx dy D 1 x, y  D d) Cho tập hợp D đo  , hàm số 1, 2 liên tục, bị chặn D, hàm f : B   liên tục, bị chặn B định lí Fubini nói e) Cho B tập đo theo Jordan  , giới hạn z = c z = c z  [c, c], tiết diện thẳng B cắt mặt phẳng Z = z tập đo theo Jordan  , gọi Bz hình chiếu tiết diện lên mặt phẳng Oxy Định lí (Fubini) Cho hàm f : B   khả tích B Nếu z  [c, c], hàm số  x, y   f  x, y , z  khả tích Bz hàm số   z   f  x, y , z  dx dy khả tích  Bz c [c, c] có c  f  x, y, z  dx dy dz     z  dz   dz  f  x, y, z  dx dy B c c Bz Nói riêng, Định lí với hàm số f liên tục bị chặn B Ví dụ Tính  x dx dy dz , B: x + y + z  1, x  0, y  0, z  B Ví dụ Tính dx dy dz   x  y  z  13 V ( ) 24 , V : x + y + z  1, x  0, y  0, z  ( ln  ) 16 3.11 Đổi biến tích phân ba lớp a) Đổi biến Định lí Cho  tập mở   , tập compact, đo B  , ánh xạ :    xác định (u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), 1/ Các hàm x, y, z :    thuộc lớp C1  2/ Thu hẹp  IntB đơn ánh D  x, y , z  3/ Định thức Jacobi J(u, v, w) =  ,  (u, v, w)  Int B D  u, v , w  Khi ta có 1/ (B) tập compact đo 2/ Nếu f : (B)   liên tục (B) f  x, y , z  dx dy dz   f  x  u, v , w  , y  u, v , w  , z  u, v , w   J u, v , w  du dv dw     B B b) Toạ độ trụ Cho ánh xạ :    ,  r ,  , z    r cos  , r sin , z  Rõ ràng có x = r cos, y = r sin, z = z thuộc lớp C  , 29 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn cos  J  r , , z   sin  r sin  r cos   r 0 Với   , thu hẹp  lên tập hợp A = (0 ; )[,  + 2]   song ánh từ A lên  bỏ trục Oz, nên có J(r, , z)  A Thu hẹp  tập mở  = (0 ; )(,  + 2)   song ánh từ  lên tập mở V =  \ P , P nửa mặt phẳng đóng có bờ trục Oz cắt mặt phẳng Oxy theo nửa đường thẳng tạo với trục Ox góc  Khi B tập compact đo cho IntB  ,  thu hẹp  IntB đơn ánh J(r, , z)  IntB Khi ta có f  x, y , z  dx dy dz   f  x  r , , z  , y  r , , z  , z  r , , z   r dr d  dz     B B Ví dụ Tính z dx dy dz   x  y , B: x2 + y2  a2,  z  h, a > 0, h > B Ví dụ Tính  B Ví dụ Tính z x2  y dx dy dz , B: 2az  x2 + y2, x2 + y2 + z2  3a2  z dx dy dz , B : z B Ví dụ Tính (  h2 ln 1  a  ) 2  dx dy dz , B : x  h2 R2 x y , z  h  ( 32 a ) 15  h2R ( ) + y2 + z2 = 2Rz, x2 + y2  z2 chứa (0 ; ; R) B Ví dụ Tính  z x  y dx dy dz , B : y  x  x , y  0, z  0, z  a  B c) Toạ độ cầu Cho ánh xạ  :    ,  r , ,     r sin cos , r sin sin, r cos  rõ ràng hàm số x, y, z  C  , có sin cos  r sin sin  r cos cos  J  r , ,    sin sin  cos    Oz, OM ,    Ox, OM   r sin cos  r cos sin  r sin , r sin Với    , thu hẹp  tập hợp A = (0 ; )[,  + 2)(0, r) song ánh từ A lên  bỏ trục Oz, có J(r, , )  A Thu hẹp  tập mở  = (0 ; )(,  + 2)  song ánh lên tập hợp mở V   \ P , P nửa mặt phẳng đóng có bờ trục Oz, cắt mặt phẳng Oxy theo nửa đường thẳng tạo với trục Ox góc  Khi B tập compact, đo cho IntB  ,  thu hẹp  30 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn IntB đơn ánh J(r, , )  IntB, có f  x, y , z  dx dy dz   f  x  r , , z  , y  r , , z  , z  r , , z   r     B Ví dụ sin  dr d  dz B  dx dy dz, B Ví dụ 2   x B: x2 a2   y  dx dy dz, y2 b2  z2 c2 1 B : x  y  z2  R B Ví dụ 2  x y z dx dy dz, B : B Ví dụ  x2 a2  y2 b2  z2 c2 1 x  y  z2 dx dy dz, B : x  y  z  x B HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 31 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... Oxy Định lí (Fubini) Cho hàm f : B   khả tích B Nếu z  [c, c], hàm số  x, y   f  x, y , z  khả tích Bz hàm số   z   f  x, y , z  dx dy khả tích  Bz c [c, c] có c  f  x, y,...PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn 2  x , y   f  x, y, z  dx dy dz    x, y...   x  y  z  13 V ( ) 24 , V : x + y + z  1, x  0, y  0, z  ( ln  ) 16 3.11 Đổi biến tích phân ba lớp a) Đổi biến Định lí Cho  tập mở   , tập compact, đo B  , ánh xạ :    xác