giai-tich-1_bui-xuan-dieu_bai-giang-giai-tich-1-bui-xuan-dieu-vien-toan-ung-dung-tin-hoc-bkhn - [cuuduongthancong.com]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH I (lưu hành nội bộ) HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội- 2009 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC Mục lục LỤC Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) Sơ lược yếu tố Lôgic; tập số: N, Z, Q, R Trị tuyệt đối tính chất Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuầ 3.1 Bài tập Dãy số 10 4.1 Bài tập 11 Giới hạn hàm số 14 Vô lớn, vô bé 15 6.1 Vô bé (VCB) 15 6.2 Vô lớn (VCL) 16 6.3 Bài tập 16 Hàm số liên tục 18 7.1 Bài tập 20 Đạo hàm vi phân 22 8.1 Bài tập 24 Các định lý hàm khả vi ứng dụng 28 9.1 Các định lý hàm khả vi 28 9.2 Qui tắc L’Hospital 28 10 Các lược đồ khảo sát hàm số 33 10.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) 33 10.2 Khảo sát vẽ đường cong cho dạng tham số 34 10.3 Khảo sát vẽ đường cong hệ toạ độ cực 35 10.4 Bài tập 35 Chương Phép tính tích phân biến số 37 Tích phân bất định CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 37 MỤC LỤC 1.1 Nguyên hàm hàm số 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 1.4 Tích phân hàm lượng giác 1.5 Tích phân biểu thức vô tỷ Tích phân xác định 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích 2.3 Các tính chất tích phân xác định 2.4 Tích phân với cận thay đổi (hàm tích phân) 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 2.6 Hệ thống tập Các ứng dụng tích phân xác định 3.1 Tính diện tích hình phằng 3.2 Tính độ dài đường cong phẳng 3.3 Tính thể tích vật thể 3.4 Tính diện tích mặt trịn xoay Tích phân suy rộng 4.1 Tích phân suy rộng với cận vơ hạn 4.2 Tích phân suy rộng hàm số không bị chặn 4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ 4.5 Bài tập Chương Hàm số nhiều biến số Giới hạn hàm số nhiều biến số 1.1 Giới hạn hàm số nhiều biến số 1.2 Tính liên tục hàm số nhiều biến số 1.3 Bài tập Đạo hàm vi phân 2.1 Đạo hàm riêng 2.2 Vi phân toàn phần 2.3 Đạo hàm hàm số hợp 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm hàm số ẩn 2.7 Bài tập Cực trị hàm số nhiều biến số 3.1 Cực trị tự 37 39 43 45 47 49 49 49 50 51 51 52 59 59 62 63 65 67 67 69 70 71 72 79 79 79 80 80 81 81 82 82 83 84 85 85 92 92 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC LỤC 3.2 3.3 Cực trị có điều kiện Giá trị lớn - Giá trị nhỏ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 94 97 MỤC LỤC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ (13LT+13BT) §1 S Ơ LƯỢC VỀ CÁC YẾU TỐ L ÔGIC; CÁC TẬP SỐ : N, Z, Q, R Phần Lôgic không dạy trực tiếp (phần Đại số dạy) mà nhắc lại phép suy luận thông qua giảng nội dung khác thấy cần thiết Giới thiệu tập số; cần nói rõ tập Q rộng Z chưa lấp đầy trục số tập R lấp đầy trục số chứa tất giới hạn dãy số hội tụ, ta có bao hàm thức N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R §2 T RỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT Nhắc lại định nghĩa nêu tính chất sau • | x | ≥ 0, | x | = ⇐⇒ x = 0, | x + y| ≤ | x | + |y|; • | x − y| ≥ || x | − |y|| , | x | ≥ A ⇐⇒ x ≥ A x ≤ − A • | x | ≤ B ⇐⇒ − B ≤ x ≤ B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) §3 Đ ỊNH NGHĨA HÀM SỐ , TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ VÀ CÁC KHÁI NIỆM : HÀM CHẴN , HÀM LẺ , HÀM TUẦN HOÀN , HÀM HỢP, HÀM NGƯỢC Định nghĩa hàm số: Nhắc lại định nghĩa phổ thông Chú ý viết dạng ánh xạ f : X → R tập xác định rõ X cịn biểu thức f (dưới dạng biểu thức giải tích) chưa rõ, khơng tìm biểu thức Còn hàm số cho dạng biểu thức giải tích cần phải xác định rõ miền xác định hàm số Trong chương trình tập trung vào cách cho hàm số dạng hay nhiều biểu thức giải tích Một số hàm Dirichlet, dấu, phần nguyên nêu dạng ví dụ hay thể qua phần dạy khác Tập giá trị hàm số: Hàm số đơn điệu Hàm số bị chặn (chặn trên, chặn dưới, bị chặn) Hàm chẵn, hàm lẻ (tính chất đồ thị kết f ( x ) = hàm chẵn + hàm lẻ) Hàm tuần hồn: Nêu qua định nghĩa, ví dụ hàm số lượng giác Trong phạm vi chương trình chủ yếu xem có số T 6= 0(T > 0) thỏa mãn f ( x + T ) = f ( x ) mà không sâu vào việc tìm chu kỳ (số T > bé nhất) Hàm hợp: định nghĩa ví dụ Hàm ngược: (a) Định nghĩa (b) Mối quan hệ đồ thị hai hàm (c) Định lý điều kiện đủ để tồn hàm ngược, (tăng hay giảm) (d) Trên sở định lý xây dựng hàm số lượng giác ngược vẽ đồ thị chúng Ở phổ thông học sinh biết y = ax , y = loga x hàm ngược Hàm số sơ cấp CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược (a) Nêu hàm số sơ cấp bản: y = x α , y = ax , y = loga x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x (b) Định nghĩa hàm số sơ cấp: Nêu ví dụ lớp hàm sơ cấp: đa thức, phân thức hữu tỷ, hyperbolic 3.1 Bài tập Bài tập 1.1 Tìm TXĐ hàm số q a) y = lg(tan x ) √ x c) y = sin πx b) y = arcsin 2x 1+x d) y = arccos(2 sin x ) Lời giải a TXĐ = {π/4 + kπ ≤ x ≤ π/2 + kπ, k ∈ Z } b TXĐ = {−1/3 ≤ x ≤ 1} π π c TXĐ = { x ≥ 0, x 6∈ Z } d TXĐ = {− + kπ ≤ x ≤ + kπ, k ∈ Z } 6 Bài tập 1.2 Tìm miền giá trị hàm số  x a y = lg(1 − cos x ) b y = arcsin lg 10 Lời giải a MGT = {−∞ ≤ y ≤ lg 3} Bài  tập 1.3  Tìm f ( x ) biết 1 a f x + = x2 + x x Lời giải a ĐS : f ( x ) = x2 b MGT = {−π/2 ≤ y ≤ π/2} b f  x 1+x − với | x | ≥  = x2 b ĐS: f ( x ) =  x 1−x 2 ∀ x 6= Bài tập 1.4 Tìm hàm ngược hàm số (trên miền mà hàm số có hàm ngược) a y = 2x + Lời giải a) ĐS : y = b) ĐS : y = y = b y = 1−x 1+x c y = x (e + e − x ) x− 2 1−x 1+x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) c) Ta có y0 = miền: x (e − e− x ) nên hàm số cho không đơn ánh Ta phải xét 2 p p Trên miền x ≥ 0, từ y = (e x + e− x )⇒ e x = y ± y2 − 1⇒ x = ln(y + y2 − 1) Ta có song ánh: ln(y + [0, +∞) → [1, +∞) x 7→ y = (e x + e − x ) q y2 − 1) ← y Vậy hàm ngược miền x ≥ y = ln( x + √ x2 − 1), x ≥ √ Trên miền x ≤ 0, tương tự ta có hàm ngược y = ln( x − x2 − 1), x ≤ Bài tập 1.5 Xét tính chẵn lẻ hàm số a f ( x ) = ax + a− x (a > 0) √ b f ( x ) = ln( x + − x2 ) c f ( x ) = sin x + cos x Lời giải a ĐS: hàm số cho hàm số chẵn b ĐS: hàm số cho hàm số lẻ c ĐS: hàm số cho không chẵn, khơng lẻ Bài tập 1.6 Chứng minh hàm số f ( x ) xác định khoảng đối xứng (− a, a) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ Lời giải Với f ( x ) ta ln có f (x) = 1 [ f ( x ) + f (− x )] + [ f ( x ) − f (− x )] |2 {z } |2 {z } g( x ) h( x ) g( x ) hàm số chẵn, h( x ) hàm số lẻ Bài tập 1.7 Xét tính tuần hồn chu kì hàm số sau (nếu có) a f ( x ) = A cos λx + B sin λx CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược 1 b f ( x ) = sin x + sin 2x + sin 3x c f ( x ) = sin2 x d f ( x ) = sin( x2 ) Lời giải a) Giả sử T > chu kì hàm số cho Khi f ( x + T ) = f ( x )∀ x ∈ R ⇔ A cos λ( x + T ) + B sin λ( x + T ) = A cos λx + B sin λx ∀ x ∈ R ⇔ A[cos λx − cos λ( x + T )] + B[sin λx − sin λ( x + T )] = ∀ x ∈ R −λT λT λT ⇔2 sin [ A sin(λx + ) + B cos(λx + )] = ∀ x ∈ R 2 λT =0 ⇔ sin ... hàm hàm số hợp 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm hàm số ẩn 2.7 Bài tập Cực trị hàm số nhiều biến số... MỤC LỤC 3.2 3.3 Cực trị có điều kiện Giá trị lớn - Giá trị nhỏ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 94 97 MỤC... Ví dụ: Các hàm số lượng giác ngược liên tục tập xác định chúng Sự liên tục hàm hợp Suy kết quả: X-khoảng, đoạn, nửa đoạn Mọi hàm số sơ cấp xác định X liên tục X Các định lý hàm liên tục Định lý