giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn

giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao nguyenxuan@mail hust edu vn 21 GIẢI TÍCH 2 BÀI 6 A TÍCH PHÂN HAI LỚP (TÍCH PHÂN KÉP) (TT) 3 4 Đưa tích phân hai lớp về tích phân lặp a) Đị[.]

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI A TÍCH PHÂN HAI LỚP (TÍCH PHÂN KÉP) (TT) 3.4 Đưa tích phân hai lớp tích phân lặp a) Định lí Fubini hình chữ nhật f khả tích hình chữ nhật R  a ; b    c ; d  d d  f  x, y  dy 1/ Nếu tồn với x cố định  [a ; b]    x   f  x, y  dy khả tích  c c b d  [a ; b] có R  f  x, y  dx dy   f  x, y  dy  dx   a c   b 2/  (4.1) b  f  x, y  dx , với y cố định thuộc [c ; d]    y    f  x, y  dx khả tích [c ; d] a a d b   có f  x, y  dx dy  (4.2) f  x, y  dx  dy   R c a  Nói riêng, có f liên tục R ta có đồng thời (4.1), (4.2)  Ví dụ    x  y  dx dy , R = [0 ; 1][0 ; 2] R Ví dụ  R x 2dx dy 1 y , R = [0 ; 1][0 ; 1] b) Định lí Fubini tập hợp bị chặn 1/ 1, 2 khả tích [a ; b], 1(x)  2(x), x  [a ; b], D = {(x ; y): a  x  b, 1(x)  y  2(x)} 2  x  f khả tích D,    f  x, y  dy , x cố định thuộc [a ; b] 1 x 2  x  Khi đó,   x     f  x, y  dy khả tích [a ; b] có 1 x b 2  x   f  x, y  dx dy   dx   f  x, y  dy D a (4.3) 1 x Nói riêng, 1, 2 liên tục [a ; b], f liên tục D 2/ 1, 2 khả tích [c ; d], 1(y)  2(y), y  [c ; d], 21 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn D = {(x ; y): c  y  d, 1(y)  x  2(y)} 2 y  f khả tích D  f  x, y  dx ,  y cố định thuộc [c ; d]   1 y  2y  Khi   y    f  x, y  dx khả tích [c ; d] có  1 y  2 y  d  f  x, y  dx dy   dy  D f  x, y  dx (4.4)  1 y  c Nói riêng, 1, 2 liên tục [c ; d], f liên tục D Ví dụ   x  y  dx dy , D: y2 = x, y = x2 D Ví dụ  x  y dx dy , D: x = 1, y = 0, y = x D Ví dụ  cos  x  y  dx dy , D: [0 ; ]  [0 ; ] D Ví dụ  y  x dx dy , D: [1 ; 1]  [0 ; 2] D Ví dụ Đổi thứ tự tính tích phân  dy  Ví dụ Tính 3 y f ( x, y )dx 2y 2 dy e  x dx   y 3.5 Đổi biến tích phân lớp a) Đổi biến Định lí Tập mở U   , D tập đo được, compact U, ánh xạ : U   , (u, v)  (x(u, v), y(u, v)),  x, y khả vi liên tục  |D  đơn ánh  Định thức Jacobi J  u, v   D  x, y   D D  u, v  Khi  (D) tập compact đo 22 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn  Nếu f : (D)  R liên tục (D) có   f  x, y  dx dy   f  x u, v , y u, v  J u, v  du dv  D D   x sin  x  y  dx dy , D :  x  ,  y  x Ví dụ Tính D    x  y  Ví dụ Tính dx dy , D:  x  1, x  y  x D  Ví dụ Tính D  x  y  0, y  1 arcsin x  ydx dy , D :    x  y  1, y    dx dy , D: y = x, y = 4x, xy = 1, xy = Ví dụ Tính D b) Đổi biến toạ độ cực Cho ánh xạ  :    2,  , r    x, y  , x = r cos, y = r sin Ta có J  , r   D  x, y  r sin  D  , r  r cos cos   r sin Dễ thấy  không song ánh, nhiên thu hẹp  A = ( ;  + 2)  (0 ; +),    song ánh từ A   \  ;  Nếu D tập compact đo cho IntD  U,    thu hẹp  IntD đơn ánh J(, r)  IntD Khi với hàm số liên tục tuỳ ý f : (D)   ta ln có   f  x, y  dx dy   f  r cos , r sin  r dr d  D Ví dụ I   e x D y dx dy , D: x2 + y2  D Ví dụ I   sin x  y dx dy , D: 2  x2 + y2  42 D Ví dụ I   D Ví dụ I   D Ví dụ I   D 1 x2 a2  y2 b2 1 x  y 2 1 x  y dx dy , D : x2  a2 y2 b2  dx dy , D : {x2 + y2  1, x  0, y  0} x2  y   x2  y  x2  y2  dx dy , D : c) Tích phân hai lớp tập đối xứng Cho D = D1  D2, D2 = S (D1), tập D1, D2 đo |D1  D2| = 0, S phép 23 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn đối xứng 1/ Nếu f(S (x, y)) = f(x, y),  (x, y)  D có  f  x, y  dx dy  2 f  x, y  dx dy D 2/ Nếu f(S (x, y)) = f(x, y) có D1  f  x, y  dx dy  D Ví dụ Tính I  x y 2   , x  y dx dy D :  1 2  D a b x2 y2 Ví dụ Tính I   x y  dx dy , D : D a2  b2 1 3.6 Tính thể tích vật thể B  x, y, z   3, 1  x, y   z  2  x, y ,  x, y   D  2  x, y   1  x, y  dxdy V = |B| = D Ví dụ Tính thể tích vật thể x y z2 a) ellipxoit    a b c +) V  2c  D 1 x2 a2  y2 b2 dxdy +) x  ar cos , y  br sin   V   abc b) y  x , y  x , x  z  6, z  ( 48 ) c) 2az  x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 3a2 d) z = xy, x2 = y, x2 = 2y, y2 = x, y2 = 2x, z = e) x2 + y2 = a2, x2 + z2 = a2 f) z = x + y, (x2 + y2)2 = 2xy, (x  0, y  0), z = HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ...PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn D = {(x ; y): c  y  d, 1(y)  x  2(y)} 2 y  f khả tích D  f  x, y  dx ,  y cố định thuộc [c... dx dy , D: [1 ; 1]  [0 ; 2] D Ví dụ Đổi thứ tự tính tích phân  dy  Ví dụ Tính 3 y f ( x, y )dx 2y 2 dy e  x dx   y 3.5 Đổi biến tích phân lớp a) Đổi biến Định lí Tập mở U   , D tập... dy , D : c) Tích phân hai lớp tập đối xứng Cho D = D1  D2, D2 = S (D1), tập D1, D2 đo |D1  D2| = 0, S phép 23 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn