giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn

giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn 2/9/20142/9/20142/9/20142/9/2014PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao nguyenxuan@mail hust edu vn 13 GIẢI TÍCH 2 BÀI 4 § 3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số (TT) 3 6 Tích ph[.]

2/9/20142/9/20142/9/20142/9/2014PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI § Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số (TT) 3.6 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số khác 3.6.1 Tính tich phân Dirichlet  a) Định nghĩa I  y    sin  yx  dx, y   x sin  yx  xác định    , f  0, y   y x b) Các tính chất hàm f  x, y   1/ I  y  hội tụ [ ; ], với    > (hoặc    < 0)  2/ I  y   sign y 3.7 Tính liên tục  Bổ đề Cho I  y   f  x, y  dx hội tụ tập U dãy số {an} thoả mãn  a an lim an   , an > a,  n Khi dãy hàm n  y   n   f  x, y  dx hội tụ hàm a số I(y) U  Định lí Cho hàm f liên tục [a, )  [ ; ] tích phân I  y   f  x, y  dx hội  a tụ [ ; ] Khi hàm I(y) liên tục [ ; ]  Hệ f liên tục dương miền [a ; )  [ ; ], tích phân  f  x, y  dx hội tụ a tới hàm liên tục I(y) [ ; ] Khi ta có tích phân hội tụ 3.8 Tính khả vi Định lí Giả thiết 1/ Hàm f liên tục có đạo hàm riêng fy liên tục miền [a ; )  [ ; ]  2/ Tích phân I  y   f  x, y  dx hội tụ [ ; ]  a  3/ Tích phân  f   x, y  dx hội tụ [ ; ] a 13 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2/9/20142/9/20142/9/20142/9/2014PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn  Khi hàm I(y) khả vi [ ; ] đạo hàm tính theo cơng thức I   y   fy  x, y  dx  a 3.9 Tính khả tích Định lí Cho 1/ Hàm f liên tục miền [a ; )  [ ; ]  2/ Tích phân I  y   f  x, y  dx hội tụ [ ; ]  a  Khi I(y) khả tích [ ; ] có     dy  f  x, y  dx   dx  f  x, y  dy a  a  Hệ Cho 1/ f liên tục, dương miền [a ; )  [ ; )   2/ Các tích phân J  x   f  x, y  dy , I  y   f  x, y  dx hội tụ tới hàm liên tục   a   Khi tích phân sau tồn     dx  f  x, y  dy ,  dy  f  x, y  dx a   a tích phân cịn lại tồn chúng 3.10 Một số ví dụ  a) Xét tồn tại, khả vi hàm f  x   t  1e t eixt dt   b) Tính   d) Tính 2  e ax  e bx dx, a, b  x arctan ax  x(1  x ) c) Tính  eax  e bx sin mx dx, a, b  x  e ax cos mx dx, a  0  dx, a  e) Tính § Các tích phân Euler 4.1 Tích phân Euler loại a) Định nghĩa Tích phân Euler loại (hay gọi hàm Beta) tích phân phụ thuộc q 1 hai tham số dạng B  p, q   x p 1 1  x   dx, p  0, q  0 b) Tính chất 1/ B(p, q) hội tụ với p > 0, q > 2/ B(p, q) hội tụ miền [p0 ; p1]  [q0 ; q1], p1 > p0 > 0, q1 > q0 > 14 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2/9/20142/9/20142/9/20142/9/2014PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn 3/ Hàm B(p, q) liên tục 4/ Hàm Beta có tính đối xứng 5/ Cơng thức truy hồi: B  p  1, q  1  Nói riêng B(1, 1) = 1, B(p + 1, 1) = q p B  p  1, q   B  p, q  1 p  q 1 p  q 1 p 1 n! n! B  p  1,1   p  n  p  n  1 p    p  n  p  n  1  p  1  n  1!  m  1!  n  1 !  m  1 ! B  m, n   B 1, 1   m  n  1!  m  n  1 ! B  p  1, n   4.2 Tích phân Euler loại a) Định nghĩa Tích phân Euler loại (hay cịn gọi hàm Gamma) tích phân  phụ thuộc tham số có dạng   p   x p 1e x dx, p   b) Tính chất 1/ (p) hội tụ với p > 0, hội tụ miền [p0 ; p1] với p1 > p0 > 2/ (p) liên tục 3/ Công thức truy hồi  ( x  1)  x ( x ), x  (n + p) = (n + p  1)(n + p  2) p (p) Nói riêng (1) = 1; (n + 1) = n!;     e x  1   dx  e z dz   2 x 4/ Liên hệ với B(p, q): B  p, q     p   q    p  q 4.3 Một số ví dụ tính tích phân nhờ hàm Gamma Beta  Ví dụ Tính e t  t  x  t x 1 ln t dt  Ví dụ Tính  ( x) x meax dx , a>0  sin Ví dụ Tính   m  1   ) m 1   2a  /2 Ví dụ Tính ( p 1  cos2q 1 d , p, q > 1  x 2 p 1 1  x 2q 1 1  x  1 p q dx , p, q > ( B  q, p  ) ( p  q 2 B  p, q  ) HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 15 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ...  e ax cos mx dx, a  0  dx, a  e) Tính § Các tích phân Euler 4.1 Tích phân Euler loại a) Định nghĩa Tích phân Euler loại (hay gọi hàm Beta) tích phân phụ thuộc q 1 hai tham số dạng B  p,... 2/ Các tích phân J  x   f  x, y  dy , I  y   f  x, y  dx hội tụ tới hàm liên tục   a   Khi tích phân sau tồn     dx  f  x, y  dy ,  dy  f  x, y  dx a   a tích phân... 1   m  n  1!  m  n  1 ! B  p  1, n   4.2 Tích phân Euler loại a) Định nghĩa Tích phân Euler loại (hay cịn gọi hàm Gamma) tích phân  phụ thuộc tham số có dạng   p   x p 1e