giải tích 2,bùi xuân thảo,dhbkhn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao nguyenxuan@mail hust edu vn 16 GIẢI TÍCH 2 BÀI 5 CHƯƠNG III TÍCH PHÂN BỘI A TÍCH PHÂN HAI LỚP (TÍCH PHÂN KÉP) 3 0 Tính thể tích bằng tích[.]
PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn GIẢI TÍCH BÀI CHƯƠNG III TÍCH PHÂN BỘI A TÍCH PHÂN HAI LỚP (TÍCH PHÂN KÉP) 3.0 Tính thể tích tích phân lặp b Đã biết cơng thức tính thể tích vật thể Giải tích I: V S x dx (0.1) a Diện tích tiết diện thẳng S(x) tính sau: y2 x S x f x, y dy (0.2) y1 x Thay (0.2) vào (0.1) ta có y2 ( x ) b y2 x b V f x, y dy dx dx f ( x, y )dy a y1 x a y1( x ) 1 x Ví dụ Tính tích phân lặp I 2ydy dx x2 Ví dụ Sử dụng tích phân lặp tính thể tích tứ diện giới hạn mặt phẳng toạ độ mặt phẳng x + y + z = 3.1 Tích phân hai lớp hình chữ nhật đóng 3.1.1 Định nghĩa a) Phân hoạch chia hình chữ nhật R = [a ; b] [c ; d] thành hữu hạn hình chữ n nhật đóng, đơi khơng có phần chung có R Ri , i 1 Ri diện tích hình chữ nhật thứ i, |R| diện tích hình chữ nhật R; di đường chéo hình chữ nhật Ri, d() = max di i 1,n b) Tổng tích phân n = (f, , p1, , pn) = f i , i Ri , pi i , i , i 1 Hàm f(x,y) xác định bị chặn R c) Các tổng Đacbu n Tổng Đacbu dưới: s mi Ri i 1 16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn n Tổng Đacbu trên: S Mi Ri , i 1 mi inf f x, y , Mi sup f x, y , Ri Ri có m|R| s() (f, , p1, , pn) S() M|R| d) Tổng không tăng, tổng không giảm Ta bảo phân hoạch mịn hình chữ nhật phân hoạch ln nằm hình chữ nhật phân hoạch Khi mịn , ta có s() s() S() S() e) Dãy chuẩn tắc phép phân hoạch Cho {n} dãy phân hoạch hình chữ nhật R Dãy {n} gọi chuẩn tắc lim d n n f) Định nghĩa tích phân kép Cho f xác định hình chữ nhật đóng R, Nếu có lim f , , p1, , pn n pn lim n f i , i Ri I (số thực hữu hạn) với dãy chuẩn tắc i 1 {n}: n = {R1, R2, , Rp }, n với cách chọn điểm pi = (i ; i) Ri, ta có hàm f khả tích R viết f x, y dx dy I R 3.1.2 Điều kiện khả tích Định lí Hàm f khả tích R đóng f bị chặn Định nghĩa {n} dãy chuẩn tắc Ta gọi lim s n ( lim S n ) tích n n phân hai lớp (tích phân hai lớp) kí hiệu f x, y dx dy R ( f x, y dx dy ) R Định lí Ta có 1/ s f ( x, y )dxdy f x, y dx dy S R 2/ sup s P R R f x, y dx dy , PinfR S f x, y dx dy , R R 17 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn P (R) tập tất phân hoạch R Định lí Cho f bị chặn R Khi f khả tích R f ( x, y )dxdy f x, y dx dy R R Định lí Cho f bị chặn R Khi f khả tích R > 0, bé tuỳ ý, phân hoạch R cho S() s() < Định lí f liên tục R f khả tích R Định lí f xác định bị chặn R , có f liên tục R\E, E R |E| = f khả tích R 3.2 Độ đo Peanno – Jourdan Độ đo Tìm lớp M để A M có độ đo m(A) thoả mãn: 1/ m(A) + 2/ Mọi hình chữ nhật M có m() = || 3/ Mọi A, B M, rời có m(A B) = m(A) + m(B) Độ đo Peanno – Jordan Cho A , ta gọi độ đo ngồi n n m A inf i : i A , i hình chữ nhật i 1 i 1 Nếu A 0 ta gọi độ đo m A 0 m 0 \ A Tập A gọi đo m(A) = m(A) ta định nghĩa m(A) = m(A) = m(A) Độ đo Peanno-Jordan thoả mãn tiên đề độ đo 3.3 Tích phân hai lớp tập hợp bị chặn a) Định nghĩa R hình chữ nhật đóng, tập bị chặn D R, hàm f gọi xác định D, f x, y , x, y D f0 x, y 0, x, y R \ D Nếu f0 khả tích R ta bảo f khả tích D định nghĩa f x, y dx dy f0 x, y dx dy D R 18 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn Định lí D giới nội R, f bị chặn, f D Nếu f khả tích D tập A x, y, z : x, y D,0 z f x, y (vật thể hình trụ) đo theo nghĩa Jordan thể tích A A f x, y dx dy D Định lí Tập D giới nội , XD(x, y) = 1, (x, y) D Tập D đo theo nghĩa Jordan XD khả tích D, ta có D X D x, y dx dy dx dy D D Hệ Tập D bị chặn D đo theo nghĩa Jordan |D| = Hệ Hàm số f : [a ; b] khả tích đoạn [a ; b] đồ thị f có diện tích Hệ D giới nội , D hợp hữu hạn cung xác định hàm số liên tục D tập hợp đo Miền giới nội thoả điều kiện Hệ gọi miền quy b) Tính chất 1/ Cộng tính D = D1 D2 bị chặn , |D1 D2| = 0, f khả tích D1, D2 f khả tích D có f x, y dx dy f x, y dx dy f x, y dx dy D D1 D2 2/ Tuyến tính D bị chặn , f, g khả tích D f + g khả tích D có f x, y g x, y dx dy D f x, y dx dy g x, y dx dy, , D D 3/ Bảo tồn thứ tự Hai hàm f, g khả tích tập bị chặn D , có f(x, y) g(x, y), (x, y) D Khi f x, y dx dy g x, y dx dy D D Hệ Nếu m f(x, y) M, (x, y) D, có mD f x, y dx dy M D D Hệ f x, y dx dy f x, y dx dy D D 19 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@mail.hust.edu.vn 4/ Khả tích Định lí D tập đo , f liên tục, bị chặn D f khả tích D Định lí 10 |D| = 0, f bị chặn D f x, y dx dy D Định lí 11 g bị chặn D, f khả tích D, |E| = 0, E D, g(x, y) = f(x, y), (x, y) D\E g khả tích D có g x, y dx dy f x, y dx dy D D 5/ Các định lí giá trị trung bình Định lí 12 D tập hợp đo được, f khả tích D có m f(x, y) M, (x, y) D Khi [m, M] cho f x, y dx dy D D Định lí 13 Cho D đóng, đo được, liên thơng, f liên tục D p(, ) D cho f x, y dx dy f p D D HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 20 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... hàm f khả tích R viết f x, y dx dy I R 3.1.2 Điều kiện khả tích Định lí Hàm f khả tích R đóng f bị chặn Định nghĩa {n} dãy chuẩn tắc Ta gọi lim s n ( lim S n ) tích n ... D2| = 0, f khả tích D1, D2 f khả tích D có f x, y dx dy f x, y dx dy f x, y dx dy D D1 D2 2/ Tuyến tính D bị chặn , f, g khả tích D f + g khả tích D có ... Jordan XD khả tích D, ta có D X D x, y dx dy dx dy D D Hệ Tập D bị chặn D đo theo nghĩa Jordan |D| = Hệ Hàm số f : [a ; b] khả tích đoạn [a ; b] đồ thị f có diện tích Hệ D