Bài 5 Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b Bài 25 trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1 a) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1) b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua g[.]
Bài 5: Hệ số góc đường thẳng y = ax + b Bài 25 trang 67 Sách tập Tốn Tập 1: a) Tìm hệ số góc đường thẳng qua gốc tọa độ qua điểm A(2; 1) b) Tìm hệ số góc đường thẳng qua gốc tọa độ qua điểm B(1; -2) c) Vẽ đồ thị hàm số với hệ số góc tìm câu a, b mặt phẳng tọa độ chứng tỏ hai đường thẳng vng góc với Lời giải: Vì đường thẳng qua gốc tọa độ nên có dạng y = ax a) Vì đường thẳng y = ax qua điểm A(2; 1) nên ta thay x = 2; y = vào đường thẳng ta có: = a.2 ⇔ a = Vậy hệ số góc đường thẳng qua gốc tọa độ qua điểm A(2; 1) a = Khi đường thẳng là: y = x b) Vì đường thẳng y = ax qua điểm B(1; -2) nên ta thay x = 1; y = -2 vào đường thẳng ta có: -2 = a.1 ⇔ a = -2 Vậy hệ số góc đường thẳng qua gốc tọa độ qua điểm B(1; -2) a = -2 Khi đường thẳng là: y = -2x c) *Vẽ đồ thị hàm số y = x Cho x = y = O(0; 0) Cho x = y = A(2; 1) Đồ thị hàm số y = x đường thẳng qua O A *Vẽ đồ thị hàm số y = -2x Cho x = y = Ta có: O(0; 0) Cho x = y = -2 Ta có: B(1; -2) Đồ thị hàm số y = -2x đường thẳng qua O B *Gọi A’, B’ hình chiếu A, B Ox Oy OA’=2; AA’ = 1; OB’ = 2; BB’ = Xét tam giác vng AA’O tam giác vng BB’O có: OA’ = OB’ = AA’ = BB’ = OA'A = OB'B = 90 Do AA'O = BB'O (c – g – c) AOA' = BOB' (hai góc tương ứng) Vì Ox vng góc với Oy nên BOA' + BOB' = 90 Do đó: BOA' + AOA' = 90 Vậy OA vng góc với OB hay hai đường thẳng y = x y = -2x vuông góc với Bài 26 trang 67 Sách tập Toán Tập 1: Cho hai đường thẳng: y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) Chứng minh rằng: Trên mặt phẳng tọa độ, hai đường thẳng (d) (d’) vng góc với a.a’ = -1 Lời giải: Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng y = ax // (d) y = a’x // (d’) *Chứng minh (d) vng góc với (d’) a.a’ = -1 Khơng tính tổng quát, giả sử a > Suy ra: a’ < Khi góc tạo tia Ox đường thẳng y = ax góc nhọn (do a > 0) Suy góc tạo tia Ox đường thẳng y = a’x góc tù (vì góc tạo đường thẳng y = ax đường thẳng y = a’x với tia Ox 90 ) Mà đường thẳng y = ax qua A(1; a), đường thẳng y = a’x qua B(1; a’) nên đoạn AB vng góc với Ox điểm H có hồnh độ Vì (d) ⊥ (d’) nên hai đường thẳng y = ax y = a’x vng góc với AOB = 90 Tam giác vng AOB có OH ⊥ AB Theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có: HA.HB = OH Hay: a.|a’| = ⇔ a.(-a’) = ⇔ a.a’ = -1 Vậy (d) vng góc với (d’) a.a’ = -1 *Chứng minh a.a’ = -1 (d) vng góc với (d’) Thật , từ a.a’ = -1 a a ' = HA.HB = OH HA OH = OH HB tam giác HOA đồng dạng với tam giác HBO AOH = OBH Mà OBH + HOB = 90 AOH + HOB = AOB = 90 , từ ta có d ⊥ d’ Điều phải chứng minh Bài 27 trang 68 Sách tập Toán Tập 1: a) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số: y = x (1) y = 0,5x (2) b) Đường thẳng (d) song song với trục Ox cắt trục tung Oy điểm C có tung độ 2, theo thứ tự cắt đường thẳng (1) (2) D E Tìm tọa độ điểm D, E Tính chu vi diện tích tam giác ODE Lời giải: a) * Vẽ đồ thị hàm số y = x Cho x = y = Ta có: O(0; 0) Cho x = y = Ta có: A(1; 1) Đồ thị hàm số y = x đường thẳng qua O A * Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x Cho x = y = Ta có: O(0; 0) Cho x = y = Ta có: B(2; 1) Đồ thị hàm số y = 0,5x đường thẳng qua O B b) Qua điểm C trục tung có tung độ 2, kẻ đường thẳng song song với Ox cắt đồ thị hàm số y = x D, cắt đồ thị hàm số y = 0,5x E Điểm D có tung độ Thay giá trị y = vào hàm số y = x ta x = Vậy điểm D(2; 2) Điểm E có tung độ Thay giá trị y = vào hàm số y = 0,5x ta x = Vậy điểm E(4; 2) Gọi D’ E’ hình chiếu D E Ox Ta có: OD’ = 2, OE’ = 4; DD’ = 2; EE’ = 2; CE = 4; CD = 2; OC = Áp dụng định lí Py – ta - go vào tam giác vng ODD’, ta có: OD2 = OD’2 + DD’2 = 22 + 22 = Suy ra: OD = =2 Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác vng OEE’, ta có: OE2 = OE’2 + EE’2= 42 + 22 = 20 OE = 20 = Lại có: DE = CE – CD = – = Chu vi tam giác ODE bằng: OD + DE + EO = 2 + + =2 ( ) + + (đơn vị độ dài) Diện tích tam giác ODE bằng: 1 DE.OC = 2.2 = (đơn vị diện tích) 2 Bài 28 trang 68 Sách tập Toán Tập 1: a) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số: y = -2x (1) y = 0,5x (2) b) Qua điểm K(0; 2) vẽ đường thẳng (d) song song với trục Ox Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (1) (2) A B Tìm tọa độ điểm A, B c) Hãy chứng tỏ góc AOB = 90o (hai đường thẳng y = -2x y = 0,5x vng góc với nhau) Lời giải: a) *Vẽ đồ thị hàm số y = -2x Cho x = y = Ta có: O(0; 0) Cho x = y = -2 Ta có: M(1; -2) Đồ thị hàm số y = -2x đường thẳng qua O M *Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x Cho x = y = Ta có: O(0; 0) Cho x = y = Ta có: N(2; 1) Đồ thị hàm số y = 0,5x đường thẳng qua O N b) Vì d song song với Ox nên d có dạng y = a Vì d qua K(0; 2) nên ta có: d: y = Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (1) là: = -2x x = : (−2) x = −1 y = A(-1; 2) Phương trình hồnh độ giao điểm d (2) = 0,5x x = : 0,5 x=4 y = B(4; 2) c) Vì a = -2 a’ = 0,5 nên a.a’ = -1 Do (1) (2) vng góc vói AOB = 90 Bài 29 trang 68 Sách tập Toán Tập 1: Cho hàm số y = mx + (2m + 1) (1) Với giá trị m , ta có đường thẳng xác định (1) Như vậy, ta có họ đường thẳng định (1) Chứng minh với giá trị m, họ đường thẳng xác định (1) qua điểm cố định Hãy xác định tọa độ điểm Lời giải: Giả sử điểm A ( x ; y0 ) điểm mà họ đường thẳng (1) qua với m Khi thay tọa độ điểm A vào hàm số (1) Với m, ta có: y0 = mx + (2m + 1) y0 − mx − 2m − = m ( −2 − x ) + ( y0 − 1) = Vì phương trình nghiệm với giá trị m nên tất hệ số phải −2 − x = y0 − = x = −2 y0 = Vậy A(-2; 1) điểm cố định mà họ đường thẳng y = mx + (2m + 1) qua với giá trị m Bài tập bổ sung Bài 5.1 trang 68 Sách tập Toán Tập 1: a) Hệ số góc đường thẳng y = 3x − là: A) B) -5 C) D) −5 b) Hệ số góc đường thẳng y = A) B) C) − 3 − 3x là: D) − Lời giải: a) Ta có: y = 3x − 5 = x − Hệ số góc a = 2 2 Chọn đáp án C b) Ta có: y = − 3x 3 = − x Hệ số góc đường thẳng a = − 5 5 Chọn đáp án D Bài trang 69 Sách tập Toán Tập 1: 3 a) Hệ số góc đường thẳng qua gốc tọa độ điểm M 3; là: A) B) C) D) ( ) b) Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm P 1; + Q A) − B) ( ) −1 ( ) 3;3 + là: ( C) − D) ) Lời giải: a) Vì đường thẳng qua gốc tọa độ nên có dạng y = ax 3 Vì đường thẳng qua M 3; nên ta thay tọa độ M vào đường thẳng ta được: = 3.a a= a= : 2 Chọn đáp án C b) Gọi đường thẳng d cần tìm y = ax + b ( ) Do d qua P 1; + thay x = 1; y = + vào d ta được: + = a.1 + b b = + − a (1) Do d qua Q 3+ ( ) 3;3 + thay x = = a + b (2) Thay (1) vào (2) ta được: 3+ = 3a + + −a 3; y = + vào d ta được: ( −1 a = + − − ) ( −1 a = − ) ( )( a = 3− : ) −1 a= Chọn đáp án D Bài trang 69 Sách tập Tốn Tập 1: a) Góc hợp đường thẳng y = x + trục Ox là: A) 2634 B) 30 C) 60 D) 3058 b) Góc hợp đường thẳng y = + 2x trục Ox A) 5428 B) 8152 C) 2148 D) 6326 (Chú ý: Dùng máy tính bỏ túi tính góc xác đến phút) Lời giải: a) Gọi góc tạo đường thẳng y = x + trục Ox Ta có: Vì a = 1 nên tan = 2 2634 Chọn đáp án A b) Ta có: y = + 2x = + x 5 Gọi góc tạo đường thẳng y = Ta có a = + 2x trục Ox 2 > nên tan = 5 = 2148 Chọn đáp án C Bài trang 69 Sách tập Toán Tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ nguyên sau: A(4; 5) B(1; -1) C(4; -4) D(7; -1) a) Hãy viết phương trình đường thẳng AB, BC, CD DA b) Tính (theo độ, phút) góc tứ giác ABCD máy tính bỏ túi Lời giải: a) Phương trình đường thẳng AB có dạng: y = ax + b Do phương trình qua A(4;5) B(1; -1) nên ta có: = a.4 + b (1) -1 = a.1 + b (2) Trừ vế (1) (2), ta có: = 3a ⇒ a = Thay a = (1) để tìm b, ta có = 2.4 + b ⇒ b = -3 Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = 2x – Làm tương tự trên, ta có: Phương trình đường thẳng BC là: y = -x Phương trình đường thẳng CD là: y = x – Phương trình đường thẳng DA là: y = -2x + 13 b) Hai đường chéo AC BD vuông góc với I - Đường thẳng AB có hệ số góc 2, ta có tan = ⇒ = 6326 (tính máy tính bỏ túi) ABD = 6326 Tam giác ABD cân, nên có ADB = 6326 Từ suy BAD = 180 − 2.ABD 538 Đường thẳng BC có hệ số góc -1 nên BC phân giác góc vng phần tư thứ mặt phẳng tọa độ Oxy Đường thẳng CD có hệ số góc 1, CD song song với đường phân giác góc phần tư thứ BCD = 180 − 45 − 45 = 90 ( ) Và đó: ABC = ADC = 360 − BCD − BAD : 10826 ... vng BB’O có: OA’ = OB’ = AA’ = BB’ = OA''A = OB ''B = 90 Do AA''O = BB''O (c – g – c) AOA'' = BOB'' (hai góc tương ứng) Vì Ox vng góc với Oy nên BOA'' + BOB'' = 90 Do đó: BOA'' + AOA'' = 90 V? ?y OA... H? ?y viết phương trình đường thẳng AB, BC, CD DA b) Tính (theo độ, phút) góc tứ giác ABCD m? ?y tính b? ?? túi Lời giải: a) Phương trình đường thẳng AB có dạng: y = ax + b Do phương trình qua A(4 ;5) ... m? ?y tính b? ?? túi) ABD = 6326 Tam giác ABD cân, nên có ADB = 6326 Từ suy BAD = 180 − 2.ABD 53 8 Đường thẳng BC có hệ số góc -1 nên BC phân giác góc vng phần tư thứ mặt phẳng tọa độ Oxy