Chuyên đề hình cầu diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu (2022)

Chuyên đề Hình cầu Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Toán 9 A Lý thuyết 1 Hình cầu Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu Nửa đường tr[.]

Chun đề Hình cầu Diện tích mặt cầu thể tích hình cầu - Tốn A Lý thuyết Hình cầu Khi quay nửa hình trịn tâm O, bán kính R vịng quanh đường kính AB cố định hình cầu - Nửa đường trịn phép quay nói tạo thành mặt cầu - Điểm O gọi tâm, R bán kính hình cầu hay mặt cầu Cắt hình cầu mặt phẳng Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình trịn Ví dụ Mặt phẳng (P) cắt hình cầu tâm O, bán kính R ta hình trịn hình vẽ Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường trịn: - Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm (gọi đường trịn lớn) - Đường trịn có bán kính bé R mặt phẳng không qua tâm Ví dụ Khi cắt mặt cầu tâm O bán kính R mặt phẳng ta được: - Đường trịn tâm O bán kính R: mặt phẳng qua tâm - Đường trịn tâm O’ bán kính R’: mặt phẳng khơng qua tâm Ta có hình vẽ: Diện tích thể tích hình cầu Ví dụ Một hình cầu tích 972π cm3 Tính diện tích mặt cầu Lời giải: Bán kính mặt cầu là: Diện tích mặt cầu là: S = 4πR2 = 4π 92 = 324π (cm2) Vậy diện tích mặt cầu 324π cm2 B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hình cầu có đường kính d = 6cm Diện tích mặt cầu là: A 36π (cm2) B 9π (cm2) C 12π (cm2) D 36π (cm2) Lời giải: Chọn đáp án A Câu 2: Cho mặt cầu tích V = 288π (cm3) Tính đường kính mặt cầu: A 6cm B 12cm C 8cm D 16cm Lời giải: Chọn đáp án B Câu 3: Cho mặt cầu có số đo diện tích số đo thể tích Tính bán kính mặt cầu: A B C D 12 Lời giải: Từ giả thiết ta có: Chọn đáp án A Câu 4: Cho hình cầu có bán kính 3cm Một hình nón có bán kính đáy 3cm có diện tích tồn phần diện tích mặt cầu Tính chiều cao hình nón: A B 6√3 C 72 D 6√2 Lời giải: Gọi l độ dài đường sinh hình nón Vì bán kính hình cầu bán kính đáy hình nón nên từ giả thiết ta có: Chọn đáp án D Câu 5: Cho hình cầu có diện tích mặt cầu 64π (cm2) Tính thể tích khối cầu? Lời giải: Ta có: Chọn đáp án A Câu 6: Cho hình cầu tích là: A 50π (cm2) B 100π (cm2) C 25π (cm2) D 75π (cm2) Lời giải: Ta có: Chọn đáp án B ,tính diện tích mặt cầu? Câu 7: Cho hình nón có bán kính đáy 4cm chiều cao 6cm Thể tích hình cầu thể tích hình nón Tính bán kính hình cầu? Lời giải: Chọn đáp án C Câu 8: Cho hình trụ có bán kính đường trịn đáy 3cm chiều cao h = 4cm Một hình cầu có diện tích diện tích xung quang hình trụ Tính bán kính hình cầu? A R = 3cm B R = 2cm C R = √3 cm D R = √6 cm Lời giải: Chọn đáp án D Câu 9: Cho hình trụ có bán kính đáy 4cm Một hình cầu có diện tích mặt cầu diện tích hai đáy hình trụ.Tính bán kính hình cầu? A R = 3cm B R = 4cm C R = 2√2 cm D R = 3√2 cm Lời giải: Chọn đáp án C Câu 10: Một hình cầu tích A 32π B 16π cm3 Tính diện tích mặt cầu? C 48π D 64π Lời giải: Chọn đáp án D II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Hai hình cầu có hiệu bán kính cm hiệu thể tích 1332π cm3 Tính hiệu diện tích hai mặt cầu Lời giải: Gọi bán kính hình cầu lớn R bán kính hình cầu nhỏ r Ta có R – r = hay R = r + Nên: Do (r + 3)3 – r3 = 999⇔ r2 + 3r – 108 = Giải r1 = –12 (loại), r2 = (chọn) Do bán kính hình cầu nhỏ cm, bán kính hình cầu lớn 12 cm Diện tích mặt cầu lớn là: S1 = 4πR2 = 4π 122 = 576π (cm2) Diện tích mặt cầu nhỏ là: S2 = 4πr2 = 4π 92 = 324π (cm2) Hiệu diện tích hai mặt cầu là: S = S1 – S2 = 576π – 324π = 252π (cm2) Vậy hiệu diện tích hai mặt cầu 252π cm2 Câu 2: Một hình cầu có bán kính bán kính đáy hình nón Biết đường sinh hình nón 12 cm diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu Tính thể tích hình cầu Lời giải: Gọi bán kính hình cầu bán kính đáy hình nón R Diện tích xung quanh hình nón là: πRl = 12πR Diện tích mặt cầu là: 4πR2 Vì diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu nên: 12πR = 4πR2 ⇒ R = (cm) Thể tích hình cầu là: V=43πR3=43π  . 33=36π (cm3) Vậy thể tích hình cầu 36π cm3 Câu 3: Cho hình cầu nội tiếp hình trụ Chứng minh rằng: a) Thể tích hình cầu 23 thể tích hình trụ; b) Diện tích mặt cầu 23 diện tích tồn phần hình trụ Lời giải: Gọi bán kính hình cầu R bán kính đáy hình trụ R chiều cao hình trụ 2R Vậy thể tích hình cầu 23 thể tích hình trụ b) Diện tích mặt cầu là: S1 = 4πR2 Diện tích hình trụ là: S2 = 2πR(h + R) = 2πR(2R + R) = 6πR2 Ta có: S1S2=4πR26πR2=23 Vậy diện tích mặt cầu 23 diện tích tồn phần hình trụ Câu 4: Cắt hình trụ hình cầu với mặt phẳng vng góc với trục, ta hình ? Hãy điền vào bảng (chỉ với từ “có”, “khơng”) (h.104) Lời giải: Mặt cắt Hình trụ Hình cầu Hình chữ nhật Khơng Khơng Hình trịn bán kính R Có Có Hình trịn bán kính nhỏ R Khơng Có Câu 5: Nếu thể tích hình cầu 11317cm3 kết sau đây, kết bán kính nó, lấy π≈227 ? Lời giải Ta có cơng thức tính thể tích hình cầu: V=43πR3⇒R3=3V4π Mà theo đề ta có: V = 11317cm3 π≈227 ⇒R3≈3.113174.227≈27⇒R≈273=3 (cm) Câu 6: Hãy điền vào ô trống bảng sau: Bán kính hình cầu 0,3mm 6,21dm 0,283m 100km 6hm 50dam Diện tích mặt cầu Thể tích hình cầu Lời giải: Cách tính: Dịng thứ : S = 4πR2 Thay số vào ta R = 0,3 mm ⇒ S = 4.3,14 0,32 = 1,13 (mm2) R = 6,21 dm ⇒ S = 4.3,14 6,212 = 484,37 (dm2) R = 0,283 m ⇒ S = 4.3,14 0,2832 = 1,01 (m2) R = 100 km ⇒ S = 4.3,14 1002 = 125600 (km2) R = hm ⇒ S = 4.3,14 62 = 452,16 (hm2) R = 50 dam ⇒ S = 4.3,14 502 = 31400 (dam2) Dòng thứ hai : V = 43 πR3 thay số vào ta : R = 0,3 mm ⇒ V = 43.3,14.0,33 = 0,113 (mm3) R = 6,21 dm ⇒ V = 43.3,14 6,213 = 1002,64 (dm3) R = 0,283 m ⇒ V = 43.3,14 0,2833 = 0,095 (m3) R = 100 km ⇒ V = 43.3,14 1003 = 4186666,67 (km3) R = hm ⇒ V = 43.3,14 63 = 904,32 (hm3) R = 50 dam ⇒ V = 43.3,14 503 = 523333,34 (dam3) Câu 7: Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường trịn đáy r, chiều cao 2r (đơn vị :cm) Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu hình 108 Hãy tính diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại (diện tích ngồi lẫn trong) Lời giải: Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ bán kính đường trịn đáy r (cm), chiều cao 2r (cm) mặt cầu bán kính r (cm) Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh = 2πr.2r = 4πr2 (cm2) Diện tích mặt cầu: S = 4πr2 (cm2) Diện tích cần tính là: 4πr2 + 4πr2 = 8πr2 (cm2) Câu 8: Khinh khí cầu nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier) Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh khinh khí cầu dùng khơng khí nóng Coi khinh khí cầu hình cầu có đường kính 11m Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Hình 109 Lời giải Diện tích mặt khinh khí cầu là: S= πd2=3,14.112=379,94 ( m2) Câu 9: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax By hai tiếp tuyến với nửa đường tròn A B Lấy tia Ax điểm M vẽ tiếp tuyến MP cắt By N a) Chứng minh MON APB hai tam giác vuông đồng dạng b) Chứng minh AM.BN = R2 c) Tính tỉ số d) Tính thể tích hình nửa hình trịn APB quay quanh AB sinh Lời giải: a) Ta có OM, ON tia phân giác AOP^,  BOP^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà AOP^ kề bù với BOP^ nên suy OM vng góc với ON Vậy tam giác MON vng O Góc APB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên APB^=90o Do AM tiếp tuyến với (O) A nên MAO^=90o Do MN tiếp tuyến với (O) P nên MPO^=90o Tứ giác AOPM có: MAO^+MPO^=90o+90o=180o Do đó, tứ giác AOPM nội tiếp đường trịn ⇒PMO^=PAO^ (do hai góc nội tiếp chắn cung OP) Xét tam giác MON tam giác APB có: MON^=APB^=90o (chứng minh trên) PMO^=PAO^ (chứng minh trên) Do đó, tam giác MON đồng dạng với tam giác APB (góc – góc) b) Tam giác MON vng O có đường cao OP Áp dụng hệ thức lượng tam giác ta có: OP2=MP.NP (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến MN AM cắt ta có: MA = MP (2) Theo tính chất hai tiếp tuyến MN BN cắt ta có: NP = NB (3) Theo (1), (2) (3) ta có: OP2=MA.NB⇒R2=MA.NB (đcpcm) c) Theo phần a, tam giác MON tam giác APB đồng dạng với Do đó, tỉ số đồng dạng là: k=MNAB⇒SMONSAPB=k2=MN2AB2 (*) Theo phần b, ta có: R2=MA.NB Lại có: AM=R2 nên BN = R2:R2=2R Mà: MN = MP + NP = MA + NB = R2 + 2R = 52R Nên MN2=52R2=25R24 AB = 2R Thay vào (*) ta có: SMONSAPB=MN2AB2=25R24(2R)2=2516 d) Nửa hình trịn APB quay quanh AB tạo ta hình cầu có bán kính R nên thể tích khối cầu tạo là: V=43πR3 Câu 10: Một chi tiết máy gồm hình trụ hai nửa hình cầu với kích thước cho hình 111 (đơn vị: cm) a) Tìm hệ thức x h AA' có độ dài không đổi 2a b) Với điều kiện a), tính diện tích bề mặt thể tích chi tiết máy theo x a Hình 111 Lời giải: a) Ta có: AA’ = AO + OO’ + O’A’ hay 2a = x + h + x hay 2x + h = 2a b) Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao h diện tích mặt cầu có bán kính x III Bài tập vận dụng Câu 1: Tính thể tích hình cầu biết diện tích mặt cầu 32π Câu 2: Một bóng có dạng hình cầu thả vào lọ thuỷ tinh đựng đầy nước dạng hình trụ bán kính đáy 3cm (đường kính đường trịn lớn hình cầu bán kính đáy hình trụ) Hỏi lượng nước tràn ? Câu 3: Tính diện tích mặt cầu biết thể tích hình câu băng 121,5π Câu 4: Tính diện tích bề mặt kim loại cần để làm đủ bồn chứa có dạng hình bên (gồm hai nửa hình cầu hình trụ) Câu 5: Cho hình cầu có số đo diện tích số đo thể tích Tính bán kính hình cầu diện tích mặt cầu Câu 6: Cho đường trịn (O ; r) ngoại tiếp tam giác cạnh a Tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu tạo thành quay hình trịn tâm O quanh đường kính theo a Câu 7: Một hình nón đặt khít nửa hình cầu cho đáy hình nón hình trịn lớn hình cầu Câu 8: Một hình cầu đường kính d (cm) đặt vào hình trụ có chiều cao 1,5d (cm) hình 110 Tìm tỉ số VcauVtru ? Câu 9: Đổ đầy nước vào mộ dụng cụ để đong có dạng hình nón sau đổ hết lượng nước vào hình trụ có bán kính đáy bán kính đáy hình nón chiều cao chiều cao hình nón.Việc làm lặp lại hình trụ đổ đầy nước số lần múc đầy vào hình nón bao nhiêu? Câu 10: Một khối gỗ dạng hình trụ đứng bán kính đường trịn đáy r (cm) chiều cao 2r(cm) người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu hình bên Tính diện tích tồn khối gỗ Xem thêm Chuyên đề Toán lớp hay, chi tiết khác: ... tích hình cầu là: V=43πR3=43π  . 33=36π (cm3) Vậy thể tích hình cầu 36π cm3 Câu 3: Cho hình cầu nội tiếp hình trụ Chứng minh rằng: a) Thể tích hình cầu 23 thể tích hình trụ; b) Diện tích mặt cầu. .. kính hình cầu bán kính đáy hình nón R Diện tích xung quanh hình nón là: πRl = 12πR Diện tích mặt cầu là: 4πR2 Vì diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu nên: 12πR = 4πR2 ⇒ R = (cm) Thể tích. .. hiệu diện tích hai mặt cầu 252π cm2 Câu 2: Một hình cầu có bán kính bán kính đáy hình nón Biết đường sinh hình nón 12 cm diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu Tính thể tích hình cầu