Chuyên đề Hình nón – Hình nón cụt Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt Toán 9 A Lý thuyết 1 Hình nón Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh OA cố định thì được một hình[.]
Chun đề Hình nón – Hình nón cụt Diện tích xung quanh thể tích hình nón, hình nón cụt - Tốn A Lý thuyết Hình nón Khi quay tam giác vng AOC vịng quanh cạnh OA cố định hình nón - Điểm A gọi đỉnh hình nón - Hình trịn (O) gọi đáy hình nón - Mỗi vị trí AC gọi đường sinh hình nón - Đoạn AO gọi đường cao hình nón Diện tích thể tích hình nón Đặt AC = l; l đường sinh Cho hình nón có bán kính đáy R đường sinh l, chiều cao h - Diện tích xung quanh: Sxq = πRl - Diện tích tồn phần: Stp = πRl + πR2 - Thể tích: V=13πR2h Ví dụ Một hình nón có đường cao 24 cm thể tích 800π cm3 Tính diện tích tồn phần hình nón Lời giải: Gọi R bán kính h chiều cao hình nón Do bán kính hình nón 10 cm Đường sinh hình nón là: SB2=SO2+OB2=242+102=26cm Diện tích tồn phần hình nón là: Stp = πR(l + R) = π 10 (26 + 10) = 360π (cm2) Hình nón cụt Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng nói mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt - Hai hình tròn (O) (O') gọi hai đáy - Đoạn OO' gọi trục Độ dài OO' chiều cao - Đoạn AC gọi đường sinh Diện tích thể tích hình nón cụt Cho hình nón cụt có bán kính đáy R r, chiều cao h, đường sinh l - Diện tích xung quanh: Sxq = π (R + r) l - Thể tích: V=13πh(R2+Rr+r2) Ví dụ Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy cm chiều cao SO = 21,6 cm Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy tạo hình nón cụt có chiều cao 12 cm Tính diện tích xung quanh hình nón cụt Lời giải: Xét mặt cắt qua trục hình nón ∆SAB cân S Trong mặt phẳng SAB có O’C // OB Theo định lý Ta – lét ta có O'COB=SO'SO Do O'C9=9,621,6⇒ O’C = (cm) Trong mặt phẳng SAB vẽ CH⊥AB, ta được: CH = OO’ = 12 cm, BH = – = (cm) Suy BC = BH2+CH2=122+52=13 (cm) Diện tích xung quanh hình nón cụt là: Sxq = π(R1 + R2)l = π(9 + 4) 13 = 169π (cm2) Vậy diện tích xung quanh hình nón cụt 169π cm2 B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hình nón có bán kính đáy R = 3(cm) chiều cao h = 4(cm) Diện tích xung quanh hình nón là: A 25π (cm2) B 12π (cm2) C 20π (cm2) D 15π (cm2) Lời giải: Chọn đáp án D Câu 2: Cho hình nón có đường kính đáy d = 10 cm diện tích xung quanh 65π (cm2) Tính thể tích khối nón: A 100π (cm3) B 120π (cm3) C 300π (cm3) D 200π (cm3) Lời giải: Chọn đáp án A Câu 3: Cho hình nón có chiều cao h = 10cm thể tích V = 1000π (cm3) Tính diện tích tồn phần hình nón: Lời giải: Ta có: Chọn đáp án B Câu 4: Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 10cm 5cm, chiều cao 20cm Tính dung tích xơ: Lời giải: Ta có: Chọn đáp án A Câu 5: Cho tam giác ABC vng A có: BC = 20cm; AC = 12cm Quay tam giác ABC cạnh AB ta hình nón tích là: A 2304π (cm3) B 1024π (cm3) C 786π (cm3) D 768π (cm3) Lời giải: Chọn đáp án D Câu 6: Cho hình nón có bán kính đáy r = 5cm đường sinh 13cm Tính thể tích hình nón A 100π B 30π C 300π D 325π Lời giải: Ta có: Chọn đáp án A Câu 7: Cho hình nón tích 100π chu vi đáy 10π Tính độ dài đường sinh A 12 B 20 C.13 D 14 Lời giải: Chọn đáp án C Câu 8: Cho hình nón có bán kính đáy r = 10 cm đường sinh dài 26 cm Tính chiều cao hình nón A 12 cm B 24 cm C 20 cm D 16cm Lời giải: Ta có: Chọn đáp án B Câu 9: Cho hình nón có diện tích đáy 9π cm2, đường sinh 5cm Tính chiều cao hình nón? A 3cm B.5cm C 7cm D 4cm Lời giải: Chọn đáp án D Câu 10: Một hình nón có đường sinh gấp lần bán kính đường trịn đáy Tìm khẳng định đúng? A h = √3r B h = 2r C h = r D h = √2r Lời giải: Ta có: Chọn đáp án A II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Mặt cắt chứa trục hình nón tam giác có diện tích 93cm2 Tính thể tích hình nón Lời giải: Gọi mặt cắt tam giác ABC, đáy hình nón có tâm O Ta đặt AB = AC = BC = a bán kính đáy hình nón R=a2 chiều cao hình nón h=a32 Vì diện tích tam giác 93 cm2 nên ta có: Do bán kính đáy R = cm chiều cao hình nón là: h=632=33(cm) Thể tích hình nón là: V=13πR2h=13π . 32 . 33=93π (cm3) Vậy thể tích hình nón là: 93 cm3 Câu 2: Một hình nón cụt có bán kính đáy 21 cm 49 cm Biết diện tích xung quanh 3710π cm2 Tính thể tích hình nón cụt Lời giải: Gọi mặt cắt chứa trục hình nón cụt hình thang cân ABCD Trong mặt phẳng vẽ BH⊥CD Ta đặt O’B= R1, OC = R2, OO’ = h BC = Ta có: BH = OO’ = h; HC = R2 – R1 = 49 – 21 = 28 (cm) Vì diện tích xung quanh hình nón cụt 3710π cm2 nên: π(R1 +R2)l = 3710π Suy ra: l=3710ππ(21+49)=53 (cm) Xét ∆BHC vuông H, ta có: BH=BC2−HC2=532−282=45cm Thể tích hình nón cụt là: V=13πh(R12+R22+R1R2)=13π . 45(212+492+21 . 49)=58 065 π c m3 Vậy thể tích hình nón cụt 58 065π cm3 Câu 3: Một chao đèn có dạng mặt xung quanh hình nón cụt Các bán kính đáy R1 = cm, R2 = 13 cm Biết diện tích xung quanh chao đèn 306π cm2 Tính chiều cao chao đèn Lời giải: Gọi mặt cắt chứa trục chao đèn hình thang cân ABCD Chiều cao OO’ = h đường sinh BC = l Vì diện tích xung quanh chao đèn 306π cm2 nên ta có: π(R1 + R2)l = 306 π ⇒ π(5 + 13)l = 306 π ⇒ l = 17 (cm) Trong mặt phẳng ABCD ta vẽ BH⊥CD Ta có BH = OO’ = h; OH = O’B = R1 Do HC = R2 – R1 = (cm) Xét ∆BHC vuông H, ta có: BH=BC2−HC2=172−82=15 (cm) Vậy chiều cao chao đèn 15 cm Câu 4: Chiếc nón (h.88) có dạng mặt xung quanh hình nón Quan sát hình cho biết, đâu đường trịn đáy, đâu mặt xung quanh, đâu đường sinh nón Lời giải: Đường trịn đáy phần vành rộng nón Mặt xung quanh phần bên ngồi nón, tính từ đỉnh nón đến đường trịn đáy Đường sinh đường thẳng bất kì, nối từ đỉnh đến đường trịn đáy Câu 5: Một hình nón đặt vào bên hình lập phương hình vẽ (cạnh hình lập phương 1) (h.93) Hãy tính: a) Bán kính đáy hình nón b) Độ dài đường sinh Hình 93 Lời giải: a) Ta có đường trịn đáy hình nón nội tiếp hình vng mặt hình lập phương Do đo bán kính hình trịn đáy hình nón nửa cạnh hình lập phương 0,5 b) Đỉnh hình nón tiếp xúc với mặt hình lập phương nên đường cao hình nón với cạnh hình lập phương Theo định lí Pitago, độ dài đường sinh hình nón là: Câu 6: Cắt mặt cắt xung quanh hình nón theo đường sinh trải phẳng thành hình quạt Biết bán kính hình quạt tròn độ dài đường sinh độ dài cung chu vi đáy Quan sát hình 94 tính số đo cung hình quạt trịn Lời giải: Câu 7: Khi quay tam giác vuông để tạo hình nón hình 87 góc CAO gọi nửa góc đỉnh hình nón Biết nửa góc đỉnh hình nón 30o, độ dài đường sinh a Tính số đo cung hình quạt khai triển mặt xung quanh hình nón Lời giải: mà AB = AC ⇒ ΔABC ⇒ BC = AC = a ⇒ bán kính đáy hình nón: r = BO = BC/2 = a/2 ⇒ Chu vi hình trịn đáy: C = 2πr = πa Khai triển mặt xung quanh hình nón ta hình quạt AOB có bán kính R = a Độ dài cung AB: Ta ln có: l = C ⇒ ⇒ x = 180º Câu 8: Hình khai triển mặt xung quanh hình nón hình quạt Nếu bán kính hình quạt 16cm, số đo cung 120o độ dài đường sinh hình nón bao nhiêu: Lời giải: Khi khai triển mặt xung quanh hình nón, ta hình quạt có bán kính độ dài đường sinh Đề cho ta bán kính hình trịn chứa hình quạt 16cm nên độ dài đường sinh hình nón 16cm Câu 9: Hình 98 cho ta hình ảnh đồng hồ cát với kích thước kèm theo (AO = OB) Hãy so sánh tổng thể tích hai hình nón thể tích hình trụ Hình 98 Lời giải: Câu 10: Viết cơng thức tính nửa góc đỉnh hình nón (góc α tam giác vng OAS – hình 99) cho diện tích mặt khai triển mặt nón một phần tư diện tích hình trịn (bán kính SA) Hình 99 Lời giải: III Bài tập vận dụng Câu 1: Một tam giác ABC vng A có AB = 4cm, AC = 5cm quay quanh AC Tính độ dài đường sinh nửa góc đỉnh hình nón tạo thành Câu 2: Hình khai triển hình nón hình quạt trịn có số đo cung 120° ; bán kính hình quạt 8cm Tính diện tích xung quanh hình nón Câu 3: Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt biết + = 15, = 54 độ dài đường sinh 20cm, chiều cao nón 15cm Câu 4: Tam giác OMN vng o có OM = 12cm ; ON = Quay tam giác OMN quanh cạnh OM Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón tạo thành Câu 5: Hình khai triển hình nón hình quạt trịn có bán kính 6cm góc tâm 120° Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón Câu 6: Cho tam giác ABC vng A góc B = 30° ; BC = 2cm Quay tam giác vng quanh AB tạo thành hình nón Tính số đo cung hình quạt khai triển mặt xung quanh hình nón Câu 7: Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt biết chiều cao 10cm, đường sinh 14cm hiệu hai bán kính 2, tích hai bán kính 24 Câu 8: Tìm mối liên hệ quanh hình trụ và diện tích xung diện tích xung quanh hình nón Biết hình trụ hình nón chung đáy chung đường cao h, h= (r bán kính đáy) Câu 9: Tính thể tích hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao 15cm ; đường sinh 17cm mặt phẳng song song với đáy cho chiều cao hình nón cụt tạo thành 6cm Câu 10: Viết cơng thức tính nửa góc đỉnh hình nón (góc α tam giác vng OAS – hình 99) cho diện tích mặt khai triển mặt nón một phần tư diện tích hình trịn (bán kính SA) Hình 99 Xem thêm Chuyên đề Toán lớp hay, chi tiết khác: Chun đề Hình cầu Diện tích mặt cầu thể tích hình cầu Chun đề Ơn tập chương Chuyên đề Phương trình bậc hai ẩn ... Hình khai triển hình nón hình quạt trịn có số đo cung 120° ; bán kính hình quạt 8cm Tính diện tích xung quanh hình nón Câu 3: Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt biết + = 15, = 54... quanh hình nón Câu 7: Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt biết chiều cao 10cm, đường sinh 14cm hiệu hai bán kính 2, tích hai bán kính 24 Câu 8: Tìm mối liên hệ quanh hình trụ và diện tích. .. hình trụ và diện tích xung diện tích xung quanh hình nón Biết hình trụ hình nón chung đáy chung đường cao h, h= (r bán kính đáy) Câu 9: Tính thể tích hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao 15cm