2 2 3 2 3 2 3 1 l \hfill f 6 \h il4 b ac Chuyên đề Công thức nghiệm thu gọn Toán 9 A Lý thuyết 1 Công thức nghiệm thu gọn a) Biệt thức ∆'''' Đối với phương trình[.]
b ac 2 16 \hfill Chuyên đề Công thức nghiệm \hfill thu gọn - Toán A Lý thuyết Công thức nghiệm thu gọn a) Biệt thức ∆' Đối với phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) b = 2b’ ta có biệt thức sau: ∆'= b'2-ac Ta sửa dụng biết thức ∆'để giải phương trình bậc hai b) Cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai Đối với phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có b = 2b’ biệt thức ∆'= b’2 - ac + Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=-b+∆'a; x2=-b+∆'a + Nếu = phương trình có nghiệm kép x1=x2=-ba + Nếu < phương trình vơ nghiệm B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt khi: A Δ' > B Δ' = C Δ' ≥ D Δ' ≤ Lời giải: Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac: • TH1: Nếu Δ' < phương trình vơ nghiệm • TH2: Nếu Δ' = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = • TH3: Nếu Δ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = Chọn đáp án A Câu 2: Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac Nếu Δ' = thì: A Phương trình có hai nghiệm phân biệt B Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = C Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = D Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Lời giải: Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac: Nếu Δ' = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Chọn đáp án C Câu 3: Tính Δ' tìm số nghiệm phương trình 7x2 - 12x + = A Δ' = phương trình có hai nghiệm phân biệt B Δ' = phương trình có hai nghiệm phân biệt C Δ' = phương trình có nghiệm kép D Δ' = phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải: Phương trình 7x2 - 12x + = có a = 7; b' = -6; c = suy ra: Δ' = (b')2 - ac = (-6)2 - 4.7 = > Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Chọn đáp án B Câu 4: Tìm m để phương trình 2mx2 - (2m + 1)x - = có nghiệm x =2 Lời giải: Chọn đáp án C Câu 5: Tính Δ' tìm nghiệm phương trình Lời giải: Chọn đáp án D Câu 6: Tìm nghiệm dương phương trình: x2 - 8x + 10 = Lời giải: Ta có: a = 1; b = - nên b’ = -4; c = 10 Δ' = (-4)2 - 1.10 = 16 - 10 = Do đó, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt là; Vậy hai nghiệm nghiệm dương phương trình cho Chọn đáp án D Câu 7: Cho phương trình 2x2 - 10x + m + = 0; ( m tham số) Tìm m để biệt thức Δ' = 11 A m = B m = C m = D m = -2 Lời giải: Ta có: a = ; b = -10 nên b’ = -5; c = m + Δ' = (-5)2 - 2.(m + 1) = 25 - 2m - = 23 - 2m Để Δ' = 11 23 – 2m = 11 ⇔ -2m = -12 ⇔ m = Chọn đáp án B Câu 8: Cho phương trình 2x2 – 4x + m = Tìm m để phương trình vơ nghiệm? A m < B m > - C m > D m < -2 Lời giải: Ta có: a = 2; b = - nên b’ = -2 c = m Δ' = (-2)2 - 2m = - 2m Để phương trình cho vơ nghiệm thì:4 – 2m < hay m > Chọn đáp án C Câu 9: Cho hai phương trình x2 – 4x + 4= x2 + (m + 1)x + m = Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung? A m = m = -1 B m = m = C m = -1 D m = -2 Lời giải: * Xét phương trình : x2 – 4x + 4= ⇔ (x-2)2 = ⇔ x - = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm Để hai phương trình cho có nghiệm chung x = nghiệm phương trình x2 + (m + 1)x + m = 0.Suy ra: 22 + (m + 1).2 + m = ⇔ + 2m + + m = ⇔ + 3m = ⇔ 3m = +6 ⇔ m = -2 Chọn đáp án D Câu 10: Cho phương trình: -8x2 + 100x + 40m = Tìm m để phương trình có nghiệm nhất? Lời giải: Chọn đáp án B II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Giải phương trình bậc hai x 3x Lời giải: Cách 1: Xét phương trình x 3x có a 3, b b 3; c 2 Ta có: b ac 2 16 Do ∆’ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 32 1, x2 2 2 2 7 Cách 2: Nhẩm nghiệm Ta có: a + b + c = => Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 1, x2 2 2 7 Câu 2: Xác định có hệ số a, b, b’, c tính biệt thức ∆'của phương trình sau: a) x2+6x-3=0 b) 2x2+2x+6=0 c) 4x2+4x+1=0 Lời giải: a) x2+6x-3=0 Có a = 1; b = 6; b’ = 3; c = -3 ∆'=b'2-ac=32-1.-3=12 b) 2x2+2x+6=0 Có a = 2; b = 2; b’ = 1; c = ∆'=b'2-ac=12-2.6=1-12=-11 c) 4x2+4x+1=0 Có a = 4; b = 4; b’ = 2; c = ∆'=b'2-ac=2-4.1=4-4=0 Câu 3: Giải phương trình sau: a) 3x2+8x-5=0 b) 2x2+4a+7=0 Lời giải: a) 3x2+8x-5=0 Ta có: a = 3; b = 8; b’ = 4; c = -5 ∆'=b'2-ac=42-3.-5=16+15=31>0 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1=-b+∆'a=-4+313; x2=-b'-∆'a=-4-313 Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt S=-4+313; -4-313 b) 2x2+4a+7=0 Ta có: a = 2; b = 4; b’ = 2; c = ∆=b'2-ac=22-2.7=4-14=-100⇒9m+9>0⇔9m>-9⇔m>-1 + Để phương trình nghiệm kép thì: ∆'=0⇔9m+9=0⇔9m=-9⇔m=-1 Câu 5: Xác định a, b’,c phương trình giải phương trình cơng thức nghiệm thu gọn: a) 5x2 – 6x –1 = b) –3x2 + 14x – = c) –7x2 + 4x = d) 9x2 + 6x + = Lời giải: a) Phương trình 5x2 – 6x –1 = có hệ số a = 5, b’ = –3, c = –1 Ta có: Δ’ = b’2 – ac = (–3)2 –5.(–1) = + = 14 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b'+Δ'a=3+145; x2=−b'−Δ'a=3−145 Vậy tập nghiệm phương trình là: S=3+145;3−145 b) Phương trình –3x2 + 14x – = có hệ số a = –3, b’= 7, c = –8 Ta có: Δ' = b’2 – ac = 72 – (–3).(–8) = 49 – 24 = 25 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b'+Δ'a=−7+25−3=23; x2=−b'−Δ'a=−7−25−3=4 Vậy tập nghiệm phương trình là: S=23;4 c) Phương trình –7x2 + 4x = ⇔ 7x2 – 4x + = có hệ số a=7, b’=–2 , c=3 Ta có: Δ’ = b’2 – ac = (–2)2 – 7.3 = – 21 = –17 < Vậy phương trình vơ nghiệm d) Phương trình 9x2 + 6x + = có hệ số a = 9, b’ = 3, c = Ta có: Δ’ = b’2 – ac = 32 – 9.1 = – = Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b'a=−39=−13 Vậy tập nghiệm phương trình S = −13 Câu 6: Với giá trị x giá trị hai biểu thức sau nhau? a) x2 + + 22 2(1 + )x b) x2 + 2x – 23 x + c) –22 x – x2 + 2x +3 Lời giải: a) Ta có: x2 +2 + 22 = 2(1 + )x ⇔ x2 – 2(1 +2 )x +2 +22 = Δ' = b’2 – ac = [–(1 + )]2– 1(2 + 22 ) = + 22 + – – 22 = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−b'+Δ'a=1+2+11=2+2 x2=−b'−Δ'a=1+2−11=2 Vậy với x =2+2 x =2 giá trị hai biểu thức b) Ta có: x2 + 2x – = 23 x +3 ⇔ x2 + 2x – 23 x – – = ⇔ 3x2 + (2 – 23 )x – =0 ⇔ x2 + 2(1 – )x – = Δ' = b’2 – ac = (1– )2 – (–4) =1 – 23 + + 43 = + 23 + = (1 +3 )2> Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b'+Δ'a=−1−3+1+323=233=1 x2=−b'−Δ'a=−1−3−1+323=−23=−233 Vậy với x = x = −233 giá trị hai biểu thức c) Ta có: –22 x – =2 x2 + 2x + ⇔ x2 + 2x + + 22 x + 1=0 ⇔ 2x2 + 2(1 + )x + =0 Δ' = b’2 – ac= (1+ )2 – = + 22 + – 42 = – 22 + = (2 – 1)2 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b'+Δ'a=−1+2+2−122=−22=−2 x2=−b'−Δ'a=−1+2−2−122=−222=−2 Vậy với x = -2 x = -2 giá trị hai biểu thức Câu 7: Với giá trị x giá trị hai biểu thức sau nhau? a) x2 – 23 x – 2x2 + 2x + b) x2 + 25 x – 33 –x2 – 23 x +25 +1 Lời giải: a) Ta có: x2 – 23 x – = 2x2 + 2x +3 ⇔ x2 – 23 x – – 2x2 – 2x – =0 ⇔ –x2 – 2x – 23 x – 23 =0 ⇔ x2 + 2x + 23 x + 23 =0 ⇔ x2 + 2(1 +3 )x + 23 =0 Δ' = b’2 – ac= (1+3 )2 – 23 = + 23 + –23 = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−b'+Δ'a=−1+3+41=1−3 x2=−b'−Δ'a=−1+3−41=−3−3 Vậy với x = 1−3 x = –3 – giá trị hai biểu thức b) Ta có: x2 + 25 x – 33 = –x2 – 23 x + 25 + ⇔ x2 + 25 x – 33 + x2 + 23 x – 25 – = ⇔ (3 + 1)x2 + (25 + 23 )x – 33 – 25 – = ⇔ (3 +1)x2 + 2(5 + )x – 33 – 25 – = Δ' = b’2 – ac = (3 + )2 – (3 + 1)( –33 – 25 – 1) = + 215 + + + 215 + + 33 + 25 + =18 + 415 + 43 + 25 = + 12 + + 2.23 + 25 + 2.23 = + (23 )2 + (5 )2 + 2.1.23 + 2.1.5 + 2.23 = (1 + 23 + )2 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−b'+Δ'a=−5+3+1+23+523+1=1 x2=−b'−Δ'a=−5+3−1+23+523+1=−1−33−253+1 Vậy với x = x = −1−33−253+1 giá trị hai biểu thức Câu 8: Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình dưới) Khi nhảy, độ cao h từ người đến mặt nước (tính mét) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính mét) cơng thức : h = –(x – 1)2 + Hỏi khoảng cách x bao nhiêu: a) Khi vận động viên độ cao 3m? b) Khi vận động viên chạm mặt nước? Lời giải: a) Khi vận động viên độ cao 3m nghĩa h = 3m Ta có: = –(x – 1)2 + ⇔ (x – 1)2 – + = ⇔ (x – 1)2 – = ⇔ x2 – 2x + – = ⇔ x2 – 2x = ⇔ x(x – 2) = ⇔ x = x – = ⇔ x = x = Vậy x = 0m x = 2m b) Khi vận động viên chạm mặt nước nghĩa h = 0m Ta có: = – (x – 1)2 + ⇔ –x2 + 2x – + =0 ⇔ x2 – 2x – =0 Δ' = b’2 – ac = (–1)2 –1.(–3) =1 +3 = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−b+Δ'a=−−1+41=1+2=3 x2=−b−Δ'a=−−1−41=1−2=−1 Vì khoảng cách khơng thể nhận giá trị âm nên x = Câu 9: Tính gần nghiệm phương trình (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai): a) 16x2 – 8x + = b) 6x2 – 10x – = c) 5x2 + 24x + = d) 16x2 – 10x + = Lời giải: a) 16x2 – 8x +1=0 Ta có: Δ' = (–4)2 – 16.1 = 16 – 16 =0 Phương trình có nghiệm kép: x1=x2=−b'a=416=14=0,25 Vậy tập nghiệm phương trình S = {0,25} b) 6x2 – 10x – = Ta có: Δ'=−52−6.−1=25+6=31>0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b'+Δ'a=−−5+316=5+316≈1,76 x2=−b'−Δ'a=−−5−316=5−316≈−0,09 Vậy tập nghiệm phương trình S = {1,76;–0,09} c) 5x2 + 24x + = Ta có: Δ' = 122 – 5.9 = 144 – 45 = 99 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−b+Δ'a=−12+995≈−0,41 x2=−b−Δ'a=−12−995≈−4,39 Vậy tập nghiệm phương trình S = {–0,41; –4,39} d) 16x2−10x+1=0 Ta có: Δ'=−52−16.1=25−16=9 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b+Δ'a=−−5+916=0,5 x2=−b−Δ'a=−−5−916≈0,13 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = {0,5; 0,13} Câu 10: Với giá trị x giá trị hai hàm số nhau? a) y=13x2 y = 2x – b) y=−12x2 y = x – Lời giải: a) Ta có: Để giá trị hai hàm số 13x2=2x−3 ⇔13x2−2x+3=0 ⇔x2−6x+9 Δ'=b'2−ac=32−9.1=0 Phương trình có nghiệm kép x1=x2=−b'a=31=3 Vậy để giá trị hai hàm số x = b) Ta có: −12x2=x−8 ⇔−12x2−x+8=0 ⇔x2+2x−16= Δ'=12−1.−16=1+16=17>0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b'+Δ'a=−1+171=−1+17 x2=−b'−Δ'a=−1−171=−1−17 Vậy giá trị hai hàm số x=−1+17 x=−1−17 III Bài tập vận dụng Câu 1: Giải phương trình : a) – 20x + 25 = ; b) – 4x + = ; c) – 4x – = Câu 2: Cho phương trình -2(2m – 1)x – 3m = (1), m tham số a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x = -3 Câu 3: Giải phương trình: a) b) 16 – 6x + = 0; + 24x + = Câu 4: Giải phương trình : a) b) – 6x – = ; – 10x – 24 = Câu 5: Cho phương trình – 6x + – 4m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép đường thẳng (d): y = 3mx – – m Câu 6: Cho parabol (P): y = a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định b) Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) Câu 7: Cho phương trình (ẩn x): – 2(k – 1)x + k – = Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm với k Câu 8: Cho phương trình – 2mx + + 3m – = a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Câu 9: Cho phương trình 4x + – 12 –2 y + 14 = Chứng minh có cặp số (x ; y) thoả mãn phương trình cho Câu 10: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có ∆’ = Điều sau đúng? b 2a b ' b) x1 x2 a b c) x1 x2 a b ' d ) x1 x2 2a a) x1 x2 Xem thêm Chuyên đề Toán lớp hay, chi tiết khác: Chuyên đề Hệ thức Vi – ét ứng dụng Chuyên đề Phương trình quy phương trình bậc hai Chun đề Giải tốn cách lập phương trình Chun đề Bài tập ơn tập chương Chuyên đề Góc tâm Số đo cung ... ∆''=m+32-1.m2-3m=m2+6m +9- m2+3m=9m +9 b) Ta có a = 1≠0 + Để phương trình vơ nghiệm thì: ∆'' 0⇔9m> -9? ??m>-1 + Để phương trình nghiệm kép... x2=−b''−Δ''a=−−5−316=5−316≈−0, 09 Vậy tập nghiệm phương trình S = {1,76;–0, 09} c) 5x2 + 24x + = Ta có: Δ'' = 122 – 5 .9 = 144 – 45 = 99 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−b+Δ''a=−12 +99 5≈−0,41 x2=−b−Δ''a=−12? ?99 5≈−4, 39. .. nghiệm kép thì: ∆''=0⇔9m +9= 0⇔9m= -9? ??m=-1 Câu 5: Xác định a, b’,c phương trình giải phương trình cơng thức nghiệm thu gọn: a) 5x2 – 6x –1 = b) –3x2 + 14x – = c) –7x2 + 4x = d) 9x2 + 6x + = Lời giải: