Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp Toán 9 A Lý thuyết 1 Định nghĩa Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đ[.]
Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp - Toán A Lý thuyết Định nghĩa - Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác gọi đa giác nội tiếp đường trịn Ví dụ Đường trịn (O) qua tất đỉnh tứ giác ABCD hình vẽ Do ta gọi đường trịn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD hay tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn - Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường trịn Ví dụ Đường tròn (I) tiếp xúc với tất cạnh tứ giác MNPQ hình vẽ Do ta gọi đường tròn (I) nội tiếp tứ giác MNPQ hay tứ giác MNPQ ngoại tiếp đường tròn Định lí - Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp - Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp gọi tâm đa giác Ví dụ Tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tâm O O gọi tâm tam giác ABC Trong tam giác đều, đường cao đồng thời đường trung tuyến, đường phân giác, đường phân giác Do đó, tâm giao điểm hai đường trung tuyến trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc đường cao xuất phát từ hai đỉnh tam giác Mở rộng - Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh - Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh Cho n-giác cạnh a Khi đó: - Chu vi đa giác: 2p = na (p nửa chu vi) - Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo (n−2) . 180on - Mỗi góc tâm đa giác có số đo 360on - Bán kính đường trịn ngoại tiếp: R=a2sin180on⇒a=2R . sin180on - Bán kính đường trịn nội tiếp: r=a2tan180on⇒a=2r . tan180on - Liên hệ bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp: R2−r2=a24 - Diện tích đa giác đều: S=12nar Ví dụ a) Một hình vng nội tiếp đường trịn (O; R) Tính cạnh hình vng theo R b) Một lục giác ngoại tiếp đường tròn (O; r) Tính cạnh lục giác theo r Lời giải: a) Cạnh hình vng là: a=2R . sin180on=2R . sin140o=2R . 22=R2 Vậy hình vng nội tiếp (O; R) có độ dài cạnh R2 b) Cạnh lục giác là: a=2r . tan180on=2r . tan30o=2r . 33=233r Vậy lục giác ngoại tiếp (O; r) có độ dài cạnh 233r B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Đường tròn ngoại tiếp đa giác đường tròn A Tiếp xúc với tất cạnh đa giác B Đi qua tất đỉnh đa giác C Cắt tất cạnh đa giác D Đi qua tâm đa giác Lời giải: Đường trịn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác Chọn đáp án B Câu 2: Số đường tròn nội tiếp đa giác A B C D Lời giải: Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp Chọn đáp án A Câu 3: Đường tròn nội tiếp hình vng cạnh a có bán kính Lời giải: Chọn đáp án C Câu 4: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường trịn tâm O Tính số đo góc AOB A 60° B 120° C 30° D 240° Lời giải: Ta có : Chọn đáp án A Câu 5: Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường trịn (O) Tính bán kính R đường trịn Lời giải: Do O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O đồng thời trọng tâm tam giác AB Gọi M trung điểm BC: Chọn đáp án B Câu 6: Cho hình vng ABCD cạnh a.Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng Tính bán kính R (O)? Lời giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Khi đó, bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD R = OA Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vng ABC ta có: Chọn đáp án C Câu 7: Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O) Tính số đo AB⌢ A 72° B.60° C 120° D 90° Lời giải: Do ABCDE ngũ giác nội tiếp đường tròn (O) nên: Suy ra, sđ AB⌢= 72° Chọn đáp án A Câu 8: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp lục giác ABCDEF Tính A 120° B.60° C 90° D 150° Lời giải: Ta có, đường tròn (O) ngoại tiếp lục giác ABCDEF nên Chọn đáp án A Câu 9: Cho tam giác ABC cạnh a ngoại tiếp đường trịn tâm O Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC? Lời giải: Gọi M trung điểm BC: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H giao điểm OA BC Xét tam giác OAC, có OA = OC => tam giác OAC cân O Ta có tam giác ABC cân A => AO đường trung trực tam giác đường phân giác tam giác ⇒CAO^=BAO^=BAC^2=120°2=60° Do tam giác OAC tam giác Đặt OA = OC = AC = x Vì OA đường trung trực BC nen H trung điểm BC => BH = CH = BC2=62=3cm Vì CH vng góc với OA nên CH đường trung tuyến nên H trung điểm AO ⇒AH=OH=OA2=x2(cm) Xét tam giác ACH vng H ta có: AC2=AH2+CH2(định lý Py – ta – go) ⇔x2=x22+32 ⇔x2=x24+9 ⇔x2−x24=9 ⇔3x24=9 ⇔x2=9:34 ⇔x2=12 ⇔x=23 cm Câu 5: Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn AB + CD = AD + BC Lời giải: * Chứng minh chiều thuận: Nếu ABCD ngoại tiếp đường trịn AB + CD = AD + BC Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Vẽ OE, OF, OG, OH theo thứ tự vng góc với AB, BC, CD, AD E, F, G, H Vì OE vng góc với AB (O) tiếp xúc với AB E nên AB tiếp tuyến đường trịn (O) Vì OF vng góc với BC (O) tiếp xúc với BC F nên BC tiếp tuyến đường tròn (O) Hai tiếp tuyến AB BC cắt B BE = BF (tính chất) (1) Chứng minh tương tự ta CF = CG; DG = DH; AH = AE (2) Ta có: AE + EB = AB (3) BF + CF = BC (4) CG + GD = CD (5) AH + DH = AD (6) Từ (1); (2); (3); (4); (5); (6) ⇒AB+CD=AD+BC * Chiều ngược lại: Nếu AB + CD = AD + BC tứ giác ABCD tứ giác ngoại tiếp - Nếu AB = AD CD = CB Khi giao điểm I AC với đường phân giác góc B tâm đường trịn nội tiếp tứ giác ABCD Ta có điều phải chứng minh - Khơng tính tổng qt ta xem AB > AD Vì AB + CD = AD + CB nên BC > CD Do tồn điểm E F theo thứ tự AB, BC cho AE = AD, CF = CD Ta có: AB + CD = AD + CB => AE + BE + CD = AD + CF + FB => BE = FB Ta có: Tam giác ADE cân A AD = AE ... gọi đường trịn (I) nội tiếp tứ giác MNPQ hay tứ giác MNPQ ngoại tiếp đường tròn Định lí - Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp - Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại. .. tròn ngoại tiếp đa giác Chọn đáp án B Câu 2: Số đường tròn nội tiếp đa giác A B C D Lời giải: Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp Chọn đáp án A Câu 3: Đường tròn nội. .. ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp gọi tâm đa giác Ví dụ Tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tâm O O gọi tâm tam giác ABC Trong tam giác đều, đường