Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TẠ THỊ THANH BẤT ĐẲNG THỨC BERNSTEIN MARKOV CHO ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QU[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TẠ THỊ THANH BẤT ĐẲNG THỨC BERNSTEIN - MARKOV CHO ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TẠ THỊ THANH BẤT ĐẲNG THỨC BERNSTEIN - MARKOV CHO ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến TS Trịnh Đào Chiến, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện q trình nghiên cứu khoa học để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê trường Đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Cao học Toán K23, gia đình bạn bè giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày 29 tháng năm 2022 Học viên thực Tạ Thị Thanh i Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu 0.1 Cơ sở khoa học, tính thực tiễn lí chọn đề tài 0.2 Mục đích đề tài 0.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 0.4 Nội dung đề tài 0.5 Phương pháp nghiên cứu 0.6 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Đa thức Chebyshev 1.1.1 Đa thức Chebyshev Loại 1.1.2 Đa thức Chebyshev Loại 13 Đa thức nội suy Lagrange 15 1.2.1 Định lý 15 1.2.2 Hệ 16 Ý nghĩa hình học cơng thức nội suy Lagrange 16 Bất đẳng thức Bernstein- Markov 18 2.1 Lịch sử vấn đề 18 2.2 Bất đẳng thức Bernstein- Markov trường số thực 22 2.2.1 22 Cách chứng minh thứ ii 2.2.2 2.3 Cách chứng minh thứ hai 27 Bất đẳng thức Bernstein-Markov trường số phức 35 Một số ứng dụng Bất đẳng thức Bernstein – Markov tốn phổ thơng 38 3.1 3.2 Ứng dụng Bất đẳng thức Bernstein – Markov để thiết lập toán 39 Ứng dụng Bất đẳng thức Bernstein – Markov Đa thức Chebyshev để giải toán 45 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 Mở đầu 0.1 Cơ sở khoa học, tính thực tiễn lí chọn đề tài Dimitri Ivanovich Mendeleev p1856 1922q, nhà Hóa học người Nga, người phát minh Bảng tuần hoàn ngun tố Hóa học, q trình áp dụng Tốn học để nghiên cứu Hóa học đặt câu hỏi: Nếu P pxq đa thức bậc hai trờn trng s thc v |P pxq| Ô 1, @x P r1; 1s, ước lượng cho |P pxq| đoạn r1; 1s không? Sau thời gian, ơng trả lời câu hỏi mình, với kết sau đây: Nếu P pxq đa thức bậc hai trường số thực v |P pxq| Ô 1, @x P r1; 1s, thỡ |P 1pxq| Ô 4, @x P r1; 1s ễng ó thơng báo kết cho nhà tốn học Andrey Andreyevich Markov (1856 - 1922), nhà toán học người Nga, chuyên gia Xác suất - Thống kê, bạn vong niên ơng, học trị P L Chebyshev A A Markov kiểm tra lại kết thấy Hơn nữa, ơng tổng qt hóa kết D I Mendeleev kết sâu sắc sau : Nếu P pxq đa thức bậc n, pn ¥ 1q trường s thc v |P pxq| Ô 1, @x P r1; 1s, thỡ |P 1pxq| Ô n2, @x P r1; 1s (1) Đẳng thức xảy P pxq Tn pxq, x 1, Tn pxq Đa thức Chebyshev loại Bất đẳng thức (1) gọi Bất đẳng thức Markov Kết trên, sau đó, nhà tốn học người Nga Sergei Natanovich Bernstein (1880 - 1968) tổng quát hóa trường số phức, với định lý sau Nếu P pz q đa thức bậc n, pn ¥ 1q trường số phức, max |P pz q| Ô n.max |P pz q| |z|1 |z|1 (2) Với lịch sử hình thành kết nêu, bất đẳng thức (1) (2) gọi với tên chung Bất đẳng thức Bernstein - Markov Việc nghiên cứu Bất đẳng thức Bernstein - Markov gắn liền với khái niệm Đa thức Chebyshev Giả sử Tn pxq đa thức biến số x P R, bậc n Ta biết rằng, với x P r1; 1s tồn α P r0; πs cho x cosα, x 1 α π, x α Khi đó, hàm số y cosx hàm giảm nghiêm ngặt đoạn r1; 1s nên α arccosx Tn pxq Tn pcosαq đa thức bậc n theo cosα Ngồi ra, theo Cơng thức Moivre, cosnα biểu diễn đa thức bậc n theo cosα Lưu ý rằng, với Tn pxq đa thức xác định trước hai đa thức bậc n theo cosα thường khác Một cách tự nhiên, người ta nghĩ đến việc bổ sung thêm điều kiện Tn pxq cosnα, x cosα, cho đa thức Tn pxq Khi đó, khái niệm Đa thức Chebyshev hình thành, đặt tên theo nhà toán học Nga Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821 1894) Đa thức Chebyshev cầu nối đẹp đẽ đa thức Đại số đa thức Lượng giác Bất đẳng thức Bernstein - Markov bất đẳng thức sở nhiều bất đẳng thức liên quan đến ước lượng đa thức phổ thơng Đối với chương trình Tốn phổ thơng, đặc biệt Hệ Chun Tốn, Bất đẳng thức Bernstein - Markov có nhiều ứng dụng quan trọng, đặc biệt để giải lớp toán liên quan, thường có mặt đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi nước Olympic Tốn quốc tế Do đó, việc nghiên cứu Bất đẳng thức Bernstein - Markov ứng dụng cần thiết, có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp mà học viên chủ yếu giáo viên cấp Trung học phổ thông giảng viên trường Đại học, Cao đẳng Trung cấp chuyên nghiệp Luận văn phần đáp ứng yêu cầu 0.2 Mục đích đề tài Đề tài đề cập đến Bất đẳng thức Bernstein - Markov số áp dụng việc giải nhiều dạng tốn khó, thường xuất đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi cấp Olympic Toán quốc tế Nhiều tập học viên tự sáng tác giới thiệu luận văn, từ việc áp dụng Bất đẳng thức Bernstein - Markov 0.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức Bernstein - Markov Phạm vi nghiên cứu: Toán cao cấp (chủ yếu thuộc lĩnh vực Giải tích) ứng dụng vào chương trình Tốn cấp Trung học phổ thơng 0.4 Nội dung đề tài Ngoài nội dung quy định cấu trúc luận văn Thạc sĩ, với mục đích nêu trên, nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Đề cập đến Đa thức Chebyshev loại 1, Đa thức Chebyshev loại 2, Đa thức nội suy Lagrange số tính chất đa thức Chương Bất đẳng thức Bernstein – Markov Chương đề cập đến Bất đẳng thức Bernstein – Markov trường số thực (với nhiều cách chứng minh) Bất đẳng thức Bernstein - Markov trường số phức Chương Một số ứng dụng Bất đẳng thức Bernstein – Markov tốn phổ thơng Chương chủ yếu đề cập đến việc thiết lập toán giải nhiều tốn khó, đề thi chọn học sinh giỏi nước kỳ Olympic Toán 0.5 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu: Tham khảo tài liệu sưu tầm được, học viên tự nghiên cứu đề tài, định hướng người hướng dẫn khoa học 0.6 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn có ý nghĩa khoa học áp dụng kiến thức Bất đẳng thức Bernstein – Markov (trên trường số thực) tốn phổ thơng, chủ yếu việc thiết lập tốn giải nhiều tốn khó, đề thi chọn học sinh giỏi nước kỳ Olympic Toán Chương Kiến thức chuẩn bị Chương đề cập đến số kiến thức đa thức Chebyshev, đa thức nội suy Lagrange số kiến thức liên quan Nội dung Chương tham khảo r1s r2s 1.1 Đa thức Chebyshev Giả sử Tn pxq đa thức biến số x P R, bậc n Ta biết rằng, với x P r1; 1s tồn α P r0; π s cho x cos α, x 1 α π, x α Khi đó, hàm số y cosx hàm giảm nghiêm ngặt đoạn r0; π s nên α arccosx Tn pxq Tn pcosαq đa thức bậc n theo cosα Ngoài ra, theo Công thức Moivre, cosnα biểu diễn đa thức bậc n theo cosα Lưu ý rằng, với Tn pxq đa thức xác định trước hai đa thức bậc n theo cosnα thường khác Một cách tự nhiên, người ta nghĩ đến việc bổ sung thêm điều kiện Tn pxq cosnα, x cosα, cho đa thức Tn pxq Khi đó, khái niệm Đa thức Chebyshev (Loại 1) hình thành, đặt tên theo nhà toán học Nga Pafnuty Lvovich Chebyshev ... Cách chứng minh thứ hai 27 Bất đẳng thức Bernstein- Markov trường số phức 35 Một số ứng dụng Bất đẳng thức Bernstein – Markov tốn phổ thơng 38 3.1 3.2 Ứng dụng Bất đẳng thức Bernstein. .. giác Bất đẳng thức Bernstein - Markov bất đẳng thức sở nhiều bất đẳng thức liên quan đến ước lượng đa thức phổ thông Đối với chương trình Tốn phổ thơng, đặc biệt Hệ Chun Tốn, Bất đẳng thức Bernstein. .. thức chuẩn bị Đề cập đến Đa thức Chebyshev loại 1, Đa thức Chebyshev loại 2, Đa thức nội suy Lagrange số tính chất đa thức Chương Bất đẳng thức Bernstein – Markov Chương đề cập đến Bất đẳng thức