đa thức chebyshev và ứng dụng

BÀ GIÁO D÷C VÀ ÀO TĐO TR◊ÕNG ĐI H≈C QUY NHÃN NGUYôN TH¿ Mfl HIõP A THŸC CHEBYSHEV VÀ ŸNG D÷NG LN VãN THĐC Sû TỐN H≈C Bình ‡nh - 2021 BÀ GIÁO D÷C VÀ ÀO TĐO TR◊ÕNG ĐI H≈C QUY NHÃN NGUYôN TH¿ Mfl HIõP A THŸC CHEBYSHEV VÀ NG DữNG Chuyờn ngnh: Phẽng phỏp Toỏn còp Mó sË: 46 01 13 Ng˜Ìi h˜Ĩng d®n: TS LÊ THANH BÍNH Bình ‡nh - 2021 Cơng trình ˜Ịc hồn thnh tĐi TRếNG ẹI HC QUY NHN Ngèi hểng dđn: TS LÊ THANH BÍNH Ph£n biªn 1: PGS.TS inh Thanh ˘c Ph£n biªn 2: TS Nguyπn V´n BÁng Lu™n v´n ềc bÊo vê tĐi Hẻi ng ỏnh giỏ lun thĐc sổ chuyờn ngnh Phẽng phỏp toỏn còp tĐi Tr˜Ìng §i hÂc Quy NhÏn, vào ngày 29 tháng n´m 2021 Có th∫ tìm hi∫u lu™n v´n t§i: - Trung tõm Thụng tin th viên, Trèng Đi hc Quy NhÏn - Khoa Tốn ThËng kê, Tr˜Ìng §i hÂc Quy NhÏn LÕI CAM OAN Tôi xin cam oan nẻi dung trỡnh by l trung thác v khụng trùng l∞p vĨi ∑ tài khác Tơi cÙng xin cam oan cỏc kt quÊ nờu lun vn, ti liêu tham khÊo v nẻi dung trớch dđn Êm bÊo tính trung th¸c, xác Bình ‡nh, tháng n´m 2021 Tác gi£ Nguyπn Th‡ Mˇ Hiªp i Mˆc lˆc M ¶u KIòN THŸC CHUâN B¿ 1.1 a th˘c mỴt bi∏n 1.2 Công th˘c nỴi suy Lagrange 1.3 Công th˘c Euler cho sË ph˘c 1.4 Công th˘c De - Moirve 1.5 Cơng th˘c hình thang 1.5.1 Mô t£ ph˜Ïng pháp 1.5.2 ánh giá sai sË A THŸC CHEBYSHEV 2.1 2.2 ‡nh nghæa a th˘c Chebyshev MỴt sË tính chßt quan trÂng cıa a th˘c Chebyshev MÀT S» ŸNG D÷NG C’A 3.1 14 A THŸC CHEBYSHEV 27 Ÿng dˆng cıa a th˘c Chebyshev mẻt sậ bi toỏn tr liờn quan n a th˘c 27 3.2 ‡nh l˛ Berstein - Markov 39 3.3 Xòp xứ mẻt hm sậ bi a th˘c Chebyshev 44 3.4 Ÿng dˆng a th˘c Chebyshev vào gi£i ph˜Ïng trình b™c cao 51 KòT LUäN 55 TÀI LIõU THAM KHÉO 56 M ¶u a th˘c có v‡ trí quan trÂng Tốn hÂc, khơng chø Ëi t˜Ịng nghiên c˘u trÂng tâm cıa §i sË mà cịn cơng c c lác ca GiÊi tớch l thuyt xòp xø, l˛ thuy∏t bi∫u diπn, l˛ thuy∏t tËi ˜u, Ngoài a th˘c cịn ˜Ịc s˚ dˆng nhi∑u tốn cao còp, toỏn ng dng a thc l mẻt chuyờn ∑ quan trÂng th˜Ìng g∞p thi hÂc sinh gi‰i phÍ thơng, Olympic sinh viên, Trong lo§i a th˘c, ta không th∫ không nh≠c ∏n a th˘c Chebyshev gi˙a §i sË l˜Ịng giác ó a thc cú mậi liờn àp a thc Chebyshev cú nhi∑u ˘ng dˆng gi£i tốn THPT chØng h§n nh˜ ˘ng dˆng cıa a th˘c Chebyshev toán c¸c tr‡ liên quan ∏n a th˘c, gi£i ph˜Ïng trình b™c cao, tốn l˜Ịng giác liên quan ∏n sË h˙u tø, toán sË hÂc, ánh giá a thc, biu din mẻt a thc v dĐng a th˘c Chebyshev, Vì v™y tơi chÂn ∑ tài " A THŸC CHEBYSHEV VÀ ŸNG D÷NG" ∫ làm lu™n v´n tËt nghiêp ca mỡnh Lun ny, ngoi cỏc phản mc lc, phản m ảu, phản kt lun v ti liêu tham kh£o lu™n v´n ˜Ịc chia làm chẽng Nẻi dung tng chẽng: ã Chẽng Trong ch˜Ïng này, s≥ ∑ c™p ∏n ki∏n thc, khỏi niêm cẽ bÊn nhăm lm nn tÊng cho nẻi dung chớnh chẽng v chẽng ã Ch˜Ïng Trong ch˜Ïng này, chúng tơi t™p trung trình by mẻt cỏch thậng, ảy khỏi niêm, tớnh chòt ca a thc Chebyshev ã Chẽng Trong chẽng ny, chỳng tụi trung trỡnh by mẻt cỏch thËng, phân lo§i ˘ng dˆng cıa a th˘c Chebyshev vào tốn THPT, Olympic Lu™n v´n ˜Ịc hồn thành d˜Ĩi sá hểng dđn ca TS Lờ Thanh Bớnh Tụi xin bày t‰ lịng bi∏t Ïn sâu s≠c ∏n Th¶y sá tn tỡnh hểng dđn, bÊo tụi suật quỏ trỡnh thác hiên v hon thiên lun ny Tơi cÙng xin bày t‰ lịng bi∏t Ïn chân thành n Ban Giỏm hiêu Trèng Đi hc Quy Nhẽn, Phũng t§o sau §i hÂc, Khoa Tốn ThËng kê cựng qu thảy, cụ giỏo ó giÊng dĐy lểp cao hÂc Ph˜Ïng pháp tốn sÏ cßp - Khóa 22, nh˙ng ngèi ó tn tõm giÊng dĐy, tĐo mi iu kiên tËt nhßt cho tơi hÂc t™p nghiên c˘u ∫ tơi có th∫ hồn thành lu™n v´n Bình ‡nh, tháng n´m 2021 Tác gi£ Nguyπn Th‡ Mˇ Hiªp Ch˜Ïng KIòN THŸC CHUâN B¿ Ch˜Ïng nh≠c lĐi mẻt sậ kin thc cẽ bÊn v a thc, ngồi cịn nêu mỴt sË cơng th˘c nh˜: cơng th˘c nỴi suy Lagrange, cơng th˘c Euler cho sË ph˘c, cơng th˘c De - Moirve, cơng th˘c hình thang Các k∏t qu£ ch˜Ïng chı y∏u tham kh£o t ti liêu [1], [6] 1.1 a thc mẻt bin Trong tốn hÂc, a th˘c mỴt vành (ho∞c tr˜Ìng) K l mẻt biu thc dểi dĐng tng Đi sậ cıa Ïn th˘c MÈi Ïn th˘c tích cıa mẻt phản t ( ềc gi l t hoc sậ) thuẻc K vểi cỏc lu tha tá nhiờn cıa bi∏n ‡nh nghæa 1.1 (xem[3]) Cho P (x) có d§ng P (x) = a0 + a1 x + + an xn + an x n , vểi cỏc sậ R l mẻt a th˘c mỴt bi∏n R N∏u an 6= P (x) a th˘c mỴt bi∏n b™c n n X ng≠n gÂn x i i=0 a th˘c có th∫ vi∏t Chúng ta bi∏t mẻt a thc mẻt bin cú th cú mẻt nghiªm, nhi∑u nghiªm ho∞c khơng có nghiªm Mªnh ∑ 1.2 Sậ nghiêm tậi a ca a thc mẻt bin khụng v˜Ịt q b™c cıa a th˘c ó Ti∏p theo ta tỡm hiu mẻt vòn cú liờn quan n a th˘c 1.2 Cơng th˘c nỴi suy Lagrange Gi£ s˚ x1 , x2 , , xn , xn+1 n + sậ thác ụi mẻt khỏc v y1 , y2 , , , yn , yn+1 n + sậ thác bòt k Mc ớch ca chỳng ta s≥ tìm a th˘c P (x) có b™c bé hÏn hoc băng n thoÊ iu kiên P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , P (x3 ) = y3 , , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1 a th˘c P (x) có th∫ ˜Ịc xây d¸ng t¯ a th˘c P1 (x), P2 (x), P3 (x), , Pn (x), Pn+1 (x) nh˜ sau P (x) = y1 P1 (x) + y2 P2 (x) + y3 P3 (x) + + yn Pn (x) + yn+1 Pn+1 (x), ó a th˘c P1 (x), P2 (x), P3 (x), , Pn (x), Pn+1 (x) ˜Òc xác ‡nh nh˜ sau (x x2 )(x (x1 x2 )(x1 (x x1 )(x P2 (x) = (x2 x1 )(x2 P1 (x) = x3 ) (x x3 ) (x1 x3 ) (x x3 ) (x2 xn )(x xn+1 ) xn )(x1 xn+1 ) xn )(x xn+1 ) xn )(x2 xn+1 ) Pn (x) = (x x1 )(x (xn x1 )(xn x2 ) (x xn )(x xn+1 ) x2 ) (xn xn )(xn xn+1 ) 42 + VĨi x1 < x  x xk > Tn (x) có dßu khơng Íi nên t¯ (1), ta có: n X Tn (x |P (x)|  = |nUn (x)| = |Un (x)| n x xk n k=1 p p ⇡ + VĨi xn  x  x1 xk x21 = sin 2n ⇤ BÍ ∑ 3.15 Cho a th˘c l˜Òng giác P (t) = a1 sin t + a2 sin 2t + + an sin nt tho£ mãn i∑u kiªn |P (t)|  1, 8t R \ { , 2⇡, ⇡, 0, ⇡, 2⇡, } Khi ó, P (t)  n, 8t R \ { , 2⇡, ⇡, 0, ⇡, 2⇡, } sin t P (t) Ch˘ng minh Ta thòy = Pn (cos t) vểi Pn (x) ˜Ịc vi∏t sin t d˜Ĩi d§ng (3.8) ∞t cos t = x Khi ó |x|  P (t) = sin tPn (cos t) = p x2 Pn (x) Ta thßy P (x) tho£ mãn i∑u kiªn cıa BÍ ∑ 3.14 nên |Pn (x)|  n, 8x [ 1; 1] Do ó, P (t)  n, 8t R \ { , 2⇡, ⇡, 0, ⇡, 2⇡, } sin t ⇤ BÍ ∑ 3.16 Cho a th˘c l˜Ịng giác n X P (x) = (aj cos jx + bj sin jx) j=0 43 tho£ mãn i∑u kiªn |P (x)|  1, 8x R Khi ó P (x)  n, 8x R Ch˘ng minh Cho tr˜Óc x0 tu˝ ˛ Do cos(x0 x) cos(x0 + x) = sin x0 sin x, sin(x0 + x) sin(x0 x) = cos x0 sin nên P (x0 + x) + P (x0 g(x) = x) P (x0 + x) P (x0 cj sin jx j=0 Suy g (x) = = n X x) g (0) = P (0) Ta c¶n ch˘ng minh |g (0)|  n Th™t v™y, g(x) a th˘c l˜Ịng giác ch˘a thu¶n sin nh˜ BÍ ∑ 3.15 g(x) = P (x0 + x) + P (x0 x)  |P (x0 + x)| + |P (x0 x)|  1, nên, theo BÍ ∑ 3.15, g(x)  n, 8x R \ { , 2⇡, ⇡, 0, ⇡, 2⇡, } sin x (3.9) M∞t khác, ta g(0) = g(x) x g(0) x  n, sin x nên x ! 0, g(x) x g(0) x ! g (0) , ! 1, sin x ta nh™n ˜Ịc |g (0)|  n T¯ ó ta có |P (x0 )|  n Nh˜ng x0 ˜Òc chÂn tu˝ ˛ nên suy |P (x)|  44 ⇤ n, vĨi mÂi x R Bây giÌ ta ch˘ng minh Ch˘ng minh ‡nh l˛ Berstein - Markov ∞t x = cos ↵ Khi ó theo gi£ thi∏t |Pn (cos ↵)|  Ngoài ra, Pn (cos ↵) có d§ng Pn (cos ↵) = n X (aj cos j↵ + bj sin j↵), j=0 nên theo BÍ ∑ 3.16, ta có |sin ↵Pn0 (cos ↵)| Theo BÍ ∑ 3.15, ta có p 1) x2 Pn0 (x)  n Pn0 (x)  n Suy n |Pn0 (x)| n2 3.3 Xòp xứ mẻt hm sË bi a th˘c Chebyshev Nh˜ ta ã bi∏t, mỴt a th˘c Chebyshev Tn (x) có th∫ bi∫u diπn tuy∏n tính qua tÍ hỊp cıa x0 , x1 , , xn ta có th∫ xác ‡nh ˜Ịc sậ ca chỳng Vy mẻt a thc cú bc n có th∫ bi∫u diπn tuy∏n tính thơng qua n + a th˘c T0 (x), T1 (x), , Tn (x) hay khơng? Và ta có th∫ xác ‡nh ˜Ịc hª sË cıa chúng khơng? ∫ tr£ lÌi câu h‰i này, ta tìm hi∫u k∏t qu£ cıa mªnh ∑ d˜Ĩi ây Mªnh ∑ 3.17 (xem [4]) VĨi mÂi a th˘c f (x) b™c n (n 1), ∑u có th∫ bi∫u diπn d˜Ĩi d§ng f (x) = a0 T0 (x) + a1 T1 (x) + a2 T2 (x) + + an Tn (x) cách bi∫u diπn nhßt (an 6= 0) (3.10) 45 Ch˘ng minh Ta có Tn (x) a th˘c b™c n cú sậ cao nhòt l 2n nờn ta có th∫ vi∏t Tn (x) = 2n xn + '(x), (vÓi '(x) a th˘c b™c nh‰ hÏn n) Suy xn = 1 '(x) 2n 2n Theo phẽng phỏp quy nĐp ta cú th thay lản lềt xn băng cỏc a thc Tn (x), vểi n T (x) n Bây giÌ ta ch˘ng minh tính nhßt cıa bi∫u diπn Gi£ s˚, ta có f (x) = a0 T0 (x) + a1 T1 (x) + a2 T2 (x) + + an Tn (x) = a00 T0 (x) + a01 T1 (x) + a02 T2 (x) + + a0n Tn (x) Khi ó = (a0 a00 )T0 (x)+(a1 a01 )T1 (x)+(a2 a02 )T2 (x)+ +(an a0n )Tn (x), 8x R (3.11) Vì v™y a0 a00 = a1 a01 = a2 a02 = = an a0n = T˘c a0 = a00 , a1 = a01 , a2 = a02 , , an = a0n ⇤ Bây giÌ ta i xác ‡nh hª sË a0 , a1 , , an ∫ dπ theo dõi, tr˜Óc h∏t ta xét tr˜Ìng hỊp sau Ta có th∫ bi∫u th‡ Chebyshev cho sË h§ng xn , n = 1, 2, 3, theo sË h§ng Tn (x) Phép bi∫u diπn Chebyshev cho xn dπ dàng §t ˜Ịc băng giÊi cỏch a thc Chebyshev C th nh sau 46 T0 (x) = ) x0 = = T0 (x), T1 (x) = x ) x = T1 (x), T2 (x) = 2x2 = 2x2 T3 (x) = 4x3 3x = 4x3 [T2 (x) + T0 (x)] 3T1 (x) ) x3 = [T3 (x) + 3T1 (x)] T0 (x) ) x2 = T˜Ïng t¸ cho b™c cao hÏn a th˘c Chebyshev có th∫ ˜Ịc s˚ dˆng ∫ làm xßp xø sË a th˘c ∫ ng˜Ịc l§i s˚ dˆng ph˜Ïng pháp bỡnh phẽng tậi thiu S dng cỏc tớnh chòt trác giao cıa a th˘c Chebyshev cho phép xßp xø hàm sË bi a th˘c Chebyshev Trong ph¶n s xòp xứ mẻt hm sậ bi a thc Chebyshev N∏u có mỴt hàm sË f (x) mà chỳng ta muận nú gản ỳng vểi mẻt loĐt cỏc a th˘c Chebyshev, t˘c f (x) ⇡ c0 + c1 T1 (x) + c2 T2 (x) + + cn Tn (x) (3.12) Ta c¶n xác ‡nh hª sË cıa ci , i = 0, n Tm (x) Ph˜Ïng pháp  ây ta s≥ nhân f (x) vĨi p lßy tích phân x2 oĐn [ 1; 1], băng cỏch s dng tớnh chòt trác giao ca Tn (x) Do ú, ta cú Z f (x)Tm (x) p dx = c0 x2 Z Z n X Tm (x) p dx + cm x2 m=1 1 Tn (x)Tm (x) p dx x2 (3.13) 47 M∞t khác, theo Mªnh ∑ 2.16, ta có > > (m 6= n) > > Z < ⇡ p Tn (x)Tm (x)dx = (m = n 6= 0) > x2 > > > : ⇡ (m = n = 0) ta thu ˜Òc Z Z f (x)Tm (x) p dx = ⇡cm ) cm = ⇡ x2 1 f (x)Tm (x) p dx x2 (3.14) Viªc ánh giá tích phân cho cm cho bi (3.14) núi chung s phÊi thác hiên băng sậ v tr˜Ìng hỊp nh˜ v™y rßt quan trÂng ∫ £m bÊo lẩi lm trũn l nh, hoc ẻ chớnh xỏc cú sặn thụng qua xòp xứ Chebyshev tểi f (x) s≥ ˜Ịc gi£m bĨt Trong mỴt vài tr˜Ìng hỊp ∞c biªt, tích phân có th∫ ˜Ịc ánh giá vßn ∑ lÈi làm trịn khơng phát sinh: quan trÂng nhßt tr˜Ìng hỊp f (x) = xn (n 6= 0) ta s≥ mô t£ tr˜Ìng hỊp d˜Ĩi ây Tr˜Ĩc h∏t, ta xem xét mỴt ví dˆ Ïn gi£n mà cơng th˘c (3.14) s≥ ˜Ịc t˜Ìng minh d˜Ĩi d§ng sË Ví dˆ 3.18 Tìm mẻt xòp xứ bc cho ex băng cỏch s dˆng a th˘c Chebyshev LÌi gi£i Gi£ s˚ ta có xßp xø ex ⇡ c0 + c1 T1 (x) + c2 T2 (x) + + cn Tn (x) T¯ (3.14) , ta có ci = ⇡ Z ex Ti (x) p dx (i = 0, 1, 2, 3) x2 ∞t x = cos ✓, ta có dx = sin ✓d✓ = p cos ✓ d✓ = p x2 d✓ 48 Khi x = 1, ✓ = x = 1, ✓ = ⇡ Do ó ci = ⇡ Z ⇡ ecos ✓ cos(i✓) ⇣ p p 1 x2 x2 ⌘ d✓ = ⇡ Z ⇡ ecos ✓ cos(i✓)d✓ (3.15) Trong viªc ánh giá tích phân có ch˘a hàm tu¶n hồn nh˜ mẻt sậ hm lòy tớch phõn thèng l tật nhòt s dng cỏc cụng thc cảu phẽng Ïn gi£n, chØng h§n nh˜ quy t≠c trung i∫m, quy tc Simpson hoc quy tc hỡnh thang Băng cỏch s dng mẻt cỏc phẽng phỏp ny, sậ ci cú th ềc ỏnh giỏ cho mẻt loĐt giÊm bểc-cễ k∏t qu£ so sánh i∑u s≥ thi∏t l™p mỴt vài tin t˜ng vào Ỵ xác cıa k∏t ⇡ qu£ Do ó dùng quy t≠c hình thang vĨi b˜Ĩc-cƠ sË k (k = 1, 2, 3, 4), h f (x) ⇡ (y0 + 2y1 + 2y2 + + 2yn + yn ), ó h cƠ b˜Ĩc T¯ ph˜Ïng trình (3.15), ta tìm ˜Òc ánh giá cho c0 nh˜ sau c0 = ⇡ Z ⇡ ecos ✓ d✓ = f (x), ⇡ ⇡ ⇡ VĨi k = ta có h = kho£ng (0; ⇡) ta có ba i∫m 0, , ⇡ 2 cos ✓ Do ó có y = e ⇡ ⇡ y e e ✓ Tích phân băng quy tc hỡnh thang s cho 2h ⇣⇡ ⌘ ⇥ c0 = f (x) ⇡ (y0 +2y1 +y2 ) = e + 2.1 + e ⇡ 2, 543081 ⇡ ⇡2 ⇡ 2 VĨi k = 2, ta có h = ⇡ ⇡ ⇡ 3⇡ kho£ng (0; ⇡) ta có n´m i∫m 0, , , , ⇡ 4 49 ⇡ ⇡ 3⇡ ⇡ 4 y 2,718282 2,028115 0,493069 0,367879 ✓ c0 = 2h f (x) ⇡ (y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + y4 ) ⇡ ⇡ 2✓ ◆ ⇣⇡ ⌘ = [2, 718282 + 2(2, 028115 + + 0, 493069) ⇡ + 0, 367879] ⇡ 2, 532132 Ta có b£ng ˜Ĩc l˜Ịng sau k ◊Ĩc l˜Òng 2,543081 (6 ch˙ sË th™p phân) 2,532132 (6 ch˙ sË th™p phân) 2,53213176 (6 ch˙ sË th™p phân) 2,53213176 (8 ch˙ sË th™p phân) Và ta có k∏t lu™n c0 = 2, 53213176 ∏n ch˙ sË th™p phân Các hª sË khác ˜Ịc tính tốn t˜Ïng t¸ ta tìm ˜Ịc ( ∏n ch˙ sË sau dßu th™p phân) c1 ⇡ 1, 13031821 ; c2 ⇡ 0, 27149534 ; c3 ⇡ 0, 04433685 Cho nờn xòp xứ cản tỡm l ex 1, 26606588 · T0 (x) + 1, 13031821 · T1 (x) + 0, 27149534 · T2 (x) + 0, 04433685 · T3 (x) (3.16) Khơng c¶n thi∏t ∏n b™c luˇ th¯a cıa x cho cơng th˘c mà có th∫ dựng trác tip cho tớnh toỏn ca xòp xứ n ex băng cỏch s dng a 50 thc Chebyshev Tn (x) Do ó, ta lßy ví dˆ vĨi x = 0, 8, t¯ ‡nh nghỉa 2.2 ta có T0 (0, 8) = 1, T1 (0, 8) = 0, HÏn n˙a T2 (0, 8) = 2(0, 8)2 = 0, 28 T3 (0.8) = 2(0, 8)(0, 28) 0, = 0, 352 Do ó t¯ (3.16), ta có k∏t qu£ (làm tròn ∏n ch˙ sË th™p phân) e0,8 ⇡ 2, 2307 Giá tr‡ úng ∏n ch˙ sË phản thp phõn l 2,2255 Ta cú xòp xứ bc ba Đt ềc băng cỏch s dng chuẩi Taylor cho ex ∏n sË h§ng th˘ (˘ng vĨi x3 ), ta ˜Òc 1 ex = + x + x2 + x3 + 1 ⇡ + 0, + (0, 8)2 + (0, 8)3 = 2, 2053 Ta có sai sË hai xßp xø nh˜ sau Sai sË xßp xø Chebyshev EChebyshev ⇡ |2, 2255 2, 2307| = 0, 0052 Sai sË cıa chuÈi Taylor ET aylor ⇡ |2, 2255 2, 22053| = 0, 0202 So sánh hai k∏t qu£ trên, ta thßy sai sË chuÈi Taylor gản gòp lản ca xòp xứ Chebyshev Tuy nhiên, cho giá tr‡ x = 0, xßp xø chuÈi Taylor (e0,2 ⇡ 1, 2213) cho giá tr‡ tËt hÏn xßp xø Chebyshev (e0,2 ⇡ 1, 2172), vĨi giá tr‡ g¶n úng cıa e0,2 ⇡ 1, 2214 51 Nói chung, i∑u th˜Ìng x£y  mẻt vi cụng thc xòp xứ ó bit v mẩi mỴt cơng th˘c s≥ có ˜u i∫m nh˜Ịc i∫m riêng Các cơng th˘c khác có th∫ cho k∏t quÊ xòp xứ tật nhòt trờn cỏc phản khỏc cıa kho£ng 3.4 Ÿng dˆng a th˘c Chebyshev vào gi£i ph˜Ïng trình b™c cao VĨi mỴt sË cơng th˘c b™c cao cıa a th˘c Chebyshev s˚ dˆng vÓi hàm Hyperbolic cho ta h˜Ĩng suy nghỉ ∞t ©n phˆ ˜a vào tốn ph˜Ïng trình cÁng k∑nh v∑ d§ng hÁi quy ∫ gi£i quy∏t dπ dàng Mªnh ∑ 3.19 Gi£ s˚ cos nt = Pn (cos t) vÓi Pn (x) a th˘c b™c n Theo (2.18), ta có ✓ ✓ ◆◆ ✓ ◆ 1 1 Pn a+ = an + n , 8n a a 0, a 6= Mªnh ∑ 3.20 Gi£ s˚ sin(2k + 1)t = P2k+1 (sin t), ó P2k+1 (x) a th˘c §i sË b™c 2k + Kớ hiêu Q2k+1 (x) l a thc Đi sậ bc 2k + sinh bi P2k+1 (x) băng cỏch gi ngun nh˙ng hª sË ˘ng vĨi luˇ th¯a chia d˜ thay nh˙ng hª sË ˘ng vĨi luˇ tha chia d băng sậ i dòu ó ✓ ✓ ◆◆ ✓ ◆ 1 1 2k+1 Q2k+1 a = a a a2k+1 Núi riờng, ta cú mẻt sậ thc liờn quan ∏n hàm Hyperbolic th˜Ìng ˜Ịc s˚ dˆng sau: T¯ cos 2t = cos2 t 1, ta ˜Òc ✓ ◆  ✓ ◆ 1 1 a + =2 a+ a a 1, 8a 6= 52 T¯ cos 3t = cos3 t cos t, ta ✓ ◆  ✓ 1 a3 + = a+ a ˜Òc ◆ a  ✓ ◆ 1 a+ , 8a 6= a T¯ cos 5t = 16 cos5 t 20 cos3 t + cos t, ta ˜Òc ✓ ◆ 1 a5 + = 16m5 20m3 + 5m, a 1 vÓi m = (a + ), 8a 6= a T¯ sin 3t = sin t sin3 t, ta ˜Òc ✓ ◆  ✓ ◆ 1 1 a =4 a a3 a  ✓ +3 a a ◆ 20 sin3 t + sin t, ta ˜Òc ✓ ◆ 1 a5 = 16m5 + 20m3 + 5m, a5 (3.17) , 8a 6= T¯ sin 5t = 16 sin5 t (3.18) 1 vÓi m = (a ), 8a 6= a T¯ nh˙ng Øng th˘c trên, ta áp dˆng vào gi£i tốn d˜Ĩi ây Bài tốn 3.21 Gi£i ph˜Ïng trình x5 + 10x3 + 20x LÌi gi£i 18 = (3.19) ◆ 1 Ta ∞t x = a , a 6= (có th∫ ∞t ˜Ịc a hàm liên a a tˆc kho£ng ( 1, 0) (0, +1) Áng thÌi vét h∏t tồn bỴ t™p p ✓ R) T¯ ó, ph˜Ïng ✓ p a ✓ , a trình (3.19) ˜Ịc vi∏t l§i ◆5 ✓ ◆3 ✓ p p 1 + 20 a + 20 a a a ◆5 ✓ ◆3 ✓ ◆ 5 + a + a = a a a ◆ 18 = a p (2) 53 Áp dˆng (3.18) vào ph˜Ïng trình (2) ta ˜Òc s p p p ✓ ◆ 1 9 113 ± 5 p a = , (a ) a 1=0,a= a 4 Ph˜Ïng trình cú nghiêm nhòt 0s p p 113 + p x = 2@ s Bài tốn 3.22 Ch˘ng minh ph˜Ïng trình 16x5 p A p + 113 20x3 + 5x + = (3.20) cú nghiêm nhòt Tỡm giỏ tr‡ cıa nghiªm ó LÌi gi£i Ta xét tr˜Ìng hÒp sau TH1: |x|  ∞t x = cos a vĨi  a  ⇡, ph˜Ïng trình (3.20) tr thành 16 cos5 a 20 cos3 a + cos a + = , cos 5a = Hi∫n nhiên, ph˜Ïng trình vơ nghiªm nên (3.20) vơ nghiªm x vĨi |x|  ✓ ◆ 1 TH2: |x| > ∞t x = a+ vÓi a R \ {0} , áp dˆng (3.17) a ph˜Ïng trình (3.20) tr thành ✓ ◆5 ✓ ◆3 ✓ ◆ 1 1 1 16 a + 20 a + + a+ +2=0 a a a , a5 + + = a , a10 + 4a5 + = p a5 = + ,4 p a5 = 54 Suy a = a1 = a = a2 = p 2+ p p x = x1 = ,6 x = x2 = p p p 2+ p p 3+ p 2+ 3+ p p ! 3! p Mt khỏc, ta thòy a1 a2 = ) x1 = x2 Do v™y (3.20) cú nghiêm nhòt l ! Bi toỏn 3.23 Cho r sË th¸c d˜Ïng tho£ mãn p x= giá tr‡ cıa p q 2+ p 3+ p 2+ p p r r r+p = Tìm r LÌi gi£i T¯ Øng th˘c x3 + = x ✓ x+ x ◆3 ✓ ◆ x+ , x ta có p Do ó, p r+p = 6r r ✓ p + p = 66 ( r) ◆2 p r p = r r p V™y giá tr‡ cıa r p 14 r · = 198 + p = 198 r = 196 55 KòT LN Trong lu™n v´n này, tơi ã trình bày mỴt cỏch chi tit, rừ rng, thậng cỏc nẻi dung liên quan ∏n a th˘c Chebyshev, bao gÁm ˘ng dng ca a thc ny vo viêc giÊi mẻt sậ loĐi bi toỏn còp C th hẽn, úng gúp cıa tơi lu™n v´n nh˜ sau: • Trỡnh by mẻt cỏch chi tit v thậng cỏc nh nghổa v cỏc tớnh chòt ca hai loĐi a th˘c Chebyshev; Áng thÌi nêu mỴt sË Øng th˘c v mậi liờn gia hai loĐi a thc ny ã Trỡnh by mẻt cỏch chi tit, thậng v phõn loĐi mẻt sậ ng dng quan trng, thỳ v ca a thc Chebyshev viêc giÊi mẻt sậ loĐi tốn thơng dˆng ch˜Ïng trình Tốn THPT l thuyt xòp xứ Nhiu bi toỏn minh hoĐ hay ˜Ịc giĨi thiªu cho lÌi gi£i chi ti∏t Mc dự, tụi ó cú sá ảu t nghiờm tỳc, s¸ cË g≠ng nÈ l¸c st q trình thác hiên v hon thiên lun vn, nhng iu kiên thèi gian, trỡnh ẻ kin thc v kinh nghiêm nghiên c˘u khoa hÂc cịn h§n ch∏ nên lu™n v´n khó tránh kh‰i nh˙ng thi∏u sót Vì v™y, tơi rßt mong nh™n ˜Ịc s¸ thơng c£m, nh˙ng nh™n xét, góp chõn thnh t qu thảy cụ v cỏc bĐn Âc ∫ lu™n v´n ˜Ịc hồn thiªn hÏn n˙a 56 Ti liêu tham khÊo [1] PhĐm K Anh , Gi£i tích sË, [2] È TrÂng §i hÂc Qc gia H Nẻi 1996 Đt, Trản Trung Kiờn, lểp c nhõn tài n´ng Toán hÂc a th˘c Chebyshev, sinh viên K60 HKHTN- HQGHN (ngày tháng 10 n´m 2015) [3] Nguyπn H˜Ïng Giang, a th˘c nỴi suy Lagrange, a th˘c Chebyshev ˘ng dˆng, Lu™n v´n th§c sỉ Tốn hÂc tr˜Ìng §i hÂc Th´ng Long (2016) [4] Nguyπn V´n M™u, Ph§m Th BĐch Ngc, Mẻt sậ bi toỏn chn lc v l˜Òng giác, NXBGD, 2006 [5] G.Poslya G Szego, Problems and Theorems in Analysis (Volume II), Springer- Verlag, 1976 [6] Tang, Kwong-Tin, Mathematical Methods for Engineers and Scientists, Complex Analysis, Determinants and Matrices (2007) [7] Theodore J, Rivlin, The Chebyshev polynomials, John Wiley Sons, 1974 ... A THŸC CHEBYSHEV 2.1 2.2 ‡nh nghæa a th˘c Chebyshev MỴt sË tính chßt quan trÂng cıa a th˘c Chebyshev MÀT S» ŸNG D÷NG C’A 3.1 14 A THŸC CHEBYSHEV 27 Ÿng dˆng cıa a th˘c Chebyshev. ..BÀ GIÁO D÷C VÀ ÀO TĐO TR◊ÕNG ĐI H≈C QUY NHÃN NGUYôN TH¿ Mfl HIõP A THŸC CHEBYSHEV VÀ ŸNG DữNG Chuyờn ngnh: Phẽng phỏp Toỏn còp Mó sậ: 46 01 13... l˛ Berstein - Markov 39 3.3 Xòp xứ mẻt hm sậ bi a thc Chebyshev 44 3.4 Ÿng dˆng a th˘c Chebyshev vào gi£i ph˜Ïng trình b™c cao 51 KòT LUäN