Đa thức đa thức đa thức đa dạng và kích thước của t đang đi trên đường phố ạ thế giới và Việt đi học về r lại có một số người chết vì bị mắng em đi học về r lại còn thế nào cũng đc nhưng mà cái này mình sẽ hướng dương đậm chất y hệt như ts Nguyễn Lương bạn ơi bạn có thể bảo đảm an toàn và hiệu ứng âm điểm trong tuần sau sẽ hướng dương đậm chất á đông lạnh ê kíp thực có hạt giống đáp ứng được nhu cầu
4 Cơng thức nội suy Lagrange 4.1 Các ví dụ mở đầu Ví dụ Tìm tất đa thức P(x) thoả mãn điều kiện: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = Lời giải Rõ ràng P Q hai đa thức thoả mãn điều kiện đề P(x) – Q(x) điểm 1, 2, từ đó, ta có P(x) – Q(x) = (x-1)(x-2)(x3)H(x) Ngược lại, P(x) đa thức thoả mãn điều kiện đề đa thức Q(x) = P(x) + (x-1)(x-2)(x-3)H(x) thoả mãn điều kiện đề với H(x) Từ thấy có vơ số đa thức thoả mãn điều kiện đề Ta đặt câu hỏi: Trong đa thức thoả mãn điều kiện đề bài, tìm đa thức có bậc nhỏ Rõ ràng đa thức số, khơng thể bậc Ta thử tìm bậc bậc Giả sử P(x) = ax2 + bx + c đa thức thoả mãn điều kiện đề Khi P(1) = suy a + b + c = P(2) = suy 4a + 2b + c = P(3) = suy 9a + 3b + c = Giải hệ ra, ta nghiệm (a, b, c) = (1/2, -1/2, 1), ta P(x) = (1/2)x2 – (1/2)x + đa thức bậc nhỏ thoả mãn điều kiện Và theo lý luận trên, nghiệm tốn có dạng Q(x) = P(x) + (x-1)(x-2)(x-3)H(x) với H(x) đa thức tuỳ ý Ví dụ Tìm đa thức bậc nhỏ thoả mãn điều kiện P(-2) = 0, P(-1) = 1, P(0) = 1, P(1) = 2, P(2) = Lời giải Từ ý tưởng phương pháp hệ số bất định hệ phương trình bậc Ta thấy chắn chắn tồn đa thức bậc không thoả mãn điều kiện đề Xét P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Từ điều kiện đề suy hệ 16a – 8b + 4c – 2d + e = a–b+c–d+e=1 e=1 a+b+c+d+e=2 16a + 8b + 4c + 2d + e = Giải hệ ta a = -1/8, b = 1/12, c = 5/8, d = 5/12, e = 4.2 Công thức nội suy Lagrange Từ ví dụ cụ thể nêu trên, ta dự đốn với n+1 số phân biệt (a0, a1, , an) n+1 số b0, b1, , bn tồn đa thức P(x) bậc không vượt n thoả mãn điều kiện P(ai) = bi với i=0, 1, 2, , n (*) Ngoài ra, tất đa thức Q(x) thoả mãn (*) phải có dạng Q(x) = P(x) + (x-a0)(x-a1) (x-an)H(x) với H(x) đa thức nên nghiệm khác (*) có bậc n+1 Vì ta đề xuất định lý sau: Định lý Cho n+1 số thực phân biệt (a0, a1, , an) n+1 số (b0, b1, , bn) Khi tồn đa thức P(x) có bậc không vượt n thoả mãn điều kiện P(ai) = bi với i=0, 1, 2, , n Sự chứng minh dễ dàng theo lý luận Tuy nhiên, việc chứng minh tồn cho trường hợp tổng qt khơng đơn giản, điều tương đương với việc chứng minh hệ phương trình n+1 phương trình, n+1 ẩn số có nghiệm (duy nhất) Rất thú vị ta tìm cách chứng minh định lý cách xây dựng, tức tìm biểu thức tường minh đa thức P(x) mà khơng cần phải giải hệ phương trình hệ số bất định nêu Ý tưởng chứng minh sau Ta tìm đa thức P0(x), P1(x) …, Pn(x) bận n thoả mãn điều kiện sau Pi(aj) = ij, Trong 1 i j 0 i j ij Khi đa thức n P( x) bi Pi ( x) thoả mãn điều i 0 n n i 0 i 0 P(a j ) bi Pi (a j ) bi ij b j Vấn đề cịn lại tìm đa thức Pi(x) Vì Pi(aj) = với j i nên Pi(x) = Ci(x-a0)…(x-ai-1)(x-ai+1)…(x-an) Vì Pi(ai) = nên Ci (ai a0 ) (ai 1 )(ai 1 ) (ai a n ) Như ta tìm Pi ( x) ( x a0 ) ( x 1 )( x 1 ) ( x a n ) (ai a0 ) (ai 1 )(ai 1 ) (ai a n ) (**) kiện đa thức thoả mãn hệ điều kiện Pi(aj) = ij Công thức nội suy Lagrange Cho n+1 số thực phân biệt (a0, a1, , an) n+1 số (b0, b1, , bn) Khi đa thức n P( x) bi Pi ( x) i 0 đa thức có bậc khơng vượt q n thoả mãn điều kiện P(ai) = bi với i=0, 1, 2, , n Các đa thức Pi(x) đa thức bậc n định nghĩa (**) 4.3 Ứng dụng cơng thức nội suy Langrange Bài tốn nội suy toán toán lý thuyết toán ứng dụng Trong thực tế, đo giá trị hàm số điểm, mà đo số điểm Các công thức nội suy cho phép chúng ta, phép đo số điểm, « dựng » lại đa thức xấp xỉ cho hàm số thực tế Cơng thức nội suy Lagrange, có nhiều ứng dụng vật lý, trắc địa, kinh tế học, khí tượng thuỷ văn, dự đốn dự báo … Tuy nhiên, ta không sâu vấn đề Dưới ta xem xét số ứng dụng cơng thức nội suy Lagrange tốn phổ thơng 4.4 Các tập có lời giải Bài Rút gọn biểu thức A a2 b2 c2 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) Lời giải Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho hàm số P(x) = x2 với điểm a, b, c giá trị tương ứng a2, b2, c2 ta có P( x) a ( x b)( x c) b ( x a)( x c) c ( x a)( x b) (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) So sánh hệ số x2 hai vế, ta A = Bài Cho đa thức P(x) bậc n thoả mãn điều kiện P(k) = k/(k+1) với k=0, 1, 2, …, n Hãy tìm P(n+1) Lời giải Theo cơng thức nội suy Lagrange k x( x 1) ( x k 1)( x k 1) ( x n) k (k 1) 1.(1) (k n) k 0 k n P( x) Từ k (n 1) (n k 2)(n k ) (1) k (k 1) 1.(1) (k n) k 0 k n P( x) n k (n 1) (n k 2)(n k 1)(n k ) (1) (n 1)! (1) n k k k (k 1) 1.(1) (k n)(n k 1) (k 1)!(n k 1)! k 0 k k 0 n n (1) n k kCnk21 n k 0 Cách Xét đa thức (x+1)P(x) – x có bậc n có n+1 nghiệm x = 0, 1, 2, …, n Do đó, ta có (x+1)P(x) – x = ax(x-1)(x-2)…(x-n) với a số Thay x = - 1, ta = a.(-1)(-2)…(-n-1) = a(-1)n+1(n+1)! Suy a = (-1)n+1/(n+1)! Từ (n+2)P(n+1) – (n+1) = n!(-1)n+1/(n+1)! = (-1)n+1/(n+1) Suy P(n+1) = ((n+1)2 + (-1)n+1)/(n+2) Bài Cho tam thức bậc P(x) = ax2 + bx + c thoả mãn điều kiện |P(x)| với | x | Chứng minh |a| + |b| + |c| Lời giải Thực phép nội suy điểm -1, 0, 1, ta có P( x) P(1) Suy P( x) Từ a x( x 1) ( x 1)( x 1) x( x 1) P(0) P(1) (1 0)(1 1) (0 1)(0 1) (1 0)(1 1) P(1) P(1) P(0) P(1) P(1) x x P(0) 2 P(1) P(1) P(0) P(1) P(1) , b , c P(0) 2 Suy | a | | b | | c | | P(1) P(1) P(0) P(1) P(1) | P(0) | 2 P(1) P(1) P(1) P(1) | P(0) | max{| P(1) |, | P(1) |} | P(0) | 2 4.5 Bài tập tự giải Bài Rút gọn biểu thức A a4 b4 c4 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) Bài Cho M(y) đa thức bậc n cho M(y) = 2y với y = 1, 2, …, n+1 Hãy tìm M(n+2) Bài Cho đa thức P(x) = x10 + a9x9 + … + a1x + a0 Biết P(-1) = P(1), P(-2) = P(2), …, P(-5) = P(5) Chứng minh P(-x) = P(x) với x thuộc R Bài Cho x0 < x1 < x2 < …< xn số nguyên P(x) đa thức bậc n có hệ số cao Chứng minh tồn i {0, 1, …, n} cho |P(xi)| n!/2n Bài Một tàu với vận tốc không đổi ngang qua đảo Thuyền trưởng lại đo khoảng cách từ tàu đến đảo Vào lúc 12, 14 15 tàu cách đảo khoảng cách tương ứng 7, 11 km Hỏi vào lúc 13 tàu cách đảo km Và lúc 16 giờ, tàu cách đảo km? Bài Trên mặt phẳng cho 100 điểm Biết với bốn điểm chúng có parabol bậc qua Chứng minh tất điểm cho nằm parabol bậc