Tính lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàn toàn thực tại các điểm giao của chúng và ứng dụng

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Bao lồi đa thức bổ đề Kallin 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Bao lồi đa thức 1.3 Bổ đề Kallin hợp thành hai tập lồi đa thức 18 Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao chúng 23 2.1 Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao chúng 23 2.2 Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hồn tồn thực điểm giao với phần giao có chiều thực dương 30 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Tính lồi đa thức, lồi hữu tỷ tập compact Cn gắn liền với Định lý Oka-Weil xấp xỉ hàm chỉnh hình đa thức hàm hữu tỷ Trong Đại số đều, cấu trúc quan trọng không gian ideal cực đại Bao lồi đa thức tập compact K Cn đồng với không gian ideal cực đại đại số đa thức K Bao lồi hữu tỷ tập compact K đồng với không gian ideal cực đại đại số hàm hữu tỷ cực điểm K Nghiên cứu tính chất lồi đa thức, tính chất lồi đa thức địa phương tập compact Cn tốn có nhiều ý nghĩa lĩnh vực Giải tích phức Đại số Đặc biệt toán nghiên cứu tính chất lồi đa thức địa phương hợp đồ thị hồn tồn thực, hồn tồn thực có kỳ dị có liên hệ mật thiết với tốn xấp xỉ địa phương hàm phức liên tục đa thức (xem [9]) Tính chất lồi đa thức bao lồi đa thức hợp hai đồ thị hồn tồn thực hay hồn tồn thực có kỳ dị giao điểm nghiên cứu thấu đáo Pascal Thomas, Nguyễn Quang Diệu, De Paepe (xem [6],[8], [9], [10] ) Bài toán nghiên cứu tính lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hồn tồn thực có kỳ dị giao tập có chiều dương nhận quan tâm số nhà tốn học ngồi nước Bharali, Nguyễn Quang Diệu, Gorai Với mục đích nghiên cứu tính lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hồn tồn có kỳ dị điểm giao chúng ứng dụng toán xấp xỉ địa phương hàm liên tục đa thức, lựa chọn đề tài nghiên cứu: Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao chúng Nội dung luận văn trình bày số kết sở bao lồi đa thức, tính lồi đa thức địa phương điểm giao hợp hai đồ thị hồn tồn thực có kỳ dị C2 Các nội dung trình bày chương luận văn: Chương Bao lồi đa thức bổ đề Kallin Nội dung chương trình bày khái niệm kết bao lồi đa thức, tính lồi đa thức tập compact Cn bổ đề Kallin tính lồi đa thức hợp thành hai tập lồi đa thức Đây bổ đề kỹ thuật dùng xuyên suốt chương sau Chương Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao chúng Nội dung chương trình bày số kết gần tính lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao chúng Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS Kiều Phương Chi hướng dẫn tận tình nghiêm túc tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn thầy, cô giáo mơn Giải tích, Khoa Tốn học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả quảng thời gian học tập Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG BAO LỒI ĐA THỨC VÀ BỔ ĐỀ KALLIN Chương trình bày số kết bao lồi đa thức, tính lồi đa thức bổ đề Kallin tính lồi đa thức hợp thành hai tập lồi đa thức Các kết tham khảo [3], [4], 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong phần ta bắt đầu giới thiệu số kiến thức chuẩn bị chủ yếu liên quan tới đại số Banach đại số cần dùng sau 1.1.1 Định nghĩa a) Một đại số phức A không gian vectơ trường C với phép nhân thỏa mãn điều kiện: 1)x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A; 2)x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A; 3)(αx)y = x(αy) = α(xy), ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C b) Một đại số phức A gọi đại số Banach A thỏa mãn điều kiện: 1)A không gian Banach với chuẩn cho trước; 2) xy ≤ x y , ∀x, y ∈ A Đại số A gọi có đơn vị tồn e ∈ A cho ex = xe = e, với x ∈ A e = Đại số A gọi đại số giao hoán xy = yx, với x, y ∈ A Phần tử đơn vị có Phép nhân A liên tục, liên tục trái, liên tục phải 1.1.2 Định nghĩa Không gian B A, chứa đơn vị A đóng kín với ba phép tốn A đại số A 1.1.3 Ví dụ 1) Đại số C với phép nhân hai số phức chuẩn Euclide thơng thường đại số Banach giao hốn có đơn vị phần tử 2) Cho E khơng gian Banach B(E) ={Tất tốn tử tuyến tính bị chặn từ E vào E}, Trên B(E) xác định phép nhân (f g)(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)), ∀f, g ∈ B(E), ∀x ∈ E chuẩn f = sup |f (x)| , ∀f ∈ B(E) x∈E Khi đó, B(E) đại số Banach khơng giao hốn có đơn vị ánh xạ đồng E 3) Cho X không gian tôpô compact C(X) không gian Banach hàm phức liên tục với chuẩn hội tụ f = sup |f (x)|, với x∈X f ∈ C(X) Khi đó, C(X) đại số Banach giao hốn có đơn vị hàm đồng X, với phép nhân theo điểm, tức (f g)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ X 4) Cho K tập compact Cn Ký hiệu P (K), R(K) A(K) theo thứ tự tập hợp hàm f ∈ C(K) xấp xỉ K đa thức, hàm hữu tỷ cực điểm K hàm chỉnh hình phần K liên tục K Khi đó, với phép tốn cảm sinh từ C(K) P (K), R(K) A(K) đại số Banach C(K) Hơn nữa, ta có bao hàm thức P (K) ⊂ R(K) ⊂ A(K) ⊂ C(K) 1.1.4 Định nghĩa Cho A đại số Banach Phiếm hàm tuyến tính ϕ : A → C gọi đồng cấu phức ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) với x, y ∈ A ϕ = Người ta chứng minh được, đồng cầu phức ϕ liên tục, ϕ(e) = ϕ = Hơn ϕ(x) = với phần tử khả nghịch x Kí hiệu khơng gian đồng cấu phức ∆A Như vậy, ∆A tập hình cầu đơn vị không gian đối ngẫu A∗ Ký hiệu G(A) nhóm phần tử khả nghịch A Khi đó, ánh xạ a : G(A) → G(A) với a(x) = x−1 đồng phôi 1.1.5 Định nghĩa Giả sử f ∈ A với A đại số Banach Đặt: σ(f ) = {λ ∈ C : (λe − f ) không khả nghịch} S(f ) = {λ ∈ C : (λe − f ) khả nghịch} = C\σ(f ) Khi σ(f ) gọi phổ f, S(f ) gọi dải thức f Ta ln có, với x ∈ A σ(x) compact khác rỗng Cũng từ tính chất này, Gelfand-Mazur chứng minh phần tử khác đại số Banach giao hốn có đơn vị A khả nghịch A đẳng cấu, đẳng cự với C 1.1.6 Định nghĩa Cho A đại số Banach giao hốn 1) Khơng gian tuyến tính J A ideal JA = {xa : x ∈ J, a ∈ A} ⊂ J 2) Ideal J A gọi ideal cực đại ideal I A J ⊂I⊂A J = I I = A Với ϕ ∈ ∆A ta có ker ϕ ideal cực đại A Ký hiệu, MA tập hợp ideal cực đại A Sau kết đặc biệt quan trọng lý thuyết đại số Banach 1.1.7 Định lý ([3], [4]) Tồn song ánh ∆A MA 1.1.8 Nhận xét Từ định lý ta đồng ∆A với MA Vì ∆A chứa hình cầu đơn vị đóng khơng gian đối ngẫu A∗ Trên A xét tôpô yếu hay cịn gọi tơpơ yếu MA không gian compact định lý Banach-Alaoglu, không gian MA không gian Hausdorff 1.1.9 Định nghĩa Cho A đại số Banach, f ∈ A Ta xác định ánh xạ fˆ : MA → C cho công thức fˆ (Φ) = Φ(f ), ∀Φ ∈ MA Ta gọi fˆ phép biến đổi Gelfand f đặt Aˆ = {fˆ : f ∈ A} 1.1.10 Định lý ([4]) Cho X không gian tơpơ Hausdorff compact Khi MC(X) đồng phơi với X Chứng minh Với x ∈ X, ta xác định hàm ϕx : C(X) → C cho công thức ϕx (f ) = f (x), ∀f ∈ C(X) Khi ϕx đồng cấu phức C(X) Thật vậy, ϕx (αf +βg) = (αf + βg) (x) = (αf )(x)+(βg)(x) = αf (x)+ βg(x) = αϕx (f ) + βϕx (g), với f, g ∈ C(X), α, β ∈ C Ngoài ϕx (f g) = (f g)(x) = f (x)g(x) = ϕx (f )ϕx (g), f, g ∈ C(X) ϕx (I) = I(x) = = 0, với I ánh xạ liên tục từ X vào C cho I(t) = 1, ∀t ∈ X Tiếp theo, ta với ϕ ∈ MC(X) tồn x ∈ X cho ϕ = ϕx Giả sử ngược lại ϕ = ϕx , với x ∈ X Khi với x ∈ X tồn g ∈ C(X) cho ϕ(g) = ϕx (g) = g(x) Đặt fx = g − ϕ(g) Khi fx (x) = fx liên tục Theo tính chất liên tục nên tồn lân cận Ux cho fx = Ux Suy |fx |2 > 0, Ux Vì ϕ(fx ) = ϕ(g − ϕ(g)) = ϕ(g) − ϕ(g) = nên ϕ(|fx |2 ) = ϕ(fx fx ) = ϕ(fx )ϕ(fx ) = Mặt khác, họ {Ux }x∈X phủ mở X compact nên tồn phủ hữu hạn phủ X Suy tồn x1 , x2 , , xn ∈ X cho n X = Uxi Đặt u = |fx1 |2 + |fx2 |2 + + |fxn |2 Ta có u > nên i=1 khả nghịch Suy ϕ(u) = với ϕ ∈ MC(X) Tuy nhiên ϕ(u) = ϕ(|fx1 |2 + +|fxn |2 ) = ϕ(|fx1 |2 )+ +ϕ(|fxn |2 ) = Ta gặp mâu thuẫn Vậy ϕ = ϕx Để kết thúc chứng minh ta thiết lập ánh xạ ψ từ X vào MC(X) cho công thức ψ(x) = ϕx với x ∈ X Dễ dàng chứng minh ψ song ánh Hơn ψ liên tục Thật vậy, giả sử {xα }α∈I ⊂ X cho xα → x ∈ X Khi với f ∈ C(X) ta có f (xα ) → f (x) hay ϕxα (f ) → ϕx (f ) với f ∈ C(X) Suy ϕxα → ϕx MC(X) hay ψ(xα ) → ψ(x) Mặt khác, X MC(X) khơng gian compact nên ψ −1 liên tục Vậy ψ ánh xạ đồng phôi từ X vào MC(X) 1.1.11 Định nghĩa ([4]) Cho X không gian Haudorff compact Một đại số đóng C(X), chứa hằng, tách điểm X gọi đại số X 1.1.12 Ví dụ 1) Cho X ⊂ Cn tập compact Khi P (X), R(X), A(X) đại số X Hơn nữa, P (X) ⊂ R(X) ⊂ A(X) 2) Cho A đại số Banach khơng gian phép biến đổi Gelfand A đại số MA 1.1.13 Định nghĩa ([4])Cho A đại số không gian metric compact X MA không gian ideal cực đại A Độ đo biểu diễn φ ∈ MA độ đo dương µ X cho φ(f ) = f dµ, f ∈ A Định lý sau tồn độ đo biểu diễn đại số 1.1.14 Định lý ([4], [12]) Cho A đại số không gian metric compact X Khi với x ∈ MA , tồn độ đo dương, Borel, quy X biểu diễn x Hơn nữa, độ đo biểu diễn chọn độ đo Jensen Chúng ta đến với khái niệm quan trọng sau 1.1.15 Định nghĩa ([3]) Đa tạp thực M Cn gọi hồn tồn thực điểm a ∈ M khơng gian vectơ tiếp xúc TM (a) M a không chứa đường thẳng phức, tức TM (a) ∩ iTM (a) = {0} Đa tạp M gọi hồn tồn thực hồn tồn thực điểm thuộc 1.1.16 Ví dụ 1) Rn hồn tồn thực điểm 2) Giả sử f1 , f2 , , fk hàm lớp C tập mở U ⊆ C Nếu k i=1 ∂fi (a) = ∂z với a ∈ U M = { z, f1 (z), , fk (z) : z ∈ U } hoàn toàn thực a, f1 (a), , fk (a) 1.2 Bao lồi đa thức Mục trình bày kết mở đầu lý thuyết lồi đa thức lồi hữu tỷ Chúng ta thấy, lớp tập lồi đa thức, lồi hữu tỷ thực rộng lớp tập lồi thông thường Cn Hơn lớp tập đặc biệt có ý nghĩa giải tích phức đại số 1.2.1 Định nghĩa Cho X tập compact C n 1) Bao lồi đa thức X ký hiệu X xác định sau: X = {z ∈ Cn : |p(z)| ≤ p X, với đa thức p Cn }, p X = max{|p(x)| : x ∈ X} 10 Nếu X = X ta nói X lồi đa thức ˆ R xác định sau 2) Bao lồi hữu tỷ X ký hiệu X ˆ R = {z ∈ Cn : |g(z)| ≤ g X X, với hàm hữu tỷ g có cực điểm ngồi X} ˆ R ta nói X lồi hữu tỷ Nếu X = X 1.2.2 Định nghĩa Cho X tập Cn z ∈ X Tập X gọi lồi đa thức địa phương (tương ứng lồi hữu tỷ địa phương) z tồn hình cầu đóng B(z, r) cho X ∩ B(z, r) lồi đa thức (tương ứng lồi hữu tỷ) 1.2.3 Nhận xét 1) X ⊂ XR ⊂ X XR , X compact Cn 2) Giao họ tập lồi đa thức (tương ứng lồi hữu tỷ) lồi đa thức (tương ứng lồi hữu tỷ) ˆ với M > tồn đa thức p cho |p(z)| > M 3) Nếu z ∈ /X p X M Chứng minh 1) Vì lớp hàm hữu tỷ chứa đa thức từ định nghĩa ta có bao hàm thức ˆ R ⊂ X ˆ X⊂X Ta chứng minh X compact Cn Đầu tiên, ta cần chứng minh ˆ bị chặn Thật vậy, xét đa thức pk (z) = zk với z = X (z1 , , zn ) ∈ Cn , k = 1, 2, , n ta có |pk (z)|k = |zk | pk X := rk < +∞, ˆ nằm đa đĩa với z ∈ X Vì X D(0, r) = {(z1 , , zn ) : |zk | rk , k = 1, , n} ˆ bị chặn Để chứng minh tính compact X, ta tính Do X đóng Giả sử {xn }n∈I ⊂ X xn → x ∈ Cn , n → ∞ Với n = 1, 2, 3, ta có xn ∈ X nên |f (xn )| ≤ f X 24 với ϕ(z) = o(|z|n ) hàm lớp C lân cận gốc thuộc C Đây mở rộng kết [8] Nguyễn Quang Diệu Chú ý n > X1 X2 khơng hồn tồn thực (0, 0) ∈ C2 Tuy nhiên, tính lồi đa thức X1 X2 hệ kết sau Gourlay (xem [10]) 2.1.1 Định lý ([10])Với ε ∈ C, xét hàm n−1 n Cnj εj z j z n−j + g(z), fε (z) = z + j=1 n số nguyên dương, Cnj ký hiệu giá trị tổ hợp chập j n phần tử g(z) = o(|z|n ) hàm lớp C Khi đó, tồn r > cho với ε ∈ B(0, r), đồ thị Γfε lồi đa thức địa phương (0, 0) Ta có định lý sau 2.1.2 Định lý ([8]) Cho m, n số nguyên dương với m > n Cho ϕ hàm lớp C xác định gần ∈ C có dạng: ϕ(z) = ∞ k m−k k=−∞ ak z z + f (z), 0, f (z) = o(|z|m ) Giả sử tồn l |al | > z = z = 0, (2.2) m cho |ak | (2.3) k=l m − 2l số nguyên Khi đó, X1 ∪ X2 lồi đa thức địa phương n (0, 0) ∈ C2 Chứng minh Chúng ta dùng bổ đề Kallin để chứng minh tính lồi đa thức địa phương gốc X1 ∪ X2 áp dụng Định lý 2.2.1 với ε = 0, ta được: X1 X2 lồi đa thức địa phương (0, 0) Với r > 0, đặt Xir = {(z, w) ∈ Xi : |z| r}, i = 1, 25 Xét đa thức m−2l +1 n p(z, w) = αz m−2l+n + αw , với α số phức chọn thích hợp sau Ta có p(z, z n ) = αz m−2l+n + α(z n ) m−2l +1 n = αz m−2l+n + αz m−2l+n Từ suy p(X1r ) ⊂ R Mặt khác, với (z, w) ∈ X2r z = ta có ∞ p(z, w) = αz m−2l+n = αz n ak z k z m−k + f (z) +α z + m−2l+n + αz m−2l +1 n k=−∞ m−2l+n m − 2l + z m−2l +α n +∞ ak z k z m−k + o(|z|m ) k=−∞ Từ z m−2l+n + αz m−2l+n ∈ R, với z suy p(z, w) = m − 2l + z m−2l α( n với (z, w) ∈ X2r Chọn α = i p(z, w) = ( +∞ ak z k z m−k + o(|z|m ) , k=−∞ al Ta |al | m − 2l i + 1) |al |2 |z|2m−2l + n |al | al ak z m−2l+k z m−k k=l + o(|z|2m−2l ) |z|2m−2l m − 2l + |al | − n |ak | + o(|z|2m−2l ), k=l (2.4) với (z, w) ∈ X2r Từ (2.3) (2.4) suy p(z, w) > 0, với (z, w) ∈ X2r mà z = r đủ bé Do p(X2r ) ∩ R = {0} Từ suy p(X1r ) ∩ p(X2r ) = {0} r đủ bé Mặt khác từ (2.4) suy p−1 (0) ∩ X2r = (0, 0) ∈ C2 26 Hơn p−1 (0) ∩ X1r = { ρeiθ , ρn e−niθ : ρ r}, với θ số thực Vì p−1 (0) ∩ X1r cung đơn C2 Theo định lý Wermer tính lồi đa thức cung Cn ta có: p−1 (0) ∩ X1r lồi đa thức Do p−1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ) = p−1 (0) ∩ X1 ∪ {(0, 0)} = p−1 (0) ∩ X1 lồi đa thức Vì vậy, áp dụng Bổ đề Kallin ta có: X1r ∪ X2r lồi đa thức r đủ bé 2.1.3 Nhận xét 1) Trong định lý ta thay X1 X1 = {(z, z n − ϕ(z)) : z ∈ D} kết luận 2) Trường hợp n = mở rộng kết Nguyễn Quang Diệu (xem [8]) Định lý sau cho thấy Định lý 2.1.2, bỏ điều kiện l X1 ∪ X2 không lồi đa thức địa phương (0, 0) m 2.1.4 Định lý ([8]) Giả sử n, p số nguyên dương X1 = {(z, z n ) : z ∈ D}, X2 = {(z, z n + z p z n+p ) : z ∈ D}, D đĩa đóng, tâm ∈ C Khi đó, X1 ∪ X2 khơng lồi đa thức địa phương (0, 0) ∈ C2 Chứng minh Với t > 0, đặt Wt = {(z, w) : z n w = t} Xét tập hợp Pt := Wt ∩ X1 = {(z, z n ) : |z| = t 2n } Qt := Wt ∩ X2 = {(z, z n + z p z n+p ) : |z| = s}, 27 s nghiệm dương phương trình x2n + x2n+2p = t Khi đó, theo ngun lý mơđun cực đại ta có: bao lồi đa thức X1r ∪ X2r chứa tập mở Wt bị chặn hai đường cong kín Pt Qt với t > Do X1r ∪ X2r không lồi đa thức với r > Với đĩa đóng D f, g ∈ C(D) ta ký hiệu [f, g; D] đại số D sinh f g Sau đưa hệ áp dụng 2.1.5 Định lý Cho m số nguyên dương chẵn n số lẻ cho m > n Cho g hàm lớp C lân cận có dạng g(z) = zn + 0, +∞ k m−k k=−∞ ak z z + f (z)), z = z = 0, (2.5) f hàm lớp C f (z) = o(|z|m ) Giả sử l số nguyên m − 2l thoả mãn nguyên dương n |al | > |ak | (2.6) k=l Khi z g (z) tách điểm gần Hơn nữa, [z , g ; D] = C(D) với đĩa đóng D đủ bé Ta cần bổ đề bổ trợ sau De Pape cho chứng minh định lý 2.1.6 Bổ đề ([9])Cho X tập compact C2 π : C2 → C2 ánh xạ xác định π(z, w) = (z m , wn ), với m, n số nguyên dương cho trước Khi π −1 (X) = X11 ∪ X12 ∪ ∪ Xmn , 28 X11 tập compact Xkl = {(ρk−1 z, τ l−1 w) : (z, w) ∈ X11 } với k m, l n, 2πi 2πi ) τ = exp( ) Đặc biệt, P π −1 (X) m n C π −1 (X) P (X) = C(X) ρ = exp( = Chứng minh Giả sử f ∈ C(X) Khi f ◦ π ∈ C(π −1 (X)) Vì P π −1 (X) = C π −1 (X) nên tồn đa thức hai biến Q cho f ◦ π ≈ Q, π −1 (X) (f ◦ π xấp xỉ π −1 (X) đa thức) Đặc biệt, f ◦ π ≈ Q Xkl , với k m l n Do f (z m , wn ) ≈ Q(ρk−1 z, τ l−1 w) := Qkl (z, w) Từ suy X11 ta có: f (z m , wn ) ≈ Q11 (z, w) + + Qkl (z, w) + + Qmn (z, w) mn Nếu đa thức Q viết dạng Q(z, w) = (2.7) apq z p wq vế phải apq z pm wqn Vì (2.7) có dạng f (z m , wn ) ≈ P (z m , wn ), X11 , P đa thức hai biến Từ ta có P (X) = C(X) Chứng minh Định lý 2.1.5 Đầu tiên ta chứng minh z g (z) tách điểm gần Rõ ràng a b với a = −b tách z Ta chứng minh g (z) tách điểm a −a Giả sử g nhận giá trị a −a với a = Đặt g(z) = +∞ k m−k k=−∞ ak z z 0, + f (z)), z = z = 0, (2.8) 29 từ g (a) = g (−a) suy h(a) = −h(−a) Vì m chẵn nên +∞ ak ak am−k = k=−∞ −f (a) − f (−a) Chia hai vế đẳng thức cho am−l al ta nhận al + k=l al−k −f (a) − f (−a) ak l−k = a 2am−l al Từ bất đẳng thức (2.6) f (z) = o(|z|m ), ta nhận mâu thuẫn đĩa D chọn đủ bé ˜ nghịch ảnh X = {(z , g (z) : Tiếp theo, với đĩa D đủ bé ta xét X z ∈ D} ánh xạ (z, w) → (z , w2 ) Tính tốn trực tiếp có ˜ = X1 ∪ X2 ∪ X3 ∪ X4 , X X1 = {(z, z n + h(z)) : z ∈ D}; X2 = {(−z, −z n − h(z)) : z ∈ D} = {(z, z n − h(−z)) : z ∈ D}; X3 = {(−z, z n + h(z))) : z ∈ D}; X4 = {(z, −z n − h(z)) : z ∈ D} = {(−z, z n − h(−z)) : z ∈ D}; Theo Định lý 2.1.2 ta có X1 ∪ X2 lồi đa thức D đủ bé Ta có X3 ∪ X4 ảnh X1 ∪ X2 qua ánh xạ song chỉnh hình (z, w) → (−z, w) Vì X3 ∪ X4 lồi đa thức D đủ bé Xét đa thức q(z, w) = z n w Ta có q(X1 ∪ X2 ) = {|z|2n + o(|z|2 ) : z ∈ D} q(X3 ∪ X4 ) = {−|z|2n + o(|z|2 ) : z ∈ D} Vì vậy, với D đủ bé ta có q(X1 ∪ X2 ) q(X3 ∪ X4 ) giao D đủ bé q −1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ) = {(0, 0)} 30 áp dụng bổ đề Kallin ta có X˜ = X1 ∪ X2 ∪ X3 ∪ X4 lồi đa thức ˜ \ {0} hoàn toàn thực Khi đó, áp đĩa D đủ bé Hơn nữa, để ý X ˜ = C(X) ˜ Theo Bổ đề 2.1.6, ta dụng Hệ 1.2.14 ta nhận P (X) nhận P (X) = C(X) Từ tính tách điểm gần z g ta [z , g ; D] = C(D) Định lý chứng minh 2.2 Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao với phần giao có chiều thực dương Trong mục trước nghiên cứu tính lồi đa thức địa phương điểm giao hợp hai đồ thị hồn tồn thực có kỳ dị lập Trường hợp khơng kỳ dị (tức đồ thị hồn toàn thực) tương ứng với n = Nguyễn Quang Diệu nghiên cứu (xem [6],[7],[8] ) Kết Nguyễn Quang Diệu Stout (xem [12]) nêu dạng tổng quát khác là: Nếu M1 , M2 đồ thị trơn hoàn toàn thực gốc C2 T0 M1 ∩ T0 M2 = {(0, 0)} M1 ∪ M2 lồi đa thức địa phương gốc Trường hợp T0 M1 ∩ T0 M2 có chiều thực dương người ta chưa biết nhiều tính lồi đa thức địa phương M1 ∪ M2 (0, 0) Nếu T0 M1 = T0 M2 T0 M1 ∩ T0 M2 đường thẳng thực người ta thể biểu diễn địa phương lân cận gốc M1r = { z, z + Az + Az + C1 zz + O(|z|3 ) : |z| M2r = { z, z + λz + λz + φ2 (z) : |z| r} r}, (2.9) (2.10) φ2 (z) = A2 z + B2 z + C2 zz + O(|z|3 ) ∈ C ∞ (D(0, r)) r > Mục chúng tơi nghiên cứu tính lồi đa thức địa phương gốc M1 ∪ M2 trường hợp khơng gian tiếp xúc chúng có giao đường thẳng thực 2.2.1 Định lý ([11]) Cho M1 M2 đồ thị hoàn toàn thực xác định (2.9) (2.10) Giả sử rằng: 1) C1 = ( (A2 +B2 )λ2 |λ|2 + C2 ) = trái dấu nhau; 31 (A −B )λ2 2) sign( C1 ) ((A2 − B2 )λ) < ( |λ|22 + C2 ) Khi M1 ∪ M2 lồi đa thức địa phương gốc Chứng minh Để ý không gian tiếp xúc M1 M2 gốc T0 M1 = {(z, z) : z ∈ C} T0 M2 = {(z, z + λz + λz) : z ∈ C} Do đó, từ T0 M1 ∩ T0 M2 = {(0, 0)} suy λ = Ta có M1 , M2 hoàn toàn thực gốc, lồi đa thức địa phương gốc định lý Hormander-Wermer Xét đa thức P (z, w) = z + w + αz + αw2 với α chọn thích hợp sau Bây ta mơ tả ảnh M1r qua ánh xạ P Đặt φ1 (z) = Az + Az + O(|z|2 ), ∀|z| r Khi đó, ta có P z, z + φ1 (z) = z + z + Az + Az + C1 |z|2 + αz + αz + O(|z|3 ) P z, z + φ1 (z) = C1 |z|2 + O(|z|3 ), ∀|z| Do đó, từ điều kiện r (2.11) C1 = suy tồn < δ < r cho P −1 (0) ∩ M1δ = {(0, 0)} (2.12) Bây giờ, ta tính ảnh M2δ qua ánh xạ P Ta có P z, z + λz + λz + φ2 (z) = z + z + λz + λz + φ2 (z) + αz + α(z + λz + λz)2 + O(|z|2 ) = z + z + λz + λz + A2 z + B2 z + C2 |z|2 + αz + αz + 2αz(λz + λz) + α(λz + λz)2 + O(|z|3 ) 32 Chọn α cho A2 = B2 + 2αλ Khi đó, để ý (A2 − B2 )λ C2 + 2αλ = C2 + , |λ|2 (A2 − B2 )λ C2 + |λ|2 P z, z + λz + λz + φ2 (z) = |z|2 + (A2 − B2 )λ 2|λ|2 (λz + λz)2 + O(|z|3 ) (2.13) Nếu (A2 − B2 )λ 2|λ|2 (A2 − B2 )λ 2|λ|2 (λz + λz)2 (A2 − B2 )λ) |z|2 (2.14) (A2 − B2 )λ) |z|2 (2.15) (A2 − B2 )λ < 2|λ|2 (A2 − B2 )λ 2|λ|2 (λz + λz)2 Khi xét hai trường hợp sau: Trường hợp Nếu C1 < sgn C1 = −1 Do đó, theo điều kiện 1) định lý ta có (A2 − B2 )λ C2 + |λ|2 Do đó, (A2 − B2 )λ > 0 theo (2.14) tồn < δ1 < δ cho với |z| < δ1 P z, z + λz + λz + φ2 (z) (2.16) 33 z = Nếu (A2 − B2 )λ < từ (2.15) ta có P z, z + λz + λz + φ2 (z) (A2 − B2 )λ C2 + |λ|2 |z|2 + (A2 − B2 )λ |z|2 + O(|z|3 ) (A2 − B2 )λ C2 + |λ|2 |z|2 + O( z|3 ) + (A2 − B2 )λ Khi đó, từ điều kiện 2) định lý ta tìm < δ2 < δ1 cho cho với |z| < δ2 P z, z + λz + λz + φ2 (z) (2.17) z = Vì vậy, từ (2.11), (2.16) (2.17) suy tồn δ2 > cho: i) P −1 (0) ∩ M2δ2 = {(0, 0)} ii) P (M1δ2 ) P (M2δ2 ) nằm nửa mặt phẳng nửa măt phẳng trên, giao gốc Trường hợp Nếu C1 > sgn C1 = Nếu (A2 − B2 )λ < tính tốn trường hợp ta có: tồn δ2 > cho |z| < δ − P z, z + λz + λz + φ2 (z) z = Mặt khác, (A2 − B2 )λ (2.18) P z, z + λz + λz + φ2 (z) (A2 − B2 )λ C2 + |λ|2 − |z|2 + (A2 − B2 )λ |z|2 + O(|z|3 ) − (A2 − B2 )λ C2 + |λ|2 + (A2 − B2 )λ |z|2 + O( z|3 ) (2.19) Do đó, từ điều kiện 2) định lý (2.19) ta nhận được: với |z| < δ2 P z, z + λz + λz + φ2 (z) (2.20) 34 và z = Vì vậy, từ (2.11), (2.18) (2.20) suy tồn δ2 > cho: i) P −1 (0) ∩ M2δ2 = {(0, 0)} ii) P (M1δ2 ) P (M2δ2 ) nằm nửa mặt phẳng nửa măt phẳng dưới, giao gốc Trong hai trường hợp, áp dụng bổ đề Kallin với đa thức P cho M1δ2 M2δ2 ta có M1δ2 ∪ M2δ2 lồi đa thức Vì M1 ∪ M2 lồi đa thức địa phương (0, 0) Tiếp theo ta nghiên cứu tính lồi đa thức địa phương gốc hợp hai đồ thị có dạng M1 = {(z, z) : z ∈ U } M2 = {(z, z + λz + λz + ϕ(z)) : z ∈ U }, U lân cận gốc mặt phẳng phức C, ϕ ∈ C (U ) với ϕ(z) = o(|z|) λ ∈ C \ {0, −1} Chú ý rằng, λ = M1 = {(z, z) : z ∈ U } M2 = {(z, z + ϕ(z)) : z ∈ U } khơng gian tiếp xúc M1 , M2 (0, 0) trùng Khi đó, tính lồi đa thức địa phương M1 ∪ M2 nghiên cứu thấu đáo Nguyễn Quang Diệu Nếu λ = −1 M2 khơng hồn tồn thực 0, tính lồi đa thức địa phương M2 nói chung chưa biết Do đó, người ta khơng thể nghiên cứu tính lồi đa thức địa phương M1 ∪ M2 Tính lồi đa thức địa phương M1 ∪ M2 Fortneric, Pascal Thomas Nguyễn Quang Diệu quan tâm nghiên cứu λ số thực Sau đưa điều kiện đủ để hợp M1 ∪ M2 lồi đa thức địa phương gốc 35 2.2.2 Định lý Giả sử ϕ(z) = az + b|z|2 + cz + o(|z|2 ) Khi đó, λ ∈ R \ {0, −1} a − b + c ∈ / R M1 ∪ M2 lồi đa thức địa phương (0, 0) Chứng minh Xét đa thức p(z, w) = z + w + αzw + βz + βw2 , α, β số chọn thích hợp sau cho α, iβ ∈ R Khi đó, ta có p(M1r ) = {z + z + α|z|2 + βz + βz : |z| r} ⊂ R Bây giờ, ta α, β chọn thích hợp r đủ bé p(M2r ) giao với R Ta có p z, z + λz + λz + ϕ(z) = (λ + 1)(z + z) + (az + b|z|2 + cz ) + αz(λz + (λ + 1)z) + β(λz + (λ + 1)z)2 + βz = (λ + 1)(z + z) + α + β + αλ + βλ2 z + β(c + β(λ + 1)2 )z + b + α(λ + 1) + 2βλ(λ + 1) |z|2 + o(|z|2 ) p z, z + λz + λz + ϕ(z) = p z, z + λz + λz + ϕ(z) Do p z, z + λz + λz + ϕ(z) a − c + αλ + βλ2 − β(λ2 + 2λ2 ) z = + b + 2λ(λ + 1) |z|2 + o(|z|2 ) Chọn α, β cho a − c + αλ + βλ2 − β(λ2 + 2λ2 ) = Đẳng thức xẩy i (a + c) + β(2λ + λ2 ) = 0, αλ + (a − c) = 0, 36 (c − a) − (a + c) , β= λ 2λ2 + 2λ Với α, β chọn a − b + c ∈ / R ta có ⇐⇒ α = − p z, z + λz + λz + ϕ(z) i (a + c) = b − 2λ(λ + 1) |z|2 + o(|z|2 ) 2λ(λ + 1) = (a − b + c) |z|2 + o(|z|2 ) > với < |z| < r r > đủ bé Từ suy p(M2r ) ∩ R = {0} Vì vậy, áp dụng bổ đề Kallin ta có M1r ∪ M2r lồi đa thức với r > đủ bé Do đó, M1 ∪ M2 lồi đa thức địa phương (0, 0) 2.2.3 Nhận xét Nếu a − b + c ∈ R (b − 2c) = Nguyễn Quang Diệu M1 ∪ M2 không lồi đa thức địa phương (0, 0) Bao lồi đa thức M1r ∪ M2r chứa đường cong siêu mặt đại số C2 37 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày kết sở bao lồi đa thức, tính lồi đa thức tập compact Cn Chứng minh số chi tiết số kết liên quan mà tài liệu đưa mà không chứng minh chứng minh vắn tắt Nhận xét 1.2.3, Định lý 1.2.5 2) Trình bày chứng minh chi tiết bổ đề Kallin tính lồi đa thức hợp thành hai tập lồi đa thức (Định lý 1.3.1) áp dụng để chứng minh tính lồi đa thức hợp ba hình cầu đóng rời (Định lý 1.3.4) 3) Trình bày tính lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hồn tồn thực có kỳ dị cô lập điểm giao chúng (Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.4) đưa áp dụng xấp xỉ địa phương hàm phức liên tục theo đa thức (Định lý 2.1.5) 4) Trình bày kết Gorai tính lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực có giao đường thẳng thực (Định lý 2.2.1) đưa điều kiện đủ để hợp hai đồ thị hồn tồn thực có giao đường thẳng thực lồi đa thức địa phương (Định lý 2.2.2) 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Diệu (2010), Nhập môn đại số đều, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải( 2001) , Hàm biến phức, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [3] Alexander H and Wermer J (1997), Sevaral Complex Variables and Banach Algebras, Third edition, Springer [4] Gamelin T W (1984), Uniform Algebras, Prentice-Hall [5] Hăormander L (1991), An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland [6] Nguyen Quang Dieu and Kieu Phuong Chi (2006), Function algebras on disks II, Indag Math (NS), 17, 557-566 [7] Nguyen Quang Dieu and Paepe P.J (2002), Function algebras on disks, Complex Variables J., 47, 447- 451 [8] Nguyen Quang Dieu (1999), Local polynomial convexity of tangentials union of totally real graphs in C2 , Indag Math., 10, 349-355 [9] Paepe P J (2001), Eva Kallin’s lemma on polynomial convexity, Bull London Math Soc., 33, 1-10 [10] Thomas P J (1990), Enveloppes polynomiales d’unions de plans réels dans Cn , Ann Inst Fourier (Grenoble), 40, 371-390 [11] Gorai, S (2011),Local polynomial convexity of the union of two totally-real surfaces at their intersection, Manuscripta Math 135, no 1-2, 43-62 [12] Stout E L (2007), Polynomial Convexity, Birkhăauser ... Chương Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao chúng Nội dung chương trình bày số kết gần tính lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao chúng. .. chứng minh S3 ) = ∅ áp 23 CHƯƠNG TÍNH CHẤT LỒI ĐA THỨC ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỢP HAI ĐỒ THỊ HOÀN TOÀN THỰC TẠI ĐIỂM GIAO CỦA CHÚNG Chương trình bày số kết tính lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn. .. hoàn toàn thực C2 điểm giao chúng đưa kết áp dụng xấp xỉ địa phương hàm liên tục đa thức 2.1 Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao chúng Trong mục này, chúng