Luận văn Tính lồi đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn toàn thực cực đại trong Cn.Luận văn gồm 2 chương:Chương 1: Luận văn trình bày về tính lồi đa thức, bổ đề Kallin. Chương 2: Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàn toàn thực cực đại trong Cn và đưa ra một số ví dụ áp dụng
1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Tính lồi đa thức bổ đề Kallin 1.1 Tính lồi đa thức 1.2 Bổ đề Kallin hợp thành hai tập lồi đa thức 18 Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai không gian tập hoàn toàn thực Cn 23 2.1 Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai không gian hoàn toàn thực cực đại Cn 23 2.2 Một số ví dụ 30 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Tính lồi đa thức, lồi hữu tỷ tập compact Cn gắn liền với Định lý Oka-Weil xấp xỉ hàm chỉnh hình đa thức hàm hữu tỷ Trong Đại số đều, cấu trúc quan trọng không gian ideal cực đại Bao lồi đa thức tập compact K Cn đồng với không gian ideal cực đại đại số đa thức K Bao lồi hữu tỷ tập compact K đồng với không gian ideal cực đại đại số hàm hữu tỷ cực điểm K Nghiên cứu tính chất lồi đa thức, tính chất lồi đa thức địa phương tập compact Cn toán có nhiều ý nghĩa lĩnh vực Giải tích phức Đại số Đặc biệt toán nghiên cứu tính chất lồi đa thức địa phương hợp đồ thị hoàn toàn thực, hoàn toàn thực có kỳ dị có liên hệ mật thiết với toán xấp xỉ địa phương hàm phức liên tục đa thức (xem [10]) Tính chất lồi đa thức bao lồi đa thức hợp hai không gian hoàn toàn thực cực đại (chiều thực n) Cn gốc nghiên cứu thấu đáo Weinstock ([15]) Tuy nhiên, kết Weinstock chưa thể cho biết thông tin tính lồi đa thức địa phương trường hợp không gian hoàn toàn thực (chiều thực bé n) hợp nhiều hai không gian Vấn đề gần quan tâm nghiên cứu số nhà toán học Gorai, Bharali, Nguyễn Quang Diệu, Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, với mục đích nghiên cứu tính lồi đa thức địa phương hợp không gian hoàn toàn thực Cn dựa công bố Weinstock, lựa chọn đề tài nghiên cứu: Tính lồi đa thức địa phương hợp không gian hoàn toàn thực cực đại Cn Nội dung luận văn trình bày số kết sở bao lồi đa thức, tính lồi đa thức địa phương hợp không gian hoàn toàn thực cực đại Cn Các nội dung trình bày chương luận văn: Chương Tính lồi đa thức bổ đề Kallin Nội dung chương trình bày khái niệm kết bao lồi đa thức, tính lồi đa thức tập compact Cn bổ đề Kallin tính lồi đa thức hợp thành hai tập lồi đa thức Đây bổ đề kỹ thuật dùng xuyên suốt chương sau Chương Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao chúng Nội dung chương trình bày chi tiết có hệ thống tính lồi đa thức địa phương hợp không gian hoàn toàn thực cực đại Cn đưa vài ví dụ áp dụng Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Kiều Phương Chi hướng dẫn tận tình nghiêm túc tác giả suốt trình hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn thầy, cô giáo môn Giải tích, Khoa Toán học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả quãng thời gian học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2013 Tác giả CHƯƠNG TÍNH LỒI ĐA THỨC VÀ BỔ ĐỀ KALLIN Chương trình bày số kết bao lồi đa thức, tính lồi đa thức bổ đề Kallin tính lồi đa thức hợp thành hai tập lồi đa thức Chúng ta thấy lớp tập lồi đa thức thực rộng lớp tập lồi thông thường Cn Hơn nữa, lớp tập đặc biệt có ý nghĩa giải tích phức đại số 1.1 Tính lồi đa thức Trong mục này, giới thiệu số kiến thức chuẩn bị chủ yếu liên quan tới đại số Banach đại số cần dùng sau mở đầu lý thuyết lồi đa thức 1.1.1 Định nghĩa a) Một đại số phức A không gian vectơ trường C với phép nhân thỏa mãn điều kiện: 1)x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A; 2)x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A; 3)(αx)y = x(αy) = α(xy), ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C b) Một đại số phức A gọi đại số Banach A thỏa mãn điều kiện: 1)A không gian Banach với chuẩn cho trước; 2) xy ≤ x y , ∀x, y ∈ A Đại số A gọi có đơn vị ∃e ∈ A cho ex = xe = e, ∀x ∈ A e = Đại số A gọi đại số giao hoán xy = yx, ∀x, y ∈ A Phần tử đơn vị có Phép nhân A liên tục, liên tục trái, liên tục phải 1.1.2 Định nghĩa Không gian B A, chứa đơn vị A đóng kín với ba phép toán A đại số A 1.1.3 Ví dụ 1) Đại số C với phép nhân hai số phức chuẩn Euclide thông thường đại số Banach giao hoán có đơn vị phần tử 2) Cho E không gian Banach B(E) ={Toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào E }, Trên B(E) xác định phép nhân (f g)(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)), ∀f, g ∈ B(E), ∀x ∈ E chuẩn f = sup |f (x)| , ∀f ∈ B(E) x∈E Khi đó, B(E) đại số Banach không giao hoán có đơn vị ánh xạ đồng E 3) Cho X không gian tôpô compact C(X) không gian Banach hàm phức liên tục với chuẩn hội tụ f = sup |f (x)| , ∀f ∈ C(X) x∈X Khi đó, C(X) đại số Banach giao hoán có đơn vị hàm đồng X , với phép nhân theo điểm, tức (f g)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ X 4) Cho K tập compact Cn Ký hiệu P (K), R(K) A(K) theo thứ tự tập hợp hàm f ∈ C(K) xấp xỉ K đa thức, hàm hữu tỷ cực điểm K hàm chỉnh hình phần K liên tục K Khi đó, với phép toán cảm sinh từ C(K) P (K), R(K) A(K) đại số Banach C(K) Hơn nữa, ta có bao hàm thức P (K) ⊂ R(K) ⊂ A(K) ⊂ C(K) 1.1.4 Định nghĩa Cho A đại số Banach Phiếm hàm tuyến tính ϕ : A → C gọi đồng cấu phức ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) với x, y ∈ A Người ta chứng minh được, đồng cầu phức ϕ liên tục, ϕ(e) = ϕ = Hơn ϕ(x) = với phần tử khả nghịch x Kí hiệu không gian đồng cấu phức ∆A Như vậy, ∆A tập hình cầu đơn vị không gian đối ngẫu A∗ Ký hiệu G(A) nhóm phần tử khả nghịch A Khi đó, ánh xạ a ∈ G(A) → G(A) đồng phôi 1.1.5 Định nghĩa Giả sử f ∈ A với A đại số Banach Đặt: σ(f ) = {λ ∈ C : (λe − f ) không khả nghịch} S(f ) = {λ ∈ C : (λe − f ) khả nghịch} = C\σ(f ) Khi σ(f ) gọi phổ f, S(f ) gọi dải thức f Ta có, với x ∈ A σ(x) compact khác rỗng Cũng từ tính chất này, Gelfand-Mazur chứng minh phần tử khác đại số Banach A khả nghịch A đẳng cấu, đẳng cự với A 1.1.6 Định nghĩa Cho A đại số Banach giao hoán 1) Không gian tuyến tính J A ideal JA = {xa : x ∈ J, a ∈ A} ⊂ J 2) Ideal J A gọi ideal cực đại ideal I A J ⊂I⊂A J = I I = A Với ϕ ∈ ∆A ta có ker ϕ ideal cực đại A Ký hiệu, MA tập hợp ideal cực đại A Sau kết đặc biệt quan trọng lý thuyết đại số Banach 1.1.7 Định lý ([4], [5]) Tồn song ánh ∆A MA 1.1.8 Nhận xét Từ định lý ta đồng ∆A với MA Vì ∆A chứa hình cầu đơn vị đóng không gian đối ngẫu A∗ Trên A xét tôpô yếu hay gọi tôpô yếu MA không gian compact định lý Banach-Alaoglu, không gian MA không gian Hausdorff 1.1.9 Định nghĩa Cho A đại số Banach, f ∈ A Ta xác định ánh xạ fˆ : MA → C cho công thức fˆ (Φ) = Φ(f ), ∀Φ ∈ MA Ta gọi fˆ phép biến đổi Gelfand f đặt Aˆ = {fˆ : f ∈ A} 1.1.10 Định lý ([5]) Cho X không gian tôpô Hausdorff compact Khi MC(X) đồng phôi với X Chứng minh Với x ∈ X , ta xác định hàm ϕx từ C(X) vào C cho công thức ϕx (f ) = f (x), ∀f ∈ C(X) Khi ϕx đồng cấu phức C(X) Thật vậy, ϕx (αf + βg) = (αf + βg) (x) = (αf )(x) + (βg)(x) = αf (x) + βg(x) = αϕx (f ) + βϕx (g), ∀f, g ∈ C(X), ∀α, β ∈ C Ngoài ϕx (f g) = (f g)(x) = f (x)g(x) = ϕx (f )ϕx (g), ∀f, g ∈ C(X) ϕx (I) = I(x) = = 0, với I ánh xạ liên tục từ X vào C cho I(t) = 1, ∀t ∈ X Tiếp theo ta với ϕ ∈ MC(X) tồn x ∈ X cho ϕ = ϕx Giả sử ngược lại ϕ = ϕx , với ∀x ∈ X Khi với x ∈ X tồn g ∈ C(X) cho ϕ(g) = ϕx (g) = g(x) Đặt fx = g − ϕ(g) Khi fx (x) = fx liên tục Theo tính chất liên tục nên tồn lân cận Ux cho fx = Ux Suy |fx |2 > 0, Ux Vì ϕ(fx ) = ϕ(g − ϕ(g)) = ϕ(g) − ϕ(g) = nên ϕ(|fx |2 ) = ϕ(fx fx ) = ϕ(fx )ϕ(fx ) = Mặt khác, họ {Ux }x∈X phủ mở X compact nên tồn phủ hữu hạn phủ X Suy tồn x1 , x2 , , xn ∈ X cho n X = Uxi Đặt u = |fx1 |2 + |fx2 |2 + + |fxn |2 Ta có u > nên i=1 khả nghịch Suy ϕ(u) = với ϕ ∈ MC(X) Tuy nhiên ϕ(u) = ϕ(|fx1 |2 + + |fxn |2 ) = ϕ(|fx1 |2 ) + + ϕ(|fxn |2 ) = Ta gặp mâu thuẫn Vậy ϕ = ϕx Để kết thúc chứng minh ta thiết lập ánh xạ ψ từ X vào MC(X) cho công thức ψ(x) = ϕx với x ∈ X Dễ dàng chứng minh ψ song ánh Hơn ψ liên tục Thật vậy, giả sử {xα }α∈I ⊂ X cho xα → x ∈ X Khi với f ∈ C(X) ta có f (xα ) → f (x) hay ϕxα (f ) → ϕx (f ) với f ∈ C(X) Suy ϕxα → ϕx MC(X) hay ψ(xα ) → ψ(x) Mặt khác, X MC(X) không gian compact nên ψ −1 liên tục Vậy ψ ánh xạ đồng phôi từ X vào MC(X) 1.1.11 Định nghĩa ([5]) Cho X không gian Haudorff compact Một đại số đóng C(X), chứa hằng, tách điểm X gọi đại số X 1.1.12 Ví dụ 1) Cho X ⊂ Cn Khi P (X), R(X), A(X) đại số X Hơn nữa, P (X) ⊂ R(X) ⊂ A(X) 2) Cho A đại số Banach không gian phép biến đổi Gelfand A đại số MA 1.1.13 Định nghĩa ([5])Cho A đại số không gian mêtric compact X MA không gian ideal cực đại A Độ đo biểu diễn φ ∈ MA độ đo dương µ X cho φ(f ) = f dµ, f ∈ A Định lý sau tồn độ đo biểu diễn đại số 1.1.14 Định lý ([5], [14]) Cho A đại số không gian mêtric compact X Khi với x ∈ MA , tồn độ đo dương, Borel, quy X biểu diễn x Hơn nữa, độ đo biểu diễn chọn độ đo Jensen Nếu A đại số P (K), K tập compact Cn ˆ Do đó, với x ∈ K ˆ tồn độ đo dương, Borel, quy MP (K) = K K cho f dµ, ∀f ∈ P (K) f (x) = ˆ R tồn độ đo dương, Borel, quy K Tương tự, với x ∈ K cho f dµ, ∀f ∈ R(K) f (x) = Chúng ta đến với khái niệm quan trọng sau 1.1.15 Định nghĩa ([4]) Đa tạp thực M Cn gọi hoàn toàn thực điểm a ∈ M không gian vectơ tiếp xúc TM (a) M a không chứa đường thẳng phức, tức TM (a) ∩ iTM (a) = {0} Đa tạp M gọi hoàn toàn thực hoàn toàn thực điểm thuộc 1.1.16 Ví dụ 1) Rn hoàn toàn thực điểm 2) Giả sử f1 , f2 , , fk hàm lớp C tập mở U ⊆ C Nếu k i=1 ∂fi (a) = ∂z với a ∈ U M = { z, f1 (z), , fk (z) : z ∈ U } hoàn toàn thực a, f1 (a), , fk (a) 1.1.17 Định nghĩa Cho X tập compact C n 1) Bao lồi đa thức X ký hiệu X xác định sau: X = {z ∈ Cn : |p(z)| ≤ p X, với đa thức p Cn }, p X = max{|p(x)| : x ∈ X} 10 Nếu X = X ta nói X lồi đa thức ˆ R xác định sau 2) Bao lồi hữu tỷ X ký hiệu X ˆ R = {z ∈ Cn : |g(z)| ≤ g X X, với hàm hữu tỷ g có cực điểm X} ˆ R ta nói X lồi hữu tỷ Nếu X = X 1.1.18 Định nghĩa Cho X tập Cn z ∈ X Tập X gọi lồi đa thức địa phương (tương ứng lồi hữu tỷ địa phương) z tồn hình cầu đóng B(z, r) cho X ∩ B(z, r) lồi đa thức (tương ứng lồi hữu tỷ) 1.1.19 Nhận xét 1) X ⊂ XR ⊂ X XR , X compact Cn 2) Giao họ tập lồi đa thức (tương ứng lồi hữu tỷ) lồi đa thức (tương ứng lồi hữu tỷ) ˆ với M > tồn đa thức p cho p(z) > M 3) Nếu z ∈ /X p X M Chứng minh 1) Vì lớp hàm hữu tỷ chứa đa thức từ định nghĩa ta có bao hàm thức ˆ R ⊂ X ˆ X⊂X Ta chứng minh X compact Cn Đầu tiên, ta cần chứng minh ˆ bị chặn Thật vậy, xét đa thức pk (z) = zk với z = X (z1 , , zn ) ∈ Cn , k = 1, 2, , n ta có |pk (z)|k = |zk | pk X := rk < +∞, ˆ nằm đa đĩa với z ∈ X Vì X D(0, r) = {(z1 , , zn ) : |zk | rk , k = 1, , n} ˆ bị chặn Để chứng minh tính compact X , ta tính Do X đóng Giả sử {xn }n∈I ⊂ X xn → x ∈ Cn , n → ∞ Với n = 1, 2, 3, ta có xn ∈ X nên |f (xn )| ≤ f X 25 Do T song ánh tuyến tính nên p ◦ T chạy qua đa thức Cn Do ˆ , mâu thuẫn với z ∈ z ∈ K / K K lồi đa thức Bây giờ, xét hai không gian L, N hoàn toàn thực, có chiều thực n Cn L ∩ N = {0} Do không gian hoàn toàn thực lồi đa thức địa phương (theo H¨omander Wermer), xem xét tính lồi đa thức địa phương L ∪ N Nhờ Mệnh đề 2.1.4 tồn phép biến đổi tuyến tính T Cn cho T (L) = M T (N ) = Rn Khi đó, M, Rn hoàn toàn thực M ∩ Rn = {0} Hơn nữa, Nhờ Mệnh đề 2.1.5 quy xét toán cho trường hợp M ∪ Rn 2.1.6 Nhận xét Giả sử M không gian n chiều thực C n với M ∩ Rn = {0} Giả sử {v1 , v2 , , } sở M R Nếu vj = sj + itj với sj , tj ∈ Rn , j n t1 , t2 , , tn hệ độc lập tuyến tính bao tuyến tính M ∪ Rn với hệ số R C n Do đó, tồn ma trận A vuông cấp n với phần tử thực cho Atj = sj , j n Vì vậy, M biểu diễn dạng M (A), M (A) = (A + i)Rn M (A) hoàn toàn thực i không giá trị riêng A 2.1.7 Định lý ([15]) Cho λ ∈ R λ = Nếu lấy An = (aij ) ma trận vuông cấp n cho aij = λ, ai,j+1 = 1, i i n; n − 1; aij = Khi đó, tập compact M (An ) ∪ Rn lồi đa thức Chứng minh Mỗi tập compact M (An ) ∪ Rn có dạng K ∪ L, K ⊂ Rn L ⊂ M (An ) Ta chứng minh định lý quy nạp Giả sử λ > Với n = 1, ta có M1 = {(λ + i)t : t ∈ R} Xét đa thức F (z) = z 26 Ta có F (K) tập compact R nên C \ F (K) compact, hay F (K) lồi đa thức Với z = (λ + i)t ∈ M1 ta có F (z) = (λ2 − 1)t2 + 2λt2 i Do F (M1 ) nằm nửa đường thằng có phương trình z(t) = (λ2 − 1)t + 2λti Vì thế, L tập compact M1 F (L) có phần bù liên thông C Tức là, F (L) lồi đa thức Để ý F (z) = z = Do F −1 (0) ∩ (K ∪ L) = {0} tập lồi đa thức Do đó, áp dụng Bổ đề Kallin ta có K ∪ L lồi đa thức Bây giờ, giả thiết quy nạp tập compact M (An−1 ∪ Rn−1 lồi đa thức Ta chứng minh kết luận cho n Xét đa thức F (z1 , z2 , , zn ) = z n Khi đó, ta có F (K) ⊂ R Với z = (z1 , , zn ) ∈ M (An ) ta có zn = (λ + i)yn yn ∈ R ImF (z) > 0, trừ zn = Lý luận, tương tự ta có F (K) F (L) tập lồi đa thức C Mặt khác, F −1 (0) ∩ (M (An ∪ Rn ) ⊂ (M (An−1 ∪ Rn−1 ) × {0} Do đó, theo giả thiết quy nạp ta có F −1 (0) ∩ (K ∪ L) tập lồi đa thức Vì vậy, áp dụng Bổ đề Kallin ta có K ⊂ L lồi đa thức Nếu λ < 0, cần lặp lại lập luận với F (z1 , z2 , , zn) = −zn2 2.1.8 Định lý ([15]) Nếu Bn = (bij ) ma trận vuông cấp n với bi,j+1 = 1; i n − 1, bij = trường hợp lại Khi đó, tập compact M (Bn ) ∪ Rn lồi đa thức 27 Chứng minh Mỗi tập compact M (Bn ) ∪ Rn có dạng K ∪ L, K ⊂ Rn L ⊂ M (An ).Xét đa thức F(z) = ((Bn − i)z, z), (z, w) = n j=1 zj wj Để tiện theo dõi, trước hết ta trình bày cho trường hợp n = Với n = ta có B1 = Khi M (B1 ) = {iy : y ∈ R} Vì vậy, với z = iy ∈ M (B1 ) ta có F (z) = −i3 y = iy Do ImF (z) = y > với z = Với z = x ∈ R ta có F (z) = −ix2 ImF (z) = −x2 < với z = Từ suy F (K) F (L) tập lồi đa thức C F (K) ∩ F (L) ⊂ {0} Hơn F −1 (0) ∩ (K ∪ L) = {0} Vì vậy, áp dụng Bổ đề Kallin ta có K ∪ L lồi đa thức Bây ta xét trường hợp n tùy ý, với z = (x1 , , xn ) ∈ Rn ta có −i 1 x1 −i x2 (Bn − i)z = 0 −i xn Từ suy ImF (z) = ((Bn − i)z, z) = −(x21 + x22 + x2n ) < với z = Với z = (Bn + i)y ∈ M (Bn ) ImF (z) = ((B n + 1)y, y) 1 1 1 + yn2 > = (y1 + y3)2 + + (yn−2 + yn )2 + y + y22 + yn−1 2 2 2 với z = Do đó, tương tự trường hơp n = 1, áp dụng Bổ đề Kallin ta có K ∪ L lồi đa thức 28 2.1.9 Định lý ([15]) Giả sử s, t ∈ R giả thiết thêm s = s −t |t| < Cho C = t s I = Với n = 2k xét Dk ma trận vuông cấp n chứa mảng (Aij ) cho Aij ma trận vuông cấp với Aij C, Ai,i+j = I, j k i k−1 Aij = Khi đó, tập compact M (Dk ) ∪ Rn lồi đa thức Chứng minh Trước hết, xét trường hợp s = Nếu n = D1 = C Bằng tính toán định lý trước áp dụng Bổ đề Kallin với đa thức F (z) = s(z12 + z22 ta nhận Rn ∪ M (C) lồi đa thức Nếu n > xét đa thức F (z) = s(zn−1 + zn2 ) Khi F (Rn ) ⊂ R z ∈ M (Dk ) F (z) ⊂ {Imλ > 0} ∪ {0} Mặt khác, ta có F −1 (0) ∩ (M (Dk ) ∪ Rn ) ⊂ (M (Dk−1 ) ∪ Rn−2 ) × {(0, 0)} Do đó, phương pháp quy nạp Định lý 2.1.7 áp dụng bổ đề Kallin ta nhận điều cần chứng minh Nếu s = |t| < ta nhận kết tương tự cách áp dụng bổ đề Kallin F (z) = z12 + z22 n = F (z) = zn−1 + zn2 29 với n > Sử dụng kết phép biến đổi ma trận Jordan, Weinstock chứng minh kết sau 2.1.10 Định lý ([15]) Nếu ma trận vuông cấp n không chứa giá trị riêng ảo có mô đun lớn tập compact M (A) ∪ Rn lồi đa thức Định lý sau chứng tỏ tồn M (A) cho M (A) ∪ Rn chứa tập compact mà không lồi đa thức 2.1.11 Định lý ([15]) Giả sử lấy |t| > cho ti giá trị riêng ma trận A cấp n Khi M (A) ∪ Rn chứa tập compact mà bao lồi đa thức không chứa M (A) Rn Chứng minh Từ A ma trận thực suy ta giả thiết t > Giả sử v vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng ti Đặt r = (t + 1)1/2 (t − 1)−1/2 Xét ánh xạ φv từ C \ {0} vào Cn xác định φv (λ) = λv + λ−1 v¯, (v1 , ) v¯ = (v¯1 , , v¯n ) Khi φv (|λ| = 1) ⊂ Rn Ta chứng tỏ với r xác định φv (|λ| = r) ⊂ M (A) Thật vậy, lấy v = a + ib với a, b ∈ Rn Khi Reφv (reiθ ) = (r + r−1 )(cos θa − sin θb); Imφv (reiθ ) = (r − r−1 )(sin θa + cos θb) 30 Từ Av = itv suy Aa = −tb Ab = ta Mặt khác t = (r + r−1 )(r − r−1 )−1 Do A(Imφv (reiθ )) = Reφv (reiθ ) với θ thuộc vào R φv (reiθ ∈ M (A) Lấy K = φv (|λ| = 1) ∪ (|λ| = r) Khi đó, theo nguyên lý mô đun cực đại bao lồi đa thức K chứa ảnh hình xuyến {1 < |λ| < r} qua ánh xạ φv Vì M (A) Rn không gian không gian hoàn toàn thực nên ảnh không nằm M (A) ∪ Rn 2.2 Một số ví dụ Mục đưa số ví dụ áp dụng từ mục trước Mệnh đề sau tổng quát kết đề cập [15] trường hợp hai chiều 2.2.1 Mệnh đề Cho M1 = {(z1 , , zn , z , z n ) : z1 , , zn ∈ C} M1 = {(z1 , , zn , az , az n ) : z1 , , zn ∈ C} với a ∈ R a = 0, a = 1) Nếu a < tập compact M1 ∪ Ma lồi đa thức; 2) Nếu a > a = M1 ∪ Ma chứa tập compact không lồi đa thức Chứng minh Để ý Ma đa tạp hoàn toàn thực với a ∈ R Do đó, theo H¨ormander Wermer tập compact Ma lồi đa thức Xét phép biến đổi tuyến tính T : C2n → C2n xác định T (z1 , , zn , w1 , , wn ) = z1 + w1 , , zn + wn , i(z1 − w1 ) , i(zn − wn ) Khi đó, dễ thấy T (M1 ) = R2n Bây giờ, ta tìm ảnh Ma với a = qua 31 ánh xạ T Với z := (z1 , , zn , az , az n ) ∈ Ma ta có T (z) = (1 + a)x1 + i(1 − a)y1 , , (1 + a)xn + i(1 − a)yn , − (1 + a)y1 + i(1 − a)x1 ], , −(1 + a)yn + (1 − a)xn = (1 + a)x1 , , (1 + a)xn , −(1 + a)y1 , , −(1 + a)yn + i (1 − a)y1 , , (1 − a)yn , (1 − a)x1 , , (1 − a)xn y1 0 0 y2 0 0 yn (1 + a) −1 0 0 x −1 0 x2 0 −1 xn i 0 y1 i 0 y2 +(1 − a) 0 i 0 yn 0 i xn Do T (Ma ) = M (A) + i Rn , a+1 0 a−1 a+1 0 a−1 0 0 A= a+1 − 0 0 a−1 a+1 − 0 a−1 a+1 0 − a−1 a+1 a−1 32 Khi đó, giá trị riêng A nghiệm phương trình λ 0 a+1 a−1 λ 0 λ det(λI − A) = a + − a−1 λ a+1 − a−1 0 − a+1 a−1 a+1 a−1 0 0 0 λ a+1 a−1 , I ma trận đơn vị Bằng quy nạp ta chứng minh det(λI − A) = λ2 + a+1 a−1 n Do đó, A có hai giá trị riêng ảo t = ± |t| = a+1 i Ta có a−1 a+1 >1 a−1 a < Do đó, áp dụng Định lý 2.1.10 Định lý 2.1.11 ta nhận kết luận mệnh đề Ta nhận hệ sau 2.2.2 Hệ Nếu a < hàm liên tục tập compact M1 ∪ Ma xấp xỉ đa thức Chứng minh Giả sử K tập compact M1 ∪ Ma Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.1 ta có K lồi đa thức Vì vậy, áp dụng Mệnh đề 1.1.30 K0 = {0} ta nhận P (K) = C(K) 33 Sau vài ứng dụng khác bổ đề Kallin 2.2.3 Định lý [1] Cho m số nguyên dương ϕ hàm lớp C xác định lân cận ∈ C có dạng ∞ k m−k k=−∞ ak z z ϕ(z) = + f (z) (2.1) m cho f (z) = o(|z|m ) Giả sử tồn l |al | > z = z = 0, |ak | (2.2) k=l Khi với r > đủ nhỏ , tập compact X1r ∪ X2r lồi đa thức, X1r = {(z, z) : |z| ≤ r}, X2r = {(z, ϕ(z)) : |z| ≤ r} Chứng minh Theo Định lý Stone-Weierstrass ta có P (X1r ) = C(X1r ) với r > Từ tập compact X1r lồi đa thức Đặc biệt X1r lồi đa thức Mặt khác với r > dủ nhỏ, theo Bổ đề 6.2.4 X2r lồi đa thức Ta áp dụng bổ đề Kallin để kết thúc chứng minh Xét đa thức p(z, w) = αz m−2l+1 + αwm−2l+1 , với α số phức chọn thích hợp sau Ta có p(z, z) = αz m−2l+1 + αz m−2l+1 Từ suy p(X1r ) ⊂ R Mặt khác, với (z, w) ∈ X2r z = ta có ∞ p(z, w) = αz m−2l+l = αz ak z k z m−k + f (z) +α z+ m−2l+1 + αz m−2l+1 k=−∞ m−2l+1 +∞ + α(m − 2l + 1)z m−2l ak z k z m−k + o(|z|m ) k=−∞ 34 Vậy với (z, w) ∈ X2r z = ta có +∞ p(z, w) = α(m − 2l + z m−2l ak z k z m−k + o(|z|m ) k=−∞ với (z, w) ∈ X2r Chọn α = ial Ta p(z, w) = (m − 2l + 1) i |al |2 |z|2m−2l + al ak z m−2l+k z m−k k=l + o(|z|2m−2l ) |ak | + o(|z|2m−2l ), |z|2m−2l m − 2l + |al | − k=l (2.3) với (z, w) ∈ X2r Từ (2.2) (2.3) suy p(z, w) > với (z, w) ∈ X2r mà z = r đủ bé Do p(X2r ) ∩ R = {0} Từ suy p(X1r ) ∩ p(X2r ) = {0} r đủ bé Mặt khác từ (6.7) ta có p−1 (0) ∩ X2r = {(0, 0)} Do Yr := p−1 (0) ∩ (X1r ∪ X2r ) ⊂ X1r Theo nhận xét phần đầu chứng minh Yr lồi đa thức Vì vậy, áp dụng Bổ đề Kallin ta có X1r ∪ X2r lồi đa thức r đủ bé Đinh lý sau cho thấy Định lý ?? bỏ điều kiện l > m X1 ∪ X2 không lồi đa thức địa phương (0, 0) 2.2.4 Định lý ([1]) Giả sử n, p số nguyên dương X1 = {(z, z n ) : z ∈ D}, X2 = {(z, z n + z p z n+p ) : z ∈ D}, D đĩa đóng, tâm ∈ C Khi đó, X1 ∪ X2 không lồi đa thức địa phương (0, 0) ∈ C2 35 Chứng minh Với t > 0, đặt Wt = {(z, w) : z n w = t} Xét tập hợp Pt := Wt ∩ X1 = {(z, z n ) : |z| = t 2n } Qt := Wt ∩ X2 = {(z, z n + z p z n+p ) : |z| = s}, s nghiệm dương phương trình x2n + x2n+2p = t Khi đó, theo nguyên lý môđun cực đại ta có bao lồi đa thức X1r ∪ X2r chứa tập mở Wt bị chặn hai đường cong kín Pt Qt với t > Do X1r ∪ X2r không lồi đa thức Ta cần bổ đề sau Sibony 2.2.5 Bổ đề [1] Cho p : Cn → Cn ánh xạ đa thức thỏa mãn p−1 (K) compact Cn với compact K ⊂ Cn Nếu X tập compact Cn thỏa mãn X = p−1 (p(X)) ˆ = p−1 (p(X)) X Sử dụng Bổ đề Kallin, ta chứng minh đĩa compact K C2 hoàn toàn thực ngoại trừ điểm lồi đa thức lân cận điểm K hyperbolic Cụ thể hơn, ta có kết sau thuộc Stout Ký hiệu ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} 2.2.6 Định lý ([1]) Cho γ > 1/2 mọt số K = {(z, |z|2 + γ(z + z )) : z ∈ ∆} Khi K lồi đa thức Chứng minh Ta xét ánh xạ đa thức bậc hai p : C2 → C2 cho p(z, w) = (z, zw + γ(z + w2 )) 36 Do γ > 1/2, không khó khăn ta kiểm tra p ánh xạ riêng Ta có p−1 (X) = X1 ∪ X2 , X1 = {(z, z) : z ∈ ∆}, X2 = z z, − − z : z ∈ ∆ γ Ta biết X1 lồi đa thức Mặt khác, qua phép biến đổi tuyến tính không, ta biến X2 X1 Do X2 lồi đa thức Để áp dụng Bổ đề Kallin, ta xét đa thức q(z, w) = z − w2 Ta có q(X1 ) ⊂ iR Đối với X2 ta có 2γ + 2γ − z u − v + 2i − uv, z = u + iv q z, − − z = − 2 γ γ γ γ Như vậy, γ > 1/2, q(X2 ) nằm nửa mặt phẳng trái Cuối ý p−1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ) ⊂ X1 Vậy theo Bổ đề Kallin X1 ∪ X2 lồi da thức Sử dụng Bổ đề Sibony ta kết luận K lồi đa thức 37 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày kết sở bao lồi đa thức, tính lồi đa thức tập compact Cn Chứng minh số chi tiết số kết liên quan mà tài liệu đưa mà không chứng minh chứng minh vắn tắt 2) Trình bày chứng minh chi tiết bổ đề Kallin tính lồi đa thức hợp thành hai tập lồi đa thức (Định lý 1.2.1) áp dụng để chứng minh tính lồi đa thức hợp ba hình cầu đóng rời 3) Trình bày kết Weinstock tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai không gian hoàn toàn thực cực đại Cn Chứng minh chi tiết kết (Mệnh đề 2.1.4), Mệnh đề 2.1.5, Định lý 2.1.7, ) 4) Đưa ví dụ áp dụng kết Weinstock (Mệnh đề 2.2.1.) 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Diệu (2010), Nhập môn đại số đều, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Trần Xuân Vinh (2012), Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thực điểm giao chúng, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [3] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải( 2001) , Hàm biến phức, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [4] Alexander H and Wermer J (1997), Sevaral Complex Variables and Banach Algebras, Third edition, Springer [5] Gamelin T W (1984), Uniform Algebras, Prentice-Hall [6] H¨ormander L (1991), An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland [7] Nguyen Quang Dieu and Kieu Phuong Chi (2006), Function algebras on disks II, Indag Math (NS), 17, 557-566 [8] Nguyen Quang Dieu and Paepe P.J (2002), Function algebras on disks, Complex Variables J., 47, 447- 451 [9] Gorai S (2011), On the polynomial convexity of the union of more than two totally real planes in C2 , preprint in C2 , Indag Math., 10, 349-355 [10] Paepe P J (2001), Eva Kallin’s lemma on polynomial convexity, Bull London Math Soc., 33, 1-10 [11] Thomas P J (1990), Enveloppes polynomiales d’unions de plans réels dans Cn , Ann Inst Fourier (Grenoble), 40, 371-390 [12] Stolzenberg G (1963), Polynomially and rationally convex sets, Acta Math., 109, 259-289 39 [13] Stout E L (1971), The Theory of Uniform Algebras, Bogden and Quigley [14] Stout E L (2007), Polynomial Convexity, Birkh¨auser [15] Weinstock B M (1988) On the polynomial convexity of the union of two maximal totally real subspaces of Cn , Math Ann 282 (1988), no 1, 131-138 ... tập lồi Ta có bao lồi convK (theo nghĩa thông thường) tập compact K xác định convK = {z ∈ Cn : |f (z)| f K : ∀f ∈ F}, F tập tất dạng tuyến tính phức Cn Thật vậy, giả sử z ∈ convK Khi tồn z1 ,... = f K Ngược lại, giả sử z ∈ / convK Khi đó, theo định lý Hahn-Banach, tồn dạng tuyến tính phức f cho f (z) = f |K = Điều mâu thuẫn với |f (z)| f K, ∀f ∈ F 13 Ta convK = {z ∈ Cn : |f (z)| f K... ∀f ∈ F 13 Ta convK = {z ∈ Cn : |f (z)| f K : ∀f ∈ F}, F tập tất dạng tuyến tính phức Cn Từ suy convK chứa bao lồi đa thức K Do tập lồi compact Cn lồi đa thức 1.1.21 Định lý ([5]) Cho X tập compact