về tính lồi đa thức của một số tập hợp trong cn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG PHƯƠNG KHÁNH VỀ TÍNH LỒI ĐA THỨC CỦA MỘT SỐ TẬP HỢP TRONG C n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG PHƯƠNG KHÁNH VỀ TÍNH LỒI ĐA THỨC CỦA MỘT SỐ TẬP HỢP TRONG C n Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NINH VĂN THU Hà Nội - Năm 2011 Mục lục Lời nói đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm đa điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Một số định lý xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Khái niệm tập lồi đa thức và một số ví dụ . . . . . . . . . . 6 1.5 Đại số đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Bổ đề Kallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Đa tạp thuần túy thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 Vành chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Tính lồi đa thức của hợp hai n-phẳng thực trong C n 22 2.1 Tính lồi đa thức của hợp hai n-phẳng thực trong C n . . . . 22 2.2 Xấp xỉ đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Ω là tập mở trong C n , ta có thể đồng nhất C n với R 2n . Xét hàm f : Ω → C, f ∈ C 1 (Ω), z j = x j + iy j , j = 1, , n. df = n  j=1 ∂f ∂x j dx j + n  j=1 ∂f ∂y j dy j = n  j=1 ∂f ∂z j dz i + n  j=1 ∂f ∂z j dz j , trong đó ∂f ∂z j = 1 2  ∂f ∂x j − i ∂f ∂y j  , ∂f ∂z j = 1 2  ∂f ∂x j + i ∂f ∂y j  . Định nghĩa 1.1. Giả sử f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trong Ω với x, y ∈ R n . Hàm f được gọi là R 2n -khả vi tại z 0 = x 0 + iy 0 nếu các hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x 0 , y 0 ). Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là C n -khả vi tại z 0 ∈ Ω nếu f là R 2n -khả 4 vi tại z 0 và f thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann: ∂f ∂z j (z 0 ) = 0, j = 1, , n, tức là df = n  j=1 ∂f ∂z j dz j . Định nghĩa 1.3. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại z 0 ∈ Ω nếu nó là C n -khả vi trong một lân cận nào đó của z 0 . Hàm f được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu f chỉnh hình tại mọi z 0 ∈ Ω. Hàm f được gọi là chỉnh hình trên tập compact K ⊂ Ω nếu tồn tại tập mở ω sao cho K ⊂ ω ⊂ Ω và f chỉnh hình trên ω. Hàm f chỉnh hình trên toàn bộ C n được gọi là hàm nguyên. Đối với hàm chỉnh hình ta có tính chất sau: Định lý 1.1. Nguyên lý môđun cực đại. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn D và liên tục trên D. Khi đó hoặc f là hàm hằng hoặc f chỉ đạt cực đại trên biên bD của D. 1.2 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.4. Hàm thực n biến u(x 1 , x 2 , , x n ) khả vi liên tục cấp hai trên tập mở D ⊂ R n được gọi là hàm đa điều hòa nếu u(x) = ∂ 2 u ∂x 2 1 (x) + ∂ 2 u ∂x 2 2 (x) + + ∂ 2 u ∂x 2 n (x) = 0, với mọi x ∈ D. Định lý 1.2. Giả sử f(z) = u(x, y) + iv(x, y) là hàm chỉnh hình trên miền Ω ⊂ C n , với z = x + iy và x, y ∈ R n . Khi đó u(x, y) và v(x, y) là các hàm đa hàm điều hòa trên Ω. 5 Định lý 1.3. Nguyên lý cực đại. Giả sử u : D → R là hàm đa điều hòa, trong đó D ⊂ C n . Nếu K là tập con compact của D thì f| K đạt giá trị cực đại và cực tiểu trên biên bK của K. Trong trường hợp D là tập liên thông, nếu f đạt cực đại địa phương tại điểm z 0 ∈ D thì nó là hằng số trong lân cận nào đó của z 0 . 1.3 Một số định lý xấp xỉ Định lý 1.4. Định lý Stone-Weirstrass. Mỗi hàm số liên tục f(x) trên một tập compact X ⊂ R n là giới hạn đều của một dãy các đa thức với hệ số hữu tỉ. Định lý 1.5. Định lý Runge. Cho K là tập con compact trong C và C \ K là tập liên thông, f là hàm chỉnh hình trên K. Khi đó f là giới hạn đều trên K của một dãy các đa thức. Định lý 1.6. Định lý Mergelyan. Giả sử K là tập compact trong C và C \ K là tập liên thông. Khi đó với mọi hàm f : K → C liên tục sao cho f| int(K) : int(K) → C là hàm chỉnh hình có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức. 1.4 Khái niệm tập lồi đa thức và một số ví dụ Định nghĩa 1.5. Tập K ⊂ C n được gọi là tập lồi nếu với mọi z 0 ∈ C n \K, tồn tại phiếm hàm tuyến tính l : C n → R sao cho: l(z 0 ) = 1 và l(z) < 1 với mọi z ∈ K. Mở rộng khái niệm tập lồi là khái niệm tập lồi đa thức. 6 Định nghĩa 1.6. Tập con compact X của C n được gọi là lồi đa thức nếu với mỗi điểm z ∈ C n \ X tồn tại đa thức P sao cho: |P (z)| > sup{|P (x)| : x ∈ X}. Ta ký hiệu P  X = sup{|P (x)| : x ∈ X}. Định nghĩa 1.7. Nếu X là tập con compact của C n , bao lồi đa thức của X là tập  X = {z ∈ C n : |P (z)| ≤ P  X với mọi đa thức P }. Dễ thấy X là tập lồi đa thức khi và chỉ khi X =  X. Vì hàm chỉnh hình có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa nên tập compact X ⊂ C n là lồi đa thức khi và chỉ khi mỗi điểm z ∈ C n \ X tồn tại hàm nguyên F sao cho: |F(z)| > F  X . Sau đây là một số ví dụ đơn giản về các tập lồi đa thức trong C n . Ví dụ 1.1. Mọi tập K compact và lồi trong C n đều là lồi đa thức. Chứng minh. Xét z 0 ∈ C n \K. Do K là tập lồi nên tồn tại phiếm hàm tuyến tính l : C n → R sao cho: l(z 0 ) = 1 và l(z) < 1 với mọi z ∈ K. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính L : C n → C sao cho ReL = l. Đặt F(z) = e L(z) thì F là hàm chỉnh hình. Khi đó |F (z)| = |e L(z) | = e ReL(z) = e l(z) . Với mọi z ∈ K thì |F(z)| = e l(z) < e = |F (z 0 )| nên K là tập lồi đa thức. Ví dụ 1.2. Giả sử K là tập con compact trong C. Khi đó K là tập lồi đa thức khi và chỉ khi C\K là tập liên thông. Chứng minh. Giả sử K là tập lồi đa thức, ta phải chứng minh C\K là tập liên thông. Giả sử phản chứng C\K không là tập liên thông. Khi đó tồn tại D ⊂ C\K sao cho bD ⊂ K. Theo nguyên lý môđun cực đại, với mọi z ∈ D thì |P (z)| ≤ P  bD ≤ P K . Do đó D ⊂  K = K, điều này trái với 7 giả thiết phản chứng. Vậy C\K là tập liên thông. Giả sử C\K là tập liên thông, ta chứng minh K là tập lồi đa thức. Xét z 0 ∈ C\K thì f(z) = 1 z −z 0 chỉnh hình trong lân cận nào đó của K. Theo định lý Runge, f có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K. Vì vậy, tồn tại đa thức P sao cho P (z 0 ) = 1 và P  K < 1 2 . Do |P (z 0 )| > P K nên K là tập lồi đa thức. Ví dụ 1.3. Mọi tập compact K ⊂ R n đều lồi đa thức. Chứng minh. Xét x ∈ R n \K và đặt f(z) = 1 z −x . Ta có hàm f liên tục trên K. Theo định lý Stone-Weierstrass tồn tại đa thức P sao cho P (x) = 1 > P  K . Do đó x /∈  K. Vì vậy  K ∩ R n = K. Xét w = u + iv ∈ C n , với u = (u 1 , , u n ), v = (v 1 , , v n ) ∈ R n , v = 0, tức là w /∈ R n . Đặt F (z) = n  j=1 e −(z j −u j ) 2 . Vì |F (w)| = n  j=1 e −(iv j ) 2 = n  j=1 e v 2 j > 1 và F  R n ≤ 1 nên |F (w)| > F  R n ≥ F K . Do đó w /∈  K. Vậy K =  K hay K là tập lồi đa thức. Từ ví dụ 1.2 và định lý Runge, ta có mọi hàm f chỉnh hình trên một tập lồi đa thức trong C có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức. Liệu kết quả này có đúng trong trường hợp tổng quát C n không? Định lý Oka-Weil đã trả lời cho câu hỏi này. Định lý 1.7. Định lý Oka-Weil. Nếu tập compact K trong C n là tập lồi đa thức và nếu f là hàm chỉnh hình trong một lân cận của K thì với mọi  > 0 tồn tại đa thức P sao cho  f −P  K < . 8 1.5 Đại số đều Cho X là tập compact trong C n . Ký hiệu : C(X) = {f : X → C, f liên tục}. P(X) = {f ∈ C(X), ∃ dãy đa thức {P n } : P n K ⇒ f}. A(X) = {f liên tục, chỉnh hình trong phần trong của X}. B(V ) = {f chỉnh hình trên V, với V là tập mở trong C n }. Định nghĩa 1.8. Một C-đại số A được gọi là đại số Banach nếu (A, ·) là không gian Banach thỏa mãn xy ≤ x.y với mọi x, y ∈ A và 1 = 1. Định nghĩa 1.9. Giả sử X là không gian compact, Hausdorff, mỗi đại số con có đơn vị, tách điểm, đóng của đại số C(X) được gọi là một đại số đều trên X. Điều kiện tách điểm có nghĩa là với hai điểm phân biệt x, x  ∈ X, tồn tại hàm f thuộc đại số đó sao cho f(x) = f(x  ). Ví dụ 1.4. C(X), P(X), A(X), B(V ) là các đại số đều trên X. Định nghĩa 1.10. Giả sử A là một đại số Banach giao hoán, mỗi phiếm hàm tuyến tính ϕ : A → C, ϕ = 0 và thỏa mãn ϕ(f.g) = ϕ(f).ϕ(g) được gọi là một đặc trưng của A. Từ định nghĩa đặc trưng của đại số Banach ta có ϕ(1) = 1. Thật vậy, nếu ϕ(1) = 0 suy ra với mọi f ∈ A, ϕ(f) = ϕ(f.1) = ϕ(f).ϕ(1) = 0. Từ đó suy ra ϕ ≡ 0, mâu thuẫn với định nghĩa đặc trưng. Vậy ϕ(1) = 0. Từ ϕ(1) = ϕ(1.1) = ϕ(1).ϕ(1) suy ra ϕ(1) = 1. Mỗi đặc trưng trên đại số đều bất kỳ đều có chuẩn bằng 1. Thật vậy, nếu f thuộc đại số đều A thỏa mãn f X < 1 và ϕ là một đặc trưng của 9 A thì ϕ(f) < 1. Giả sử phản chứng ϕ(f) = c với |c| ≥ 1. Theo định nghĩa chuẩn, ta có tồn tại  > 0 sao cho với mọi x ∈ X thì |f(x)| < 1 −. Khi đó chuỗi 1 c  ∞ j=0 ( f c ) j hội tụ đều trên X tới hàm g ∈ A thỏa mãn 1 = (c −f)g. Ta có ϕ(1) = (c − ϕ(f))ϕ(g) = 0. Từ mâu thuẫn này suy ra điều phải chứng minh. Nếu cho một đại số A, xác định đặc trưng của A là vấn đề khó. Nhưng trong trường hợp đại số C(X), P(X) thì ta có các kết quả sau: Định lý 1.8. Giả sử X là không gian compact Hausdorff và ϕ là một đặc trưng của C(X). Khi đó tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho ϕ(f) = f(x) với mọi f ∈ C(X). Chứng minh. Trước hết ta chứng minh tồn tại x ∈ X thỏa mãn. Giả sử không tồn tại x ∈ X sao cho ϕ(f) = f(x) với mọi f ∈ C(X). Xét tập ker ϕ = {f ∈ C(X) : ϕ(f) = 0}. Khi đó với mỗi f ∈ C(X), ta có ϕ(ϕ(f).1 − f) = ϕ(f).ϕ(1) − ϕ(f) = 0. Do đó ϕ(f).1 − f ∈ ker ϕ. Vì vậy ker ϕ = {0}. Khi đó ∪ g∈ker ϕ {x ∈ X : g(x) = 0} = X. Thật vậy, giả sử ∪ g∈ker ϕ {x ∈ X : g(x) = 0} = X, tức là tồn tại x ∈ X sao cho g(x) = 0 với mọi g ∈ ker ϕ. Ta có (ϕ(f).1 − f)(x) = 0 hay ϕ(f)−f(x) = 0 với mọi f ∈ C(X). Vì vậy ϕ(f) = f(x) với mọi f ∈ C(X). Điều này mâu thuẫn với giả sử phản chứng nên ∪ g∈ker ϕ {x ∈ X : g(x) = 0} = X. Do X là tập compact nên tồn tại các hàm g 1 , g 2 , , g r ∈ C(X) ∩ker ϕ sao cho X = ∪ r j=1 {x ∈ X : g j (x) = 0}. Đặt h j = g j / r  j=1 g j g j thì h j ∈ C(X) và 1 = r  j=1 h j g j . Do đó 1 = ϕ(1) = ϕ( r  j=1 h j g j ) = r  j=1 ϕ(h j )ϕ(g j ) = 0. Điều 10 [...]... hợp của chúng là lồi đa thức vì chúng có thể được tách bởi hàm tuyến tính Một cách tổng quát, hợp của hai tập lồi đa thức trong Cn chưa chắc là tập lồi đa thức Ví dụ sau chỉ ra hợp của hai tập compact, lồi chỉ có một điểm chung không là tập lồi đa thức Ví dụ 1.5 Xét hai tập hợp X1 = {z ∈ C2 : z1 = z2 , |z2 | ≤ 2}, X2 = {z ∈ C2 : z1 = 2z2 , |z2 | ≤ 2} 13 Mỗi tập này đều compact và là tập lồi, X1 ∩ X2 =... ra điều kiện để hợp của hai tập lồi đa thức không nhất thiết rời nhau là tập lồi đa thức Bổ đề 1.1 Bổ đề Kallin Cho X1 , X2 là các tập con lồi đa thức của Cn và p là đa thức sao cho các tập con lồi đa thức Yj = (p(Xj )), j = 1, 2 của C giao nhau nhiều nhất tại điểm gốc là điểm biên của mỗi tập Nếu tập p−1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ) là lồi đa thức thì X = X1 ∪ X2 là tập lồi đa thức Nếu thêm điều kiện P(X1 ) = C(X1... n−1 trong trường hợp còn lại, thì mọi tập con compact X của M (An )∪Rn là lồi đa thức và P(X) = C(X) Chứng minh Với X là tập con compact Rn ∪ M (An ) thì tồn tại các tập con compact X ⊂ Rn và X” ⊂ M (An ) sao cho X = X ∪ X” Theo ví dụ 1.3, X ⊂ Rn là tập lồi đa thức Mặt khác do tính lồi đa thức bất biến qua một phép biến đổi tuyến tính nên các tập con compact của M (An ) là lồi đa thức hay X” là tập lồi. .. X”) là tập lồi đa thức Theo bổ đề Kallin, X ∪ X” là tập lồi đa thức Vậy mọi tập con compact của M (A1 ) ∪ R là lồi đa thức Giả sử mọi tập con compact của M (An ) ∪ Rn là lồi đa thức đúng với n = k − 1 Ta cần chứng minh điều này cũng đúng với n = k Từ biểu thức p−1 (0) ∩ (X ∪ X”) ⊂ p−1 (0) ∩ (M (An ) ∪ Rn ) ⊂ (M (An−1 ) ∪ Rn−1 ) × {0} và giả thiết quy nạp, ta có p−1 (0) ∩ (X ∪ X”) là tập lồi đa thức. .. được rằng hợp của ba đa đĩa đóng rời nhau không lồi đa thức Khudaiberganov và Kytmanov cũng đưa ra ví dụ hợp của ba ellipsoid đóng rời nhau không lồi đa thức Liệu hợp của bốn hình cầu đóng rời nhau có là tập lồi đa thức hay không? Vấn đề này vẫn chưa có câu trả lời Tuy nhiên, nếu tâm của các hình cầu thuộc Rn , ta có kết quả sau: Định lý 1.14 Tập X là hợp hữu hạn của các hình cầu đóng có phần trong rời... vành chỉnh hình trong Cn Biên S của đa vành chỉnh hình E1 × × Em là bE1 × × bEm , trong đó bEj = Fj ({|λ| = 1} ∪ {|λ| = rj }) Định nghĩa 1.15 Hàm liên tục g trên S được gọi là thác triển chỉnh hình vào đa vành nếu g ◦ F chỉnh hình trên Ω1 × × Ωm , với F = (F1 , , Fm ) 21 Chương 2 Tính lồi đa thức của hợp hai n-phẳng thực trong Cn 2.1 Tính lồi đa thức của hợp hai n-phẳng thực trong Cn Định lý 2.1... k}sm ∈R+ 2.2 Xấp xỉ đa thức Định lý 2.2 chỉ ra số chiều của bao lồi đa thức của một tập con compact của M (A) ∪ Rn luôn bị chặn bởi 2n − k Chú ý rằng mỗi vành chỉnh hình trong chứng minh định lý 2.1 nằm trong một mặt bậc hai ở định lý 2.2 Trong phần này là hai định lý về xấp xỉ đều các đa thức trên các tập con compact của hợp hai không gian con thuần túy thực Khi ma trận A chỉ có một giá trị riêng có... đơn vị trong Cn và giả sử bán kính của B2 và B3 không lớn hơn 1 Hơn nữa ta có thể giả sử tâm của B2 và B3 thuộc không gian con Π = {z ∈ Cn : z3 = = zn = 0} của Cn Nếu Bj = Bj ∩ Π thì ∪j Bj là tập lồi đa thức vì đây là hợp của ba hình cầu đóng rời nhau trong C2 Nếu π là phép chiếu trực giao từ Cn vào Π thì với mọi tập con compact E của π −1 (∪Bj ), ta có E ⊂ π −1 (∪Bj ) Do vậy ∪Bj là tập lồi đa thức. .. nên p−1 (0) ∩ (M (C) ∪ R2 ) ⊂ M (C) Từ biểu thức p−1 (0) ∩ (X ∪ X”) ⊂ p−1 (0) ∩ (M (C) ∪ R2 ) ⊂ M (C) kết hợp với mọi tập con compact của M (C) là lồi đa thức, ta có p−1 (0)∩X là tập lồi đa thức Theo bổ đề Kallin, X là tập lồi đa thức Với n > 2, 2 2 đặt p(z) = zn−1 + zn , chứng minh bằng quy nạp tương tự như trường hợp s = 0, ta cũng có X là tập lồi đa thức Theo định lý Stone-Weirstrass, P(X ) = C(X... tích Cn = Cn1 Cnp Với mỗi k = 1, , p, xét phép chiếu trực giao ηk : Cn → Cnk Theo bổ đề 2.2 và bổ đề 2.3, nếu X ⊂ Rn ∪ M (A) là tập compact thì ηk (X) ⊂ Rnk ∪ (Ani + iI)Rnk là tập lồi đa thức và thỏa mãn P(ηk (X)) = C(ηk (X)) Vì vậy P(X) chứa các hàm giá trị thực tách các điểm của tập X Theo định lý Stone-Weierstrass P(X) = C(X) Từ định lý 1.10 suy ra X là tập lồi đa thức Nếu mọi tập con compact của . để hợp của hai tập lồi đa thức không nhất thiết rời nhau là tập lồi đa thức. Bổ đề 1.1. Bổ đề Kallin. Cho X 1 , X 2 là các tập con lồi đa thức của C n và p là đa thức sao cho các tập con lồi đa. hai tập lồi compact rời nhau trong C n thì hợp của chúng là lồi đa thức vì chúng có thể được tách bởi hàm tuyến tính. Một cách tổng quát, hợp của hai tập lồi đa thức trong C n chưa chắc là tập lồi. KHÁNH VỀ TÍNH LỒI ĐA THỨC CỦA MỘT SỐ TẬP HỢP TRONG C n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG PHƯƠNG KHÁNH VỀ TÍNH LỒI ĐA THỨC CỦA MỘT SỐ TẬP