Một số phương pháp tìm đa thức nội suy và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——— * ——— KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐA THỨC NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: T.S Phạm Quý Mười Sinh viên thực hiện: Nguyễn Bùi Thị Thạch Thảo Đà Nẵng, Tháng năm 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ——— * ——— NGUYỄN BÙI THỊ THẠCH THẢO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐA THỨC NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS Phạm Quý Mười ĐÀ NẴNG, tháng năm 2021 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số tính chất đa thức 1.2 Một số tính chất hàm số 1.2.1 Hàm biến 1.2.2 Giới hạn hàm số 1.2.3 Hàm số liên tục 1.2.4 Đạo hàm hàm số 1.3 Sai số tương đối sai số tuyệt đối 1.3.1 Sai số tuyệt đối 1.3.2 Sai số tương đối MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐA THỨC NỘI 2.1 Bài toán nội suy 2.1.1 Sự đa thức nội suy 2.1.2 Sai số đa thức nội suy 2.2 Đa thức nội suy Lagrange 2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange với mốc 2.2.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách 2.3 Đa thức nội suy Newton 2.3.1 Đa thức nội suy Newton với mốc 2.3.2 Đa thức nội suy Newton với mốc cách SUY LẬP TRÌNH TÍNH ĐA THỨC NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG 3.1 Giới thiệu lập trình MATLAB 3.1.1 Các thao tác ma trận véctơ 3.1.2 Các lệnh dùng lập trình 3.1.3 M -files hàm sử dụng MATLAB 3.1.4 Các phép tính đa thức 3.1.5 Vẽ đồ thị MATLAB 3.2 Lập trình MATLAB tính đa thức nội suy Lagrange 3.2.1 Lập trình tính đa thức nội suy Lagrange 7 8 10 10 11 11 11 12 12 13 14 15 15 17 18 18 24 30 30 30 33 35 36 37 39 39 3.2.2 3.3 3.4 3.5 Lập trình tính giá trị gần hàm số số điểm đa thức nội suy Lagrange Lập trình MATLAB tính đa thức nội suy Newton 3.3.1 Lập trình tính đa thức nội suy Newton 3.3.2 Lập trình tính giá trị gần hàm số số điểm đa thức nội suy Newton Ứng dụng đa thức nội suy để nội suy số giá trị bảng số liệu 3.4.1 Nhập số liệu thu thập 3.4.2 Ứng dụng đa thức nội suy để tìm giá trị bảng số liệu Ứng dụng đa thức nội suy để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 42 42 45 46 46 47 50 52 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu hướng dẫn, dạy tận tình thầy giáo, T.S Phạm Quý Mười, đến khóa luận em hồn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo, T.S Phạm Quý Mười, tận tình hướng dẫn dạy em suốt thời gian thực đề tài khoá luận Em xin gửi lời cảm ơn tới Nhà trường, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng tạo hội cho em làm khóa luận tốt nghiệp Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo tận tình giảng dạy chúng em suốt bốn năm học vừa qua Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ em suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Cuối cùng, em xin kính chúc tất quý thầy cô, bạn bè dồi sức khoẻ, hạnh phúc, may mắn sống nghiệp Đà Nẵng, tháng năm 2021 Sinh viên thực Nguyễn Bùi Thị Thạch Thảo LỜI NĨI ĐẦU Lý chọn đề tài Thơng thường số lĩnh vực (tốn học, vật lí, địa lý hay kinh tế, ) đại lượng khảo sát thường không cho dạng hàm liên tục, mà bảng giá trị (rời rạc) hàm số Mặc dù ta biết giá trị y điểm mốc xi , nhiều trường hợp ta cần tính tốn với giá trị y điểm khác xi (tính đạo hàm, tích phân, ) Trong trường hợp vậy, người ta tìm cách xây dựng hàm số P (x) thường đa thức đại số (vì đa thức đại số đơn giản, ln có đạo hàm bậc cách tính nguyên hàm, đạo hàm đơn giản), thoả mãn điều kiện cho Đa thức P (x) tìm gọi đa thức nội suy Trong tốn học có nhiều phương pháp để tìm đa thức nội suy Để tìm đa thức nội suy cách giải tay, nhiều thời gian khơng thể tránh khỏi sai sót Nhưng nhờ có hỗ trợ phần mềm Toán học rút ngắn thời gian tính tốn Vì thế, việc sử dụng thành thạo cơng cụ tính tốn cần thiết cho cơng việc tính tốn, nghiên cứu Với mong muốn hiểu rõ phương pháp tìm đa thức nội suy nhằm đáp ứng nguyện vọng nghiên cứu khoa học thân, đồng thời hướng dẫn dạy giáo viên hướng dẫn - TS Phạm Quý Mười nên em chọn đề tài: "Một số phương pháp tìm đa thức nội suy ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu phương pháp nội suy Lagrange phương pháp nội suy Newton để tìm đa thức nội suy Đồng thời nghiên cứu lập trình MATLAB để viết chương trình tìm đa thức nội suy ứng dụng nội suy số liệu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp tìm đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton lập trình để tìm đa thức nội suy MATLAB Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp tìm đa thức nội suy hàm biến 5 Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tài liệu liên quan đến đa thức nội suy lập trình MATLAB - Tổng hợp hệ thống hoá kiến thức, kết hợp đưa vào ví dụ minh hoạ chi tiết - Trình bày tương minh kết nghiên cứu dẫn giáo viên hướng dẫn Bố cục khoá luận Nội dung khoá luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa tính chất đa thức, hàm biến, đạo hàm hàm hàm biến số tính chất hàm khả vi, tạo sở, tiền đề cho việc tiếp cận kiến thức chương sau Chương 2: Một số phương pháp tìm đa thức nội suy Chương trình bày toán nội suy, đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton sai số đa thức nội suy Chương 3: Lập trình tính đa thức nội suy ứng dụng Chương trình bày cách sử dụng lập trình MATLAB phép toán hàm dùng để viết chương trình tìm đa thức nội suy ứng dụng đa thức nội suy CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa tính chất đa thức, hàm biến, đạo hàm hàm biến số tính chất hàm khả vi, công cụ để tiếp cận kiến thức chương sau Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1, 2, 3] 1.1 Một số tính chất đa thức Định nghĩa 1.1 Cho A vành giao hốn, có đơn vị Ta gọi đa thức bậc n biến x biểu thức có dạng: p (x) = a0 + a1 x + + an−1 xn−1 + an xn , ∈ A gọi hệ số, an = gọi hệ số bậc cao nhất, a0 gọi hệ số tự Ta kí hiệu bậc đa thức p (x) deg p (x) Một đa thức bậc n thường kí hiệu pn (x) Do đó, deg pn (x) = n Tập tất đa thức với hệ số lấy vành A ký hiệu A[x] Khi A trường vành A[x] vành giao hốn có đơn vị Các vành đa thức thường gặp Z[x], Q[x], R[x], C[x] Trong khóa luận này, chúng tơi sử dụng số kết vành đa thức R[x] C[x] Định nghĩa 1.2 Số α ∈ A gọi nghiệm đa thức p (x) p (α) = Bài tốn tìm nghiệm đa thức pn (x) A gọi giải phương trình đại số bậc n Định lý 1.3 Giả sử p (x) đa thức có bậc n ≥ Điều kiện cần đủ để p (x) có nghiệm α p (x) chia hết cho x − α, tức là: p (x) = (x − α)p1 (x) , (1.1) p1 (x) đa thức có bậc n − Nhận xét 1.1 Nếu p (x) = (x − α)p1 (x) , p1 (α) = 0, α gọi nghiệm đơn p (x) Nếu p (x) = (x − α)m p1 (x), p1 (α) = 0, m số nguyên dương lớn 1, α gọi nghiệm bội m p (x) Định lý 1.4 (D’Alembert) Mọi đa thức p (x) mà bậc n ≥ có nghiệm (thực hay phức) Định lý 1.5 Mọi đa thức bậc n ≥ có n nghiệm (thực phức), đơn bội, nghiệm bội m tính m lần, đồng thời đa thức có phân tích thành tích thừa số bậc nhất: p (x) = an (x − α1 )(x − α2 ) (x − αn ), α1 , α2 , αn ∈ C Định lý 1.6 Mọi đa thức bậc không lớn n (n ≥ 1) khơng thể có q n nghiệm (thực phức) 1.2 1.2.1 Một số tính chất hàm số Hàm biến Trong khố luận này, ta ln kí hiệu D tập khác rỗng R Định nghĩa 1.7 Cho D tập khác rỗng R Ta gọi ánh xạ: f : D −→ R x → y = f (x) hàm số thực biến số thực gọi tắt hàm số biến số Khi đó: ❼ x biến số độc lập, ❼ y biến số phụ thuộc hay hàm số x Tập hợp D gọi miền xác định hàm số f , kí hiệu Df = D Định nghĩa 1.8 Miền giá trị hàm số f tập hợp tất số thực giá trị hàm số điểm thuộc miền xác định Miền giá trị hàm số f xác định miền D kí hiệu f (D): f (D) = {f (x) : x ∈ D} 1.2.2 Giới hạn hàm số Định nghĩa 1.9 Giả sử hàm số f : D → R, D ⊆ R tập không bị chặn Hàm số f có giới hạn L x tiến đến dương vô nếu: ∀ε > 0, ∃ M > 0, cho ∀x ∈ D, x ≥ M, ta có: |f (x) − L| < ε Khi đó, ta nói L giới hạn hàm số f x tiến đến dương vô ký hiệu là: lim f (x) = L x→+∞ Định nghĩa 1.10 Giả sử hàm số f : D → R, D ⊆ R tập không bị chặn Hàm số f có giới hạn L x tiến đến âm vô nếu: ∀ε > 0, ∃ M > 0, cho ∀ x ∈ D, x ≤ −M, ta có: |f (x) − L| < ε Khi đó, ta nói L giới hạn hàm số f x tiến đến âm vô ký hiệu là: lim f (x) = L x→−∞ Định nghĩa 1.11 Giả sử hàm số f : D → R, D ⊆ R x0 điểm tụ D Hàm số f có giới hạn x dần đến x0 tồn số thực L cho: ∀ε > 0, ∃δ > 0, cho ∀ x ∈ D, < |x − x0 | < δ, ta có: |f (x) − L| < ε Khi đó, ta ký hiệu: lim f (x) = L hay f (x) → L x → x0 x→x0 Định nghĩa 1.12 Giả sử hàm số f : D → R, D ⊆ R x0 điểm tụ D Hàm số f có giới hạn dương vơ x dần đến x0 nếu: ∀ M > 0, ∃δ > 0, cho ∀x ∈ D, < |x − x0 | < δ, ta có: f (x) > M ký hiệu là: lim f (x) = +∞ hay f (x) → +∞ x → x0 x→x0 Định nghĩa 1.13 Giả sử hàm số f : D → R, D ⊆ R x0 điểm tụ D Hàm số f có giới hạn âm vô x dần đến x0 nếu: ∀ M > 0, ∃δ > 0, cho ∀x ∈ D, < |x − x0 | < δ, ta có: f (x) < −M ký hiệu là: lim f (x) = −∞ hay f (x) → −∞ x → x0 x→x0 Định nghĩa 1.14 Giả sử hàm số f : D → R, D ⊆ R x0 điểm tụ D Hàm số f có giới hạn phải L x0 nếu: ∀ ε > 0, ∃δ > 0, cho ∀x ∈ D, < x − x0 < δ, ta có: |f (x) − L| < ε ký hiệu là: lim f (x) = L hay f (x) → L x → x+ x→x+ Định nghĩa 1.15 Giả sử hàm số f : D → R, D ⊆ R x0 điểm tụ D Hàm số f có giới hạn trái L x0 nếu: ∀ ε > 0, ∃δ > 0, cho ∀x ∈ D, < x0 − x < δ, ta có: |f (x) − L| < ε ký hiệu là: lim− f (x) = L hay f (x) → L x → x− x→x0 3.2 3.2.1 Lập trình MATLAB tính đa thức nội suy Lagrange Lập trình tính đa thức nội suy Lagrange Tạo m-file lưu tên "NS_Lagrange.m" Nội dung m-file "NS_Lagrange.m" sau: x=input(’Nhap cac moc noi suy x:’); y=input(’Nhap cac gia tri y tuong ung cua x:’); n=length(x); L=zeros(n,n); format rat for i=1:n V=1; for j=1:n if i∼=j V=conv(V,poly(x(j)))/(x(i)-x(j)); end end L(i,:)=V*y(i); end L; P=sum(L); F=flip(P); disp(’Da thuc noi suy can tim la: ’) for k=n:-1:1 fprintf(’+(%.6fx.^% d)’,F(k),k-1) end %Vẽ đồ thị hàm nội suy plot(x,y,’o’) hold on grid on X=x(1):0.1:x(n); Y=polyval(P,X); plot(X,Y,’r’) 39 Ví dụ 3.2.1 Cho hàm số y = f (x) thoả mãn: x y = f (x) −3 −1 −2 4 Tìm đa thức nội suy f (x) Chạy m-file nhập giá trị x y ta tìm đa thức nội suy đồ thị hình 3.2 » NS_Lagrange Nhap cac moc noi suy x: [-3 -1 8] Nhap cac gia tri y tuong ung cua x: [2 -2 5] Da thuc noi suy can tim la: +(-0.000627x^6)+(0.009544x^5)+(-0.010973x^4)+(-0.297158x^3)+(0.562706x^2) +(2.291823x^1)+(-0.546898x^0) Hình 3.2: Đồ thị hàm số ví dụ 3.2.1 40 3.2.2 Lập trình tính giá trị gần hàm số số điểm đa thức nội suy Lagrange Để tính giá trị gần f (c) đa thức nội suy Lagrange ta sử dụng lại kết có phần dùng lệnh polyval để tính giá trị đa thức nội suy c Ví dụ 3.2.2 Tính giá trị đa thức nội suy ví dụ 3.2.1 giá trị x = 9; 15; 12 Ở ví dụ 3.2.1 ta tìm đa thức nội suy P (x) có dạng: » P = Columns through -33/52606 68/7125 -67/6106 -1673/5630 341/606 1822/795 Column -379/693 Từ để tính giá trị P (x) giá trị x = 9; 15; 12, ta sử dụng lệnh polyval Ở cửa sổ lệnh ta tiếp tục nhập lệnh sau: » polyval(P,[9 15 12]) ans = 1429/198 -1296 -13003/99 Ngoài ra, để tính giá trị gần số điểm hàm số đa thức nội suy Lagrange ta viết chương trình dùng để tính giá trị điểm cần nội suy Tạo m-file với tên “NSLAGRANGE”, nội dung sau: function [u]=NSLAGRANGE(x,y,z) n=length(x); for k=1:length(z) L=0; for i = 1:n l=y(i); for j=1:n if i∼=j l=l*(z(k)-x(j))/(x(i)-x(j)); end end L=L+l; end kq(k)=L; end u = kq’; z = [z(:),u(:)]’; disp(’Ket qua noi suy la:’) disp(’ Xi Yi’) fprintf(’%12.6f%12.6f’,z) end 41 3.3 3.3.1 Lập trình MATLAB tính đa thức nội suy Newton Lập trình tính đa thức nội suy Newton Để tìm đa thức nội suy Newton tiến ta tạo m-file lưu tên "NS_Newtontien.m" Nội dung m-file "NS_Newtontien.m" sau: x=input(’Nhap cac moc noi suy x:’); y=input(’Nhap cac gia tri y tuong ung cua x:’); n=length(x); d=zeros(n); d(i,1)=y(:); format rat for j=2:n for i=1:n-j+1 d(i,j)=(d(i+1,j-1)-d(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i)); end end g=[x(1:n)’,d(:,:)]; disp (’BANG TY SAI PHAN:’) disp (’ Xi Yi’) disp (g) p=num2str(d(1,1)); xx=x*-1; for j=2:n dau=”; if d(1,j)>=0 dau=’+’; end xt=”; for i=1:j-1 dau2=”; if xx(i)>0 dau2=’+’; elseif xx(i)==0 dau2=’-’; end xt=strcat(xt,’.*(x’,dau2,num2str(xx(i)),’)’); end p=strcat(p,dau,num2str(d(1,j)),xt); end disp (’Da thuc noi suy Newton tien la:’) disp (p); plot(x,y,’o’) 42 hold on X=x(1):0.01:x(n); P=inline(p); Y=P(X); plot(X,Y,’r’) Để tìm đa thức nội suy Newton lùi, tạo m-file lưu tên "NS_Newtonlui.m" Nội dung m-file "NS_Newtonlui.m" sau: x=input(’Nhap cac moc noi suy x:’); y=input(’Nhap cac gia tri y tuong ung cua x:’); n=length(x); d=zeros(n); d(:,1)=y(:); format rat for j=2:n for i=n:-1:j d(i,j)=(d(i,j-1)-d(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); end end g=[x(1:n)’,d(:,:)]; disp (’BANG TY SAI PHAN:’) disp (’ Xi Yi’) disp (g) p=num2str(d(n,1)); xx=x*-1; xx=flip(uu); for j=2:n dau=”; if d(n,j)>=0 dau=’+’; end xt=”; for i=1:j-1 dau2=”; if xx(i)>0 dau2=’+’; elseif xx(i)==0 dau2=’-’; end xt=strcat(xt,’.*(x’,dau2,num2str(xx(i)),’)’); end p=strcat(p,dau,num2str(d(1,j)),xt); end disp (’Da thuc noi suy Newton tien la:’) disp (p); 43 plot(x,y,’o’) hold on X=x(1):0.1:x(n); P=inline(p); Y=P(X); plot(X,Y,’r’) Ví dụ 3.3.1 Tìm đa thức nội suy Newton hàm số y = f (x) với mốc nội suy cho bảng giá trị sau: x y 10 15 12 11 14 Để tìm đa thức nội suy Newton tiến, ta chạy m-file "NS_Newtontien.m" sau nhập giá trị x y ta tìm đa thức nội suy đồ thị hình 3.3 » NS_Newtontien Nhap cac moc noi suy x:[2 7] Nhap cac gia tri y tuong ung cua x:[10 15 12 11 14] BANG TY SAI PHAN: Xi Yi 10 -4 4/3 -1/8 -1/20 15 -3 5/6 -3/8 12 -3 5/2 -2/3 0 1/2 0 11 0 0 14 0 0 Da thuc noi suy Newton tien la: 10+5.*(x-2)-4.*(x-2).*(x-3)+1.3333.*(x-2).*(x-3).*(x-4) -0.125.*(x-2).*(x-3).*(x-4).*(x-5)-0.05.*(x-2).*(x-3).*(x-4).*(x-5).*(x-6) Để tìm đa thức nội suy Newton lùi, ta làm tương tự nhận kết sau: » NS_Newtonlui Nhap cac moc noi suy x:[2 7] Nhap cac gia tri y tuong ung cua x:[10 15 12 11 14] BANG TY SAI PHAN: Xi Yi 10 0 0 15 0 0 12 -3 -4 0 -3 4/3 0 11 5/2 5/6 -1/8 14 1/2 -2/3 -3/8 -1/20 Da thuc noi suy Newton lui la: 14+3.*(x-7)+0.5.*(x-7).*(x-6)-0.66667.*(x-7).*(x-6).*(x-5) -0.375.*(x-7).*(x-6).*(x-5).*(x-4)-0.05.*(x-7).*(x-6).*(x-5).*(x-4).*(x-3) 44 Hình 3.3: Đồ thị hàm nội suy ví dụ 3.3.1 3.3.2 Lập trình tính giá trị gần hàm số số điểm đa thức nội suy Newton Để tính giá trị gần f (c) đa thức nội suy Newton, ta thay giá trị c vào đa thức nội suy Newton tiến (nếu c gần với x0 ) thay giá trị c vào đa thức nội suy Newton lùi (nếu c gần với xn ) Ví dụ 3.3.2 Từ mốc nội suy cho ví dụ 3.3.1 Hãy tính giá trị gần f (x) x = 6.8 Vì x = 6.8 gần cuối bảng nên ta sử dụng đa thức nội suy Newton lùi để tính giá trị gần f (6.8) Sau ta chạy m-file tìm đa thức nội suy Newton lùi ví dụ 3.3.1, để tính giá trị gần f (8), cửa sổ lệnh ta nhập: » P(6.8) ans = 3450/247 Ngoài ra, để tính giá trị gần số điểm hàm số đa thức nội suy Newton ta viết chương trình dùng để tính giá trị điểm cần nội suy Tạo m-file với tên “NSNT”, nội dung sau: 45 function [u]=NSNT(x,y,z) % x = [x1,x2, ,xn] mảng chứa mốc nội suy x % y = [y1,y2, ,yn] mảng chứa giá trị y tương ứng x % z = [z1,z2, ] mảng chứa giá trị cần nội suy x1