CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG PHẦN 1 PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI *Bậc học THCS là bậc học tạo nền tảng đặt cơ sở cho việc hình thành, phát triển toàn diện nhân cách của[.]

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG PHẦN PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI *Bậc học THCS bậc học tạo tảng đặt sở cho việc hình thành, phát triển toàn diện nhân cách người, tạo móng vững cho tồn hệ thống giáo dục nói riêng * Cùng với mơn học khác, mơn Tốn mơn học bắt buộc bậc THCS Nó chiếm vị trí quan trọng việc hình thành phát triển phẩm chất nhân cách lực trí tuệ cho học sinh Mơn Tốn lớp hệ thống hố, khái qt hố tồn kiến thức Tốn bậc học THCS đồng thời tạo tiền đề cho học sinh lên lớp Chương trình lớp 8, có nhiều toán cần đến kiến thức bất đẳng thức, nhiên kiến thức nhắc sơ qua cuối năm lớp 8, học sinh chưa tìm hiểu sâu Chính gặp tốn có liên quan đến bất đẳng thức (BĐT) học sinh thường lúng túng khơng biết cách giải trình bày không hợp lý * Mặt khác nội dung bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán chứng minh BĐT quan trọng, tốn phát triển tư cần phải có tư học Vậy nên toán phù hợp học sinh giỏi II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1- Khẳng định tầm quan trọng BĐT chương trình Tốn nói riêng chương trình Tốn THCS nói chung 2- Nhằm giúp cho học sinh có kiến thức BĐT, phục vụ trực tiếp cho học sinh học sinh lớp III/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Tìm số giải pháp nhằm nâng cao hiệu việc giảng dạy BĐT cho học sinh IV/ ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: - Các toán chứng minh Bất đẳng thức Phạm vi nghiên cứu: - Chương trình Tốn THCS đặc biệt lớp lớp PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHƯƠNG I CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1- Định nghĩa bất đẳng thức Cho a b hai số thực Khi đó: a nhỏ b, kí hiệu a < b a - b < a lớn b, kí hiệu a > b a - b > a nhỏ b, kí hiệu a  b a - b  a lớn b, kí hiệu a  b a - b  Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay dạng a < b, a  b, a  b) bất đẳng thức a gọi vế trái, b vế phải bất đẳng thức 2- Các tính chất bất đẳng thức * Tính chất 1: Tính chất phản xứng a >bbb,b>ca>c * Tính chất 3: Tính chất cộng với số a>ba+c>b+c Hệ quả: a + c > b  a > b - c * Tính chất 4: Tính chất cộng hai BĐT chiều a > c, b > d  a + b > c + d * Tính chất 5: Tính chất nhân với số khác a > b, c >  ac > bc a > b, c <  ac < bc * Tính chất 6: Tính chất nhân hai BĐT chiều a > b  , c > d   ac > bd * Tính chất 7: Các tính chất luỹ thừa a > b  an > bn a > b  an > bn với n lẻ >  an > bn với n chẵn CHƯƠNG II- CƠ SỞ THỰC TẾ (THỰC TRẠNG CỦA VIỆC GIẢNG DẠY BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH Ở THCS NÓI CHUNG VÀ HỌC SINH KHÁ GIỎI NĨI RIÊNG) - Chương trình Tốn THCS nói chung Tốn lớp nói riêng có nhiều tốn phải cần đến kiến thức bất đẳng thức chẳng hạn như: Bài tốn giải phương trình, tốn tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ nhất, tốn phương trình bậc hai CHƯƠNG III- NỘI DUNG CỤ THỂ: PHẦN THỨ NHẤT I/ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Khi đứng trước toán chứng minh BĐT việc định hướng cho lời giải quan trọng Do cần cung cấp cho học sinh phương pháp chứng minh BĐT có sau: I 1- Phương pháp dùng định nghĩa: * Cấu trúc phương pháp: Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B sau chứng minh A - B > kết luận Ví dụ 1: Cho a, b, c số tuỳ ý chứng minh rằng: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca Giải: Xét biểu thức: M = a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) Suy 2M = a2 + 2b2 + 2c2 - ab - 2bc - ca = (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 Vì: (a - b)2  (b - c)2  (c - a)2  Do (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2  Suy a2 + 2b2 + 2c2 - ab - 2bc - ca  hay a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca)  Vậy: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca Dấu "=" xảy a = b = c Ví dụ 2: Cho a, b, c số tuỳ ý chứng minh rằng: Giải: a2 + b2 + c2 +  a+b+c Xét biểu thức: N = a2 + b2 + c2 + = (a2 - a + = (a - ) + (b2 - b + )2 + (a - )2 + (c - - (a + b + c) ) + (c2 - c + )2 ) Vì (a )2 )2  0; (a - Suy a2 + b2 + c2 +  )2  0; (c - )2  Do (a - )2 + (a - )2 + (c - - (a + b + c)  a2 + b2 + c2 +  a+b+c Dấu "=" xảy a = b = c = I.2- Phương pháp biến đổi tương đương * Cấu trúc phương pháp: Để chứng minh A > B ta dùng tính chất BĐT để biến đổi cho: A > B  …  C > D Trong bất đẳng thức C >D BĐT (được thừa nhận) Từ đến kết luận Ví dụ 1: Cho a b hai số dấu: Chứng minh rằng: Giải Giả sử: (1) 2  a + b  2ab (vì a b dấu nên ab > 0)  a2 + b2 - 2ab   (a - b)2  (2) Vì BĐT (2) BĐT Mặt khác phép biến đổi tương đương nên BĐT (1) BĐT Vậy (với a b dấu) Dấu "=" xảy a = b Ví dụ 2: Cho a b hai số thực thoả mãn a + b = Chứng minh rằng: a3 + b3 + ab Giải: Giả sử a3 + b3 + ab  a3 + b3 + ab (1) 0  (a + b)(a2 + b2 - ab) + ab - 0  a2 + b2 -  (vì a + b = 1) 2 2a +2b -10  2a2 + 2(1 - a)2 -  (vì b = 1- a)  4a - 4a +   (2a - 1)2  (2) Bất đẳng thức (2) BĐT đúng, mặt khác phép biến đổi tương đương nên BĐT (1) BĐT Vậy a3 + b3 + ab (với a + b = 1) Dấu "=" xảy a = b = Ví dụ 3: Cho a b hai số dương Chứng minh rằng: Giải Giả sử: (1) (vì a > b > 0)  a + 2ab + b - 4ab   a2 - 2ab + b2   (a - b)2  (2) Vì BĐT (2) BĐT nên BĐT (1) BĐT 2 Vậy: (với a > 0, b > 0) Dấu đẳng thức xảy a = b Ví dụ 4: Cho a, b, x, y số thực Chứng minh rằng: (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) Giải Giả sử (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) (1)  (ax)2 + axby + (by)2  (ax)2 + (ay)2 + (bx)2 + (by)2  (ay)2 + (bx)2 - ay bx   (ay - bx)2  (2) Vì BĐT (2) BĐT nên BĐT (1) BĐT Vậy (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu "=" xảy chi ay = bx hay Ví dụ 5: Cho x y số thực Chứng minh rằng: Giải: Giả sử  (1)    (2) Vì BĐT (2) BĐT nên BĐT (1) BĐT Vậy : Dấu"=" xảy xy  Ví dụ 6: Cho a b hai số không âm Chứng minh rằng: Giải Giả sử (1)  a+b   (2) Vì BĐT (2) BĐT nên BĐT (1) BĐT Vậy: với a  b  Dấu "=" xảy a = b I.3- Phương pháp dùng bất đẳng thức I.3.1 - Các bất đẳng thức thường áp dụng * BĐT bình phương biểu thức A2  với giá trị A Dấu "=" xảy A = * BĐT Côsi (Cauchy - Nhà toán học người Pháp 1789 - 1857) + Cho hai số a b không âm , ta ln có: Dấu "=" xảy a = b + Cho ba số a, b, c khơng âm , ta ln có: Dấu "=" xảy a = b = c + Tổng quát: Cho n số a1, a2 ,…, an khơng âm, ta ln có: Dấu "=" xảy a1 = a2 = …=an (Trung bình cộng n số không âm không nhỏ trung bình nhân chúng) * BĐT Bunhiacốp xki (Bunhiacơpxki - Nhà toán học người Nga 1804 - 1889) + Cho số a1,a2; b1, b2 ta có: (a1b1 + a2.b2)2  (a12 + a22) (b12 + b22) Dấu "=" xảy + Tổng quát: Cho hai số (a1, a2,…an) (b1, b2, …bn) ta có : Dấu "=" xảy (Bình phương tổng tích khơng lớn tích tổng bình phương) * BĐT tổng nghịch đảo hai số dấu: Với hai số dấu a b ta có: Dấu "=" xảy a = b * BĐT với a b hai số dương Dấu "=" xảy a = b I.3.2- Cấu trúc phương pháp: Để chứng minh A > B ta tiến hành sau: - Từ BĐT biết C > D ta biến đổi C > D  …  A > B trả lời Ví dụ 1: Cho a , b, c ba số dương: Chứng minh rằng: Giải Cách 1:Theo BĐT Cô si: Với x , y khơng âm ta có: Ta có: Suy ra: Vậy: Dấu "=" xảy chi a = b = c Cách 2: Theo BĐT Tổng hai nghịch đảo ta có : Với hai số dấu a b ta có: Do đó: Suy Vậy: Dấu "=" xảy chi a = b = c Ví dụ 2: Cho hai số a b thoả mãn 2a + b = Chứng minh rằng: 2a2 + b2  Giải Theo BĐT Bunhia cốp xki: Với số a1,a2; b1, b2 ta có: (a1b1 + a2.b2)2  (a12 + a22) (b12 + b22) Dấu "=" xảy Ta có :  3(2a2 + b2)   (đpcm) Dấu "=" xảy  a=b= Ví dụ 3:Cho a ,b, c ba cạnh tam giác : Chứng minh rằng: Giải Theo BĐT Ta có: với x y hai số dương Suy ra: Vậy Dấu "=" xảy a = b = c (tức tam giác cho tam giác đều) I.4- Phương pháp phản chứng * Cấu trúc phương pháp - Giả sử xảy mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh - Chứng tỏ điều giả sử sai (tức mâu thuẫn với kiến thức biết) - Kết luận yêu cầu cần chứng minh Ví dụ: Chứng minh khơng có số dương a, b, c thoả mãn BĐT ; ; Giải Giả sử tồn ba số dương a, b, c thoả mãn ba BĐT ; ; Suy : Mà:  (a > 0) ; Do (*) vơ lý Vậy: (*) (b > 0) ; Khơng có số dương a, b, c thoả mãn BĐT ; I.5 - Phương pháp làm trội, làm giảm Ví dụ 1: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: Giải Ta có : Suy ra:  (c > 0) ; ; ; Ta lại có: (điều dễ chứng minh được) Tương tự Suy ra: =2  Vậy: Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n lớn thì: Giải Ta có : Nên …… Suy D * Cách giải thường dùng: Dùng phép biến đổi tương đương Ví dụ 1: Cho hai số a b thoả mãn a - b = Chứng minh rằng: a3 - b3 - ab  Giải: Giả sử a3 - b3 - ab  (1)  (a - b)(a2 + ab + b2) - ab   a2 + ab + b2 - ab  (vì a - b = 1) 2  2a + 2b   2(b + 1)2 + 2b2  (vì a = b + 1) 2  2b + 4b + + 2b   4b2 + 4b +   (2b + 1)2  (2) Vì BĐT (2) BĐT nên BĐT (1) BĐT Vậy a3 - b3 - ab  với a - b =1 Dấu "=" xảy Ví dụ 2: Cho a b hai số thực thoả mãn: a + b = Chứng minh rằng: Giải * Cách Giả sử: (1)  2(a4 + b4)  (a + b)(a3 + b3)  2a4 + 2b4  a4 + a3b + ab3 + b4  a4 + b4 - a3b - ab3   (a- b)(a3 - b3)   (a - b)2(a2 + ab + b2)  (2) (vì a + b = 2) Vì (a - b)2  a2 + ab + b2 = (a + )2 + BĐT (1) BĐT Vậy với a + b = Dấu "=" xảy a = b = * Cách 2: Giả sử: (1)  nên BĐT (2) BĐT Do  2(a4 + b4)  (a + b)(a3 + b3) (vì a + b = 2) 4 3  2a + 2b  a + a b + ab + b  a4 + b4 - a3b - ab3   (a- b)(a3 - b3)  (3) Xét trường hợp sau: * TH: a > b suy a3 > b3 Do (a- b) > ( a3 - b3) > nên BĐT (3) BĐT * TH: a = b hiển nhiên BĐT (3) BĐT * TH : a < b suy a3 < b3 Do (a- b) < ( a3 - b3) < nên BĐT (3) BĐT Vậy trường hợp BĐT (3) BĐT Suy (1) BĐT Dấu "=" xảy a = b = Nhân xét: - Cách giải ưu việt cách giải áp dụng để giải toán tổng quát (xét phần sau) Bài 2: * Cấu trúc: Cho BĐT C  D, chứng minh A  B * Cách giải : - Xét biểu thức: (A - B) + (D - C) biến đổi dạng tổng bình phương - Chứng minh: (A - B) + (D - C)  - Dùng giả thiết C  D để suy A  B Ví dụ 1: Cho a + b  Giải Chứng minh : Xét biểu thức M = = = = Vì mà a + b  nên suy - a - b  Do Vậy với a + b  Dấu "=" xảy Ví dụ 2: Cho a + b  Chứng minh rằng: Giải Xét biểu thức : N = = = (a - 1)(a3 - 1) + (b - 1)(b3 - 1) = (a - 1)2 (a2 + a +1) + (b - 1)2 (b2 + b + 1) Vì (a - 1)2 (a2 + a +1)  (b - 1)2 (b2 + b + 1)  0 Suy 0 mà a + b  nên - a - b  Do Vậy: III- Mở rộng số bất đẳng thức Việc mở rộng BĐT giúp cho học sinh có nhìn tổng quát BĐT đồng thời có tác dụng việc phát triển tư duy, óc tìm tịi sáng tạo học sinh Việc làm nên làm thường xun q trình dạy Ví dụ 1: Cho a b hai số dương Chứng minh: Mở rộng: Cho n số dương Chứng minh rằng: * Gợi ý: Dùng BĐT Cô si để giải Ví dụ 2: Cho a b hai số dương có tích Chứng minh rằng: Mở rộng: Cho n số dương có tích Chứng minh rằng: a) b) Gợi ý : Dùng BĐT Cô si hai số dương để giải Ví dụ 3: Cho a b hai số dương có tổng Chứng minh rằng: Mở rộng: Cho n số dương có tổng Chứng minh rằng: a) b) * Gợi ý : Dùng BĐT Bu nhi a cốp xki để giải Ví dụ 4: Cho a b hai số thực thoả mãn a + b = Chứng minh rằng: a4 + b4  a3 + b3 Mở rộng: 1/ Cho a b hai số thực thoả mãn a + b = Chứng minh rằng: an + bn  an-1 + bn-1 (với n số tự nhiên chẵn kháo 0) * Gợi ý : áp dụng cách giải ví dụ phần số BĐT thường gặp 2/ a) Cho n số thực thoả mãn Chứng minh rằng: b) Cho n số thực thoả mãn Chứng minh rằng: *Gợi ý : áp dụng cách giải phần số BĐT thường gặp Ví dụ 5: Cho a b hai số thực thoả mãn Mở rộng: Cho n số thực Chứng minh rằng: thoả mãn Chứng minh rằng: * Gợi ý : áp dụng cách giải phần số BĐT thường gặp PHẦN THỨ HAI CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1- Dùng để giải phương trình: Ví dụ Giải phương trình: Giải áp dụng BĐT Ta có =  = Dấu "=" xảy (x - 5)(2 -x)  hay  x  Vậy phương trình có nghiệm với x thoả mãn  x  Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Ta có : Suy Vế trái = Dấu "=" xảy x = -1 mà Vế phải = Vậy phương trình có nghiệm x = -1 IV 2- Dùng để tìm GTLN, GTNN Ví dụ Dấu "=" xảy x = -1 Cho a , b, c số dương có tổng Tìm giá trị lớn biểu thức A= Giải: *Cách 1: Dùng BĐT Bunhiacơpxki Ta có A2 = = 12 mà A > Suy A  * Cách 2: Dùng điểm rơi Côsi Dấu "=" xảy a = b = c = Ta có: Tương tự: ; Suy ra: Dấu xảy Ví dụ 1) Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Xác định hình dạng tam giác để A= Giải: Ta có: A= đạt giá trị nhỏ = = = Vì Suy A =  > Dấu "=" xảy a = b = c Vậy A = đạt giá trị lớn a, b, c ba cạnh tam giác 2) Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Xác định hình dạng tam giác để Giải: Xét biểu thức: B = = Theo BĐT Cơ si cho hai sơ dương ta có : ; ; Suy ra: nên  hay Dấu "=" xảy a = b = c Vậy với a, b, c ba cạnh tam giác 3) Dùng để chứng minh phương trình bậc hai có nhiệm, có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + 2mx + (m - 1) = với m tham số Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Giải: Ta có :' = m2 - (m - 1) = m2 - m + = > với giá trị m Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Ví dụ Cho a, b, c ba số khác không Chứng minh rằng: ba phương trình sau: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) Có phương trình có nghiệm Giải: Ta có 1' = b2 - ac; 2' = c2 - ab ; 3' = a2 - bc Suy ra: 1' + 2' + 3' = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0 ' Từ suy phải có biệt thức 1 2' 3' lớn không Vậy ba phương trình cho phải có phương trình có nghiệm PHẦN THỨ BA: MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) với a, b > b) c) Bài 2: Cho hai số a b thoả mãn điều kiện a + b = Chứng minh: a) b) c) Bài 3: Cho a ;b hai số thoả mãn a + b = Chứng minh: Bài 4: Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh: Bài 5: Cho số a, b, c, d dương có tích 1: Chứng minh: Bài 6: Cho a, b, c, p độ dài ba cạnh nửa chu vi tam giác Chứng minh: a) b) c) d) Bài 7: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh: a) b) c) d) e) Bài 8: Cho a > c ; b  c ; c > Chứng minh Bài 9: Cho ba số x, y, z dương Chứng minh: a) b) Bài 10 Chứng minh khơng có số dương a, b, c thoả mãn ba BĐT sau: 4a( - b) ; 4b(1 - c) ; 4c(1 - a) Bài 11: Chứng minh với số tự nhiên lớn tổng: S= khơng phải số tự nhiên Bài 12: Cho Chứng minh rằng: Bài 13: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= Bài 14: Cho B= Bài 15: Giải phương trình: a) b) c) với a > b > Tìm giá trị lớn biểu thức: ... dương Chứng minh: Mở rộng: Cho n số dương Chứng minh rằng: * Gợi ý: Dùng BĐT Cơ si để giải Ví dụ 2: Cho a b hai số dương có tích Chứng minh rằng: Mở rộng: Cho n số dương có tích Chứng minh rằng:... Chứng minh: Bài 5: Cho số a, b, c, d dương có tích 1: Chứng minh: Bài 6: Cho a, b, c, p độ dài ba cạnh nửa chu vi tam giác Chứng minh: a) b) c) d) Bài 7: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh: a)... b  c ; c > Chứng minh Bài 9: Cho ba số x, y, z dương Chứng minh: a) b) Bài 10 Chứng minh số dương a, b, c thoả mãn ba BĐT sau: 4a( - b) ; 4b(1 - c) ; 4c(1 - a) Bài 11: Chứng minh với số tự nhiên