Chuyên đề 3 phương trình vô tỷ

Timgiasuhanoi com Trung tâm Gia sư tại Hà Nội 0987 109 591 Chuyên đề 3 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1 Bình phương 2 vế của phương trình a) Phương pháp Thông thường nếu ta gặp[.]

Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Chun đề 3: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bình phương vế phương trình a) Phương pháp  Thơng thường ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương vế , điều đơi lại gặp khó khăn giải ví dụ sau  ta sử dụng phép : b) ta phương trình : Ví dụ Bài Giải phương trình sau : Giải: Đk Bình phương vế khơng âm phương trình ta được: , để giải phương trình dĩ nhiên khơng khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa  Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : , ta biến đổi phương trình dạng : sau bình phương ,giải phương trình hệ Bài Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế chuyển nào? Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Ta có nhận xét : giải sau : √ x +1 − √ x +3=√ x −x+ 1−√ x+1 x +3 , từ nhận xét ta có lời Bình phương vế ta được: Thử lại : l nghiệm Qua lời giải ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : ta biến đổi Trục thức 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung a) Phương pháp Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm trình ln đưa dạng tích chứng minh phương trình để ta đánh gía phương ta giải phương trình vơ nghiệm , ý điều kiện nghiệm vô nghiệm b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : v Ta trục thức vế : Dể dàng nhận thấy x=2 nghiệm phương trình Bài Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Giải: Để phương trình có nghiệm : Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : Dễ dàng chứng minh : Bài Giải phương trình : Giải :Đk Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm x=3 2.2 Đưa “hệ tạm “ a) Phương pháp  Nếu phương trình vơ tỉ có dạng , mà : dây C hàng số ,có thể biểu thức Ta giải sau : , đĩ ta có hệ: b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : Giải: Ta thấy : nghiệm Xét Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Trục thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= Bài Giải phương trình : Ta thấy : , không thỏa mãn điều kiện Ta chia hai vế cho x đặt Bài tập đề nghị Giải phương trình sau : (HSG Tồn Quốc 2002) tốn trở nên đơn giản (OLYMPIC 30/4-2007) Phương trình biến đổi tích  Sử dụng đẳng thức Bài Giải phương trình : Giải: Bi Giải phương trình : Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Giải: + , nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Bài Giải phương trình: Giải: pt Bài Giải phương trình : Giải: Đk: Chia hai vế cho :  Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Bài Giải phương trình : Giải: Đk: pt đ cho tương đương : Bài Giải phương trình sau : Giải: Đk: phương trình tương đương : Bài Giải phương trình sau : Giải : pttt II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt ý điều kiện phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến quan trọng ta giải phương trình theo việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Nói chung phương trình mà đặt hồn tồn thường phương trình dễ Bài Giải phương trình: Điều kiện: Nhận xét Đặt phương trình có dạng: Thay vào tìm Bài Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm bốn nghiệm là: Do nên nhận gái trị Từ tìm nghiệm phương trình l: Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện Ta được: Đơn giản ta đặt : ẩn phụ đưa hệ) , từ ta tìm nghiệm tương ứng đưa hệ đối xứng (Xem phần dặt Bài Giải phương trình sau: Điều kiện: Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Đặt phương trình trở thnh: ( với Từ ta tìm giá trị Bài (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : Giải: đk Đặt pttt Bài Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện: Chia hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải Bài Giải phương trình : Giải: khơng phải nghiệm , Chia hai vế cho x ta được: Đặt t= , Ta có : Bài tập đề nghị Giải phương trình sau Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Nhận xét : cách đặt ẩn phụ giải lớp đơn giản, phương trình lại q khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến :  Chúng ta biết cách giải phương trình: (1) cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1)   Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : Như phương trình giải phương pháp Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình : Giải: Đặt Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Phương trình trở thành : Tìm được: Bài Giải phương trình : Bài 3: giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng thức ta được: Đặt , ta được: Ta : Bài Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt với x y : ta biến pt phương trình bậc đối Pt có nghiệm : b).Phương trình dạng : Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng Bài giải phương trình : Giải: Ta đặt : phương trình trở thành : Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk Bình phương vế ta có : Ta đặt : Do ta có hệ : Bài giải phương trình : Giải: Đk Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : không tồn số đặt để : ta Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: Đến tốn giải Các em tự sáng tạo cho phương trình vơ tỉ “đẹp “ theo cách Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn  Từ phương trình tích , Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát 10 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau Bài Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi phương trình trở thnh : Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có chẵn : Từ phương trình đơn giản : ta pt sau , khai triển Bài Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rút thay vào pt: Nhưng khơng có may mắn để giải phương trình theo t khơng có dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo Cụ thể sau : thay vào pt (1) ta được: Bài Giải phương trình: Giải Bình phương vế phương trình: Ta đặt : Ta được: 11 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Ta phải tách cho có dạng phương Nhận xét : Thơng thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích  Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vơ tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét ta tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba Bài Giải phương trình : Giải : , ta có : , giải hệ ta được: Bài Giải phương trình sau : Giải Ta đặt : , ta có : Bài Giải phương trình sau 1) 2) Đặt ẩn phụ đưa hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường  Đặt hệ theo u,v tìm mối quan hệ từ tìm 12 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài Giải phương trình: Đặt Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: tìm Tức nghiệm phương trình , giải hệ ta Bài Giải phương trình: Điều kiện: Đặt Ta đưa hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: nghiệm phương trình , từ tìm thay vào tìm Bài Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt ta đưa hệ phương trình sau: Vậy Bài Giải phương trình: Giải Điều kiện: 13 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Đặt Khi ta hệ phương trình: 5.2 Xây dựng phương trình vơ tỉ từ hệ đối xứng loại II  Ta tìm nguồn gốc tốn giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II  Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau : giải hệ đơn giản việc Bây giời ta biến hệ thành phương trình cách đặt ln , cho (2) , ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại đưa hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc : dựng phương trình dạng sau : đặt , ta xây , ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao : Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : v đặt ??? Việc chọn để đưa hệ , ý dấu thông thường cần viết dạng : chọn Bài Giải phương trình: Điều kiện: 14 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Ta có phương trình viết lại là: Đặt ta đưa hệ sau: Trừ hai vế phương trình ta Giải ta tìm nghiệm phương trình là: Bài Giải phương trình: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trình sau: Đặt ta hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: Nghiệm phương trình Các em xây dựng sồ hệ dạng ?  Dạng hệ gần đối xứng Ta xt hệ sau : hệ đối xứng loại giải hệ , từ hệ xây dưng tốn phương trình sau : Bài Giải phương trình: Nhận xét : Nếu nhóm phương trình trước : Đặt giải khơng thu hệ phương trình mà Để thu hệ (1) ta đặt : , chọn thể giải , (đối xứng gần đối xứng ) cho hệ có 15 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Ta có hệ : Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): mong muốn có nghiệm Nên ta phải có : Ta có lời giải sau : Điều kiện: , ta chọn , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm phương trình là: Chú ý : làm quen, tìm trình cách viết lại phương ta viết lại phương trình sau: đặt , đặt hệ mong muốn , ta thấy dấu không thu dấu với dấu trước Một cách tổng quát Xét hệ: m=m’, để hệ có nghiệm x = y : A-A’=B Nếu từ (2) tìm hàm ngược thay vào (1) ta phương trình Như để xây dựng pt theo lối ta cần xem xét để có hàm ngược tìm hệ phải giải Một số phương trình xây dựng từ hệ Giải phương trình sau 16 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 1) 4) 2) 5) 6) 3) Giải (3): Phương trình : Ta đặt : Các em xây dựng phương trình dạng ! III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức :  Từ đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình phương trình : ta khai triển có Dùng bất đẳng thức  Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức: dấu ỏ (1) (2) dạt nghiệm phương trình Ta có : Dấu khi x=0 Vậy ta có phương trình: Đơi số phương trình tạo từ ý tưởng : , dấu : 17 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591  Nếu ta đốn trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá Bài Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu Bài Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu Bài giải phương trình: Ta chứng minh : Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 18 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Xây dựng tốn từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ véc tơ  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho véc tơ: có ta  Dấu xẩy hai véc tơ ý tỉ số phải dương hướng ,  , dấu xẩy 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt tam giác  Nếu tam giác tam giác , với điểm M mặt phẳng tam giác, ta ln có với O tâm đường trịn Dấu xẩy  Cho tam giác ABC có ba góc nhọn điểm M tùy ý mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ điểm M nhìn cạnh AB,BC,AC góc Bài tập 1) 2) IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vơ tỉ dựa theo hàm đơn điệu  Dựa vào kết : “ Nếu hàm đơn điệu xây dựng phương trình vơ tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : trình : ” ta ta xây dựng phương 19 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 , Rút gọn ta phương trình Từ phương trình tốn khó Để gải hai tốn làm sau : Đặt được: ta có hệ : cộng hai phương trình ta = Hãy xây dựng hàm đơn điệu toán vô tỉ theo dạng ? Bài Giải phương trình : Giải: Xét hàm số , hàm đồng biến R, ta có Bài Giải phương trình Giải Đặt Xét hàm số : , ta có hệ : , hàm đơn điệu tăng Từ phương trình Bài Giải phương trình : V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Một số kiến thức bản: 20 ...Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Ta có nhận xét : giải sau : √ x +1 − √ x +3= √ x −x+ 1−√ x+1 x +3 , từ nhận xét ta có lời Bình phương vế ta được: Thử lại : l nghiệm Qua lời giải ta... minh : Bài Giải phương trình : Giải :Đk Nhận thấy x =3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm x =3 2.2 Đưa “hệ tạm “ a) Phương pháp  Nếu phương trình... phương trình sau 16 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 1) 4) 2) 5) 6) 3) Giải (3) : Phương trình : Ta đặt : Các em xây dựng phương trình dạng ! III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dùng