Toancap2 com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS các lớp 6, 7, 8, 9 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 7 CHO HỌC SINH GIỎI DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1 Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 2[.]
Toancap2.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lớp 6, 7, 8, CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH GIỎI DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n n(n 1) c) d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) n(n 3) g) (n 1)(n 2) h) i) n( n 1)(n 2) Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): Toancap2.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lớp 6, 7, 8, Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 Toancap2.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lớp 6, 7, 8, A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tính: A = 12+22+32+ +992+1002 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 12+22+32+ +(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 22+42+62+ +982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+ +492+502) Bài 12: Tính: A = 12+32+52+ +972+992 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bài 13: Tính: A = 12-22+32-42+ +992-1002 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bài 14: Tính: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: Toancap2.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lớp 6, 7, 8, A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+ +972+992)+2(1+3+5+ +97+99) Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+ +982+1002)+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính: A = 13+23+33+ +993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+1002) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(12+22+32+ +992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.10098.99+(12+22+32+ +992+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (12+22+32+ +992+1002) Bài 18: Tính: A = 23+43+63+ +983+1003 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 13+33+53+ +973+993 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 13-23+33-43+ +993-1003 Hướng dẫn: Toancap2.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lớp 6, 7, 8, Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I TỈ LỆ THỨC Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a c = b d (hoặc a : b = c : d) Các số a, b, c, d gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tỉ Tính chất: Tính chất 1: Nếu a c = b d ad=bc Tính chất 2: Nếu ad=bc a, b, c, d ¿ ta có tỉ lệ thức sau: a c = b d a b = c d , , d c = b a , d b = c a Nhận xét: Từ năm đẳng thức ta suy đẳng thức cịn lại II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU -Tính chất: Từ a c = b d suy ra: a c a+c a−c = = = b d b+ d b−d -Tính chất mở rộng cho dãy tỉ số nhau: Toancap2.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lớp 6, 7, 8, a c e = = b d f suy ra: a c e a+b +c a−b+c = = = = = b d f b+d + f b−d+ f (giả thiết tỉ số có nghĩa) * Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c = = ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2, 3, Ta viết a : b : c = : : B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết x y = x+ y=20 Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt x y = =k , suy ra: x=2 k , y=3k Theo giả thiết: x+ y=20 ⇒2 k +3 k =20 ⇒5 k =20⇒ k =4 Do đó: x=2 4=8 y=3 4=12 KL: x=8 , y=12 Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau): Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x + y 20 = = = =4 2+ Do đó: x =4 ⇒ x=8 y =4 ⇒ y =12 Toancap2.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lớp 6, 7, 8, KL: x=8 , y=12 Cách 3: (phương pháp thế) x y 2y = ⇒ x= 3 Từ giả thiết mà x+ y=20 ⇒ Do đó: x= 2y + y=20 ⇒ y =60 ⇒ y=12 12 =8 KL: x=8 , y=12 Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: x y = , y z = x−3 y+z=6 Giải: Từ giả thiết: x y x y = ⇒ = 12 (1) y z y z = ⇒ = 12 20 (2) Từ (1) (2) suy ra: x y z = = 12 20 (*) Ta có: x y z x y z x−3 y +z = = = = = = = =3 12 20 18 36 20 18−36+ 20 Do đó: x =3 ⇒ x=27 y =3 ⇒ y=36 12 z =3⇒ z=60 20 KL: x=27 , y=36 , z=60 Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt x y z = = =k 12 20 Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: ( sau giải cách VD1) Toancap2.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lớp 6, 7, 8, y z 3z = ⇒ y= 5 3z x y 3y 9z = ⇒ x= = = 4 20 mà x −3 y+z =6 ⇒2 Suy ra: y= 9z 3z z −3 +z=6 ⇒ =60 ⇒ z=60 20 10 60 =36 , x= 60 =27 20 KL: x=27 , y=36 , z=60 Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: x y = x y=40 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt x y = =k , suy x=2 k , y=5k 2 Theo giả thiết: x y=40⇒ k k =40 ⇒10 k =40⇒ k =4 ⇒k =±2 + Với k =2 ta có: x=2 2=4 y=5.2=10 + Với k =−2 ta có: x=2 (−2 )=−4 y=5 (−2)=−10 KL: x=4 , y=10 x=−4 , y=−10 Cách 2: ( sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Hiển nhiên x ¿ Nhân hai vế x y = với x ta được: x xy 40 = = =8 5 ⇒ x =16 ⇒ x=±4 Toancap2.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lớp 6, 7, 8, + Với x=4 ta có y 4.5 = ⇒ y= =10 −4 y −4 = ⇒ y= =−10 + Với x=−4 ta có KL: x=4 , y=10 x=−4 , y=−10 Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách ví dụ BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm số x, y, z biết rằng: x y z = = a) 10 21 2x y 4z = = c) e) x y = x+ y−2 z=28 x+ y+ z=49 2 x − y =4 b) x y = , y z = x+3 y−z=124 d) x y = f) x y z = = =x+ y+ z y +z +1 z+x +1 x+ y−2 xy=54 Bài 2: Tìm số x, y, z biết rằng: x y z = = a) 10 21 2x y 4z = = c) e) x y = x+ y−2 z=28 x+ y+ z=49 2 x − y =4 b) x y = , y z = x+3 y−z=124 d) x y = f) x y z = = =x+ y+ z y +z +1 z+x +1 x+ y−2 xy=54 Bài 3: Tìm số x, y, z biết rằng: a) x=2 y , y=5z x− y +z=32 c) x=3 y=5 z x+ y−z=95 e) y + z +1 z+x +2 x+ y−3 = = = x y z x+ y+ z Bài 4: Tìm số x, y, z biết rằng: b) x−1 y−2 z−3 = = d) x y z = = 2x+3 y−z=50 xyz=810 2 f) 10 x=6 y x − y =−28 Toancap2.com – Chia sẻ kiến thức Toán THCS lớp 6, 7, 8, a) x=2 y , y=5z x− y +z=32 c) x=3 y=5 z x+ y−z=95 e) y + z +1 z+x +2 x+ y−3 = = = x y z x+ y+ z b) x−1 y−2 z−3 = = d) x y z = = 2x+3 y−z=50 xyz=810 2 f) 10 x=6 y x − y =−28 Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 1+2 y 1+4 y 1+6 y = = 18 24 6x Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 1+2 y 1+4 y 1+6 y = = 18 24 6x Bài 7: Cho a+b +c +d≠0 Tìm giá trị của: Giải: A= a b c d = = = b+c +d a+c +d a+b +d a+b+ c a+ b b+ c c +d d+ a + + + c +d a+d a+b b+ c a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c 3(a b c d ) ( Vì a+b +c +d≠0 ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8: Tìm số x; y; z biết rằng: x x y a) y 5x – 2y = 87; b) 19 21 2x – y = 34; 2x 3y 2x 3y x y3 z3 2 6x b) 64 216 x + y + z = 14 c) Bài 9: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Bài 10: Tìm số x, y, z biết : a) x : y : z = : : 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 x = - 9; y = - 12; z = - 15 b) Từ đề suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác nên 2y – x = 0, : x = 2y Từ tìm : x = 4/3; y = 2/3 ... Chia sẻ kiến thức Tốn THCS lớp 6, 7, 8, A = 1.3+3.5+5 .7+ + 97. 99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ + 97( 97+ 2)+99(99+2) A = (12+32+52+ + 972 +992)+2(1+3+5+ + 97+ 99) Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+... a+b+c 0 Tìm giá trị tỉ số ? Bài 13 Số học sinh khối 6 ,7, 8,9 trường THCS tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường đó? Bài 14: Chứng minh có số... 2005 a−2006 b 2005 c−2006 d = 6) 2006 c +20 07 d 2006 a+20 07 b a c = a+b c +d Bài 2: Cho tỉ lệ thức: 2) a−b c−d = a+b c+d a+5 b c+5 d = 5) a−4 b c−4 d 7) a+b a2 +b = 2 c+ d c +d 8) a c = b d a +5