Toancap2 com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 9 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 ĐỀ SỐ 1 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dương a) ; b) 27 < 3n < 243 Bài 2 Thực hiện phép tính[.]
Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP ĐỀ SỐ 1: (Thời gian làm 120 phút) Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) n 16 2n ; b) 27 < 3n < 243 Bài Thực phép tính: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 |2 x+3|=x+2 Bài a) Tìm x biết: b) Tìm giá trị nhỏ A = |x−2006|+|2007−x| Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP (Thời gian làm 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thỡ : 3n2 2n2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tỡm x biết: Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, x a 3, 5 x 7 b x 1 x 7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) : : Biết tổng cỏc bỡnh phương ba số Số A chia thành số tỉ lệ theo 24309 Tỡm số A a c a2 c2 a 2 a) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC ĐÁP ÁN ĐỀ 1TOÁN Bài Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm) a) n 16 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bài Thực phép tính: ( (4 điểm) 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 (1 49) ( ) 44 49 12 = 9 14 14 19 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( ) 89 5.4.7.7.89 28 = 49 Bài (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: |2 x+3|=x+2 Ta có: x + => x + Nếu x ¿ + Nếu - ¿ - ¿ |2 x+3|=x+2 => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) x< - ¿ - Thì |2 x+3|=x+2 => - 2x - = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - > x Khơng có giá trị x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ A = |x−2006|+|2007−x| Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 ¿ x ¿ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = + Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 ¿ x ¿ 2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đường thẳng, ta có: x–y= (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: x 12 x y x−y 1 = => = = = :11= y 12 11 33 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 12 ( vòng) => x= 11 => x = 33 (giờ) Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện đường thẳng 11 Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đường thẳng AB cắt EI F Δ ABM = E Δ DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), F AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM I A =>FB // ID => ID ¿ AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) B H C M D Từ (1) (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF E FA = 1v (3) (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( phụ ABC) => EAF = ACB Từ (3), (4) (5) => Δ AFE = Δ CAB =>AE = BC ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) (5) Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 212.35 46.92 10 510.73 255.49 212.35 212.34 510.7 A 12 12 9 3 125.7 14 3 212.34 1 510.73 12 1 59.73 23 10 212.34.2 12 59.73.9 10 b) (2 điểm) 3n2 2n2 3n 2n = 3n2 3n 2n2 2n n n = (3 1) (2 1) n = 10 = 10( 3n -2n) Vậy n 5 3n 10 2n 10 3n2 2n2 3n 2n 10 với n số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) 4 16 3, x 5 5 x x 14 5 x 2 x 12 x 1 x 217 3 x 21 3 b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 7 x 1 x 11 0 x 10 0 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, x 7 x 1 x 10 0 x x 10 1 ( x 7)10 0 x 7010 x 7 x8 ( x 7) Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = a2 +b2 +c2 = 24309 (2) : : (1) a b c k a k;b k; c =k Từ (1) k ( ) 24309 25 16 36 Do (2) k = 180 k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = 180 , ta được: a = Khi ta có só A = 72 +( b) (1,5 điểm) 72 ; b = 135 ; c = 30 135 ) + ( 30 ) = 237 a c Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 b a.b b c a ( a b) a b ( a b ) b = A Bài 4: (4 điểm) I a/ (1điểm) Xét AMC EMB có : M B C H K E Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB Vỡ AMC = EMB MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE b/ (1 điểm ) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vỡ AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o o o HEM HEB MEB = - = 40 - 25 = 15o A BME góc ngồi đỉnh M HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 20 M suy DAB DAC 0 Do DAB 20 : 10 b) ABC cân A, mà A 20 (gt) nên D ABC (1800 200 ) : 800 DBC 600 ABC nên 0 Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD 80 60 20 Tia BM phân giác góc ABD nên ABM 10 Xét tam giác ABM BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 B C Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC ĐỀ SỐ 3: Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: x y ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x a/ Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A= |x+1| +5 B= x +15 x +3 Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 90 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC a Chứng minh: DC = BE DC BE b Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME ABC = EMA c Chứng minh: MA BC ĐÁP ÁN ĐỀ TỐN Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết 0 => * * * * * a 4 a a a a a a a 4 = 0; 1; 2; ; = => a = = => a = a = - = => a = a = - = => a = a = - = => a = a = - Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có: 10 nhỏ 11 9 9 63 63 63 10 x 11 => 70 x 77 => -77 < 9x < -70 Vì 9x 9 => 9x = -72 => x = 8 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Vậy phân số cần tìm Câu Cho đa thức P (x) =x Q (x) =x 2 + 2mx + m + (2m+1)x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4 Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: x y ; xy=84 x y xy 84 4 49 3.7 21 => => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 a/ Do x,y dấu nên: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 2y 2y => x x 12 => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta được: 1 3y y y 12 2 =>1+ 3y = -12y => = -15y 1 => y = 15 1 Vậy x = 2, y = 15 thoả mãn đề Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : |x+1| A= |x+1| Ta có : ⇒ +5 ¿ A ¿ Dấu = xảy ⇔ x= -1 ⇔ Vậy: Min A = 2 Ta có: x ⇒ 12 x2+ ⇒ B ¿ x +3 Dấu = xảy +3 ¿ ⇔ x=0 ( vế dương ) 12 ¿ 12 = + x +3 = ¿ x x= -1 ( x2 + ) +12 x +15 x +3 B= ⇒ x= -1 Dấu = xảy ⇔ ⇒ 12 x2+ ¿ 12 1+ x + ⇒ ¿ 1+ ⇔ Dấu = xảy x=0 ⇔ Vậy : Max B = Câu 6: a/ Xét ADC x = M BAF ta có: DA = BA(gt) P E AE = AC (gt) DAC = BAE ( 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) N D => DC = BE Xét 1 A AIE TIC K I1 = I2 ( đđ) E1 = C1( I T DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC b/ Ta có: MNE = B BE AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) 10 H C Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, A=(0,8.7+0 ).(1 ,25 7− 1,25 )+31 ,64 Bài 1: (2 điểm)a, Cho (11, 81+8, 19) 0,02 B= 9:11, 25 Trong hai số A B số lớn lớn lần ? 1998 b) Số A=10 −4 có chia hết cho khơng ? Có chia hết cho không ? Câu 2: (2 điểm)Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quãng đường người tới lúc gặp ? Câu 3: a) Cho f (x )=ax +bx +c với a, b, c số hữu tỉ Chứng tỏ rằng: f (−2 ) f (3 )≤0 Biết 13 a+b+ 2c =0 A= 6−x b) Tìm giá trị ngun x để biểu thức có giá trị lớn Câu 4: (3 điểm)Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 90 0, B E nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 90 F C nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AB a) Chứng minh rằng: ABF = ACE b) FB EC 18 90 +2 Câu 5: (1 điểm)Tìm chữ số tận A=19 ĐỀ SỐ 10: Câu 1: (2 điểm)a) Tính 96 3 + 1,5+1−0 , 75 11 12 1890 A= + : + 115 5 2005 2,5+ −1, 25 −0 ,625+ 0,5− − 11 12 , 375−0,3+ ( ) 1 1 1 B= + + + + .+ 2004 + 2005 B< 3 3 3 b) Cho Chứng minh Câu 2: (2 điểm) a c = b d a) Chứng minh (giả thiết tỉ số có nghĩa) a+3 b c +3 d = a−3 b c−3 d x−1 x−2 x−3 x−4 + − = b) Tìm x biết: 2004 2003 2002 2001 Câu 3: (2điểm)a) Cho đa thức f (x )=ax +bx +c f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên 17 với a, b, c số thực Biết Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đường cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ? Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC n−8 Câu 5: (1 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số 2n−3 có giá trị lớn ĐỀ SỐ 11: Câu 1: (2 điểm)a) Tính:A = B= (0 , 75−0,6+ 73 +133 ) :( 117 +1113 +2 , 75−2,2) (10 √17 , 21 +22 √30 ,25 ) :( √549 + √2259 ) b) Tìm giá trị x để: |x+3|+|x+1|=3x M= a b c + + a+b b+c c+ a Câu 2: (2 điểm)a) Cho a, b, c > Chứng tỏ rằng: không số nguyên b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: ab+ bc+ ca≤0 Câu 3: (2 điểm) a) Tìm hai số dương khác x, y biết tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210 12 b) Vận tốc máy bay, ô tô tàu hoả tỉ lệ với số 10; Thời gian máy bay bay từ A đến B thời gian ô tô chạy từ A đến B 16 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B ? Câu 4: (3 điểm) Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450 Câu 5: (1 điểm) 1 1 + + + + < 1985 20 Chứng minh rằng: 15 25 ĐỀ SỐ 12: Bài 1: (2 điểm)a) Chứng minh với số n nguyên dương có: 18 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Tốn lớp 6, 7, 8, n n n n A= (5 +1 )−6 (3 +2) 91 b) Tìm tất số nguyên tố P cho P +14 số nguyên tố Bài 2: ( điểm)a) Tìm số nguyên n cho n +3 n−1 b) Biết bz−cy cx−az ay−bx = = a b c a b c = = x y z Chứng minh rằng: Bài 3: (2 điểm) An Bách có số bưu ảnh, số bưu ảnh người chưa đến 100 Số bưu ảnh hoa An số bưu ảnh thú rừng Bách + Bách nói với An Nếu tơi cho bạn bưu ảnh thú rừng tơi số bưu ảnh bạn gấp lần số bưu ảnh + An trả lời: cịn tơi cho bạn bưu ảnh hoa tơi số bưu ảnh tơi gấp bốn lần số bưu ảnh bạn Tính số bưu ảnh người Bài 4: (3 điểm) Cho ABC có góc A 1200 Các đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE phân giác ngồi ADB b) Tính số đo góc EDF góc BED Bài 5: (1 điểm) Tìm cặp số nguyên tố p, q thoả mãn: 2 52 p +1997=52 p +q ĐỀ SỐ 13: ( 5 13 −2 −10 230 +46 27 25 ) ( 1103 + 103 ) : (12 13 −14 27 ) Bài 1: (2 điểm)Tính: 38 33 Bài 2: (3 điểm)a) Chứng minh rằng: A=36 +41 b) Tìm số nguyên x để B=|x−1|+|x−2| c) Chứng minh rằng: P(x) =ax + bx + cx+ d 6a, 2b, a + b + c d số nguyên Bài 3: (2 điểm)a) Cho tỉ lệ thức a c = b d chia hết cho 77 đạt giá trị nhỏ có giá trị nguyên với x nguyên Chứng minh rằng: a+b a2 +b ab a2 −b = 2 = c+ d cd c 2−d c +d n b) Tìm tất số nguyên dương n cho: −1 chia hết cho Bài 4: (2 điểm) ( ) 19 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450 Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng: 3a+2b17 ⇔10a+b17 (a, b Z ) ĐỀ SỐ 14: Bài 1: (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương a lớn cho 2004! chia hết cho 7a b) Tính Bài 2: (2 điểm) 1 1 + + + .+ 2005 P= 2004 2003 2002 + + + + 2004 x y z t = = = Cho y + z +t z +t + x t + x+ y x + y + z chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên x+ y y + z z +t t + x P= + + + z +t t+ x x+ y y+ z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11 km để đến C Vận tốc người từ A 20 km/h Vận tốc người từ B 24 km/h Tính quãng đường người Biết họ đến C lúc A, B, C thẳng hàng Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH BC (H BC) Vẽ AE AB AE = AB (E C khác phía AC) Kẻ EM FN vng góc với đường thẳng AH (M, N AH) EF cắt AH O Chứng minh O trung điểm EF Bài 5: (1 điểm) 255 579 So sánh: ĐỀ SỐ 15: Câu 1: (2 điểm)Tính : 1 − + 39 51 A= 1 − + 52 68 ; Câu 2: (2 điểm) a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 20 B=512− 512 512 512 512 − − − − 10 2 2 ... n(n+1) =111 a=3 37 a Hay n(n+1) =2.3. 37. a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1 70 x 77 => -77 < 9x < -70 Vì 9x 9 => 9x = -72 => x = 8 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Vậy phân số cần tìm Câu Cho đa thức P... kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 212.35 46.92 10 510 .73 255.49 212.35 212.34 510 .7 A 12 12 9 3 125 .7 14 3 212.34 1 510 .73 12 1 59 .73 23 10 212.34.2