THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LẦN 1( GỒM 16 ĐỀ) ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 3 b) x3 x x d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 Bài 2: (1,5 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 7 (6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) x 4 x y b) Tính giá trị biểu thức P = Biết x – y = x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0) x y c) Tìm số dư phép chia biểu thức x x x x 2015 cho đa thức x 10 x 21 Bài (1,25 điểm): Cho biểu thức A 4xy y x2 : 2 y xy x y x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài : (2 điểm) Giải phương trình sau: a) x3 - 2x2 - 5x + = b) x x c) x x x 10 x 24 x x 18 d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương Bài : (2,75 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S a) Chứng minh AQR APS tam giác cân b) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật c) Chứng minh P trực tâm SQR d) Chứng minh MN đường trung trực AC e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Bài : (0,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = Chứng minh a3 + b3+ ab HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI NỘI DUNG Bài a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 3 (2 điểm) 3 1 1 1 1 b) x3 x x = x 3. x 3. x .12 13 = x 1 2 2 2 2 2 c) x + 6x + = x + x + 5x + = x(x + 1) + 5(x + 1) = x 1x 5 d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015) Bài 7 2 (1,5 a) ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) x = 12x – 18x + 14x - 21 – 12x + 7x – ThuVienDeThi.com THANG ĐIỂM 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm điểm) 77 = 4 2 b) x – 2y = xy x2 – xy – 2y2 = (x + y)(x – 2y) = 2y y y Vì x + y ≠ nên x – 2y = x = 2y Khi A = y y 3y c) P( x) x x x x 2015 x 10 x 16 x 10 x 24 2015 3x + 0,5 điểm 0,5 điểm Đặt t x 10 x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) viết lại: P( x) t t 3 2015 t 2t 2000 Bài (1,25 điểm) Do chia t 2t 2000 cho t ta có số dư 2000 a) Điều kiện: x y; y b) A = 2x (x+y) c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị nguyên dương A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = A + (x – y + 1)2 = A = – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với x ; y) A x y x + A = 2x x y y x y;y (x y 1)2 + A = 2x x y Từ đó, cần cặp giá trị x x y;y 1 x y, chẳng hạn: y + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài a) x3 - 2x2 - 5x + = x3 - x2 - x2 + x - 6x + = (x - 1)(x2 - x - 6) = (2 điểm) x 1 (x - 1)(x + 2)(x - 3) = x 2 x b) x x x x x x c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3 x 1x x x x 3x 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 1 1 x 1 x x x x x x 3 x 1x 3 x 1 x 1 x 3 x 1x 3 x 1x 3 x 1x 3 x x x x 0,25 điểm x = x = (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm phương trình: S = {0;2} ThuVienDeThi.com Bài (2,75 điểm Bài (0,5 điểm d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – = (x+1)2 - (y+2)2 = (x – y - 1)(x + y + 3) = Vì x, y nguyên dương Nên x + y + > x – y – > x + y + = x – y – = x = 3; y = Phương trình có nghiệm dương (x , y) = (3 ; 1) Vẽ hình, cân đối đẹp a) a) ADQ = ABR chúng hai tam giác vng (2 góc có cạnh t.ư vng góc) DA = BD (cạnh hình vng) Suy AQ=AR, nên AQR tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có: ABP = ADS AP =AS APS tam giác cân A b) AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN SP AM RQ PAM Mặt khác : PAN = 450 nên góc MAN vng Vậy tứ giác AHMN có ba góc vng, nên hình chữ nhật c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao SQR Vậy P trực tâm SQR d) Trong tam giác vuông cân AQR MA trung điểm nên AM = QR MA = MC, nghĩa M cách A C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vuông SCP, ta có NA = NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC e) Vì ABCD hình vng nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đường trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy (x = ; y = ) 3 Vậy A = 2010 (x = ; y = ) 3 1 b) Ta có a3+ b3 + ab (1) a3+b3+ab - (a+b)(a2+ b2-ab) + ab- 2 a2+b2- (vì a + b =1) 2a2+2b2-1 2a2+2(1-a)2-1 (vì b = 1- a) 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 2a2+2 - 4a + 2a2 - 1 4(a2- đpcm 1 a + ) 4 a a (2) 2 ĐỀ SỐ Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: a/ a2 – 7a + 12 b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz d/ (x2 - 8)2 + 36 ThuVienDeThi.com Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết: a/ x 12 ; c/ x ; Bài 3: (2,0 điểm) : x 3 ; 4 x x x x 1 d/ 2011 2012 2013 2014 b/ a 4a Tìm a Z để A số nguyên a 2a 4a b/ Tìm số tự nhiên n để n5 + chia hết cho n3 + Bài 4: (2,0 điểm) a 1 b c a/ Tìm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46 b/ Tìm số hữu tỉ a b biết: a + b = ab = a : b (b 0) Bài 5: (2,0 điểm) 1 a/ Cho a + b + c = = Tính a b c a b c 1 1 b/ Cho a + b + c = 2014 a b a c b c 2014 a b c Tính: S = bc ac ab Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ 900 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ đường thẳng AB vẽ AF vng góc với AB AF = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ đường thẳng AC vẽ AH vng góc với AC AH = AC Gọi D trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho DI = DA Chứng minh rằng: a/ AI = FH ; b/ DA FH Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự trung điểm AB, CD a/ Chứng minh đường thẳng AC, BD, EF cắt trung điểm đường b/ Gọi giao điểm AC với DE BF theo thứ tự M N Chứng minh EMFN hình bình hành Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: Ax x 1x 3x x 10 a/ Cho A = HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (4 điểm) a/ a2 – 7a + 12 = a2 – 3a – 4a + 12 = a(a – 3) – 4(a – 3) = (a – 3)(a – 4) b/ x + 2015x + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 + 2014x2 + 2014x + 2014 – x3 + = x2(x2 + x + 1) + 2014(x2 + x + 1)–(x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x4 + 2014 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x4– x + 2015) c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz = = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 2 d/ (x - 8) + 36 = (x + 6x+10)(x2 -6x +10) Bài 2: (4 điểm) 2 a/ x 12 x 16 x 24 Vậy x = -24 3 1 15 15 1 b/ : x 3 : x x : x Vậy x = 4 4 4 15 15 c/ x Xét trường hợp: * Nếu x 5/3 ta có: 3x - = 3x = x = (t/m ĐK trên) ThuVienDeThi.com * Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = - 3x = x = 1/3 (t/m ĐK xét) Vậy x = ; x = 1/3 x x x x 1 x x x x 1 1 1 1 1 d/ 2011 2012 2013 2014 2011 2012 2013 2014 x 2015 x 2015 x 1015 x 2015 2011 2012 2013 2014 1 x 2015 0 2011 2012 2013 2014 1 1 x 2015 x 2015 0 2011 2012 2013 2014 Vậy x = - 2015 Bài 3: (2,0 điểm) a/ Rút gọn A = a2 Để A nguyên nguyên a = 1; a = a2 b/ n5 + n3 + n2 (n3 + 1) - (n2 - 1) (n3 + 1) (n + 1)(n - 1) (n3 + 1) (n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 – n + 1) (n - 1) (n2 – n + 1) (vì n + 0) + Nếu n = + Nếu n > (n - 1) < n(n - 1) + < n2 – n + nên xảy n - n2 – n + Vậy giá trị n tìm n = Bài 4: (2,0 điểm) a/ Ta có: a b c 5a 3b 4c 20 10 12 24 a b c 5a 3b 4c 20 10 12 24 Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên: a b c 46 52 2 26 26 Suy a - = - a = -3; b + = - b = -11; c - = -12 c = - Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - b/ Ta có a + b = ab a = ab - b = b(a-1) Do đó: a : b = b(a - 1) = a - nên a + b = a - b = -1 a = -1(a - 1) a = -a + 2a = a = 0,5 Vậy a = 0,5 ; b = -1 Bài 5: (2,0 điểm) a/ Phân tích giả thiết để suy đfcm 1 Phần có a+b+c thay = a b c 1 1 b/ Ta có: a b a c b c 2011 a + b + c = 2014 a = 2014- (b + c); b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b) Do đó: 2014 b c 2014 a c 2014 a b S bc ac ab Phân tích ThuVienDeThi.com 2014 2014 2014 1 1 1 bc ac ab 1 2014 3 bc ac ab 2 = 2014 2014 Vậy S = - Câu 6: (3,0 điểm) H K A F B D C a/ - Xét BDI CDA có: DB = DC (gt), I CDA BDI (đối đỉnh), DA = DI (gt) BDI = CDA (c.g.c) BI = CA (2 cạnh tương ứng), CAD (2 góc tương ứng) Mặt khác góc vị trí so le nên suy BI//AC BID - Xét ABI FAH có: AB=AF (gt), ABI FAH (cùng bù với BAC ), BI = AH (cùng = AC) ABI = EAH (c.g.c) AI = FH (2 cạnh tương ứng) b/ Gọi K giao điểm DA FH ta có: FAK BAI 900 , mà AFH BAI hay AFK BAI nên AFH FAK 900 - Xét AFK có AFH FAK 900 FKA 900 AK FK AI FH (vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH) Bài 7: (2 điểm) a/ E A // - Hình vẽ: - Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành M ABCD, ta có O trung điểm BD O - Chứng minh BEDF hình bình hành - Có O trung điểm BD nên O trung điểm N EF // // D - Vậy EF, BD, AC đồng quy O F b/ Xét ABD có M trọng tâm, nên OM OA - Xét BCD có N trọng tâm, nên ON OC - Mà OA = OC nên OM = ON - Tứ giác EMFN có OM = ON OE = OF nên hình bình hành Bài 8: (1 điểm) Ax x x x x 12 10 // B C Đặt x x = t ThuVienDeThi.com At t t 10 t 6t t 3 At Min đạt t = -3 Ax Min đạt x x = -3 x2 - 7x + = x = 13 13 ;x= 2 ĐỀ SỐ Bài (3,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1) 18x3 25 2) a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + Bài (2,5 điểm) x 1 x3 Cho biểu thức: A = : x 1 2x 2x 4x 1) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A xác định 2) Chứng minh giá trị biểu thức xác định không phụ thuộc vào giá trị biến x Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: ab + bc + ca = a b b c c a Tính giá trị biểu thức: A = 2 1 a 1 b 1 c 2 x y a b 2) (1,5 điểm) Cho 2 x y a b Chứng minh với số nguyên dương n ta có: xn + yn = an + bn Bài (3,0 điểm) 1) Tìm x: a) x x x x b) (x2 – 5x + 6) x = 2) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Tìm dư chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 - 2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2 Bài (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AD, BC Đường chéo AC cắt đường chéo BD O đoạn BE, DF P, Q 1) Chứng minh rằng: P trọng tâm tam giác ABD 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC 3) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự điểm đối xứng M qua tâm E, F Chứng minh I, K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI + AK không đổi M thuộc đường thẳng AB Bài Nội dung Câu 18x3 - 1 x = 2x x 25 25 2 x 3x 3x 5 ThuVienDeThi.com Biểu điểm 0,5 0,5 a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 = a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3 = a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) + + 3a(a + b)2 + (a + b)3 = a(a + b) + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) – - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3 = a(a + b) + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3 = (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] = (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3] = (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) = (a + b)(a - b)3 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + = (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + = (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + = (x2 – 7x + 11)2 – + = (x2 – 7x + 11)2 0,5 0,5 1,0 7 49 x2 – 7x + 11 = x2 – 2x 11 2 2 7 7 5 = x x = x 2 2 = 2 7 7 Vậy A = x x a) Giá trị biểu thức A xác định với điều kiện: x2 1 x2 x 2 x x 1 2 x x 1 4 x Với x 1 , ta có: x 1 x x2 A= ( x 1)( x 1) 2( x 1) 2( x 1) 0,5 0,5 ( x 1) ( x 3)( x 1) 4( x 1)( x 1) 2( x 1)( x 1) (6 x x x x 3).2 =4 Vậy giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến Ta có: + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) Tương tự: + b2 = (b + a)(b + c) + c2 = (c + a)(c + b) = 1,0 0,5 0,5 0,5 a b (b c) (c a ) Do đó: A = 1 (a b)(a c)(b a )(b c)(c a )(c b) Từ x2 + y2 = a2 + b2 (x2 – a2) + (y2 – b2) = (x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = Bởi vì: x + y = a + b x – a = b – y, vào ta có: (b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) = (b – y)[(x + a) – (y + b)] = ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 b y x a y b Nếu b – y = y b x a n y n a n b n x y b a x b Nếu x + a = y + b x y a b y a Do đó: xn + yn = bn + an = an + bn Vậy trường hợp, ta có: xn + yn = an + bn 0,25 0,25 0,25 0,25 x x x x (1) 1.a) 1.b) Vế trái luôn không âm với x nên 4x x x nên x + > 0, x + > 0, x + > x x 1, x x 3, x x 0,25 0,25 Do đó: (1) x + + x + + x + = 4x x = Vậy x = (x2 – 5x + 6) x = (1) Điều kiện: – x x (*) (1) x2 – 5x + = x = (x – 2)(x – 3) = – x = x = x = x = Các giá trị x = 2, x = không thỏa mãn điều kiện (*) Vậy x = 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = y 2x (vì (y + 2x – 3)2 3(x – 2)2 0) x x Vậy x = 2; y = -1 y 1 Đặt f(x) = x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 – Gọi thương chia f(x) cho x2 – Q(x), dư ax + b Ta có: f(x) = (x2 – 1).Q(x) + ax + b Đẳng thức với x nên: - Với x = ta được: f(1) = a + b a + b = (1) - Với x = -1 ta được: f(-1) = -a + b -a + b = (2) Từ (1) (2) suy ra: a = 1, b = Dư phải tìm x + Ta có: A = x2 + 3x + = x2 + 2x 3 4 = 2 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 3 x 2 0,25 3 3 7 Với x, ta có: x x > 2 2 4 2 49 7 A 12,25 2 3 Dấu “=” xảy x x 2 Vậy minA = 12,25 x = ThuVienDeThi.com 0,25 0,5 0,5 1 Vì ABCD hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt O trung điểm đường Ta có: AO, BE trung tuyến ABD Mà: AO cắt BE P nên P trọng tâm ABD 2 1 Theo câu 1) P là trọng tâm ABD AP AO AC AC 3 Tương tự, ta có: CQ AC Do đó: PQ = AC – AP – CQ = AC Vậy AP = PQ = QC Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM Ta có: AE = ED, EI = EM AMDI hình bình hành AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2) Từ (1), (2) (3) suy I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB KMI có E, F trung điểm MI, MK EF đường trung bình KMI EF= KI KI = 2.EF Suy AI + AK = IK = 2.EF (4) BF // AE AF = AE Tứ giác ABFE hình bình hành EF = AB (5) Từ (4) (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi M di động cạnh CD 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ SỐ Cõu (3,0 im) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 12x3 + 16x2 - 5x - b) (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x = y = z a b2 c2 a c b b) Cho ba số a, b, c khác thoả mãn: b c a c b a Chứng minh a = b = c Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: a) x x = (1) 2 x3 x x 0 b) 6 x 4 x2 x2 Câu (4,0 điểm) ThuVienDeThi.com 10 1 1 a) Cho x, y > thoả mãn x + y = Chứng minh rằng: x y x y 2015 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = , với x số nguyên x 3 Câu (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F cắt CD I Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF Nội dung Câu a) 12x3 + 16x2 - 5x - = 12x3- 6x2 + 22x2 - 11x + 6x - = 6x2(2x -1) + 11x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1)(6x2 + 11x + 3) = (2x - 1)(6x2 + 9x + 2x + 3) = (2x - 1)[3x(2x + 3) + (2x + 3)] = (2x - 1)(2x + 3)(3x + 1) 0,25 0,5 A = (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Đặt x2 - x + = y, ta cã A = 4x2 - 5xy + y2 = (4x - y)(x - y) = (4x - x2 + x - 1)(x -x2 + x - 1) = (x2 - 5x + 1)(x2 - 2x + 1) = (x - 1)2(x2 - 5x + 1) 21 21 = (x - 1)2 x x 0,5 0,25 0,25 b) a) 0,25 0,5 1,5 0,5 1,0 x2 Điểm 1,5 y2 z2 Ta có: + + = xy + yz + zx 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 = (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (1) 2 Ta có : (x – y) 0, (y – z) , (z – x)2 x y Do đó: (1) y z z x x yz b) Có thể chứng minh hai cách sau: a b2 c2 a c b Cách Ta có: b c a c b a 4 a c + b a + c b = abc(a2c + c2a + b2c) Đặt x = a2c, y = b2a, z = c2b Ta được: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx Áp dụng kết câu a) ta được: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = x=y=z a2c = b2a = c2b ac = b2; bc = a2; ab = c2 a = b = c (đpcm) 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 ThuVienDeThi.com 11 a b c , y = , z = Khi xyz = b c a 2 a b c a c b Từ + + = + + suy ra: b c a c b a 1 xy + yz + zx + + = = xy + yz + zx x2 + y2 + z2 = x y z xyz Áp dụng kết câu a) ta được: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = x=y=z a b c = = b c a Cách 2: Đặt x = 3 a b c abc = = = 1 b c a abc a b c = = =1 b c a a = b = c (đpcm) a) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 2x 1 2x = Có thể giải cách sau: Cách 1: Ta có: (1) x x x x 0,5 2 x 15 x (áp dụng tính chất: a b a b ab ) x 2 0,5 0,5 0,5 x 2 Cách 2: Ta có: (1) x x x x Vậy phương trình có nghiệm 2 x (áp dụng tính chất a b a b a, b ) 5 x x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Cách 3: Ta có: (1) x x (2 x 1) (2 x 5) 2 x (áp dụng tính chất a b a b a 0; b ) 2 x x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Cách 4: Lập bảng xét dấu: x 1/2 5/2 2x – + + 2x – + - Trong khoảng x < , ta có: (1) -2x + – 2x + = ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, 0,25 0,25 0,25 12 -4x = -2 x 0,25 0,25 (không thuộc khoảng xét) - Trong khoảng x , ta có: 2 (1) 2x – – 2x + = 0x , phương trình nghiệm với x 2 - Trong khoảng x > , ta có: (1) 2x – + 2x – = x 10 x (không thuộc khoảng xét) Vậy phương trình có nghiệm x 2 Cách 5: Ta có: x khoảng cách từ điểm 2x đến điểm 1; x khoảng cách từ điểm 2x đến điểm x x tổng khoảng cách từ điểm 2x đến điểm điểm Tổng điểm 2x điểm trùng với điểm 1, trùng với điểm 5 Khi đó: x x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 b) 2 x3 x x 0 6 x 4 x2 x2 Có thể giải cách sau: Cách 1: ĐKXĐ: x 2 x3 x 3 x x x2 a; b , suy : ab = Đặt , x2 x2 x x x2 ta có: a2 + 6b2 – 7ab = (a – b)(a – 6b) = a = b a = 6b x 3 x 3 - Với a = b, ta có: x2 x2 (x + 3)(x + 2) = (x – 2)(x – 3) x2 + 5x + = x2 – 5x + 10x = x = (thoả mãn ĐKXĐ) ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 13 x3 x 3 x2 x2 (x + 3)(x + 2) = 6(x – 2)(x – 3) x2 + 5x + = 6x2 – 30x + 36 5x2 - 35x + 30 = x2 – 7x + = (x – 1)(x – 6) = x = (thoả mãn ĐKXĐ) x = (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm phương trình S = 0 ;1; 6 - Với a = 6b, ta có: 0,25 0,25 x3 x x 0 Cách 2: (1) 6 x 4 x2 x2 ĐKXĐ: x 2 (1) (x + 3)2(x + 2)2 + 6(x – 3)2(x – 2)2 – 7(x2 – 9)(x2 – 4) = (x2 + 6x + 9)(x2 + 4x + 4) + (6x2 – 36x + 54)(x2 – 4x + 4) – - (7x2 – 63)(x2 – 4) = x4 + 4x3 + 4x2 + 6x3 + 24x2 + 24x + 9x2 + 36x + 36 + 6x4 – - 24x3 + 24x2 – 36x3 + 144x2 – 144x + 54x2 – 216x + 216 - 7x4 + 28x2 + 63x2 - 252 = 50x3 - 350x2 + 300x = x3 – 7x2 + 6x = x(x2 – 7x + 6) = x(x – 1)(x – 6) = x = x = x = Các giá trị thoả mãn ĐKXĐ Vậy tập nghiệm phương trình S = 0 ;1; 6 0,25 0,25 a) 2,0 2 (a + b)2 Chứng minh: (1) 2a2 + 2b2 a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 (a – b)2 Áp dụng tốn phụ (1), ta có: Bài toán phụ: Chứng minh a2 + b2 1 1 1 1 x y x y x y 2 x y 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) 0,25 2 (2) 1 x y Mà x y (vì x + y = 2) x y xy xy (x + y) Với x, y > 0, ta có < xy (vì (x – y) (x + y)2 4xy) xy ( x y ) xy ( x y ) 2 2 2 2 16 (vì x + y = 2) xy x y 1 x y 16 x y (3) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 Từ (2) (3) suy ra: x y x y b) 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com 2,0 14 B= 2015 với x số nguyên x 5 Xét x x B > 0,5 Xét x x Z nên x 0;1; 2 0,5 + Khi x B = - 403 + Khi x x 1 B = - 503,75 + Khi x x 2 B = - 2015 Vậy B = -2015 x = 2 0,5 0,5 A B F E 2,0 D a) b) K I Tứ giác ABCK có: AB // CK (AB // CD, K CD) AK // BC (gt) ABCK hình bình hành CK = AB DK = CD – CK = CD – AB Chứng minh tương tự, ta có DI = AB IC = CD – DI = CD – AB Từ (1) (2) suy ra: DK = IC C 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 (1) (2) 2,0 DEK có AB // DK, theo hệ định lý Ta-let ta có: AE AB = EK DK FIC có AB // IC, theo hệ định lý Ta-let ta có: AF AB = FC IC Mà: DK = IC (câu a) (5) AE AF = Từ (3), (4), (5) suy ra: EK FC AE AF = AKC có EF // KC (định lý Ta-lét đảo) EK FC EF // CD c) AB CK (vì AB = CK) = CD CD BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có: Ta có: ThuVienDeThi.com 0,5 (3) 0,5 (4) 0,5 0,5 2,0 0,25 (6) 0,25 15 CK BE = CD BD BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có: BE EF = BD DI Mà DI = AB BE EF Suy ra: = BD AB AB CK BE EF Từ (6), (7), (8) suy ra: = = = CD CD BD AB AB EF AB2 = CD EE = CD AB (7) 0,5 0,5 0,5 (8) ĐỀ SỐ Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức: B = x3 y z xyz ( x y)2 ( y z )2 ( x z )2 Câu (4,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + cho x2 + 8x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x3 - 2x2 + 7x - chia hết cho x2 + Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: 3 1 3 a) x x 1 x 4 4 x x b) x x 2 x 1 x 1 Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = x x x 14x 8x 3x 6x Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A M, D tương ứng trung điểm BC, AM H hình chiếu M CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh rằng: a) Tam giác MHD đồng dạng với tam giác CMD b) E trực tâm tam giác ABN b) B = ThuVienDeThi.com 16 Câu (2,0 im): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm đường chéo AC cho BNM 900 Gọi F điểm đối xứng A qua N Chøng minh r»ng FB AC HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Nội dung Câu Ta có: x3 - y3 - z3 - 3xyz = (x - y)3 + 3xy(x - y) - z3 - 3xyz = (x - y - z)3 + 3(x - y)z(x - y - z) + 3xy(x - y - z) = (x - y - z)[(x - y - z)2 + 3xz - 3yz + 3xy)] = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 -2xy - 2xz + 2yz + 3xz - 3yz + 3xy) = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) (x + y)2 + (y - z)2 + (x + z)2 = x2 + 2xy + y2 + y2 - 2yz + z2 + x2 + 2xz + z2 = 2(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) x y z x y2 z xy yz xz Vậy B = x y z xy yz xz = x yz Điểm 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 a) HS làm cách sau: Cách 1: Đặt f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + Ta có: A = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + – 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 - Cách f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + = x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + = x + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 Thực phép chia đa thức x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 cho x2 + 8x + 12 thương x2 + 8x + 10 số dư - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 - Cách Bậc đa thức thương nên đa thức dư có dạng ax + b Gọi đa thức thương Q(x), ta có: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + = (x2 + 8x + 12)Q(x) + ax + b Cho x = - 2, ta có: - 1.1.3.5 + = - 2a + b - 2a + b = -6 Cho x = - 6, ta có: - 5.(- 3)(-1) + = - 6a + b ThuVienDeThi.com 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 17 - 6a + b = - Ta có (-2a + b) – (- 6a + b) = a = Do b = - Đa thức dư - Cách f(x) = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = [(x2 + 8x + 12)- 5][(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – 15 + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 - b) Thực phép chia đa thức B = x3 - 2x2 + 7x - cho C = x2 + 3, ta được: Đa thức thương: x – 2; đa thức dư: 4x – Suy ra: x3 - 2x2 + 7x - = (x2 + 3)(x - 2) + 4x - Do đó: B (x2 + 3) (4 x 1) (3 x 3) (1) Vì x 4x 1 nên (1) (4x - 1)(4x + 1) (x2 + 3) (16x2 - 1) (x2 + 3) 16(x2 - 3) - 49 (x2 + 3) 49 (x2 + 3) Vì x2 + nên xảy hai trường hợp sau: x2 + = 49, khơng có gía trị thoả mãn x2 + = x2 = x = (thoả mãn (1)) x = -2 (loại không thoả mãn (1)) Vậy x = a) HS làm hai cách sau: Cách 1: Đặt a = x ; b = x a + b = x - - x = -(a + b) 4 Ta có (1) a3 + b3 - (a + b)3 = a3 + b3 - a3 - b3 - 3ab(a + b) = -3ab(a + b) = 1 4 x 3 a b x40 4 a b x 1 x 12 16 x x 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 2,0 0, 0,25 0,5 0,5 0,25 2,0 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 16 Tập nghiệm phương trình S = 12; ;1 Cách 2: 3 1 3 x x 1 x 4 4 1 1 1 x x x 32 + 27 + 4 4 4 ThuVienDeThi.com 18 3 3 3 + x x x 42 43 + – 3x + 3x2 – x3 = 4 4 4 x 27 27 27 x + 27 + x + x x + 36x – 64 + 64 16 64 + – 3x + 3x2 – x3 = 51 159 x - 36 = x + x3 16 16 - 9x3 - 51x2 + 636x – 576 = 3x3 + 17x2 – 212x + 192 = (x – 1)(x + 12)(3x – 16) = x 12 16 x x 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 16 Tập nghiệm phương trình S = 12; ;1 b) 3 x 3 x x x 2 x 1 x 1 HS làm hai cách sau: Cách 1: ĐKXĐ: x 1 3-x x2 + x 3x x Đặt a x , b = x + = x 1 x+1 x+1 x 1 (1) ab = 2 Ta có: 3x - x x +3 + = (2) a + b = x+1 x+1 (2) a = - b (3) Thay (3) (1) ta được: (3 - b)b = b2 – 3b + = (b – 1)(b – 2) = b = b = - Với b = 1, từ (3) ta có a = Suy ra: 3x x x2 + 1 x 1 x+1 Ta có phương trình: x2 – x + = 1 x , phương trình vơ nghiệm 2 - Với b = 2, từ (3) ta có a = Suy ra: 3x x x2 + 2 x 1 x+1 Ta có phương trình: x2 – 2x + = x 1 x (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm phương trình S = 1 Cách 2: ĐKXĐ: x 1 3 x 3x x x x x 3 x x x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 ThuVienDeThi.com 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 19 3x x x 2 3 x 1 2 0,25 0,5 3x3 + 9x – x4 – 3x2 = 2x2 + 4x + x4 – 3x3 + 5x2 – 5x + = (x – 1)2(x2 – x + 2) = x – = x2 – x + = 1) x – = x = (thoả mãn ĐKXĐ) 2) x2 – x + = 0,25 0,25 0,25 1 x , phương trình vơ nghiệm 2 Vậy tập nghiệm phương trình S = 1 a) HS làm hai cách sau: Cách 1: Áp dụng tính chất a a , dấu “=” xảy a , ta 2,0 có: A = 3x x x 3x + + x + - 4x + = A6 Dấu “=” xảy 3x + x + 1 x x 2 x 3 Vậy A = x Cách 2: Lập bảng xét dấu: x -2 -1/3 3x + + x+2 + + - Trong khoảng x < -2, ta có: A = - 3x – – x – – 4x + = - 8x Do x < - nên -8x > 16 A > 16 - Trong khoảng 2 x , ta có: A = - 3x – + x + – 4x + = -6x + Do 2 x nên 6x 12 6x+4 18 - Trong khoảng x > -1/3, ta có: A = 3x + + x + – 4x + = A = Như vậy, với x ta có A 6, dấu “=” xảy x Vậy A = x b) HS làm hai cách sau: 14x 8x 2x 4x 12x 12x Cách 1: Ta có: B = = 3x 6x 3x 6x 2( x 2x 3) 4x 4x 1 = 3( x 2x 3) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 0,5 ThuVienDeThi.com 20 ... + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + – 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x... + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = [(x2 + 8x + 12)- 5][(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – 15 + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) -... cho x2 + 8x + 12 - Cách f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + = x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + = x + 16x3 + 86 x2 + 176x + 114 Thực phép chia đa thức x4 + 16x3 + 86 x2 +
Ngày đăng: 31/03/2022, 14:24
Xem thêm: