Bộ đề thi học sinh giỏi Toán 8 lần 1( gồm 16 đề)46350

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LẦN 1( GỒM 16 ĐỀ) ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 3 b) x3  x  x  d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 Bài 2: (1,5 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 7  (6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1)  x   4  x y b) Tính giá trị biểu thức P = Biết x – y = x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0) x y c) Tìm số dư phép chia biểu thức x  x  x  x    2015 cho đa thức x  10 x  21 Bài (1,25 điểm): Cho biểu thức A  4xy y  x2    : 2  y  xy  x   y x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài : (2 điểm) Giải phương trình sau: a) x3 - 2x2 - 5x + = b)  x  x  c)    x  x  x  10 x  24 x  x  18 d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương Bài : (2,75 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S a) Chứng minh  AQR  APS tam giác cân b) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật c) Chứng minh P trực tâm  SQR d) Chứng minh MN đường trung trực AC e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Bài : (0,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = Chứng minh a3 + b3+ ab  HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI NỘI DUNG Bài a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 3 (2 điểm) 3 1  1  1  1  b) x3  x  x  =  x   3. x   3. x .12  13 =  x  1 2  2  2  2  2 c) x + 6x + = x + x + 5x + = x(x + 1) + 5(x + 1) = x  1x  5 d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015) Bài 7  2 (1,5 a) ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1)  x   = 12x – 18x + 14x - 21 – 12x + 7x – ThuVienDeThi.com THANG ĐIỂM 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm điểm) 77 = 4 2 b) x – 2y = xy  x2 – xy – 2y2 =  (x + y)(x – 2y) = 2y  y y   Vì x + y ≠ nên x – 2y =  x = 2y Khi A = y  y 3y c) P( x)  x  x  x  x    2015  x  10 x  16 x  10 x  24  2015 3x + 0,5 điểm 0,5 điểm Đặt t  x  10 x  21 (t  3; t  7) , biểu thức P(x) viết lại: P( x)  t  t  3  2015  t  2t  2000 Bài (1,25 điểm) Do chia t  2t  2000 cho t ta có số dư 2000 a) Điều kiện: x   y; y  b) A = 2x (x+y) c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị nguyên dương A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y =  2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1  2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + =  A + (x – y + 1)2 =  A = – (x – y + 1)2  (do (x – y + 1)  (với x ; y)  A   x  y   x   + A = 2x x  y      y  x   y;y   (x  y  1)2   + A = 2x x  y   Từ đó, cần cặp giá trị x  x   y;y   1 x  y, chẳng hạn:   y    + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài a) x3 - 2x2 - 5x + =  x3 - x2 - x2 + x - 6x + =  (x - 1)(x2 - x - 6) = (2 điểm)  x 1  (x - 1)(x + 2)(x - 3) =   x  2  x  b)  x  x   x   x   x    x  c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3     x  1x   x  x   x  3x   0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm   1   1             x 1 x    x  x    x  x   x  3 x  1x  3 x  1       x 1 x  3 x  1x  3 x  1x  3 x  1x  3  x  x   x x    0,25 điểm  x = x = (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm phương trình: S = {0;2} ThuVienDeThi.com Bài (2,75 điểm Bài (0,5 điểm d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương x2 - y2 + 2x - 4y - 10 =  (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – =  (x+1)2 - (y+2)2 =  (x – y - 1)(x + y + 3) = Vì x, y nguyên dương Nên x + y + > x – y – >  x + y + = x – y – =  x = 3; y = Phương trình có nghiệm dương (x , y) = (3 ; 1) Vẽ hình, cân đối đẹp a) a)  ADQ =  ABR chúng hai tam giác vng (2 góc có cạnh t.ư vng góc) DA = BD (cạnh hình vng) Suy AQ=AR, nên  AQR tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có:  ABP =  ADS AP =AS  APS tam giác cân A b) AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN  SP AM  RQ ฀ ฀  PAM Mặt khác : PAN = 450 nên góc MAN vng Vậy tứ giác AHMN có ba góc vng, nên hình chữ nhật c) Theo giả thiết: QA  RS, RC  SQ nên QA RC hai đờng cao  SQR Vậy P trực tâm  SQR d) Trong tam giác vuông cân AQR MA trung điểm nên AM = QR  MA = MC, nghĩa M cách A C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vuông SCP, ta có NA = NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC e) Vì ABCD hình vng nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đường trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 Chứng tỏ A  2010, dấu " =" xảy (x = ; y =  ) 3 Vậy A = 2010 (x = ; y =  ) 3 1 b) Ta có a3+ b3 + ab  (1)  a3+b3+ab -   (a+b)(a2+ b2-ab) + ab-  2  a2+b2-  (vì a + b =1)  2a2+2b2-1   2a2+2(1-a)2-1  (vì b = 1- a) 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm  2a2+2 - 4a + 2a2 - 1  4(a2- đpcm 1  a + )   4 a    a (2) 2  ĐỀ SỐ Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: a/ a2 – 7a + 12 b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz d/ (x2 - 8)2 + 36 ThuVienDeThi.com Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết: a/ x   12 ; c/ x   ; Bài 3: (2,0 điểm)  : x  3 ; 4 x  x  x  x 1    d/ 2011 2012 2013 2014 b/ a  4a  Tìm a  Z để A số nguyên a  2a  4a  b/ Tìm số tự nhiên n để n5 + chia hết cho n3 + Bài 4: (2,0 điểm) a 1 b  c  a/ Tìm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46   b/ Tìm số hữu tỉ a b biết: a + b = ab = a : b (b  0) Bài 5: (2,0 điểm) 1 a/ Cho a + b + c =   = Tính a  b  c a b c 1 1 b/ Cho a + b + c = 2014    a  b a  c b  c 2014 a b c Tính: S =   bc ac ab Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ 900 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ đường thẳng AB vẽ AF vng góc với AB AF = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ đường thẳng AC vẽ AH vng góc với AC AH = AC Gọi D trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho DI = DA Chứng minh rằng: a/ AI = FH ; b/ DA  FH Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự trung điểm AB, CD a/ Chứng minh đường thẳng AC, BD, EF cắt trung điểm đường b/ Gọi giao điểm AC với DE BF theo thứ tự M N Chứng minh EMFN hình bình hành Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: Ax   x  1x  3x  x    10 a/ Cho A = HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (4 điểm) a/ a2 – 7a + 12 = a2 – 3a – 4a + 12 = a(a – 3) – 4(a – 3) = (a – 3)(a – 4) b/ x + 2015x + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 + 2014x2 + 2014x + 2014 – x3 + = x2(x2 + x + 1) + 2014(x2 + x + 1)–(x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x4 + 2014 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x4– x + 2015) c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz = = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 2 d/ (x - 8) + 36 = (x + 6x+10)(x2 -6x +10) Bài 2: (4 điểm) 2 a/ x   12  x  16  x  24 Vậy x = -24 3 1 15  15  1 b/  : x  3  : x    x  :     x   Vậy x =  4 4  4 15 15 c/ x   Xét trường hợp: * Nếu x  5/3 ta có: 3x - =  3x =  x = (t/m ĐK trên) ThuVienDeThi.com * Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = -  3x =  x = 1/3 (t/m ĐK xét) Vậy x = ; x = 1/3 x  x  x  x 1  x    x    x    x 1       1    1    1    1 d/ 2011 2012 2013 2014  2011   2012   2013   2014  x  2015 x  2015 x  1015 x  2015     2011 2012 2013 2014 1    x  2015     0  2011 2012 2013 2014  1 1  x  2015   x  2015    0 2011 2012 2013 2014 Vậy x = - 2015 Bài 3: (2,0 điểm) a/ Rút gọn A = a2 Để A nguyên  nguyên    a = 1; a = a2 b/ n5 +  n3 +  n2 (n3 + 1) - (n2 - 1)  (n3 + 1)  (n + 1)(n - 1)  (n3 + 1)  (n + 1)(n - 1)  (n + 1)(n2 – n + 1)  (n - 1)  (n2 – n + 1) (vì n +  0) + Nếu n =  + Nếu n > (n - 1) < n(n - 1) + < n2 – n + nên xảy n -  n2 – n + Vậy giá trị n tìm n = Bài 4: (2,0 điểm) a/ Ta có: a  b  c  5a  3b  4c  20      10 12 24 a  b  c  5a  3b  4c     20     10  12  24 Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên: a  b  c  46  52      2 26 26 Suy a - = -  a = -3; b + = -  b = -11; c - = -12  c = - Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - b/ Ta có a + b = ab  a = ab - b = b(a-1) Do đó: a : b = b(a - 1) = a - nên a + b = a -  b = -1 a = -1(a - 1)  a = -a +  2a =  a = 0,5 Vậy a = 0,5 ; b = -1 Bài 5: (2,0 điểm) a/ Phân tích giả thiết để suy đfcm 1   Phần có a+b+c thay = a b c 1 1 b/ Ta có:    a  b a  c b  c 2011 a + b + c = 2014  a = 2014- (b + c); b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b) Do đó: 2014  b  c  2014  a  c  2014  a  b    S bc ac ab Phân tích ThuVienDeThi.com 2014 2014 2014 1  1  1 bc ac ab 1    2014    3 bc ac ab     2 = 2014 2014 Vậy S = - Câu 6: (3,0 điểm)  H K A F B D C a/ - Xét  BDI  CDA có: DB = DC (gt), I ฀  CDA ฀ BDI (đối đỉnh), DA = DI (gt)   BDI =  CDA (c.g.c)  BI = CA (2 cạnh tương ứng), ฀  CAD ฀ (2 góc tương ứng) Mặt khác góc vị trí so le nên suy BI//AC BID - Xét  ABI  FAH có: ฀ ฀ AB=AF (gt), ฀ABI  FAH (cùng bù với BAC ), BI = AH (cùng = AC)   ABI =  EAH (c.g.c)  AI = FH (2 cạnh tương ứng) b/ Gọi K giao điểm DA FH ta có: ฀  FAK ฀ ฀ BAI  900 , mà ฀AFH  BAI ฀ ฀ hay ฀AFK  BAI nên ฀AFH  FAK  900 ฀ - Xét  AFK có ฀AFH  FAK  900 ฀  FKA  900  AK  FK  AI  FH (vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH) Bài 7: (2 điểm) a/ E A // - Hình vẽ: - Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành M ABCD, ta có O trung điểm BD O - Chứng minh BEDF hình bình hành - Có O trung điểm BD nên O trung điểm N EF // // D - Vậy EF, BD, AC đồng quy O F b/ Xét  ABD có M trọng tâm, nên OM  OA - Xét  BCD có N trọng tâm, nên ON  OC - Mà OA = OC nên OM = ON - Tứ giác EMFN có OM = ON OE = OF nên hình bình hành Bài 8: (1 điểm) Ax   x  x  x  x  12  10 // B C Đặt x  x  = t ThuVienDeThi.com  At   t t    10  t  6t    t  3   At Min  đạt t = -3  Ax Min  đạt x  x  = -3  x2 - 7x + =  x =  13  13 ;x= 2 ĐỀ SỐ Bài (3,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1) 18x3 25 2) a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + Bài (2,5 điểm) x 1 x3     Cho biểu thức: A =  :  x 1 2x  2x   4x  1) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A xác định 2) Chứng minh giá trị biểu thức xác định không phụ thuộc vào giá trị biến x Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: ab + bc + ca = a  b  b  c  c  a  Tính giá trị biểu thức: A = 2 1  a 1  b 1  c  2 x  y  a  b 2) (1,5 điểm) Cho  2 x  y  a  b Chứng minh với số nguyên dương n ta có: xn + yn = an + bn Bài (3,0 điểm) 1) Tìm x: a) x   x   x   x b) (x2 – 5x + 6)  x = 2) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Tìm dư chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 - 2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2 Bài (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AD, BC Đường chéo AC cắt đường chéo BD O đoạn BE, DF P, Q 1) Chứng minh rằng: P trọng tâm tam giác ABD 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC 3) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự điểm đối xứng M qua tâm E, F Chứng minh I, K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI + AK không đổi M thuộc đường thẳng AB Bài Nội dung Câu 18x3 - 1   x = 2x  x   25 25    2   x  3x    3x    5  ThuVienDeThi.com Biểu điểm 0,5 0,5 a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 = a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3 = a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) + + 3a(a + b)2 + (a + b)3 = a(a + b) + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) – - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3 = a(a + b) + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3 = (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] = (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3] = (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) = (a + b)(a - b)3 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + = (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + = (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + = (x2 – 7x + 11)2 – + = (x2 – 7x + 11)2 0,5 0,5 1,0 7 49 x2 – 7x + 11 = x2 – 2x     11  2 2   7  7  5   =  x       x    =  x    2     2 = 2  7   7  Vậy A =  x    x       a) Giá trị biểu thức A xác định với điều kiện:  x2 1   x2     x 2     x   x  1  2 x    x  1  4 x    Với x  1 , ta có:  x 1 x   x2  A=      ( x  1)( x  1) 2( x  1) 2( x  1)  0,5 0,5  ( x  1)  ( x  3)( x  1) 4( x  1)( x  1) 2( x  1)( x  1) (6  x  x   x  x  3).2 =4 Vậy giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến Ta có: + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) Tương tự: + b2 = (b + a)(b + c) + c2 = (c + a)(c + b) = 1,0 0,5 0,5 0,5 a  b  (b  c) (c  a ) Do đó: A = 1 (a  b)(a  c)(b  a )(b  c)(c  a )(c  b) Từ x2 + y2 = a2 + b2  (x2 – a2) + (y2 – b2) =  (x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = Bởi vì: x + y = a + b  x – a = b – y, vào ta có: (b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) =  (b – y)[(x + a) – (y + b)] = ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 b  y   x  a  y  b  Nếu b – y =  y  b  x  a n  y n  a n  b n x  y  b  a x  b   Nếu x + a = y + b   x  y  a  b  y  a Do đó: xn + yn = bn + an = an + bn Vậy trường hợp, ta có: xn + yn = an + bn 0,25 0,25 0,25 0,25 x   x   x   x (1) 1.a) 1.b) Vế trái luôn không âm với x nên 4x   x  x  nên x + > 0, x + > 0, x + >  x   x  1, x   x  3, x   x  0,25 0,25 Do đó: (1)  x + + x + + x + = 4x  x = Vậy x = (x2 – 5x + 6)  x = (1) Điều kiện: – x   x  (*) (1)  x2 – 5x + =  x =  (x – 2)(x – 3) = – x =  x = x = x = Các giá trị x = 2, x = không thỏa mãn điều kiện (*) Vậy x = 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 =  y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 =  y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 =  (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) =  (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 =  y  2x    (vì (y + 2x – 3)2  3(x – 2)2  0) x    x   Vậy x = 2; y = -1  y  1 Đặt f(x) = x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 – Gọi thương chia f(x) cho x2 – Q(x), dư ax + b Ta có: f(x) = (x2 – 1).Q(x) + ax + b Đẳng thức với x nên: - Với x = ta được: f(1) = a + b  a + b = (1) - Với x = -1 ta được: f(-1) = -a + b  -a + b = (2) Từ (1) (2) suy ra: a = 1, b = Dư phải tìm x + Ta có: A = x2 + 3x + = x2 + 2x 3   4 = 2 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 3  x    2  0,25 3 3 7   Với x, ta có:  x      x     > 2 2 4   2 49 7  A    12,25 2 3 Dấu “=” xảy x    x   2 Vậy minA = 12,25 x = ThuVienDeThi.com 0,25 0,5 0,5 1 Vì ABCD hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt O trung điểm đường Ta có: AO, BE trung tuyến  ABD Mà: AO cắt BE P nên P trọng tâm  ABD 2 1 Theo câu 1) P là trọng tâm  ABD  AP  AO  AC  AC 3 Tương tự, ta có: CQ  AC Do đó: PQ = AC – AP – CQ = AC Vậy AP = PQ = QC Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM Ta có: AE = ED, EI = EM  AMDI hình bình hành  AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2) Từ (1), (2) (3) suy I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB  KMI có E, F trung điểm MI, MK  EF đường trung bình  KMI  EF= KI  KI = 2.EF Suy AI + AK = IK = 2.EF (4) BF // AE AF = AE  Tứ giác ABFE hình bình hành  EF = AB (5) Từ (4) (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi M di động cạnh CD 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ SỐ Cõu (3,0 im) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 12x3 + 16x2 - 5x - b) (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x = y = z a b2 c2 a c b b) Cho ba số a, b, c khác thoả mãn:      b c a c b a Chứng minh a = b = c Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: a) x   x  = (1) 2  x3  x   x   0 b)    6   x 4  x2  x2 Câu (4,0 điểm) ThuVienDeThi.com 10 1  1  a) Cho x, y > thoả mãn x + y = Chứng minh rằng:  x     y    x  y  2015 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = , với x số nguyên x 3 Câu (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F cắt CD I Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF Nội dung Câu a) 12x3 + 16x2 - 5x - = 12x3- 6x2 + 22x2 - 11x + 6x - = 6x2(2x -1) + 11x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1)(6x2 + 11x + 3) = (2x - 1)(6x2 + 9x + 2x + 3) = (2x - 1)[3x(2x + 3) + (2x + 3)] = (2x - 1)(2x + 3)(3x + 1) 0,25 0,5 A = (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Đặt x2 - x + = y, ta cã A = 4x2 - 5xy + y2 = (4x - y)(x - y) = (4x - x2 + x - 1)(x -x2 + x - 1) = (x2 - 5x + 1)(x2 - 2x + 1) = (x - 1)2(x2 - 5x + 1)   21    21  = (x - 1)2  x    x      0,5 0,25 0,25 b) a) 0,25 0,5 1,5 0,5 1,0 x2 Điểm 1,5 y2 z2 Ta có: + + = xy + yz + zx  2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx  x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 =  (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (1) 2 Ta có : (x – y)  0, (y – z)  , (z – x)2  x  y   Do đó: (1)   y  z  z  x   x yz b) Có thể chứng minh hai cách sau: a b2 c2 a c b Cách Ta có:      b c a c b a 4  a c + b a + c b = abc(a2c + c2a + b2c) Đặt x = a2c, y = b2a, z = c2b Ta được: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx Áp dụng kết câu a) ta được: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 =  x=y=z  a2c = b2a = c2b  ac = b2; bc = a2; ab = c2  a = b = c (đpcm) 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 ThuVienDeThi.com 11 a b c , y = , z = Khi xyz = b c a 2 a b c a c b Từ + + = + + suy ra: b c a c b a 1 xy + yz + zx + + = = xy + yz + zx x2 + y2 + z2 = x y z xyz Áp dụng kết câu a) ta được: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 =  x=y=z a b c  = = b c a Cách 2: Đặt x = 3  a   b   c  abc    =  =  = 1  b   c   a  abc a b c  = = =1 b c a  a = b = c (đpcm) a) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 2x 1  2x  = Có thể giải cách sau: Cách 1: Ta có: (1)  x    x  x    x 0,5  2 x  15  x   (áp dụng tính chất: a  b  a  b  ab  )  x 2 0,5 0,5 0,5 x 2 Cách 2: Ta có: (1)  x    x  x    x Vậy phương trình có nghiệm 2 x   (áp dụng tính chất a  b  a  b  a, b  )  5  x   x 2 Vậy phương trình có nghiệm  x  2 Cách 3: Ta có: (1)  x   x   (2 x  1)  (2 x  5) 2 x   (áp dụng tính chất a  b  a  b  a  0; b  )  2 x    x 2 Vậy phương trình có nghiệm  x  2 Cách 4: Lập bảng xét dấu: x 1/2 5/2 2x – + + 2x – + - Trong khoảng x < , ta có: (1)  -2x + – 2x + = ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, 0,25 0,25 0,25 12  -4x = -2 x 0,25 0,25 (không thuộc khoảng xét) - Trong khoảng  x  , ta có: 2 (1)  2x – – 2x + =  0x  , phương trình nghiệm với  x  2 - Trong khoảng x > , ta có: (1)  2x – + 2x – =  x  10 x (không thuộc khoảng xét) Vậy phương trình có nghiệm  x  2 Cách 5: Ta có: x  khoảng cách từ điểm 2x đến điểm 1; x  khoảng cách từ điểm 2x đến điểm  x   x  tổng khoảng cách từ điểm 2x đến điểm điểm Tổng điểm 2x điểm trùng với điểm 1, trùng với điểm 5 Khi đó:  x    x  2 Vậy phương trình có nghiệm  x  2 b) 2  x3  x   x   0    6   x 4  x2  x2 Có thể giải cách sau: Cách 1: ĐKXĐ: x  2 x3 x 3 x  x  x2   a;  b , suy : ab =  Đặt , x2 x2 x  x  x2  ta có: a2 + 6b2 – 7ab =  (a – b)(a – 6b) =  a = b a = 6b x 3 x 3  - Với a = b, ta có: x2 x2  (x + 3)(x + 2) = (x – 2)(x – 3)  x2 + 5x + = x2 – 5x +  10x =  x = (thoả mãn ĐKXĐ) ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 13 x3 x 3  x2 x2  (x + 3)(x + 2) = 6(x – 2)(x – 3)  x2 + 5x + = 6x2 – 30x + 36  5x2 - 35x + 30 =  x2 – 7x + =  (x – 1)(x – 6) =  x = (thoả mãn ĐKXĐ) x = (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm phương trình S = 0 ;1; 6 - Với a = 6b, ta có: 0,25 0,25  x3  x   x   0 Cách 2:  (1)   6   x 4  x2  x2 ĐKXĐ: x  2 (1)  (x + 3)2(x + 2)2 + 6(x – 3)2(x – 2)2 – 7(x2 – 9)(x2 – 4) =  (x2 + 6x + 9)(x2 + 4x + 4) + (6x2 – 36x + 54)(x2 – 4x + 4) – - (7x2 – 63)(x2 – 4) =  x4 + 4x3 + 4x2 + 6x3 + 24x2 + 24x + 9x2 + 36x + 36 + 6x4 – - 24x3 + 24x2 – 36x3 + 144x2 – 144x + 54x2 – 216x + 216 - 7x4 + 28x2 + 63x2 - 252 =  50x3 - 350x2 + 300x =  x3 – 7x2 + 6x =  x(x2 – 7x + 6) =  x(x – 1)(x – 6) =  x = x = x = Các giá trị thoả mãn ĐKXĐ Vậy tập nghiệm phương trình S = 0 ;1; 6 0,25 0,25 a) 2,0 2 (a + b)2 Chứng minh: (1)  2a2 + 2b2  a2 + 2ab + b2  a2 – 2ab + b2   (a – b)2  Áp dụng tốn phụ (1), ta có: Bài toán phụ: Chứng minh a2 + b2  1  1 1 1  x   y   x  y  x  y 2 x y  2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) 0,25 2 (2)  1  x y   Mà  x   y           (vì x + y = 2) x y  xy   xy   (x + y) Với x, y > 0, ta có < xy  (vì (x – y)   (x + y)2  4xy)     xy ( x  y ) xy ( x  y ) 2      2   2   2    16 (vì x + y = 2) xy   x  y     1   x   y    16 x y  (3) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1  1  Từ (2) (3) suy ra:  x     y    x  y  b) 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com 2,0 14 B= 2015 với x số nguyên x 5 Xét x   x    B > 0,5 Xét x  x  Z nên x  0;1; 2 0,5 + Khi x  B = - 403 + Khi x   x  1 B = - 503,75 + Khi x   x  2 B = - 2015 Vậy B = -2015  x = 2 0,5 0,5 A B F E 2,0 D a) b) K I Tứ giác ABCK có: AB // CK (AB // CD, K  CD) AK // BC (gt)  ABCK hình bình hành  CK = AB  DK = CD – CK = CD – AB Chứng minh tương tự, ta có DI = AB  IC = CD – DI = CD – AB Từ (1) (2) suy ra: DK = IC C 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 (1) (2) 2,0  DEK có AB // DK, theo hệ định lý Ta-let ta có: AE AB = EK DK  FIC có AB // IC, theo hệ định lý Ta-let ta có: AF AB = FC IC Mà: DK = IC (câu a) (5) AE AF = Từ (3), (4), (5) suy ra: EK FC AE AF =  AKC có  EF // KC (định lý Ta-lét đảo) EK FC  EF // CD c) AB CK (vì AB = CK) = CD CD  BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có: Ta có: ThuVienDeThi.com 0,5 (3) 0,5 (4) 0,5 0,5 2,0 0,25 (6) 0,25 15 CK BE = CD BD  BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có: BE EF = BD DI Mà DI = AB BE EF Suy ra: = BD AB AB CK BE EF Từ (6), (7), (8) suy ra: = = = CD CD BD AB AB EF   AB2 = CD EE = CD AB (7) 0,5 0,5 0,5 (8) ĐỀ SỐ Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức: B = x3  y  z  xyz ( x  y)2  ( y  z )2  ( x  z )2 Câu (4,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + cho x2 + 8x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x3 - 2x2 + 7x - chia hết cho x2 + Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: 3 1  3  a)  x     x    1  x   4  4   x  x    b) x   x  2 x 1   x 1   Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = x   x   x  14x  8x  3x  6x  Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A M, D tương ứng trung điểm BC, AM H hình chiếu M CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh rằng: a) Tam giác MHD đồng dạng với tam giác CMD b) E trực tâm tam giác ABN b) B = ThuVienDeThi.com 16 Câu (2,0 im): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm đường chéo AC cho BNM 900 Gọi F điểm đối xứng A qua N Chøng minh r»ng FB  AC HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Nội dung Câu Ta có: x3 - y3 - z3 - 3xyz = (x - y)3 + 3xy(x - y) - z3 - 3xyz = (x - y - z)3 + 3(x - y)z(x - y - z) + 3xy(x - y - z) = (x - y - z)[(x - y - z)2 + 3xz - 3yz + 3xy)] = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 -2xy - 2xz + 2yz + 3xz - 3yz + 3xy) = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) (x + y)2 + (y - z)2 + (x + z)2 = x2 + 2xy + y2 + y2 - 2yz + z2 + x2 + 2xz + z2 = 2(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) x  y  z x  y2  z  xy  yz  xz  Vậy B = x  y  z  xy  yz  xz  = x yz Điểm 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 a) HS làm cách sau: Cách 1: Đặt f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + Ta có: A = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + – 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 - Cách f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + = x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + = x + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 Thực phép chia đa thức x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 cho x2 + 8x + 12 thương x2 + 8x + 10 số dư - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 - Cách Bậc đa thức thương nên đa thức dư có dạng ax + b Gọi đa thức thương Q(x), ta có: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + = (x2 + 8x + 12)Q(x) + ax + b Cho x = - 2, ta có: - 1.1.3.5 + = - 2a + b  - 2a + b = -6 Cho x = - 6, ta có: - 5.(- 3)(-1) + = - 6a + b ThuVienDeThi.com 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 17  - 6a + b = - Ta có (-2a + b) – (- 6a + b) =  a = Do b = - Đa thức dư - Cách f(x) = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = [(x2 + 8x + 12)- 5][(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – 15 + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 - b) Thực phép chia đa thức B = x3 - 2x2 + 7x - cho C = x2 + 3, ta được: Đa thức thương: x – 2; đa thức dư: 4x – Suy ra: x3 - 2x2 + 7x - = (x2 + 3)(x - 2) + 4x - Do đó: B  (x2 + 3)  (4 x  1)  (3 x  3) (1) Vì x  4x  1 nên (1)  (4x - 1)(4x + 1)  (x2 + 3)  (16x2 - 1)  (x2 + 3)  16(x2 - 3) - 49  (x2 + 3)  49  (x2 + 3) Vì x2 +  nên xảy hai trường hợp sau:  x2 + = 49, khơng có gía trị thoả mãn  x2 + =  x2 =  x = (thoả mãn (1)) x = -2 (loại không thoả mãn (1)) Vậy x = a) HS làm hai cách sau: Cách 1: Đặt a = x  ; b = x   a + b = x -  - x = -(a + b) 4 Ta có (1)  a3 + b3 - (a + b)3 =  a3 + b3 - a3 - b3 - 3ab(a + b) =  -3ab(a + b) = 1 4 x 3  a     b    x40 4  a  b   x 1     x  12  16  x   x   0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 2,0 0, 0,25 0,5 0,5 0,25 2,0 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 16   Tập nghiệm phương trình S = 12; ;1   Cách 2: 3 1  3   x     x    1  x   4  4  1  1  1    x    x    x  32 + 27 + 4  4  4  ThuVienDeThi.com 18 3  3  3  +  x    x    x  42  43 + – 3x + 3x2 – x3 = 4  4  4  x 27 27 27 x + 27 +   x + x x + 36x – 64 + 64 16 64 + – 3x + 3x2 – x3 = 51 159 x - 36 = x +   x3 16 16  - 9x3 - 51x2 + 636x – 576 =  3x3 + 17x2 – 212x + 192 =  (x – 1)(x + 12)(3x – 16) =  x  12  16  x   x   0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 16   Tập nghiệm phương trình S = 12; ;1   b) 3 x   3 x  x  x  2 x 1   x 1   HS làm hai cách sau: Cách 1: ĐKXĐ: x  1 3-x x2 +   x  3x  x Đặt a  x  ,  b = x + =  x 1 x+1 x+1  x 1  (1) ab =  2 Ta có:  3x - x x +3 + = (2) a + b =  x+1 x+1 (2)  a = - b (3) Thay (3) (1) ta được: (3 - b)b =  b2 – 3b + =  (b – 1)(b – 2) =  b = b = - Với b = 1, từ (3) ta có a = Suy ra: 3x  x x2 +  1 x 1 x+1 Ta có phương trình: x2 – x + = 1    x     , phương trình vơ nghiệm 2  - Với b = 2, từ (3) ta có a = Suy ra: 3x  x x2 +  2 x 1 x+1 Ta có phương trình: x2 – 2x + =  x  1   x  (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm phương trình S = 1  Cách 2: ĐKXĐ: x  1 3 x  3x  x x  x   x  3 x  x x    2   x 1  x 1 x 1  x 1   ThuVienDeThi.com 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 19 3x  x x  2  3 x  1 2 0,25 0,5  3x3 + 9x – x4 – 3x2 = 2x2 + 4x +  x4 – 3x3 + 5x2 – 5x + =  (x – 1)2(x2 – x + 2) =  x – = x2 – x + = 1) x – =  x = (thoả mãn ĐKXĐ) 2) x2 – x + = 0,25 0,25 0,25 1    x     , phương trình vơ nghiệm 2  Vậy tập nghiệm phương trình S = 1  a) HS làm hai cách sau: Cách 1: Áp dụng tính chất a  a , dấu “=” xảy a  , ta 2,0 có: A = 3x   x   x   3x + + x + - 4x + =  A6 Dấu “=” xảy  3x +  x +  1  x   x  2  x   3 Vậy A =  x   Cách 2: Lập bảng xét dấu: x -2 -1/3 3x + + x+2 + + - Trong khoảng x < -2, ta có: A = - 3x – – x – – 4x + = - 8x Do x < - nên -8x > 16  A > 16 - Trong khoảng 2  x   , ta có: A = - 3x – + x + – 4x + = -6x + Do 2  x   nên  6x  12   6x+4  18 - Trong khoảng x > -1/3, ta có: A = 3x + + x + – 4x + =  A = Như vậy, với x ta có A  6, dấu “=” xảy x   Vậy A =  x   b) HS làm hai cách sau: 14x  8x  2x  4x   12x  12x  Cách 1: Ta có: B = = 3x  6x  3x  6x  2( x  2x  3)  4x  4x  1 = 3( x  2x  3) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 0,5 ThuVienDeThi.com 20 ... + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + – 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x... + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = [(x2 + 8x + 12)- 5][(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – 15 + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) -... cho x2 + 8x + 12 - Cách f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + = x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + = x + 16x3 + 86 x2 + 176x + 114 Thực phép chia đa thức x4 + 16x3 + 86 x2 +