Đề thi học sinh giỏi lớp 8 huyện Hạ Hòa năm học: 2014 – 2015 môn: Toán28239

PHỊNG GD&ĐT HẠ HỊA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2014 – 2015 Mơn: Tốn Ngày thi: 10 tháng năm 2015 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ( Đề thi có trang) Đề thức Câu (3,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P  2a  7a 2b  7ab  2b3 Câu (5,0 điểm) x 1  4030  x 1   :  x  2x x  2x x  4x  x 1) Cho biểu thức: R   Tìm x để biểu thức xác định, rút gọn biểu thức 2) Giải phương trình sau: ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  840 Câu (4,0 điểm) 1) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n3  n chia hết cho 24 2) Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Câu (7,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vng A D Biết CD=2AB=2AD BC  a a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a b) Gọi I trung điểm BC, H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC ฀  450 Chứng minh HDI 2) Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c Độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C la , lb , lc Chứng minh rằng: 1 1 1      la lb lc a b c Câu (1,0 điểm) Cho hai số không âm a b thoả mãn a  b  Tìm giá trị lớn biểu thức: S  a b  a 1 b 1 -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Ngày thi: 10 tháng năm 2015 Hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải Ta có P  a  b  7ab a  b  3  a  b a  ab  b  ab a  b   a  b 2a  2b  5ab  (3.0 điểm) (3.0 điểm) 0,5 0.5  a  b 2a  4ab  2b  ab  0.5  a  b   2a a  2b   b b  2a  0.5  a  b 2a  b a  2b  0.5 Kết luận P  a  b 2a  b a  2b  Câu 0.5 (5,0 điểm)  x 1  x x 1     x x   x x   x x   4030 ĐK: x x   0.5 x    x  2 0.5 Ta có R   (2.5 điểm) Khi đó:  x 1 x 1      4030  x  x  x   x  1x    x  1x     4030 x2  2 x     4030 x  2015 x  Vậy R xác định  R  2015  x  2 R ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  840  x  1x  x  x  3  840  x  x  x  x   840 2 (2,5 điểm) 0.5 0.5 0.5 0.5 Đặt x  x   y (y  0) phương trình trở thành  y  1 y  1  840 0.5  y   840  y  841  y  29 0.5 Với y = 29 ta có: x  x   29 0.5 ThuVienDeThi.com x  x   29  x  x  24   x  3x  x  24   x( x  3)  8( x  3)   ( x  3)( x  8)  0.5 x    x  8 KL: Phương trình có tập nghiệm S  3, 8 Câu (4 điểm) Ta có n  n  n n  1n  1 0.5 Vì n  1; n; n  ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số (2 điểm) chia hết cho Do n3  n  (1) 0.5 Vì n số tự nhiên lẻ nên n  n  hai số tự nhiên chẵn liên tiếp Do n  1n  18  n3  n 8 (2) 0.5 Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với (1), (2) suy n3  n  24 (đpcm) 0.5 + Giả sử n  4n  2013  m , m  ฀  + Suy n    2009  m  m  n    2009 2 0.5  m  n  m  n    2009 + Mặt khác 2009  2009.1  287.7  49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau xảy ra: (2 điểm) m  n   2009 m  1005  m  n   n  1002  TH1:  m  n   287 m  147  m  n   n  138 m  n   49 m  45  TH3:  m  n   41 n   TH1:   Vậy số cần tìm là: 1002; 138; 0.5 0.5 0.5 ThuVienDeThi.com (6 điểm) Câu B A H I D 0.5 C E a) + Gọi E trung điểm CD, ABED hình vng BEC tam giác vng cân + Từ suy AB  AD  a; BC  2a (4,5 điểm) + Diện tích hình thang ABCD S    AB  CD  AD a  2a .a  3a 2 0.5 0.5 0.5 0.5 b) + ฀ADH  ฀ACD (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vng góc) 0.5 + Xét hai tam giác ADC IBD vuông D B có AD IB   , hai tam giác ADC IBD đồng dạng DC BD ฀ Suy ฀ACD  BDI (2) ฀ ฀ + Từ (1) (2), suy ADH  BDI ฀ ฀  BDH ฀ ฀ + Mà ฀ADH  BDH  450  BDI  450 hay HDI  450 0.5 0.5 0.5 ThuVienDeThi.com M A B 0.5 C D + Gọi AD đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M ฀ Ta có BAD  ฀AMC (hai góc vị trí đồng vị) ฀ DAC  ฀ACM (hai góc vị trí so le trong) (2,5 điểm) ฀ ฀ Mà BAD  DAC nên ฀AMC  ฀ACM hay tam giác ACM cân A, suy AM  AC  b + Do AD//CM nên AD BA c   CM BM b  c + Mà CM  AM  AC  2b  0.5 0.5 11 1 c AD       (1) b  c 2b la  b c  0.5 + Tương tự ta có 11 1 11 1     (2);     (3) lb  c a  la  b c  0.5 Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm 1điểm Câu + Chứng minh với hai số dương x, y 1   x y x y       2 a 1 b 1  a 1 b 1  + Do S    + Kết luận: GTLN S 0.25 0.5 , đạt a  b  0.25 Điểm toàn (20 điểm) Lưu ý chấm bài: Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng ThuVienDeThi.com ... 1  84 0 0.5  y   84 0  y  84 1  y  29 0.5 Với y = 29 ta có: x  x   29 0.5 ThuVienDeThi.com x  x   29  x  x  24   x  3x  x  24   x( x  3)  8( x  3)   ( x  3)( x  8) ... 2 x     4030 x  2015 x  Vậy R xác định  R  2015  x  2 R ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  84 0  x  1x  x  x  3  84 0  x  x  x  x   84 0 2 (2,5 điểm) 0.5 0.5...HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Ngày thi: 10 tháng năm 2015 Hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải Ta có P  a  b  7ab a  b  3 