Đề thi học sinh giỏi lớp 8 tham khảo

ĐỀ Bài 1:( 3,5 điểm)  x2   10 − x  + + Cho biểu thức M =   : x − + x +     x − x − 3x x +    a) Rút gọn M b)Tính giá trị M x = Bài 2:(3điểm) a) Cho đa thức f(n) = n5 - 5n3 + 4n Chứng minh f(n) M 120 với giá trị n ∈ N b) Tìm cặp số (x,y) thoả mãn phương trình 2x2 + y2 + 2xy – 2x + 2y + = Bài : (4 điểm) a)Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n x3 − 3xy = 10 vµ y − 3x y = 30 Tính giá trị biểu thức P = x + y b) Chøng minh r»ng nÕu 1 + + = vµ a + b + c = abc a b c 1 + + =2 a b c Bài (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P a) Tứ giác AMDB hình gì? b) Gọi E F hình chiếu M lên AD, AB Chứng minh EF // AC vả ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEFN khơng phụ thuộc vào vị trí P d) Giả sử CP ⊥ BD CP = 2,4 cm, PD = Tính cạnh hình chữ nhật PB 16 1 Bài 5(2,5 điểm) : Chứng minh x > 0, y > x + y ≥ x + y Áp dụng với a, b, c cạnh tam giác p nửa chu vi CMR 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) p−a p−b p−c a b c HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Bài 1: ĐKXĐ x ≠ 0, x ≠ ±2 ( 0,5 điểm) a) Rút gọn M  x2   10 − x  + + M =  : x − + x +     x − x − 3x x +     x2  − + = :  x ( x − 2)( x + 2) 3( x − 2) x +  x + −6 x+2 M = ( x − 2)( x + 2) = 2− x ( 1,5 điểm) b)Tính giá trị M x = x = 1 ⇔x= x = 2 (0,5 điểm) 1 Với x = ta có : M = − = = 2 (0,5 điểm) 1 1=5= Với x = - ta có : M = + 2 (0,5 điểm) Bài a) Phân tích f(n) = (n – 2)(n – 1)n(n +1)(n + 2) (0,5 điểm) Lập luận f(n) M 2.3.4.5 => f(n) M 120 ( điểm) b) Tách 2x2 + y2 + 2xy – 2x + 2y + = (x + y +1)2 + (x – 2)2 = (0,75 điểm) x =  y = −3 Lập luận  (0,75 điểm) Bài 3: a) Ta có : x3 − 3xy = 10 => ( x3 − 3xy ) = 100 => x − x y + x y = 100 y − x y = 30 => Suy ra: (y − 3x y ) x + x y + 3x y + y = 1000 = 900 => y − x y + x y = 900 => ( x + y ) = 1000 ⇒ x + y = 10 (2 điểm ) a b c b) Ta có : ( + + )2 = ⇔ 1 1 1 + + = − 2.( + + ) a b c ab bc ca ⇔ 1 a+b+c + + = − 2 a b c abc Vì a+b+c = abc ta : 1 + + =2 a b c2 ( điểm) Bài Vẽ hình đến câu a (0,5 điểm) a) Gọi O giao điểm AC BD D C Chỉ PO đường trung bình ∆ ACM (0,5 điểm) => PO // MA P M => AMDB hình thang ( 0,5 điểm) · · b) Chứng minh IEA = OAB (0,5 điểm) F I E A O B => EF // AC (0,5 điểm) Chỉ IP // AC => E, F, P thẳng hàng (1 điểm) c) Chứng minh ∆ MAF ∆ BAD đồng dạng => tỉ số không đổi d) Nếu (1,5 điểm) PD PD PB = = => =k>0 PB 16 16 => PD = 9k, PB = 16k (0,5 điểm) Từ CP ⊥ BD Chứng minh ∆ CPD ∆ DCP đồng dạng Lập tỉ số suy CP2 = PB.PD => k = 0,2 Tính PD = 1,8 PD = 3,2 (0,75 điểm) Tính BC = cm CD = cm (0,75 điểm) Bài 5: Chứng minh Bất đẳng thức thứ (0,75 điểm) Vì p nửa chu vi nên p – a > 0, p – b > 0, p – c > (0,5 điểm) Áp dụng BĐT thứ ta có 1 + ≥ = p −a p −b p −a + p −b c (0,25 điểm) 1 + ≥ = p −b p −c p −b + p −c a (0,25 điểm) 1 + ≥ = p−c p−a p−c+ p−a b (0,25 điểm) Cộng vế ta có điều phải chứng minh (0,5 điểm) ĐỀ  x2   10 − x  x−2+  + + Bài 1:(4 ®iĨm) Cho biểu thức M =   : x+2  x − x − 3x x +      a Rỳt gn M b.Tìm x nguyên để M đạt giá lín nhÊt Bài 2:(3 ®iĨm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a Phân tích biểu thức A thành nhân tử b Chứng minh: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Bài 3:(3 ®iĨm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b Cho số x,y,z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1: x + y + z = x + y + z = Tính tổng: S = x 2009 +y 2010 + z 2011 Bài 4:(3 điểm) a Giải phơng trình: 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b Giải phơng trình với nghiệm số nguyên: x( x + x + 1) = 4y( y + 1) Bài 5:(7 ®iĨm) Cho tam giác ABC nhọn có đờng cao AD,BE,CF cắt t¹i H a TÝnh tỉng: HD HE HF + + AD BE CF b Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC c Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF d Trên đoạn HB,HC lấy điểm M,N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đờng trung trực đoạn MN qua điểm cố định .Hết Hớng dẫn chấm môn toán Bài Nội dung Điể m a x2   x2  + + − + =     x − x − x x +   x ( x − 2)( x + 2) 3( x − 2) x +  = 0,5 x − 2( x + 2) + ( x − 2) ( x + 2)( x − 2) −6 = ( x + 2)( x − 2)  10 − x  ( x + 2)( x − 2) + (10 − x ) x−2+ =  x+2  x+2   = ⇒ M= x+2 0,5 0,5 −6 x+2 = ( x − 2)( x + 2) 2− x 0,5 b + NÕu x 〉 M nên M không đạt GTLN 0,5 + VËy x 〈 2, ®ã M cã Tử Mẫu số dơng, nên M muốn đạt GTLN Mẫu (2 x) phải GTNN, Mà (2 x) số nguyên dơng ⇒ – x = ⇒ x = a 0,5 0,5 Vậy để M đạt GTLN giá trị nguyên x là: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) 0,5 0,5 2 2 =  (b − c ) − a   (b + c ) − a      b = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT tam giác) 0,5 0,5 0,5 T¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0 a 0,5 Vậy A< A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 0,5 0,5 Do (x-y)2 ≥ ; (y - 2)2 ≥ Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 ≥ 2010 Dấu ''='' x¶y ⇔ x – y = y – = ⇔ x = y = Vậy GTNN A 2010 t¹i x = y =2 Ta có: (x + y + z) = x + y + z + 3(x + y)(y + z)(z + x) 0,5 kết hợp điều kiện cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = b 0,5 0,5 ⇒ Một thừa số tích (x + y)(y + z)(z + x) phải Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = ⇒ z = 1, l¹i kết hợp với đ/k: x + y + z = ⇒ x = y = 0,5 Vậy số x,y,z phải có số số 1, Nên tổng S ln có giá trị a 0,5 Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với §KX§: { x ≠ −4; −5; −6; −7} ) 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 ⇒( 1 1 1 − − − )+( )+( )= x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 1 = ⇒ (x + 4)(x +7) = 54 ⇒ − x+4 x+7 18 ⇒ (x + 13)(x – 2) = ⇒ x = -13 hc x = (Thỏa mÃn ĐKXĐ) Vậy nghiệm phơng trình là: S = { −13; 2} 0,5 0,5 0,5 0,5 b + Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x + 1) = (2y + 1) 0,25 + Ta chøng minh (x + 1) vµ (x + 1) nguyên tố ! Vì d = UCLN (x+1, x + 1) d phải số lẻ (vì 2y+1 lẻ) x + x Md x + 1Md    x + 1Md ⇒  ⇒  x + 1Md Md mà d lẻ nên d =  x − 1Md  x + 1Md  x + 1Md  0,25 + Nªn muèn (x + 1)(x + 1) số phơng Thì (x+1) (x + 1) phải số chÝnh ph¬ng  x2 + = k k =  k = −1  ⇒ (k + x)(k x) = Đặt:  x +1 = t x = x =  + Víi x = th× (2y + 1) = ⇒ y = hc y = -1.(Tháa m·n pt) 0,25 VËy nghiƯm cđa ph¬ng trình là: (x;y) = { (0;0), (0; 1)} 0,25 A E F H M I B K N D C O a Tríc hÕt chøng minh: 0,5 S ( HBC ) HD = S ( ABC ) AD 0,5 Tơng tự có: Nên HE S ( HCA) HF S ( HAB ) = = ; BE S ( ABC ) CF S ( ABC ) S ( HBC ) + S ( HCA) + S ( HAB ) HD HE HF + + = S ( ABC ) AD BE CF HD HE HF + + =1 AD BE CF Tríc hªt chøng minh ∆ BDH : ∆ BEC ⇒ b ⇒ BH.BE = BD.BC 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vµ ∆ CDH : ∆ CFB ⇒ CH.CF = CD.CB c 0,5 ⇒ BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (®pcm) Tríc hÕt chøng minh: ∆ AEF : ∆ ABC ⇒ · AEF = · ABC 0,5 · · Vµ ∆ CDE : ∆ CAB ⇒ CED = CBA 0,5 · ⇒ · AEF = CED mà EB AC nên EB phân giác góc DEF Tơng tự: DA, FC phân giác góc EDF DFE 0,5 Vậy H giao điểm đờng phân giác tam giác DEF nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) d 0,5 Gọi O giao điểm đờng trung trực hai đoạn MN à à HC, ta cã ∆ OMH = ∆ ONC (c.c.c) ⇒ OHM = OCN (1) 0,25 à à Mặt khác ta có OCH cân O nên: OHC = OCH (2) · · Tõ (1) vµ (2) ta cã: OHC = OHB HO phân giác góc BHC 0,25 Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC phân giác góc BHC nên O điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O O,25 0,25 Chó ý: + Híng dÉn chÊm nµy cã trang, chấm theo thang điểm 20 + Điểm toàn tổng điểm thành phần không làm tròn + Bài số phải có hình vẽ chấm + Mọi cách làm khác cho điểm tối đa tơng ứng với nội dung ĐỀ Bài (4đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2 b) x2 + 7x + 10 Bài (4đ) Cho x2 − x − 2x − A= + − x − x − x + 10 x − a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên Bài (4đ) Giải phương trình a) x + = 3x − b) x2 – = (2x + 3)(x + 5) + 23 Bài (6đ) Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF gặp H Đường thẳng vuông góc với AB B đường thẳng vng góc với AC C cắt G a) Chứng minh GH qua trung điểm M BC b) ∆ABC ~ ∆AEF ˆ ˆ c) BDF = CDE d) H cách cạnh tam giác ∆DEF Bài (1đ) Cho ba số thực x, y z cho x + y + z = Chứng minh 10 b/ Cho tam gi¸c ABC cã góc A gấp đôi góc B, góc B gấp đôi gãc C Chøng minh r»ng: 1 + = BC AC AB Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có đờng phân giác AD Hình vu«ng MNPH cã M ∈ AB, N ∈ AC, P Q BC BN cắt MQ E, CM cắt NP F Chứng minh rằng: a/ EN AC = EB AB b/ AE=AF Bài (1 điểm) Cho a, b, c số thỏa mÃn ( a + 1) + ( b + 2) + ( c + 3) 2010 Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A = ab + b( c − 1) + c( a − 2) Hd chấm toán Bài (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a/ x + x + HD: thêm bớt x Đáp sè: (x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) ( a + b + c ) − a − b − c = ( a + b ) + c + 3c( a + b )( a + b + c ) − a − b − c b/ = a + b + 3ab( a + b ) + c + 3c( a + b )( a + b + c ) − a − b − c = 3( a + b ) ( ab + ac + bc + c ) = 3( a + b )( b + c )( c + a ) Bµi (2 ®iĨm)  x − 3x   − x x−3 x−2 :  − − Cho P = 1 −  x −9   x + x −6 2− x x +3     a/ Rót gän P KQ: P= 2−x §K: x ≠ 2, x ≠ 3, x ( ) b/ Tìm giá trị nguyên x để P x + có giá trị nguyên ( ) P x + = ( ) − x2 +1 x2 − + 5   = −3 = −3 x + +  x−2 x−2 x −2  nguyªn x-2 ớc 15 28 x= có x= thỏa mÃn ĐK Bài (2 điểm) a/ Giải phơng trình: ( x x ) + 2.( x − ) = 43 (x ) ( ) − x + x − x + = 43; đặt x2-4x=t ta đợc: t2+2t-35=0; t=-7, t=5 Ta cã: x2-4x+7=0 v« nghiƯm; x2-4x-5=0 , x=5, x=-1 b/ Cho tam giác ABC có góc A gấp đôi góc B, góc B gấp đôi góc C Chứng minh rằng: 1 1 + = BC AC AB HD: Gọi BC=a, AC=b, AB=c Kẻ đờng phân giác BM, ta chứng minh đợc: AM= ABMACB bc , a+c b c = ⇒ ac = ( b + c )( b − c ) (1) a+c b T¬ng tù, kẻ phân giác AN suy đợc: a2=b(b+c) (2), chia (1) cho (2) ta đợc: c bc 1 = ⇔ + = (§PCM) a b a b c Bài (3 điểm) hình vẽ 0,5 Cho tam giác ABC vuông A có đờng phân giác AD Hình vuông MNPH có M AB, N AC, P Q BC BN cắt MQ E, CM cắt NP t¹i F Chøng minh r»ng: a/ EN MN MQ AC EN AC = = = = HD: Ta chøng minh đợc: (theo Talet EB BQ BQ AB EB AB tam giác đồng dạng) b/ AE=AF HD: từ a/ theo T/c đờng phân giác suy DE//CN, DF//BM 1,5 tõ ®ã suy ra: DE DB DC CN AB BC CN AB AC AB DF = DF = DF = DF = DF DB DC DF CB AC BM BM AC AB AC Bài (1 điểm)Cho a, b, c c¸c sè tháa m·n ( a + 1) + ( b + 2) + ( c + 3) 2010 DE= Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: A = ab + b( c − 1) + c( a 2) Giải: đặt x=a+1; y=b+2; z=c+3 suy x2+y2+z2 ≤ 2010 Vµ A= (a-1)(b-2)+(b-2)(c-4)+(c-3)(a-3)= ab+bc+ca-5(a+b+c)+19 Suy ra: 2A+a2+b2+c2=(a+b+c)2-10(a+b+c)+38=(a+b+c-5)2+13 ≥ 13 29 Suy ra: A ≥ 1/2(13- a2-b2-c2) ≥ 1/2(13-2010)= − Phòng GD- ĐT Can Lộc Bài Cho biểu thức: A = 1997 Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm 120 phút x5 + x x3 − x + x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A = c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho a > b > 2( a2 + b2) = 5ab 3a − b Tính giá trị biểu thức: P = 2a + b b) Cho a, b, c Độ dài cạnh tam giác Chứng minh a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải phương trình: 2− x 1− x x −1 = − a) 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = Bài 4: Cho tam giác ABC; điểm P nằm tam giác cho · ABP = · ACP , kẻ PH ⊥ AB, PK ⊥ AC Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hànhABCD, vẽ đường thẳng d cắt cạnh AB, AD Tại M K, cắt đường chéo AC Tại G Chứng minh rằng: AB AD AC + = AM AK AG UBND Thành phố Huế Phòng giáo dục & đào tạo Đề thức Kì thi chọn Học sinh giỏi thành phố Huế Lớp THCS - Năm học 2007 - 2008 Mơn : Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x + x + 2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2Điểm) Giải phương trình: x − x + + x − = 30 2 1   1     x + ÷ +  x + ÷ −  x + ÷ x + ÷ = ( x + ) x x  x  x    Bài 3: (2 điểm) Căn bậc hai 64 viết dạng sau: 64 = + Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng số nguyên? Tìm số dư phép chia biểu thức x + 10 x + 21 ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông Tại A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC Tại D cắt AC Tại E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính Độ dài Đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm Đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM GB HD = Tia AM cắt BC Tại G Chứng minh: BC AH + HC HếT Phòng Giáo dục - Đào tạo TRựC NINH ***** Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn8 (Thời gian làm bài: 120 phút, Không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm): Cho biểu thức  4xy  1  A= : + 2  2  y −x y −x y + xy + x  a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nêu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (4 điểm): a) Giải phương trình : x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bài (3 điểm): Chứng minh với n ∈ N n5 n ln có chữ số tận giống 31 Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E · · a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD = ECB · b) Cho BMC = 1200 S AED = 36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi d) Kẻ DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ ⊥ PD x y + ≥ (với x y dấu) Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  x y x2 y2 + −  + ÷+ y x  y x (với x ≠ 0, y ≠ ) Đề khao sát chất lượng học sinh giỏi Bài 1: (4 điểm) a+b+c=0 , Tính A = a + b + c a + b + c2 = 2009   1, Cho ba số a, b, c thỏa m·n  2, Cho ba số x, y, z thỏa m·n x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức f ( x ) = x + px + q với p ∈ Z, q ∈ Z Chứng minh tồn số nguyên để f ( k ) = f ( 2008 ) f ( 2009 ) Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dương x, y thỏa m·n 3xy + x + 15y − 44 = ( ) 2, Cho số tự nhiên a = 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho phương trình 2x − m x − + = , Tìm m để phương trình có nghiệm dương x−2 x+2 Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F, CE cắt Tại O Chứng minh ∆AEC đồng dạng ∆CAF , Tính ·EOF Bài 6: (3 điểm) 32 Cho tam giác ABC, phân giác góc A cắt BC Tại D, Đoạn thẳng DB, DC lần BE BF AB lượt lấy điểm E F cho ·EAD = ·FAD Chứng minh rằng: = CE CF AC Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm đến số bảng Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích HếT Mơn Tốn (150 phút Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n + 3n + 2n + 6n − b B= có giá trị số nguyên n2 + c D=n5-n+2 số phương (n ≥ 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a b c + + = biết abc=1 a) ab + a + bc + b + ac + c + b) Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a c) + + ≥ + + b a c b c a Câu 3: (5 điểm) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 a) 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dương Câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA Tại E ,cắt BC Tại F a) Chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC 1 + = b) Chứng minh : AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơI diện tích tam giác DEF Mơn : Tốn ( 120 phút Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 Tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab 33 Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu thức sau luôn dương (hoặc âm) với giá trị biến cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh Nêu tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: − x + 8x − Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đường chéo AC vng góc với cạnh bên CD, ∠BAC = CAD Tính AD Nêu chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số dư phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 2x 2x     −  : 1 −  C=   x −1 x + x − x −1  x +1 a) Tìm điều kiện x để biểu thức C Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông Tại A (AC>AB) , đường cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đường vng góc với BC Tại D cắt AC Tại E a) Chứng minh AE=AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM Hết Bài Nội dung 1.1  a+b+c=0 Cho ba số a, b, c thỏa mãn  , Tính A = a + b + c 2 điểm 2,00 a + b + c = 2009 Ta có a + b + c2 = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = −2 ( ab + bc + ca ) 0,50  a + b + c2  2009 a b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) =  ÷ =   2 2009 A = a + b + c = ( a + b + c2 ) − ( a b + b c2 + c 2a ) = Cho ba số x, y, z thỏa m·n x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx 1.2 2 2 2 0,50 1,00 2,00 34 B = xy + z ( x + y ) = xy + 3 − ( x + y )  ( x + y )   = xy + ( x + y ) − ( x + y ) = − x − y − xy + 3x + 3y 2 y −  −3y + 6y + y −  −3   = − x + = − x + ÷ + ÷ + ( y − 1) + ≤      y −1 =  y −3  = ⇔ x = y = z =1 Dấu = xảy  x +  x + y + z =  1,25 0,50 0,25 Vậy giá trị lớn B x = y = z = Cho đa thức f ( x ) = x + px + q với p ∈ Z, q ∈ Z Chứng minh tồn số nguyên để 2,00 f ( k ) = f ( 2008 ) f ( 2009 ) f f ( x ) + x  = f ( x ) + x  + p ( f ( x ) + x ) + q     2 = f ( x ) + 2.x.f ( x ) + x + p.f ( x ) + p.x + q = f ( x )  f ( x ) + 2x + p  + ( x + px + q )   = f ( x )  x + px + q + 2x + p + 1   = f ( x )  ( x + 1) + p ( x + ) + q  = f ( x ) f ( x + )   Với x = 2008 chọn k = f ( 2008 ) + 2008 ∈ ¢ 1,25 Tìm số ngun dương x, y thỏa mãn 3xy + x + 15y − 44 = 0,25 2,00 0,75 0,50 Suy f ( k ) = f ( 2008 ) f ( 2009 ) 3.1 ♦ 3xy + x + 15y − 44 = ⇔ ( x + ) ( 3y + 1) = 49 ♦ x, y nguyên dương x + 5, 3y + nguyên dương lớn 0,50 ♦Thỏa mãn yêu cầu Bài Toán x + 5, 3y + ước lớn 49 nên có: x+5 = x = ⇔  3y + = y = 0,75 Vậy phương trình có nghiệm ngun x = y = 3.2 ( ) Cho số tự nhiên a = 2009 2,00 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d a = ( 29 ) 2009 = ( 23 ) 3.2009 = ( 23 ) 6027 < 10 6027 ⇒ b ≤ 9.6027 = 54243 ⇒ c ≤ + 4.9 = 41 ⇒ d ≤ + 1.9 = 13 ( 1) 23 ≡ −1mod ⇒ a ≡ −1mod mà a ≡ b ≡ c ≡ d mod ⇒ d ≡ −1mod 1,00 ( 2) 0,75 Từ (1) (2) suy d = 0,25 35 2x − m x − + = , Tìm m để phương trình có nghiệm dương x−2 x+2 Điều kiện: x ≠ 2;x ≠ −2 2x − m x − + = ⇔ ⇔ x ( − m ) = 2m − 14 x−2 x+2 3,00 Cho phương trình 0,25 0,75 m = 1phương trình có dạng = -12 vơ nghiệm 0,25 m ≠ phương trình trở thành x = 0,50 2m − 14 1− m  2m − 14  1− m ≠   m≠4  2m − 14 ≠ −2 ⇔  Phương trình có nghiệm dương ⇔  1 < m <  1− m  2m − 14  1− m >   m≠4 Vậy thỏa m·n yêu cầu Bài Toánkhi  1 < m < 1,00 0,25 3,00 Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F Chứng minh ∆AEC đồng dạng ∆CAF , Tính ·EOF ♦ ∆AEB đồng dạng ∆CBF (g-g) E ⇒ AB = AE.CF ⇒ AC = AE.CF AE AC ⇒ = AC CF ♦ ∆AEC đồng dạng ∆CAF (c-g-c) ♦ ∆AEC đồng dạng ∆CAF · · ⇒ AEC = CAF mà · · · · · EOF = AEC + EAO = ACF + EAO · = 180 − DAC = 120 A O B D C 1,00 1,00 1,00 F Cho tam giác ABC, phân giác góc A cắt BC Tại D, Đoạn thẳng DB, DC lần 3,00 BE BF AB lượt lấy điểm E F cho ·EAD = ·FAD Chứng minh rằng: = CE CF AC 36 ♦Kẻ EH ⊥ AB Tại H, FK ⊥ AC Tại K A · · · · ⇒ BAE = CAF; BAF = CAE K B AE EH = AF FK S ∆ABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB = = = ⇒ = S ∆ACF CF FK.AC AF.AC CF AF.AC BF AF.AB = ♦Tương tự CE AE.AC BE BF AB = ♦⇒ (đpcm) CE CF AC ⇒ ∆HAE đồng dạng ∆KAF (g-g) ⇒ H E D F C 1,00 1,25 0,50 0,25 2,00 Trên bảng có số tự nhiên Từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích Khi thay hai số a, b hiệu hiệu hai số Tính chấtt chẳn lẻ tổng số có bảng khơng đổi Mà S = + + + + 2008 = 1,00 2008 ( 2008 + 1) = 1004.2009 ≡ mod ; ≡ 1mod 1,00 bảng khơng thể cịn lại số 1 37 2Bài Câu Nội dung điểm 2,0 1.1 (0,75 điểm) x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) 0.5 = ( x + 1) ( x + ) 1.2 0,5 (1,25 điểm) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) − x + 2007 ( x + x + 1) 2 2 2 = ( x + x + 1) ( x − x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2008 ) 2 2 2s 2.1 2.2 x − x + + x − = (1) + Nêu x ≥ : (1) s (thỏa m·n điều kiện x ≥ ) 2 + Nêu x < : (1) ⇔ x − x + = ⇔ x − x − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔ x = 1; x = (cả hai không bÐ 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có nghiệm x = 2 0,25 0,25 0,25 2,0 0,5 0,5 1   1     x + ÷ +  x + ÷ −  x + ÷ x + ÷ = ( x + ) (2) x x  x  x    Điều kiện để phương trình có nghiệm: x ≠ 2 1 1        (2) ⇔  x + ÷ +  x + ÷ x + ÷−  x + ÷  = ( x + ) x x   x   x      0,25 1  2   ⇔  x + ÷ −  x + ÷ = ( x + ) ⇔ ( x + ) = 16 x x    ⇔ x = hay x = −8 x ≠ Vậy phương trình đ· cho có nghiệm x = −8 Phịng Giáo dục - Đào tạo TRựC NINH ***** 0,5 0,25 đáp án hướng dẫn chấm thi Học sinh giỏi Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn8 Bài 1: (4 điểm) d) Điều kiện: x ≠ ± y; y ≠ (1 điểm) e) A = 2x(x+y) (2 điểm) f) Cần giá trị lớn A, Từ tìm tất giá trị nguyên dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = ⇒ 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = ⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = ⇒ A + (x – y + 1)2 = 38 ⇒ A = – (x – y + 1)2 ≤ (do (x – y + 1) ≥ (với x ; y) ⇒ A ≤ (0,5đ)  x − y + = x=    + A = 2x ( x + y ) = ⇔   y = x ≠ ± y;y ≠   2 (x − y + 1) =  + A = 2x ( x + y ) = Từ đó, cần cặp giá trị x y, chẳng  x ≠ ± y;y ≠  −1 x =  hạn:  y = +   + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài 2: (4 điểm) a) ⇔ x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 ⇔( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 ⇔ + − − =0 115 104 93 82 (0,5 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm) ⇔ ⇔ x + 126 = ⇔ x = −126 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx ⇔ 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = ⇔ (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,5 điểm) (0,75 điểm) x − y =  ⇔ y − z = z − x =  ⇔x=y=z ⇔ x2009 = y2009 = z2009 Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 ⇔ z2009 = 32009 ⇔ z =3 Vậy x = y = z = (0,75 điểm) (0,5 điểm) 39 Bài (3 điểm) Cần Chứng minh: n5 – n M10 - Chứng minh : n5 - n M2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) M2 (vì n(n – 1) tích hai số ngun liên tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n – n M5 n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) lý luận dẫn đến tổng chia HếT cho (1,25 điểm) - Vì ( ; ) = nên n5 – n M2.5 tức n5 – n M10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,75 điểm) Bài 4: điểm E D A M Q B P I C H Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh ∆ EBD đồng dạng với (1 điểm) ∆ ECA (gg) EB ED = ⇒ EA.EB = ED.EC EC EA · · * Chứng minh EAD = ECB (1 điểm) - Từ suy - Chứng minh - Suy ∆ EAD đồng dạng với ∆ ECB (cgc) · · EAD = ECB 0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm - Từ o o o · BMC = 120 ⇒ · ABM = 30 AMB = 60 ⇒ · - XÐt 0,5 điểm µ ∆ EDB vng Tại D có B = 30o ⇒ ED = ED = EB ⇒ EB 2 0,5 điểm 40 - Lý luận cho S EAD  ED  = ÷ S ECB  EB  Từ ⇒ SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh ∆ BMI đồng dạng với ∆ BCD (gg) - Chứng minh CM.CA = CI.BC - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị khơng đổi Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu d: điểm - Chứng minh ∆ BHD đồng dạng với ∆ DHC (gg) ⇒ 0,5 điểm BH BD BP BD BP BD = ⇒ = ⇒ = DH DC DQ DC DQ DC 0,5 điểm - Chứng minh ∆ DPB đồng dạng với ∆ CQD (cgc) · ·  ⇒ BDP = DCQ   ⇒ CQ ⊥ PD · · ma`BDP + PDC = 90o   điểm Bài 5: (2 điểm) c) x, y dấu nên xy > 0, x y + ≥2 y x (*) ⇔ x + y ≥ 2xy ⇔ (x − y)2 ≥ (**) Bất đẳng thức (**) đúng, suy bđt (*) (đpcm) (0,75đ) x y + =t y x x2 y2 ⇒ + = t2 − y x d) Đặt (0,25đ) Biểu thức cho trà thành P = t2 – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + (0,25đ) - Nêu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t ≥ ⇒ t – ≥ ; t – > ⇒ ( t − ) ( t − 1) ≥ ⇒ P ≥ Đẳng thức xảy t = ⇔ x = y (1) (0,25đ) x y - Nêu x; y trái dấu < < ⇒ t < ⇒ t – < t – < y x ⇒ ( t − ) ( t − 1) > ⇒ P > (2) (0,25đ) - Từ (1) (2) suy ra: Với x ≠ ; y ≠ ln có P ≥ Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009 đáp án , biểu điểm, hướng dẫn chấm Môn Toán8 Nội dung điểm Bài (3 điểm) 41  1  1  Có a + =  a + ÷ − a =  a + a + ÷ a − a + ÷  2  2  Khi cho a giá trị Từ đến 30 thì: Tử thức viết thành 1 1 1 (12+1+ )(12-1+ )(32+3+ )(32-3+ )…….(292+29+ )(292-29+ ) 2 2 2 Mẫu thức viết thành 1 1 1 (22+2+ )(22-2+ )(42+4+ )(42-4+ )……(302+30+ )(302-30+ ) 2 2 2 1 Mặt khác (k+1)2-(k+1)+ =………….=k2+k+ 2 12 − + = Nên A= 1861 302 + 30 + Bài 2: điểm ý a: điểm -Có ý tưởng tách, thêm bớt thể để sử dụng bước sau -Viết dạng bình phương hiệu - Viết bình phương hiệu - lập luận kết luận ý b: điểm Phân tÝch tử thức thành nhân Tử Rút gọn kết luận Bài : điểm *Từ 2a + b ≤ b ≥ ta có 2a ≤ hay a ≤ Do A=a2 - 2a - b ≤ Nên giá trị lớn A a=2và b=0 * Từ 2a + 3b ≤ suy b ≤ - a 2 22 22 Do A ≥ a2 – 2a – + a = ( a − )2 ≥3 9 22 2 Vậy A có giá trị nhỏ a = b = 3 Bài : điểm - Chọn ốn đạt điều kiện 1,0 - Biểu thị đại lượng theo ốn số liệu đ· biết(4 đại lượng) - lập phương trình - Giải phương trình - đối chiếu trả lời thời gian ô tô - lập luận , Tính trả lời thời gian tơ cịn lại Bài : điểm ý a : điểm 0,25 x 0,25 0,5 0,5 0,5 Phòng giáo dục đào tạo 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009 42 ... bất phương trình 2007 + 20 08 x 2007 < 20 08 ⇔ >0 −x x ⇔ (20 08 x + 2007) x > x > ⇔  x < − 2007 20 08  1đ − 2007 20 08 Hoặc biểu diễn trục số : Trong phần, câu, thí sinh làm cách khác cho kết... x = hay x = ? ?8 x ≠ Vậy phương trình đ· cho có nghiệm x = ? ?8 Phòng Giáo dục - Đào tạo TRựC NINH ***** 0,5 0,25 đáp án hướng dẫn chấm thi Học sinh giỏi Năm học 20 08 - 2009 Mơn: Tốn8 Bài 1: (4 điểm)... Kì thi chọn Học sinh giỏi thành phố Huế Lớp THCS - Năm học 2007 - 20 08 Mơn : Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x + x + x + 20 08 x + 2007 x + 2008