Thông tin tài liệu
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2015 – 2016 Mơn: Tốn Ngày thi: tháng 12 năm 2015 (Thời gianlàm bài: 150 phút - Đề thi có 01 trang) PHỊNG GD&ĐT HẠ HỊA ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1(3 điểm): a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x + xy + y = b) Với a, b số nguyên Chứng minh 4a + 3ab 11b chia hết cho a b chia hết cho Bài 2(4 điểm): a) Cho f ( x) ( x3 12 x 31) 2015 Tính f (a) với a 16 16 x4 y b) Cho a, b, x, y số thực thoả mãn: x y a b ab x 2016 y 2016 Chứng minh rằng: 1008 1008 a b (a b)1008 Bài (4 điểm ): a) Giải phương trình: x x x 12 x 14 4 x y b) Giải hệ phương trình sau : x xy Bài (7 điểm ): Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định điểm A chuyển động nửa đường tròn (A khác B C) Hạ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường trịn tâm P đường kính HB tâm Q đường kính HC, chúng cắt AB AC E F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b) Gọi I K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm I, A, K thẳng hàng AH c) Chứng minh tỷ số không đổi BC.BE.CF d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị Bài (2 điểm ): Cho x;y;z dương cho Tìm giá trị lớn P 1 6 x y yz zx 1 3x y z y 3z x 3z 3x y HẾT ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HC 2015-2016 Môn Toán Nội dung Câu I.a I.b a.1,5 điểm - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; 10 = 1.10 = 2.5 - Vì x,y N - Lập bảng ta tìm nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) b.1,5 điểm - Ta có : 4a 3ab 11b 5 5a 5ab 10b a 2ab b 5 a 2ab b 5 a b 5 a b5 ( Vì số ngun tố) - Ta có: a b a b2 a b a b 5 (đpcm) 4 Chia điểm 0,75 0,75 0,5 0,25 0,5 0,25 Câu a(2 điểm) II a 16 16 a 32 3 (16 5)(16 5).( 16 16 ) a 32 3.(4).a a 32 12a a 12a 32 a 12a 31 f (a) 12015 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu b(2 điểm) x4 y (x2 y )2 a b ab b(a b) x a (a b) y ab( x x y y ) b x a y 2abx y (bx ay ) Ta cã: ( x y ) nªn x2 y2 x2 y2 x 2016 y 2016 1008 1008 a b (a b)1008 a b ab ab y 2016 1008 b (a b)1008 Tõ ®ã: x 2016 a1008 III KL: Cõu a(2 im) Giải phương trình: x x 3x 12 x 14 §K: 1,5 x 2,5 + Sử dụng bất đẳng thức cô si Bu nhi a đánh giá VT + §¸nh gi¸ VP 0,75 x x VT x2 VP x 0,75 Do ®ã: PT KL ThuVienDeThi.com 0,5 III Câu b(2 điểm) Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0 x=y x = - Nếu x = y thay vào (1) ta x = ;x = -1 - Nếu x = 2 y 2 y Thay vào hệ ta hệ vô nghiệm 1 KL : Hệ phương trình có nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1) IV N K A F M I E B IV P H O C Q Câu a(1 im) Xét tam giác vuông ABH có HE AB AB.AE = AH2 (1) Xét tam giác vuông ACH cã HF AC AC.AF = AH2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy AE.AB = AF.AC IV IV IV V Gãc IAH b»ng lÇn gãc BAH Gãc KAH b»ng lÇn gãc CAH Suy gãc IAH + gãc KAH =2( gãc BAH + gãc CAH) = 1800 Suy I, A K thẳng hàng Câu c(2 điểm) Ta có: AH2 = BH.CH AH4 = BH2 CN2 = BE.BA.CF.CA = AH 3 BE.CF.AH.BC AH = BE.CF.BC =1 BE.CE.BC Câu d(2 điểm) 1 BC SPQFE = ( PE FQ).FE BC.FE Mà FE PQ hay FE SPQFE BC Dấu đẳng thức xảy A điểm nửa đường trịn tâm O, đường kính BC (2 điểm) ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 1 + ≥ với a; b số dương Ta có: � � �+� 1 1 = ≤ ( 3� + 3� + 2� (2� + � + �) + (� + 2� + �) 2� + � + � 1 1 + )= ( + ) � + 2� + � (� + �) + (� + �) (� + �) + (� + �) 1 1 1 1 + )+ ( + )] = + ≤ [ ( ( 4 � + � � + � � + � � + � 16 � + � 1 ) + �+� �+� HD Áp dụng BĐT Tương tự 1 + ) ≤ + ( 3� + 2� + 3� 16 � + � � + � � + � 1 + ) ≤ + ( 2� + 3� + 3� 16 � + � � + � � + � Cộng vế bất đẳng thức ta được: 1 + + 3� + 3� + 2� 3� + 3� + 2� 3� + 3� + 2� 1 1 1 + )+ + ≤ + + ( + �+� �+� 16 � + � 16 � + � � + � � + � 1 1 1 + ) = + + ) = ( + ( 16 � + � � + � � + � � + � � + � � + � ( ) ThuVienDeThi.com ... CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NM HC 2015- 2016 Môn Toán Nội dung Câu I.a I.b a.1,5 điểm - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; 10 = 1.10 = 2.5 - Vì x,y N - Lập bảng ta tìm nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ... Ta cã: ( x y ) nªn x2 y2 x2 y2 x 2016 y 2016 1008 1008 a b (a b)1008 a b ab ab y 2016 1008 b (a b)1008 Tõ ®ã: x 2016 a1008 III KL: Cõu a(2 im) Giải phương trình:... 12015 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu b(2 điểm) x4 y (x2 y )2 a b ab b(a b) x a (a b) y ab( x x y y ) b x a y 2abx y (bx ay ) Ta cã: ( x y ) nªn x2 y2 x2 y2 x 2016
Ngày đăng: 24/03/2022, 17:43
Xem thêm:
