BỘ đề THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 NGHỆ AN

Tailieumontoan.com  Sưu tầm tổng hợp BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NGHỆ AN Thanh Hóa, ngày 11 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP TỈNH LỚP NGHỆ AN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 9, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em đề thi học sinh giỏi toán lớp tỉnh Nghệ An Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu tốn hay thầy nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư mơn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề tốn để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh Nghệ An giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Bộ đề viết theo hình thức Bộ đề ơn thi, gồm: đề thi hướng dẫn giải đề đề thi dựa đề thi thức sử dụng kì thi học sinh giỏi tốn lớp tỉnh nước Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (3,0 điểm) a Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y − xy + x − 2y + = n n b Chứng minh A = + + 16 chia hết cho với số nguyên dương n Câu (6,5 điểm) a Giải phương trình: 8x + 4x 2x = +3 ⋅ 2x + ( x − 1)2 + ( y − )2 = b Giải hệ phương trình:  ( x − 1)( y − ) − x − y =−3 Câu (2,5 điểm) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4  a   b   c  P=  +  +  a+ b  b+c  c+a  Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C tam giác Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) điểm thứ M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF N Chứng minh rằng: a EF ⊥ OA b AM = AN  = Cho tam giác nhọn ABC, D điểm tam giác cho ADB ACB + 900 AC.BD = AD.BC Chứng minh AB.CD = AC.BD Câu (2,0 điểm) Trong hình vng cạnh có 2019 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình trịn bán kính nằm hình vng mà khơng chứa điểm 91 2019 điểm cho _Hết _ Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017 – 2018 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (3 điểm) a Tìm số phương có chữ số biết chữ số hàng đơn vị số nguyên tố bậc hai số cần tìm có tổng chữ số số phương b Chứng minh số A = 22n+1 +31 hợp số với số tự nhiên n Câu (7 điểm)  x = y + x − a Giải hệ phương trình:   y = x + y − b Giải phương trình: x + = + 2x + x + 18 x + 11 ⋅ 2x + Câu (2 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= 1 + + ⋅ (3 x + 1)( y + z ) + x (3 y + 1)( x + z ) + y (3 z + 1)( x + y ) + z Câu (6 điểm) Cho AB đường kính cố định đường trịn (O) Qua điểm A vẽ đường thẳng d vng góc với AB Từ điểm E đường thẳng d vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) (C tiếp điểm, C khác A) Vẽ đường tròn (K) qua C tiếp xúc với đường thẳng d E, vẽ đường kính EF đường trịn (K) Gọi M trung điểm OE Chứng minh rằng: a Điểm M thuộc đường tròn (K) b Đường thẳng qua F vng góc với BE ln qua điểm cố định E thay đổi đường thẳng d Câu (2 điểm) Ở miền đa giác lồi 2018 cạnh có diện tích lấy 2017 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh ln tồn tam giác có đỉnh lấy từ 4035 điểm (bao gồm 2018 đỉnh đa giác 2017 điểm đa giác đó) có diện tích khơng vượt q ⋅ 6050 _Hết _ Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2016 – 2017 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4 điểm) a) Tìm hệ số a, b, c đa thức P(x) = x + bx + c biết P (x) có giá trị nhỏ – x = x + xy − xy − y3 = b) Giải hệ phương trình  2 x + − x ( y + 1) − y = ( ) Câu (4 điểm) a) Giải phương trình x + 2= − x + + x b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu 2a b c thức P = + + 2 1+ a 1+ b + c2 Câu (3 điểm)  135 Cho tam giác ABC có = BAC = ,BC 5cm đường cao AH = cm Tìm độ dài cạnh AB AC Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), D điểm cung BC khơng chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H, K trực tâm tam giác ABC ACE Gọi P Q hình chiếu K BC AB, gọi I giao điểm EK với AC a) Chứng ba điểm P, I, Q thẳng hàng b) Chứng minh PQ qua trung điểm KH Câu (4 điểm) a) Tìm tất số nguyên tố khác m, n, p, q thỏa mãn 1 1 1 + + + + = m n p q mnpq b) Trên bảng có ghi hai số Ta ghi số lên bảng theo quy tắc sau: Nếu có hai số phân biệt bảng thi ghi thêm số z = xy + x + y Chứng minh số bảng (trừ số 1) có dạng 3k + với số k tự nhiên _Hết _ Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (3,0 điểm) a Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng (khơng chia nhỏ vật đó) b Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 3x + 171 = y2 Câu (6,0 điểm) a Giải phương trình: x + x + 1= ( x + 1) x2 + x + 4 x + 1= y − x b Giải hệ phương trình:  2  x + xy + y = Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a +1 b +1 c +1 + + ≥3 b2 + c2 + a + Câu (6,0 điểm) Từ điểm M nằm đường tròn tâm (O; R) Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm), cát tuyến MPQ không qua O (P nằm M, Q) Gọi H giao điểm OM AB  = HQO  a Chứng minh: HPO b Tìm điểm E thuộc cung lớn AB cho tổng 1 + có giá trị nhỏ EA EB Câu (2,0 điểm) Tìm hình vng có kích thước nhỏ để hình vng xếp hình trịn có bán kính cho khơng có hai hình trịn chúng có điểm chung _Hết _ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4 điểm): a Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điểu kiện: a2 + a = 2b2 + b Chứng minh a – b a + b + sơ phương b Tìm số tự nhiên n cho số 2015 viết thành tổng n hợp số viết thành tổng n + hợp số Câu (5 điểm): a Giải phương trình: x −1 + x2 −1 = x − x2  x + y + xy = b Giải hệ phương trình:  2  x + y = x + y Câu (3 điểm): Cho a, b, c số thực dương thoả mãn: abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 + + a + 2b + b + 2c + c + 2a + Câu (6 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Trên cung nhỏ BC đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C) Gọi D, E, F điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB Chứng minh rằng: a Ba điểm D, E, F thẳng hàng b AB AC BC + = MF ME MD Câu (2 điểm): Cho 121 điểm phân biệt nằm cạnh tam giác có cạnh cm Chứng mỉnhằng vẽ hình trịn đường kính cm chứa 11 điểm số điểm cho _Hết _ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4 điểm): n + 119 số phương 2 2 b Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn: a + b =c + d Chứng minh a + b + c + d hợp số a Tìm số tự nhiên n cho Câu 2.(5 điểm): a Giải phương trình: x −1 + x + =  x + y + xy = b Giải hệ phương trình:  3 x + y = 2x + y Câu (3 điểm): Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 + + a + 2b + b + 2c + c + 2a + Câu (6 điểm): Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định (H không trùng với A, O) Gọi M điểm di chuyển nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng vng góc với MH, đường thẳng cắt tiếp tuyến Ax, By C, D a Chứng minh AC.BD = AH.BH b Xác định vị trí điểm M để tam giác CHD có diện tích nhỏ Câu (2 điểm): Cho 121 điểm phân biệt nằm cạnh tam giác có cạnh 6cm Chứng minh vẽ hình trịn đường kính cm chứa 11 điểm số điểm cho _Hết _ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4.0 điểm) a Chứng minh tồn số tự nhiên k cho 2013k -1 chia hết cho 105 b Tìm số nguyên x cho x2+28 số phương Câu (6.0 điểm) a Giải phương trình: x2 + 5x + − x2 − x + = x − 2 x + y =3 − x − y b Giải hệ phương trình:  2  x − xy − y = Câu (3.0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx=1 Tìm P = x2 y2 z2 + + x+ y y+z z+x Câu (5.0 điểm) Cho đường trịn tâm O bán kính R Từ điểm M điểm ngồi đường trịn kẻ hai tia tiếp tuyến MA; MB (A,B tiếp điểm) cát tuyến qua M cắt đường tròn C, D (C nằm M D) cung CAD nhỏ cung CBD Gọi E giao điểm AB với OM  = 2DBC  a Chứng minh DEC b Từ O kẻ tia Ot vng góc với CD cắt tia BA K Chứng minh KC KD tiếp tuyến đường tròn O Câu (2.0 điểm) Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài 1.Chứng minh ln tồn hình trịn có bán kính R = chứa tồn đường gấp khúc _Hết _ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4.0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = a3 + b3 + c3 = Chứng minh ba số a, b, c có số Cho số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn a > b > c > d ac + bd = (b + d + a – c)(b+ d – a+ c) Chứng minh ab + cd hợp số Câu (6.0 điểm) Giải phương trình: x + x + 10 + x + x + 4= ( x + 1)  x − xy + y = −1 Giải hệ phương trình:  2 13  x − xy + y = (1) ( 2) Câu (3.0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b3 + c3 − 3abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a + b + c Câu (7.0 điểm) Từ điểm D nằm đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến DA, DB với đường tròn (A B tiếp điểm) Vẽ cát tuyến DEC (E nằm D C) OD cắt AB M, AB cắt EC N Chứng minh rằng: MA phân giác góc ∠EMC MB DC = MC DE 1 + = EC DC NC _Hết _ Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 62 Website:tailieumontoan.com  = BMN  ⇒ BDMI tứ giác nội tiếp hay BDI  = MBI  (cùng chắn cung MI) ⇒ MDI  = ABE  (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) mà MDI   = MBI ⇒ ABE  = BAE  (chứng minh trên) mặt khác BMI ⇒ ∆MBI ~ ∆ ABE (g.g) ⇒ MI BI ⇔ MI.BE = BI.AE = AE BE b) Gọi Q giao điểm CO DE ⇒ OC ⊥ DE Q ⇒ ∆ OCD vuông D có DQ đường cao ⇒ OQ.OC = OD2 = R2 (1) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO' ⇒ OO' ⊥ AB H  chung = H = 900 ;O Xét ∆KQO ∆CHO có Q ⇒ ∆KQO ~ ∆CHO (g.g) ⇒ KO OQ = ⇒ OC.OQ = KO.OH (2) CO OH R2 OH Từ (1) (2) ⇒ KO.OH =R ⇒ OK = Vì OH cố định R khơng đổi ⇒ OK không đổi ⇒ K cố định Câu Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 63 Website:tailieumontoan.com ∆ABC vuông cân A ⇒ AD phân giác góc A AD ⊥ BC ⇒ D ∈ (O; AB/2) Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) ⇒ tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP  mà NHP = 900 ⇒ H thuộc đường trịn đường kính NP   ⇒ AHN = AMN = 450 (1) Kẻ Bx ⊥ AB cắt đường thẳng PD E ⇒ tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác ∆BED = ∆CDP (g.c.g) ⇒ BE = PC mà PC = BN ⇒ BN = BE ⇒ ∆BNE vuông cân B  = 450 mà NHB  = NEB  (cùng chắn cung BN) ⇒ NEB  = 450 (2) ⇒ NHB  = 900 ⇒ H ∈ (O; AB/2) Từ (1) (2) suy AHB gọi H' hình chiếu H AB ⇒ SAHB = HH '.AB ⇒ SAHB lớn ⇔ HH' lớn mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D thuộc đường trịn đường kính AB OD ⊥ AB) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 64 Website:tailieumontoan.com Dấu "=" xẩy ⇔ H ≡ D ⇔ M ≡ D Đề số 13 Câu a) Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k ∈ Z Vì k ∈ Z ⇒ ta xét trường hợp: TH1: k chẵn ⇒ A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 số lẻ ⇒ A không chia hết cho ⇒ A không chia hết cho 16 (loại) (1) TH2: k lẻ, ta có: A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ ⇒ k - 1; k + 1; k - 3; k + chẵn ⇒ A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)  2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) (2) ⇔ với ∀ k ∈ Z mà k lẻ A ln chia hết cho 16 b) Do tích a.b chẵn nên ta xét trường hợp sau: TH1: Trong số a, b có số chẵn số lẻ Khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn, b lẻ ⇒ a2  4; b2 chia cho dư ⇒ a2 + b2 chia cho dư ⇒ a2 + b2 = 4m + (m ∈ N) Chọn c = 2m ⇒ a2 + b2 + c2 = 4m2 + 4m + = (2m + 1)2 (thoả mãn) (1) TH2: Cả số a, b chẵn ⇒ a2 + b2  ⇒ a2 + b2 = 4n (n ∈ N) Chọn c = n - ⇒ a2 + b2 + c2 = n2 + 2n + = (n + 1)2 (thoả mãn) (2) Từ (1) (2) suy ta ln tìm c ∈ Z thoả mãn tốn Câu Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 65 Website:tailieumontoan.com a) Giải phương trình x2 - x - + 16x = ĐKXĐ: x ≥ − 16 Khi phương trình ⇔ x2 - x = 2( + 16x + 1) Đặt: (y ≥ + 16x + = 2y ⇔ + 16x = 4y2 -4y + 1 ) ⇔ 4y2 - 4y = 16x ⇔ y2 - y = 4x (*) 4x  y − y = ⇒ (x − y)(x + y + 3) = ⇒  4y  x − x = x = y ⇔ 1 = x + y + (loại x - vµ y ≥ ) 16  Với x = y thay vào (*) ⇒ x2 - x = 4x ⇔ x2 - 5x = ⇔ x(x - 5) =  x = (tho¶ m·n)  x = (lo¹i) ⇔ Vậy phương trình có nghiệm là: x = (1) x + 2y − 4y + = b) Cho x, y thoả mãn:  2 (2) x + x y − 2xy = Từ (1) ⇒ x3 = -2y2 + 4y -3 ⇔ x3 = -2(y2 - 2y + 1) - ⇔ x3 = -2(y - 1)2 - ≤ -1 với ∀ y ⇒ x3 ≤ -1 ⇔ x ≤ -1 (*) Từ (2) ⇒ x2(y2 + 1) = 2y ⇔ x2 = 2y ≤ với ∀ y y +1 ⇒ x2 ≤ ⇔ | x | ≤ ⇔ -1 ≤ x ≤ (**) Từ (*) (**) ⇒ x = -1 thay vào (2) ta được: y2 - 2y + = ⇔ (y - 1)2 = ⇔ y = ⇒ (x; y) = (-1; 1) (thoả mãn) ⇒ Q = x2 + y2 = (-1)2 + 12 = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 66 Website:tailieumontoan.com Câu Đặt 1 1 1 + = x; + = y; + = z ⇒ (x, y, z > 0) a b b c c a ⇒ P = (3 + x)(3 + y)(3 + z) = 27 + 3(xy+ yz + zx) + 9(x + y+ z) + xyz ≥ 27 + (xyz) + 27 xyz + xyz (*)  1  1  1  (vì a, b, c > 0) +  +  +  ≥ a b b c c a abc     Lại có: xyz =  mà ≥ a + b + c ≥ 3 abc ⇒ ≥ abc 2 ⇒ abc ≤ 8 ⇒ ≥ 64 ⇒ xyz ≥ ≥ 64 abc abc Thay vào (*) ta được: P ≥ 27 + 64 + 27 64 + 64 = 27 + 144 + 108 + 64 = 343 Dấu = có a = b = c = 1 ⇒ Pmin = 343 Khi a = b = c = 2 Câu C M A O B N E D a) Xét ∆COM ∆CED có: ∠O =∠E =900   ∠C chung  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 67 Website:tailieumontoan.com ∆CED (g-g) S ⇒ ∆COM CO OM (1) = CE ED ⇒ Do AB, CD đường kính vng ∠A1 = 45 góc với ⇒ ∠E1 = ∠E1 = ∠A1 = 450   ∠C chung  Xét ∆AMC ∆EAC có: mà AC = ∆EAC (g-g) ⇒ S ⇒ ∆AMC AC AM = CE AE CO (do ∆ACO vuông cân O) AM AE = ⇒ CO = CE ⇒ AM.ED = OM (do (1)) ED OM.AE (ĐPCM) b) Tương tự câu a ta có: BO ON = BE EA ∆BEA ⇒ ∆BND ∆BDE ⇒ = S ∆BON S ⇒ DN DE BD = BE DN ON ON = ⇒ = DE EA EA Từ câu a ta có: AM.ED = 2BO BE DN DE OM.AE ⇒ ON = DN EA DE OM ED = AM EA nên suy mà ⇒ OM ON = AM DN OM ON OM ON + ≥2 = = AM DN AM DN 2 Dấu = xẩy khi: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 68 Website:tailieumontoan.com OM ON ED = ⇔ = AM DN 2EA EA 2ED ⇔ ED = EA ⇔ E điểm cung nhỏ AD Vậy giá trị nhỏ OM ON + = AM DN ⇔ E điểm cung nhỏ AD Câu Khơng tính tổng quát, giả sử ∠A ≥ ∠B ≥ ∠C ⇒ ∠A ≥ 600 TH1: 60 ≤ A < 90 0 B1 C1 kẻ CH ⊥ AB; BK ⊥ AC A1 ⇒ S ABC = CH.AB mà CH ≤ CC1 ≤ ta có: AB = BB1 BK 1 ≤ ≤ ≤ = SinA SinA SinA Sin60 ⇒ S ABC ≤ =(1) 3 TH2: ∠A ≥ 90 ⇒ AB ≤ BB1 ≤ 1, CH ≤ CC1 ≤ Từ (1) (2) ⇒ S ABC ≤ 1 ⇒ S ABC ≤ 1.1 =< (2) 2 3 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 69 Website:tailieumontoan.com Đề số 13 Câu a) Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k ∈ Z Vì k ∈ Z ⇒ ta xét trường hợp: TH1: k chẵn ⇒ A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 số lẻ ⇒ A không chia hết cho ⇒ A không chia hết cho 16 (loại) (1) TH2: k lẻ, ta có: A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ ⇒ k - 1; k + 1; k - 3; k + chẵn ⇒ A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)  2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) (2) ⇔ với ∀ k ∈ Z mà k lẻ A ln chia hết cho 16 b) Đặt A = a2 + b2 + c2 Do tích a.b chẵn nên ta xét trờng hợp sau: TH1: Trong số a, b có số chẵn số lẻ Khơng tính tổng quát, giả sử a chẵn, b lẻ ⇒ a2  4; b2 : dư ⇒ a2 + b2 : dư ⇒ a2 + b2 = 4m + (m ∈ N) Chọn c = 2m ⇒ a2 + b2 + c2 = 4m2 + 4m + = (2m + 1)2 (thoả mãn) (1) TH2: Cả số a, b chẵn ⇒ a2 + b2  ⇒ a2 + b2 = 4n (n ∈ N) Chọn c = n - ⇒ a2 + b2 + c2 = n2 + 2n + = (n + 1)2 (thoả mãn) (2) Từ (1) (2) ta ln tìm c ∈ Z thoả mãn tốn Câu a) Giải phương trình x2 - x - + 16x = ĐKXĐ: x ≥ − Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 16 TÀI LIỆU TỐN HỌC 70 Website:tailieumontoan.com Khi phương trình ⇔ x2 - x = 2( + 16x + 1) Đặt: + 16x + = 2y ⇔ + 16x = 4y2 -4y + (y ≥ ) ⇔ 4y2 - 4y = 16x ⇔ y2 - y = 4x (*)  y − y = 4x ⇒ (x − y)(x + y + 3) = ⇒  x − x = 4y  x = y ⇔ 1 = x + y + (loại x ≥ - vµ y ≥ ) 16  Với x = y thay vào (*) ⇒ x2 - x = 4x ⇔ x2 - 5x = ⇔ x(x - 5) =  x = (tho¶ m·n)  x = (lo¹i) ⇔ Vậy phương trình có nghiệm là: x =  x + y += ( x + y ) − xy = xy ⇔ b) Ta có :  y + xy ) + xy x + = ( x + y= x + y = ⇒ (x + y)2 + (x + y) – 12 = ⇔  x + y = Nếu x + y =  x =   y = x + y = x + y = ⇒ HƯ ®· cho ⇔  ⇔ x + y + xy = xy =  x =   y = Nếu x + y = -4 x + y =−4 ⇒ Hệ cho ⇔ ⇔  (hệ vơ nghiệm) xy = Vậy hệ phơng trình cho có nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0) Câu Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 71 Website:tailieumontoan.com Áp dụng bất đẳng thức: 1 (với A, B, C ≥ 0) + + ≥ A B C A+B+C ⇒ với x, y, z > ta có: ⇒P ≥ 1 + + ≥ xy yz zx xy + yz + zx + 2 x +y +z xy + yz + zx ⇒P ≥( x +y +z + 2 + 1 + )+ xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx ≥ + x + y + z + 2xy + 2yz + 2zx xy + yz + zx = + (x + y + z) xy + yz + zx 2 Do x + y + z = ⇒ (x + y + z)2 =  1 ⇒ x + y + z + 2(xy + yz + zx) =  ⇒ 3(xy + yz + zx) ≤ 2 mµ x + y + z ≥ xy + yz + zx   ⇒ ≥ ⇒ P P ≥ + 7.3 = 30 xy + yz + zx Dấu = xẩy x= y= z= Vậy Pmin = 30 ⇔ x = y = z = 3 Câu C M A O B N E D a) Xét ∆COM ∆CED có: Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 72 Website:tailieumontoan.com ∠O =∠E =900   ∠C chung  ∆CED (g-g) S ⇒ ∆COM CO OM (1) = CE ED ⇒ Do AB, CD đường kính vng ∠A1 = 45 góc với ⇒ ∠E1 = Xét ∆AMC ∆EAC có: mà AC = ∆EAC (g-g) ⇒ S ⇒ ∆AMC ∠E1 = ∠A1 = 450   ∠C chung  AC AM = CE AE CO (do ∆ACO vuông cân O) AM AE = ⇒ CO = CE ⇒ AM.ED = OM (do (1)) ED OM.AE (ĐPCM) b) Tương tự câu a ta có: BO ON = BE EA ∆BEA ⇒ ∆BND ∆BDE ⇒ = S ∆BON S ⇒ DN DE BD = BE DN ON ON = ⇒ = DE EA EA Từ câu a ta có: AM.ED = 2BO BE DN DE OM.AE ⇒ ON = DN EA DE OM ED = AM EA nên suy Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ⇒ OM ON = AM DN TÀI LIỆU TOÁN HỌC 73 Website:tailieumontoan.com mà OM ON OM ON + ≥2 = = AM DN AM DN 2 Dấu = xẩy khi: OM ON ED = ⇔ = AM DN 2EA EA 2ED ⇔ ED = EA ⇔ E điểm cung nhỏ AD Vậy giá trị nhỏ OM ON + = AM DN ⇔ E điểm cung nhỏ AD Câu Khơng tính tổng qt, giả sử ∠A ≥ ∠B ≥ ∠C ⇒ ∠A ≥ 600 TH1: 60 ≤ A < 90 0 B1 C1 kẻ CH ⊥ AB; BK ⊥ AC A1 ⇒ S ABC = CH.AB mà CH ≤ CC1 ≤ ta có: AB = BB1 BK 1 ≤ ≤ ≤ = SinA SinA SinA Sin60 ⇒ S ABC ≤ =(1) 3 TH2: ∠A ≥ 90 ⇒ AB ≤ BB1 ≤ 1, CH ≤ CC1 ≤ Từ (1) (2) ⇒ S ABC ≤ 1 ⇒ S ABC ≤ 1.1 =< (2) 2 3 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 74 Website:tailieumontoan.com Đề số 16 Bài a) Gọi số cần tìm abc (a, b, c ∈ N; a, b, c ≤ 9, a ≠ 0) (1) 100a + 10b + c11 Theo ta có: a + b + c11  c ch½n (2) (3) (4) Từ (2) , (3) ⇒ 101a + 11b + 2c  11 ⇒ 2(a + c)  11 mà ≤ a+ c ≤ 18 (2; 11) = ⇒ a + c = 11 (5) Từ (3) , (5) ⇒ b = c chẵn a + c = 11 ⇒ (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8) Vậy số cần tìm 902; 704; 506; 308 b) Đặt X = − 50 + + 50 ⇒ X3 = 14 – 3X ⇒ X3 + 3X – 14 = ⇒ (X-2)(X2 + 2X + 7) = Do: X2 + 2X + >0 ⇒ X-2 = ⇒ X=2 Nên: − 50 + + 50 =2 hay − 50 + + 50 số tự nhiên Bài Điều kiện xác định: {x ≤ -1 x ≥ −  4x + 5x = + a, (a ≥ 0) ⇒ 2 x x b, (b 0) − = + ≥  Đặt  } a2 4x + 5x + = 4x − 4x + = b2  ⇒ a – b2 = a - b ⇒ (a-b)(a+b-1) =0 Do b = 4x − 4x + ⇒ b ≥ ⇒ a + b –1 > ⇒ a – b =0 Từ a – b =0 ⇒ 9x – = ⇒ x = Với x = 1 thoả mãn ra, nên nghiệm phương trình là: x = 3 Bài Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 75 Website:tailieumontoan.com Với x, y số ta ln có (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) Nên a, b ≥ a2 + b2 =1 ⇒ (a+b)2 ≤ ⇒ a+b ≤ ) (dấu = a=b= Mặt khác (a+b)2 = a2 + b2 +2ab = 1+ 2ab ⇒ (a + b)2 ≥ Mà a, b ≥ ⇒ a+ b ≥ (dấu = xẩy (a, b) = (1,0) (0,1)) Vậy ta có ≤ a+b ≤ Bài Xét tích (x – 1) (y - 1)(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z –1 =x+y+z- mà x + y + z > 1 − − x y z 1 + + ⇒ (x –1)(y – 1)(z – 1) >0 x y z thừa số (x –1), (y – 1), (z – 1) dương ⇒ xyz > (loại) thừa số (x –1), (y – 1), (z – 1) âm ⇒ (x –1)(y – 1)(z – 1)