Timgiasuhanoi com Trung tâm Gia sư tại Hà Nội 0987 109 591 Chuyên đề 8 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN I Mục tiêu 1/Kiến thức cơ bản Chú ý a/ sin2α + cos2α = 1 b/ tgα = c/ d/ e/ f/ tgα c[.]
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Chuyên đề 8: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN VÀ CÁC BÀI TỐN I Mục tiêu: 1/Kiến thức bản: Chú ý: a/ sin2α + cos2α = sin α b/ tgα = cosα tg α sin α= 1+tg α d/ e/ f/ tgα cotgα = k/ c/ =1+tg α cos α cot gα= cos α = cos α sin α 1+tg α =1+ cot g α sin α l/ , II.Các dạng toán nâng cao:(Trắc nghiệm & tự luận) Dạng 1: Chứng minh đẳng thức: a) (sinx + cosx)2 = + 2sinx.cosx b) (sinx – cosx)2 = – 2sinx.cosx c) sin4x + cos4x = – 2sin2x cos2x d) sinxcosx(1 + tgx)(1 + cotgx) = + 2sinx cosx e) Cho góc nhọn tam giác vng Chứng minh hệ thức: 2 i) sin α = tg α ; 1+tg α ii) cos α = 1+tg α Dạng 2: Dựng góc nhọn biết tỉ số LG Dựng góc nhọn α, biết rằng: sinα = ; cosα = 0,8 ; tgα = Dạng 3: Đổi tỉ số LG góc nhọn thành tỉ số LG góc nhỏ 45o Đổi tỉ số lượng giác góc nhọn sau thành tỉ số lượng giác góc nhỏ 45o sin82o; cos47o; sin48o; cos55o Dạng 4: Xếp thứ tự từ nhỏ đến lớn tỉ số LG cho a) Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm Hãy tính tỉ số lượng giác góc B, C b) Xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn tỉ số lượng giác sau: sin78o; cos14o; sin47o; cos87o Dạng 5: Biết sinα Tính cosα Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 1) 2) 3) Biết sinα = 0,6 Tính cosα tgα Biết cosα = 0,7 Tính sinα tgα Biết tgα = 0,8 Tính sinα cosα 4) Biết cosx = , tính P = 3sin2x + 4cos2x 5) a) Cho góc nhọn mà sin = Tính cos tg b) Cho góc α mà cosα = - Tính sinα, tgα cotgα c) Cho tgx = √ Tính sinx cosx 6) Hãy tính sinα, tgα nếu: 12 cosα= cosα= 13 a) b) √6−√ o 7) Biết sin 15 = Tính tỉ số lượng giác góc 15o Dạng 6: Các biểu thức dạng chứng minh biết số điều kiện toán ( áp dụng hệ thức đểõ chứng minh đẳng thức khác) Ví dụ: 1/ Cho góc α, nhọn, α < Chứng minh rằng: a) cos( -α) = coscosα + sinsinα b) sin( - α) = sincosα - sinsinα 2) Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng: A B C sin sin sin ≤ cos A+cos B+cos C≤ 2 a) b) 3) Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh a, b, c Chứng minh rằng: c = a2 + b2 – 2ab.cosC (AB = c, BC = a, CA = b) Gợi ý: Ta có: AHC có H = 90o x2 + h2 = b2 ( định lý Pytago) Mặt khác: BH2 = AB2 – AH2 Hay (a – x)2 = c2 – h2 a2 + x2 -2ax = c2 – (b2 – x2) Hay a2 – 2ax = c2 – b2 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 c2 = a2 + b2 – 2ax Vậy c2 = a2 + b2 – 2abcosC 4) a/ Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 10cm, AC = 8cm Tính sinB, cosB, tgB b/ Cho tam giác ABC có AD, BE, CF đường cao Chứng minh rằng: AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC Dạng 7: Chứng minh đẳng thức sau: sin α a) Chứng minh sin α + cos α = 1, tgα = cosα 1 + =1 1+tg α 1+cot gα b) 2 c) sin4x – cos4x = 2sin2x – d) 1 + = sin x cos x tg2x + cotg2x + 1+sin2 α =1+2 tg α , 1−sin α e) f) Cho α, hai góc nhọn Chứng minh rằng: 1 2 cos2α – cos2 = sin2 - sin2α = 1+tg α - 1+tg β Gợi ý: cos2α + sin2α = cos2 + sin2 = 1 = 1+tg α 1 = =cos2 α 2 sin α cos α +sin α 1+ cos α cos2 α sin α cosα , a) tgα = cosα cotgα = sin α ( ) b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) sin2x + cos2x = 1 =1+ cot g α c) Chứng minh rằng: sin α =1+tg α cos α Dạng 8: Rút gọn biểu thức: 1) sin210o + sin220o + sin230o + sin280o + sin270o + sin260o Gợi ý : b) sin80o = cos10o; sin70o = cos20o; sin60o = cos30o Mà sin2α + cos2α = Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Do đó: sin210o + sin220o + sin230o + sin280o + sin270o + sin260o = … = 2) sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x 3) (1 + cosα)(1 – cosα) – sin2α 4) Đơn giản biểu thức: A = cosy + siny tgy B = √ 1+cosb √ 1−cosb √ C = sin a 1+tg a 5) Tính: a) cos2 12o + cos2 78o + cos2 1o + cos2 89o b) sin2 3o + sin2 15o + sin2 75o + sin2 87o 6) Đơn giản biểu thức: A = sin(90o – x)sin(180o – x) B = cos(90o – x)cos(180o – x) Dạng 9: Bài tốn cực trị Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD CE vng góc Tìm giá trị nhỏ 1 + tổng tgB tgC Dạng 10: Giải tam giác vuông C, biết rằng: a) b = 10cm, A = 30o ; b) c = 20cm, B = 35o ; c) a = 21cm, b = 18cm; d) a = 82cm, A = 42o Dạng 11: Tính khoảng cách - Tính chiều cao - Tính diện tích tam giác - Tính độ dài đoạn thẳng - C /m hệ thức tam giác… :Bằng cách áp dụng tỉ số LG góc nhọn BT 1: Cho tam giác ABC có AB = 26cm, AC = 25cm, đường cao AH = 24cm Tính cạnh BC BT 2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB AC B C Từ điểm M cung nhỏ BC (M khác B C) kẻ MD, ME, MF vng góc với đường thẳng BC, CA, AB 1/ Chứng minh tứ giác MDBF, MBCE nội tiếp 2/ Chứng minh tam giác DBM ECM đồng dạng 3/ Cho góc BAC = 60o AB = 2, tính bán kính đường trịn tâm O BT 3: Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Một sông rộng 250m Một đị chèo vng góc với dịng nước, nước chảy nên bơi 320m sang tới bờ bên Hỏi dòng nước giạt đò lệch góc BT 4: a) Cho tam giác ABC có A nhọn Chứng minh rằng: AB AC sin A b) SABC = Gợi ý : Vẽ BH đường cao tam giác ABC BH = ABsinBAH; SABC = BH.AC c) Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD O AOB nhọn Chứng minh rằng: SABCD = AC.BD.sin AOB BT 5: Cho điểm A nằm bên dãy tạo hai đường thẳng song song d m B C Xác định vị trí B C Xác định vị trí B C để diện tích tam giác ABC nhỏ BT 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Chứng minh rằng: 1 1 √2 + ≤ + = 2 a) AB AC AD b) AB AC AD BT 7: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD BC nhau, đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a sin B+cos B a) Tính sin B−cos B b) Tính chiều cao hình thang ABCD BT 8: Cho tam giác ABC Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm a) Chứng minh tam giác ABC vuông; b) Tính sinB, sinC Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 BT 9: Cho hình thang ABCD Biết đáy AB = a CD = 2a ; cạnh bên AD = a, góc A = 90o a) Chứng minh tgC = ; b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC diện tích hình thang ABCD ; c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC diện tích tam giác DBC BT 10: Gọi AM, BN, CL ba đường cao tam giác ABC a) Chứng minh: ANL ~ ABC ; b) Chứng minh: AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosAcosBcosC III.Tài liệu tham khảo: 1/ Giúp em giỏi Hình học lớp Nguyễn Đức Tấn – Võ Tất Lộc 2/ Sách giáo khoa Hình học Lớp 10 – Xuất năm 2000 3/ Hình học lớp nâng cao Vũ Hữu Bình ... Tính: a) cos2 12o + cos2 78o + cos2 1o + cos2 89 o b) sin2 3o + sin2 15o + sin2 75o + sin2 87 o 6) Đơn giản biểu thức: A = sin(90o – x)sin( 180 o – x) B = cos(90o – x)cos( 180 o – x) Dạng 9: Bài toán... α c) Chứng minh rằng: sin α =1+tg α cos α Dạng 8: Rút gọn biểu thức: 1) sin210o + sin220o + sin230o + sin 280 o + sin270o + sin260o Gợi ý : b) sin80o = cos10o; sin70o = cos20o; sin60o = cos30o... hình thang ABCD BT 8: Cho tam giác ABC Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm a) Chứng minh tam giác ABC vng; b) Tính sinB, sinC Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0 987 109 591 BT 9: