Tài liệu tự học hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Hàm số lượng giác phương trình lượng giác MỤC LỤC PHẦN – ĐỀ BÀI DẠNG XÁC ĐỊNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG 4: XÁC ĐỊNH SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO TRƯỚC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC 12 DẠNG BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG CHỨA THAM SỐ .19 5.1 Tìm số nghiệm phương trình lượng giác tập K 19 5.2 Tìm nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình lượng giác: 21 5.3 Tính tổng tất nghiệm phương trình lượng giác tập K 23 DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO TRƯỚC CÓ NGHIỆM 35 https://luyenthitracnghiem.vn DẠNG XÁC ĐỊNH CHU KỲ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC .7 DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 40 7.1 Tìm GTLN, GTNN sử dụng điều kiện 1  sin x,cos x  .40 7.2 Tìm GTLN, GTNN dạng y  a sin x  b cos x  c .43 7.3 Tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức cổ điển 47 PHẦN 3: ĐÁP ÁN CHI TIẾT 51 DẠNG XÁC ĐỊNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 51 DẠNG XÁC ĐỊNH CHU KỲ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC .56 DẠNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 58 DẠNG 4: XÁC ĐỊNH SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO TRƯỚC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC 62 DẠNG BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG CHỨA THAM SỐ .70 5.1 Tìm số nghiệm phương trình lượng giác tập K 70 5.2 Tìm nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình lượng giác: 73 5.3 Tính tổng tất nghiệm phương trình lượng giác tập K 76 DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO TRƯỚC CĨ NGHIỆM 93 DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 97 https://www.facebook.com/vietgold PHẦN 2: BẢNG ĐÁP ÁN 50  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB “Thành cơng nói khơng với lười biếng” 7.1 Tìm GTLN, GTNN sử dụng điều kiện 1  sin x,cos x  .97 7.2 Tìm GTLN, GTNN dạng y  a sin x  b cos x  c .101 https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn 7.3 Tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức cổ điển 105 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB PHẦN – ĐỀ BÀI DẠNG XÁC ĐỊNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Hình biểu diễn đồ thị hàm số y  f  x   2sin x ? B C D Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn A Câu 2: x Hình vẽ sau biểu diễn đồ thị hàm số y  cos ? A B C D Lời giải: https://www.facebook.com/vietgold “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn Câu 3: Cho đồ thị hàm số y  cos x hình vẽ: Hình vẽ sau đồ thị hàm số y  cos x  ? A B C D Lời giải: Câu 4: Cho đồ thị hàm số y  sin x hình vẽ: Hình sau đồ thị hàm số y  sin x ? A B Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB C D Lời giải: Câu 5: https://luyenthitracnghiem.vn Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C , D A y  tan x B y  cot x C y  tan x D y  cot x Lời giải: Câu 6: Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D https://www.facebook.com/vietgold Hỏi hàm số hàm số nào? “Thành cơng nói khơng với lười biếng” https://luyenthitracnghiem.vn  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Hỏi hàm số hàm số nào?   A y  sin  x    2    B y  2sin  x   2    C y   sin  x    2    D y  sin  x    2  Lời giải: https://www.facebook.com/vietgold Câu 7: Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y   sin x B y  sin x C y   cos x D y   sin x Lời giải: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Câu 8: Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D A y   sin x B y  sin x C y   cos x D y   sin x Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn Hỏi hàm số hàm số nào? Câu 9: Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào?   B y  cos  x   2    C y   sin  x    2  D y   cos x  https://www.facebook.com/vietgold   A y  sin  x   2  Lời giải: “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB https://luyenthitracnghiem.vn DẠNG XÁC ĐỊNH CHU KỲ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 10: Chu kỳ tuần hoàn hàm số y  sin x cos x cos x cos x A 2 B 4 C  D  Lời giải: https://www.facebook.com/vietgold Câu 11: Tìm chu kỳ tuần hồn hàm số y  sin x   sin x  cos x   A 2 B  C  D  Lời giải: Câu 12: Tìm chu kỳ tuần hoàn hàm số f  x   sin3 x  sin x cos3x  cos3 x sin 3x A  B  12 C 2 D 2 Lời giải: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Câu 13: Tìm chu kỳ tuần hồn hàm số f  x   cos3 x.cos3x  sin3 x.sin 3x A  B 2 C  D  Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn DẠNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 14: Tìm mệnh đề mệnh đề sau? A Hàm số y  cot x đồng biến khoảng  0;   B Hàm số y  sin x nghịch biến khoảng  3 ; 4   5 3 C Hàm số y  sin x đồng biến khoảng   ;      https://www.facebook.com/vietgold “Thành cơng nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB    D Hàm số y  cos x đồng biến khoảng   ;   2 Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn Câu 15: Cho hàm số y  sin x ; y  cos x ; y  tan x ; y  cot x Có hàm số nghịch 5  biến  3 ;    ?  https://www.facebook.com/vietgold A B C D Lời giải: Câu 16: Cho hàm số y  tan x Khẳng định sai? A Hàm số cho hàm lẻ “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB A 1  m  B  m  C  m  D 1  m  Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Chọn B  cos x    Ta có cos2 x   2m  1 cos x  m    2cos x   2m  1 cos x  m    cos x  m    Với x    ;   cos x   2 Suy cos x   không thỏa tốn    Phương trình cho có nghiệm đoạn   ;    cos x    m   2 Câu 87: Cho phương trình 2sin x   m  1 sin x   m   cos x  Có giá trị nguyên tham số m để phương trình vơ nghiệm? A B C Lời giải D Chọn A https://www.facebook.com/vietgold 2sin x   m  1 sin x   m   cos2 x    cos x   m  1 sin x   m    cos x 1   2cos x   m 1 sin x   m  1  cos x     m  4 cos x   m  1 sin x    m   Phương trình vơ nghiệm   m  4   m  1   m    4m2  12m  16   m   1;  2 Vậy có giá trị ngun tham số m để phương trình vơ nghiệm Câu 88: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2cos2 x  4m sin x cos x  m có nghiệm: A m   C   m  B m   m D m  Lời giải Chọn B Ta có 2cos2 x  4m sin x cos x  m   cos x  2m sin x  m  cos x  2m sin x  m 1 95 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Phương trình cos x m có nghiệm   4m2   m  1  3m2  2m   m   2m sin x m  Câu 89: Số giá trị nguyên m để phương trình 4m  4.sin x.cos x  m  2.cos x  3m  có nghiệm A B C D https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải Chọn D  4m   m    Điều kiện xác định: m    m   m  3m   m    4m  4.sin x.cos x  m  2.cos x  3m   m   2sin x.cos x   m  2.cos x  3m   m  1.sin x  m  2.cos x  3m  Phương trình có nghiệm    m 1  m2   3m    m 1  m   3m   m  Kết hợp điều kiện ta  m  Mà m  nên m 3; 4;5;6 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề cos x  m   có nghiệm? A B C D Vô số Lời giải Chọn C Ta có cos x  m    cos x  Phương trình có nghiệm  1  Vì m 1 m 1 m   1  m  1 nên m0;1; 2 Vậy có tất giá trị nguyên tham số m Câu 91: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình  m  1 sin x   m  có nghiệm A m  1 C 1  m  B m  D m  1 Lời giải 96 https://www.facebook.com/vietgold Câu 90: Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình “Thành cơng nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Chọn B https://luyenthitracnghiem.vn Phương trình  m  1 sin x   m    m  1 sin x  m   sin x   m2   2m  m  1 0     m2   m 1  m 1  Để phương trình có nghiệm  1  m 1     m  1 m 1  m  1      m   m  m  1 Câu 92: Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cos x  m   có nghiệm? A B C D Vô số Lời giải Chọn C Ta có cos x  m    cos x  Phương trình có nghiệm  1  Vì m https://www.facebook.com/vietgold m2 m 1 1 m 1 m   1  m  1 nên m0;1; 2 Vậy có tất giá trị nguyên tham số m Câu 93: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình  m  1 sin x   m  có nghiệm A m  1 B m  C 1  m  D m  1 Lời giải Chọn B Phương trình  m  1 sin x   m    m  1 sin x  m   sin x  m2 m 1  m2   2m  m  1 0     m2   m 1  m 1  Để phương trình có nghiệm  1  m 1     m  1 m 1  m  1      m   m  m  1 DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 7.1 Tìm GTLN, GTNN sử dụng điều kiện 1  sin x,cos x  2   Câu 94: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  sin x  sin  x     A 1 97 B C 2 D Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải Chọn A 2        Ta có A  sin x  sin  x    2sin  x   cos  sin  x    3 3      1  sin  x     1  A  1, x  3  https://luyenthitracnghiem.vn  5  Vậy  1 sin  x    1  x    k 2 , k  x 3  Câu 95: Tìm giá trị lớn biểu thức A  sin x  cos4 x A B C D Lời giải Chọn A Ta có A  sin x  cos4 x   sin 2 x  sin 2 x   1   sin 2 x  1, x  2 Vậy max  sin x   cos x   x  x   k , k  Câu 96: Tập giá trị hàm số y  sin x  cos2 x  đoạn  a; b Tính tổng T  a  b C T  B T  D T  1 https://www.facebook.com/vietgold A T  Lời giải Chọn B Cách 1: y  sin x  cos2 x   sin x  cos2 x  y  Để phương trình có nghiệm 12   3   y  1  y  y    1  y  Suy y   1;3 Vậy T  1     Cách 2: y  sin x  cos x   2sin  x    3      Do sin  x     1;1 nên 2sin  x    1  1;3 3 3       Vậy 1  y  ( Ta thấy y  1 sin  x    1 , y  sin  x    ) 3 3   98 “Thành công nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Câu 97: Hằng ngày, mực nước kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h  m  mực t   nước kênh tính theo thời gian t  h  cho công thức h  3cos     12  3 Khi mực nước kênh cao với thời gian ngắn nhất? B t  15  h  https://luyenthitracnghiem.vn A t  22  h  C t  14  h  D t  10  h  Lời giải Chọn D   Ta có: 1  cos  t      h  15 Do mực nước cao kênh 15m đạt 3 6     cos  t     t   k 2  t  2  12k 3 6 1 Vì t   2  12k   k  Chọn số k nguyên dương nhỏ thoả k  k   t  10 6 Câu 98: Gọi M N giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số   y  1  2cos x   sin x  cos x    B  A Biểu thức M  N  có giá trị C D 2 2 Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn C     Ta có y  1  2cos x   sin x  cos x   1  2  sin x cos x  2cos2 x         sin x   2cos2 x  1   sin x  cos2 x   (với  6  6  sin x  cos x   6    6  cos  ;    sin  2x     sin  ) 6 Suy    y   Do max y    M ; y     N Vậy M  N   Câu 99: Số có ánh sáng thành phố X vĩ độ 40 bắc ngày thứ t năm   không nhuận cho hàm số: d  t   3sin   t  80   12 , t  182   t  365 Vào ngày năm thành phố X có nhiều ánh sáng nhất? A 262 B 353 C 80 Lời giải Chọn D 99 D 171 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB   Ta có: d  t   3sin   t  80   12   12  15 182      Dấu xảy sin   t  80     t  80    k 2  k  182 182    t    k Mặt khác t   0;365 nên     k  365   171 194 k 364 364 A B C Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn Mà k  nên k  Vậy t  171 Câu 100: Hàm số y  2cos3x  3sin3x  có tất giá trị nguyên? D Chọn A TXD: D    cos3x  sin 3x   y  2cos3x  3sin3x   13  13  13     y  13sin  3x  arccos 2 13     Để hàm số y có giá trị nguyên  13sin  3x  arccos  nguyên 13    n  +  sin  3x  arccos (với n số nguyên)  13  13  https://www.facebook.com/vietgold  n  Mà: sin  3x  arccos    13  n  13    1;1  1  13  13  Mà: n   n  0; 1; 2  3  y có giá trị nguyên Câu 101: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y  2sin x  cos2 x A max y  , y  C max y  , y  B max y  , y  D max y  , y  Lời giải Chọn D Đặt t  sin x,  t   cos2 x   2t  y  2t  1  2t  2 1   4t  2t    2t    2  100 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 1 1  Cách 1: Do  t     2t      2t      y  2 2  https://luyenthitracnghiem.vn Cách 2: Có y  8t   y   t   0;1 1 Ta có: y    1; y    ; y 1  4 Vậy max y  đạt x  y    k 1  cos2 x   đạt sin x     cos2 x   x    k 2  x    k 4 Câu 102: Gọi M m GTLN GTNN hàm số y  sin x  cos4 x  sin x Tổng M  m A 3 B  C D Lời giải Chọn D 1 Ta có: y  sin x  cos4 x  sin x   sin 2 x  sin x   sin 2 x  sin x  2 https://www.facebook.com/vietgold Đặt t  sin x  1  t  1 y   t  t   1  t  1 parabol có đỉnh  b  b    3 I   ; y    I  1;   t  1  1;1  2  2a  2a   3 1 y  1   ; y 1  Suy M  ; m  2 2 Vậy M  m  7.2 Tìm GTLN, GTNN dạng y  a sin x  b cos x  c sin x  2cos x Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn sin x  cos x  hàm số cho Tính 7m  5M bằng? Câu 103: Cho hàm số y  A 10 B C Lời giải Chọn D TXĐ: D  Ta có: y  sin x  2cos x  1  y  sin x   y   cos x  y 1 sin x  cos x  Phương trình 1 có nghiệm  1  y    y    y 2 101 D 10 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 5  y2  y      y   m   ; M  7 Vậy 7m  5M  5   10 Câu 104: Hàm số y  3sin x  sin x  cos4 x  A có giá trị lớn M giá trị nhỏ m Khi C  10 D https://luyenthitracnghiem.vn 2cos2 x  sin x  tổng M  m bằng? B  Lời giải Chọn C TXĐ: D  Ta có: 3sin x  sin x  cos4 x   3sin x  1  2sin x cos2 x   2sin 2x  3sin x   3sin 4x  cos4x  Xét mẫu thưc: 2cos2 x  sin x   cos4x  sin x  Suy y  3sin x  sin x  cos x  2cos x  sin x  2  3sin 4x  cos 4x  cos x  sin 4x     y  sin x   y  1 cos x  y  3  Phương trình   có nghiệm    y    y  1   y  3 2 10 5  5   m M    y 7 Câu 105: Giá trị lớn M , giá trị nhỏ m hàm số: y  2cos2 x  3sin x cos x  A M  4; m  B M  3; m  C M  3; m  D M  4; m  Lời giải Chọn A Tập xác định D  Ta có  1 y  2cos2 x  3sin x cos x   cos2 x  3sin x  *   cos x  sin x   2 2     2cos  x    3    Mặt khác  2cos  x     4, x  3    y  4,  x  Vậy giá trị lớn hàm số M  x    k 102 https://www.facebook.com/vietgold  y  10 y    “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Và giá trị nhỏ hàm số m  x  Câu 106: Cho hàm số y  sin x  cos x  sin x  cos x    k Gọi M ; m giá trị lớn giá trị nhỏ https://luyenthitracnghiem.vn hàm số Tổng M  m B 2 A C 1 D Lời giải Chọn C Tập xác định D  (do sin x  cos x   0; x  Xét phương trình: y  sin x  cos x  sin x  cos x  )  1  y  sin x    y  cos x   y  * Phương trình *  có nghiệm  1  y     y   1  y   y  y    2  y  2 Vậy M  1; m  2  M  m  1 Câu 107: Giá trị lớn hàm số y  A  cos x  2sin x  2cos x  sin x  C 1 B D Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn B Xét phương trình: 2cos x  sin x   *  Ta có : 22   1  42 nên phương trình *  vô nghiệm, hay 2cos x  sin x   0, x  Do đó, hàm số cho có tập xác định D  y cos x  2sin x    y  1 cos x   y   sin x   y ** 2cos x  sin x  Để tồn giá trị lớn hàm số ban đầu phương trình   y  1   y     y  3  11y  24 y    2 ** phải có nghiệm  y  11 Vậy GTLN hàm số cho Câu 108: Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số y  nhỏ A B C Lời giải Chọn C Dễ thấy cos x  2, x  103 nên hàm số có tập xác định D  D m sin x  cos x  Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có y  * m sin x   y cos x  y  m sin x   m sin x  y cos x  y  *  cos x  có nghiệm m2  y   y  1  y  y   m2  2   3m2   3m2   3m2  ymax      3m2   m2   y 3 Câu 109: Giả sử M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số y  sin x  2cos x  sin x  cos x  Tìm M  3m A  B C D Lời giải Chọn D     Ta có: sin x  cos x    sin  x    2  sin  x     (vơ nghiệm) 4 4   Do đó, hàm số cho có tập xác định D  Ta có y  https://luyenthitracnghiem.vn  m 2; 1;0;2;1 Vậy có giá trị m thỏa ycbt Do m sin x  2cos x    y  1 sin x   y   cos x   y *  sin x  cos x  Hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ * có nghiệm  1  y    y  1   y   2  y  y    2  y  Do m  2 , M  Vậy 2M  3m  2sin x  cos x  Khẳng định sau đúng? B 3m  M  8 A 3m  M  C 3m  M  D 3m  M   Lời giải Chọn B Dễ thấy cos x  2, x  Ta có y  nên hàm số có tập xác định D  2sin x   y.cos x  2sin x   y *  cos x  Để tồn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ban đầu phương trình *  phải có nghiệm  y     y  2  y  y     y  Do M     m   Vậy 3m  M  8 Câu 111: Tập giá trị hàm số y  sin x  cos2 x  đoạn  a; b Tính tổng T  a  b A T  B T  1 C T  D T  104 https://www.facebook.com/vietgold Câu 110: Gọi M , m tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  “Thành công nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải Chọn D https://luyenthitracnghiem.vn Cách 1: y  sin x  cos2 x   sin x  cos2 x  y  *  Để tồn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ban đầu phương trình *  phải có nghiệm 12   3   y  1  y  y    1  y  Suy y   1;3 Vậy T  1   Cách 2: Ta có y   sin x  cos2 x Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopskii ta có  y  1   sin x  3cos2 x   1  3 sin 2 x  cos2 x    2  y    1  y  Vậy T  1     Cách 3: y  sin x  cos x   2sin  x    3      Do sin  x     1;1 nên 2sin  x    1  1;3 3 3   Vậy 1  y  https://www.facebook.com/vietgold Câu 112: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  3sin x  4cos x  A max y  , y  4 B max y  , y  6 C max y  , y  6 D max y  , y  8 Lời giải Chọn C Ta có y  3sin x  4cos x   3sin x  4cos x  y  *  Ta coi *  phương trình cổ điển với a  , b  , c  y  Phương trình *  có nghiệm a  b2  c   16   y  1  6  y  Vậy max y  , y  6 Chú ý: Ta áp dụng bất đẳng thức BCS sau: y   3sin x  4cos x  3  42 sin x  cos x   7.3 Tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức cổ điển Câu 113: Cho hàm số y   2sin x   2cos2 x  Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số Khi giá trị M  m 105 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 32 A  1 B C  2  D    Lời giải Chọn C Đặt t   2sin x   2cos2 x  t  1  2sin x   1  2cos2 x   1  2sin x 1  2cos2 x     sin 2 x https://luyenthitracnghiem.vn  t    sin 2 x      y   2sin x   2cos2 x   k Khi m  Dấu ''  '' xảy sin x   x  Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có  2sin x   2cos2 x  1  12 1  2sin x   2cos2 x   2  y   2sin x   2cos2 x   2    x    k  k  Khi M  2  Dấu ''  '' xảy sin x  cos2 x     x   k  Vậy M  m   2  A  33 B 2sin x  3cos x  sin x  cos x   33 C D https://www.facebook.com/vietgold Câu 114: Tìm giá trị lớn hàm số y  Lời giải Chọn A Ta có y  1  y  2sin x  3cos x    y   sin x   y  3 cos x   y sin x  cos x  2 2   y   sin x   y  3 cos x    y     y  3  sin x  cos x     y  y  12    33  33  y 2 Câu 115: Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f  x   sin 2018 x  cos2018 x A 1008 B 1009 C D 1008 106 “Thành công nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải Chọn D https://luyenthitracnghiem.vn Đặt a  sin x, b  cos2 x Ta có sin2018 x  cos2018 x  sin2 x  cos2 x  Dấu "  " xảy  x  k  a1009  b1009  a b sin 2018 x  cos2018 x     2      1009 Vậy giá trị nhỏ 1008  1008  Dấu "  " xảy  x   k  ; giá trị lớn Câu 116: Cho x , y số thực thỏa mãn cos2 x  cos2 y  Giá trị nhỏ biểu thức P  tan x  tan y A B D C Lời giải Chọn B https://www.facebook.com/vietgold    1     1    1    Ta có P     2  cos2 x  cos2 y  cos x   cos y      1  1 Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta P   2       cos x  cos y  1     Câu 117: Cho hai số thực x, y thuộc  0;  thỏa mãn cos2 x  cos2 y  2sin  x  y   Giá trị  2 P nhỏ A 3 cos4 x cos4 y  y x B  C  Lời giải Chọn C Ta có cos2 x  cos2 y  2sin  x  y    sin x  sin y  sin  x  y  Suy x  y   a b2  a  b    , ta Áp dụng BĐT cộng mẫu m n mn 107 D  Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB P cos x  cos y  2 x y    2 cos x  cos   x     cos x  sin x        x y x y  Dấu ''  '' xảy  x  y   Nhận xét Việc suy x  y   chứng minh sau:     Với x, y   0;  suy  x,  y thuộc 2  2 https://luyenthitracnghiem.vn    0;   2   Trên đoạn 0;  , hàm y  sin x đồng biến  2      x   y  sin x  sin   y   cos y     Nếu x  y     y    x  sin y  sin    x   cos x    2   sin x  sin y  sin x.sin x  sin y.sin y  sin x.cos y  sin y.cos x  sin  x  y  : mâu thuẫn Tương tự cho x  y  Trường hợp x  y    : thỏa mãn Câu 118: Cho a, b, c số thực thỏa mãn a  b2  c2  Tìm giá trị lớn M tất https://www.facebook.com/vietgold   hàm số y  a  b sin x  c cos x với x   0;   4 B M   A M     D M   C M   Lời giải Chọn C  Ta có a  b sin x  c cos x   a 2  b2  c  1  sin x  cos x       1  sin  x           Suy a  b sin x  c cos x   b c   24  a  sin x  cos x a  ;b  c     2 2  Dấu ''  '' xảy   a  b  c        x  sin  x    1, x   0;  4     2 108 “Thành cơng nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Câu 119: Tập giá trị hàm số y  sin x  cos2 x  đoạn  a; b Tính tổng T  a  b C T  B T  A T  D T  1 Lời giải Ta có y   sin x  cos2 x Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopskii ta có  y  1   sin x  3cos2 x Vậy T  1   https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn Chọn B 109   1  3 sin 2 x  cos2 x    2  y    1  y 