Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác nguyễn tài chung

1 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 MỤC LỤC CHƯƠNG Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Các hàm số lượng giác A Một số dạng toán B Bài tập tự luận 10 C Bài tập trắc nghiệm 11 Phương trình lượng giác 17 A Tóm tắt lí thuyết 17 B Một số dạng tốn 18 C Bài tập ôn luyện 20 D Bài tập trắc nghiệm 20 Phương trình bậc hai, bậc ba hàm số lượng giác 26 A Bài tập tự luận 26 B Bài tập trắc nghiệm 26 Phương trình bậc sin x cos x 30 A Phương pháp giải 30 B Bài tập tự luận 31 C Bài tập trắc nghiệm 32 D Phương trình dạng a sin x + b cos x = c sin u + d cos u, với a2 + b2 = c2 + d2 35 Phương trình đẳng cấp bậc hai sin x cos x MỤC LỤC 36 A Phương pháp giải toán 36 B Bài tập tự luận 36 C Bài tập trắc nghiệm 37 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 10 11 Sử dụng cơng thức biến đổi để giải phương trình lượng giác 39 A Cơng thức biến đổi tổng thành tích 39 B Cơng thức biến đổi tích thành tổng 39 C Công thức hạ bậc, nâng cung 40 D Bài tập trắc nghiệm 40 Phương trình đưa dạng tích 41 A Bài tập tự luận 41 B Bài tập trắc nghiệm 42 Một số phép đặt ẩn phụ thông dụng 44 A Phép đặt ẩn phụ u = sin x + cos x, với điều kiện |u| ≤ B Phép đặt ẩn phụ u = sin x cos x = C Phép đặt ẩn phụ t = tan x + cot x D Phép đặt ẩn phụ t = tan E Bài tập trắc nghiệm √ 44 1 sin 2x (khi |u| ≤ ) 2 45 46 x 46 47 Phương trình chứa ẩn mẫu phương pháp kết hợp nghiệm 48 A Bài tập tự luận 48 B Bài tập trắc nghiệm 50 Một số toán sử dụng phương pháp đánh giá 52 A Bài tập tự luận 52 B Bài tập trắc nghiệm 52 Sử dụng lượng giác để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 52 A Dấu hiệu để lượng giác hóa tốn 52 B Bài tập tự luận 53 C Bài tập trắc nghiệm 53 MỤC LỤC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 12 Bất phương trình lượng giác 54 Ôn tập chương 55 MỤC LỤC A Bộ đề số 55 B Bộ đề 58 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 MỤC LỤC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Tìm tập xác định hàm số Phương pháp Tập xác định hàm số y = f ( x ) tập hợp giá trị x cho f ( x ) có nghĩa Điều kiện √ A có nghĩa B = 0, điều kiện A có nghĩa A ≥ B Các hàm số y = sin x y = cos x có tập xác định D = R π + kπ |k ∈ Z π Hay nói cách khác, hàm số y = tan x xác định x = + kπ, với k ∈ Z Hàm số y = tan x có tập xác định D = R\ Hàm số y = cot x có tập xác định D = R\ {kπ |k ∈ Z} Hay nói cách khác, hàm số y = cot x xác định x = kπ, với k ∈ Z Chú ý π + k2π; π sin u = −1 ⇔ u = − + k2π; (2) cos u = ⇔ u = k2π; (4) cos u = −1 ⇔ u = π + k2π; sin u = ⇔ u = kπ; (6) cos u = ⇔ u = sin u = ⇔ u = (1) (3) (5) π + kπ Bài Tìm tập xác định hàm số: y= − sin x ; cos x … y= y= y = cos 4x + − cos x ; + sin x y= 2008 ; sin x cos x y= √ ; sin x − cos 3x; tan 5x − cos 10x sin 5x Bài Tìm tập xác định hàm số: y = tan 4x + π ; y = cot π − 10x + 2008x Bài Tìm m để hàm số sau có tập xác định R: y= √ m − sin x; y= √ 2m + cos 2x; − sin 3x m cos x + y= √ CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Dạng Xét tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác y = f ( x) Phương pháp Bước Tìm tập xác định D hàm số y = f ( x ) Bước Với x ∈ D: ß −x ∈ D Nếu y = f ( x ) hàm số chẵn f (− x ) = f ( x ) ß −x ∈ D Nếu y = f ( x ) hàm số lẻ f (− x ) = − f ( x ) Chú ý Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng, đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (trục Oy) làm trục đối xứng Chú ý Ta có (1) cos(− x ) = cos x, ∀ x ∈ R; (3) tan(− x ) = − tan x, ∀ x = π + kπ; (2) sin(− x ) = − sin x, ∀ x ∈ R; (4) cot(− x ) = − cot x, ∀ x = kπ Vậy hàm số y = cos x hàm số chẵn, hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lẻ Bài Xét tính chẵn-lẻ hàm số sau: y = −19 cos x; y = sin x − sin3 x; y = sin3 x cos8 x − cot x; y = sin x − cos x; y= tan x − cot 2x ; sin x y = sin x + cos x − Bài Xét tính chẵn-lẻ hàm số sau: tan x + cot x ; y= sin x cos x ; |sin x | − √ √ y = + sin x − − sin x y= y = |sin x − cos x | − |sin x + cos x |; Bài Xác định giá trị m cho hàm số y = f ( x ) = 2m sin 2008x + cos 3x hàm số chẵn Dạng Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác Phương pháp Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Dựa vào chiều biến thiên hàm số lượng giác bản: Hàm số y = sin x đồng biến khoảng − khoảng π 3π + k2π; + k2π 2 π π + k2π; + k2π 2 nghịch biến (với k ∈ Z) Hàm số y = cos x đồng biến khoảng ((2k − 1)π; k2π ) nghịch biến khoảng (k2π; (2k + 1)π ) (với k ∈ Z) CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Hàm số y = tan x đồng biến khoảng − π π + kπ; + kπ 2 Hàm số y = cot x nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ ) (k ∈ Z) Lưu ý Sử dụng đường tròn lượng giác, ta dễ dàng suy chiều biến thiên hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Bài Lập bảng biến thiên của: a) Hàm số y = sin x đoạn [0; π ] b) Hàm số y = cos x − đoạn [0; π ] c) Hàm số y = sin x + π đoạn − d) Hàm số y = −2 sin 2x + π 4π 2π ; 3 đoạn − 2π π ; 3 Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác Phương pháp Dựa vào bảng biến thiên hàm số lượng giác, dựa vào đường tròn lượng giác Chú ý rằng: −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀ x ∈ R; −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀ x ∈ R √ Dựa vào bất đẳng thức Cô-si: a + b ≥ ab ( a, b ≥ 0); dấu "=" xảy a = b Dựa vào tính chất hàm số bậc hai: hàm số f ( x ) = ax2 + bx + c ( a = 0) có đồ thị Parabol với: ◦ Đỉnh I − b −∆ ; 2a 4a hay I − b b ; f (− ) 2a 2a b 2a ◦ Bề lõm hướng lên a > 0, hướng xuống a < ◦ Trục đối xứng đường thẳng ∆ : x = − ◦ Hàm số f ( x ) = ax2 + bx + c ( a = 0) có bảng biến thiên sau: Nhận xét Khi kiểm ta xem giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đạt ta thường sử dụng ý Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: π π a) Hàm số y = cos x đoạn − ; 2 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 π b) Hàm số y = sin x đoạn − ; π π c) Hàm số y = sin x đoạn − ; − π π d) Hàm số y = tan 2x đoạn − ; Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: y = sin x − π + 2; y= − cos(3x2 ) − 2; y = 2008 cos √ x − Bài 10 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin x + cos x; y = sin4 x + cos4 x; y = sin6 x + cos6 x Bài 11 Cho trước hai số thực a, b không đồng thời Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = a sin x + b cos x Bài 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin2 x + sin x cos x + cos2 x Bài 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: √ y = |sin x | − cos x Bài 14 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 12 sin4 x + sin2 2x + cos 4x + cos2 x Bài 15 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số: g( x ) = sin x + cos x − sin 2x + Dạng Phương pháp lượng giác hoá Phương pháp π π Nếu gặp − a ≤ u ≤ a đặt u = a sin α, với − ≤ α ≤ đặt u = a cos α, với 2 ≤ α ≤ π π π Nếu gặp a2 + u2 ta đặt u = a tan α, với − < α < đặt u = a cot α, với 2 < α < π Nếu gặp u2 + v2 = ta đặt u = cos α v = sin α, với ≤ α ≤ 2π Bài 16 Cho x2 + y2 = 1, u2 + v2 = 1, xu + yv = Chứng minh x2 + u2 = 1, y2 + v2 = 1, xy + uv = CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 17 Cho | x | ≥ |y| Chứng minh | x + y| + | x − y| = x + » x − y2 + x − » x − y2 (1) Bài 18 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x) = + 8x2 + 12x4 (1 + 2x2 ) Bài 19 Xét số thực x, y không đồng thời Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x2 − ( x − 4y)2 biểu thức: P = x2 + 4y2 Bài 20 (ĐH-2008D) Xét hai số thực x, y khơng âm Tìm giá trị lớn giá trị bé ( x − y) (1 − xy) biểu thức: P = (1 + x )2 (1 + y )2 Dạng Xét tính tuần hồn hàm số lượng giác Phương pháp Hàm số y = f ( x ) xác định tập hợp D gọi hàm số tuần hồn có số T = cho với x ∈ D ta có x + T ∈ D, x − T ∈ D f ( x + T ) = f ( x ) Nếu có số dương T nhỏ thoả mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần hồn với chu kì T Chú ý Hàm số y = sin x hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì 2π Hàm số y = tan x hàm số y = cot x tuần hồn với chu kì π Bài 21 Chứng minh số T thỏa mãn sin ( x + T ) = sin x, ∀ x ∈ R phải có dạng T = k2π, k số nguyên Từ suy hàm số y = sin x hàm số tuần hoàn với chu kì 2π Bài 22 Cho hàm số y = f ( x ) = A sin (ωx + α) ( A, ω, α số; A α = 0) Chứng minh với số nguyên k, ta có f x + k 2π ω = f ( x ), ∀ x ∈ R Bài 23 Chứng minh hàm số f ( x ) = sin x hàm số tuần hồn với chu kì 2π Bài 24 Chứng minh hàm số f ( x ) = cos (2x − 1) + hàm số tuần hồn với chu kì π Bài 25 Chứng minh hàm số f ( x ) = cos x + cos πx hàm số tuần hoàn Bài 26 Hãy hàm số f xác định R, hàm lượng giác thỏa mãn f ( x + 2) = f ( x ), ∀ x ∈ R Dạng Một số toán khác Bài 27 Chứng minh với số thực x, y ta có cos x2 + cos y2 − cos( xy) < CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 10 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 28 Tìm x để bất phương trình x2 + 2x (sin y + cos y) + ≥ (1) với y ∈ R Bài 29 Cho số thực x, y, z thoả mãn điều kiện x= π π π + kπ, y = + mπ, z = + nπ (k, m, n ∈ Z) 2 Chứng minh tan x + tan y + tan z = tan x tan y tan z ⇔ x + y + z = lπ, l ∈ Z Bài 30 Cho a1 , a2 , , an số thực thoả mãn n −2 ≤ ≤ 2, ∀i = 1, 2, , n; ∑ = i =1 Chứng minh a31 + a32 + · · · + a3n ≤ 2n B BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 31 Xét tính chẵn - lẻ hàm số sau: y = cos x − π ; y = tan | x |; y = tan x − sin 2x Bài 32 (Kosovo National Mathematical Olympiad 2011, Grade 11) Tìm giá trị lớn hàm số f ( x ) = − sin2 3x + sin 6x Bài 33 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos2 2x − sin x cos x + Bài 34 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = cos4 x − 3cos2 x + x Bài 35 Chứng minh giao điểm đường thẳng y = với đồ thị hàm số y = sin x √ cách gốc tọa độ khoảng nhỏ 10 Bài 36 Từ tính chất hàm số y = sin x hàm số tuần hồn với chu kì 2π, chứng minh rằng: a) Hàm số y = A sin (αx + β) + B ( A, B, α, β số, Aα = 0) hàm số tuần 2π hoàn với chu kì |α| b) Hàm số y = cos (αx + β) + B ( A, B, α, β số, Aα = 0) hàm số tuần 2π hồn với chu kì |α| CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 46 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 C PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ T = TAN X + COT X Khi đó: sin x cos x + = = cos x sin x sin x cos x sin 2x t2 = tan2 x + cot2 x + ≥ tan2 x cot2 x + ⇒ t2 ≥ ⇒ |t| ≥ t= t3 = tan3 x + cot3 x + tan x + cot x Bởi vậy: = t sin 2x tan2 x + cot2 x = t2 − tan3 x + cot3 x = t3 − 3t cot2 2x = t2 − = − sin2 2x Nhận xét Hãy tương tự cho phép đặt ẩn phụ t = tan x − cot x Bài 12 (ĐH An ninh Cảnh sát-1997) Giải phương trình: tan x + cot x = Bài 13 Giải phương trình: tan2 x + cot2 x + tan x + cot x + = (1) Bài 14 Giải phương trình: cot2 2x + cot3 x + tan3 x = √ √ Bài 15 Giải phương trình: + tan x + + cot x = Bài 16 Giải phương trình √ (tan x − cot x ) = tan2 x + cot2 x − Bài 17 Giải phương trình |2 tan x − 1| + |2 cot x − 1| = D PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ T = TAN (1) X x 2t − t2 sin x = , cos x = Với phép đặt ta chuyển phương trình + t2 + t2 lượng giác thành phương trình đại số x Bài 18 Chứng minh t = tan 2t − t2 sin x = , cos x = + t2 + t2 x Từ giải phương trình sin x + cos x = + cot (1) x Bài 19 Giải phương trình sin x + cos x = + tan x Nhận xét Khi giải phương trình có điều kiện đặt t = tan tiện lợi cách khác Nếu t = tan Bài 20 Giải phương trình sin x + |2 cos x − 1| = (1) CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 47 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 E BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Đề Câu Tìm m để phương trình sin 5x + cos 5x = m − vô nghiệm √ √ m ≥ + √2 m > + √2 A B m ≤ 1− m < 1− √ √ √ √ C − ≤ m ≤ + D ≤ m ≤ Câu (Đề thi HK1, THPT Chuyên Thái Nguyên, 2019) Nghiệm âm lớn phương trình sin x + cos x = − A − 3π sin 2x π C − B −2π D −π Câu (Đề thi HKI, THPT Việt Đức, Hà Nội) Gọi x0 nghiệm phương trình | sin x − cos x | + sin 2x = sin 2x0 bao nhiêu? 7π D −1 A B C 12 Câu Tìm m để phương trình sin x + cos x = m + sin 2x có nghiệm 5 A m ≤ B m > 4 √ √ 5 D − − ≤ m ≤ C − + ≤ m ≤ 4 Câu Xét số thực a cho sin a ≥ 0, a nghiệm phương trình sin x + cos x = a Tính tan √ √ √ √ a a 3− a 3−2 a 3+2 B tan = A tan = + C tan = D tan = 2 3 Câu Giải phương trình sin x + |3 cos x − 1| = A x = arctan + 2mπ (m ∈ Z) B x = arctan + mπ (m ∈ Z) C x = π + k2π, x = arctan + mπ (k ∈ Z, m ∈ Z) D x = π + k2π, x = arctan + 2mπ (k ∈ Z, m ∈ Z) Câu (Đề KSCL Toán 12 lần năm 2017 - 2018, Phan Chu Trinh, Đắk Lắc) Tổng nghiệm phương trình sin x cos x + | sin x + cos x | = khoảng (0; 2π ) bao nhiêu? A 2π B 4π C 3π D π Đáp án lời giải ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM B A A D D D C LỜI GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 48 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 BÀI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU VÀ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM Với loại phương trình giải khơng cẩn thận dễ dẫn đến lấy thừa thiếu nghiệm Điều quan trọng để giải dạng đặt điều kiện kiểm tra điều kiện xác định Thơng thường ta hay dùng đường trịn lượng giác phương trình nghiệm nguyên để loại nghiệm Một phương pháp hiệu kết hợp điều kiện, loại nghiệm bước biến đổi, bạn đọc theo dõi phương pháp thông qua lời giải tập 3, ??, 5, 7, A BÀI TẬP TỰ LUẬN sin 2x + cos 2x = cos x − cos 2x Bài (ĐH-2011D) Giải phương trình: Bài Giải phương trình: sin 2x + cos x − sin x − √ = tan x + (1) Bài (Dự bị ĐH-2008A) Giải phương trình: tan x = cot x + cos2 2x (1) x + tan x = sin x + Bài (Đề dự bị ĐH-2005D) Giải phương trình Bài Giải phương trình: cos 2x + tan x tan tan 3π sin x −x + = 2 + cos x (1) Bài (ĐH-2003A) Giải phương trình cot x − = cos 2x + sin2 x − sin 2x + tan x (1) Bài (Đề dự bị ĐH-2007A) Giải phương trình: sin 2x + sin x − 1 − = cot 2x sin x sin 2x (1) Bài (ĐH-2003B) Giải phương trình: cot x − tan x + sin 2x = sin 2x (1) Bài (ĐH - 2011A, Phần chung) Giải phương trình √ + sin 2x + cos 2x = sin x sin 2x + cot2 x (1) π ) = sin2 x − tan x Bài 11 (ĐH-2003D) Giải phương trình: Bài 10 Giải phương trình sin2 ( x − sin2 x π x − tan2 x − cos2 = (1) CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 49 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Bài 12 Giải phương trình: = tan x + cot 2x Bài 13 Giải phương trình √ (cos x − sin x ) cot x − sin4 x + cos4 x = (tan x + cot x ) sin 2x Bài 14 Giải phương trình: + sin 2x Bài 15 Giải phương trình: 3π sin x sin 3x − = + cos 2x + cos 2x = cos x + tan x Bài 16 Giải phương trình cot x = tan x + cos 4x sin 2x (1) Khi kết hợp điều kiện phương trình nghiệm ngun (khơng sử dụng đường trịn lượng giác) để có định hướng tốt, ta thường sử dụng kết sau Định lí Giả sử a, b, c số nguyên, a = 0, b = 0, d ước chung lớn a b Khi phương trình (ẩn x ∈ Z, y ∈ Z) ax + by = c có nghiệm d ước c Định lí Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm nguyên phương trình ax + by = c (với a, b, c số nguyên, a = 0, b = 0, ( a, b) = 1) nghiệm ngun xác định theo cơng thức: ß x = x0 − bt ( t ∈ Z) y = y0 + at Chứng minh Vì cặp ( x0 ; y0 ) nghiệm nguyên phương trình ax + by = c nên (1) ax0 + by0 = c Xét cặp số nguyên ( x0 − bt; y0 + at) (t ∈ Z), ta có a ( x0 − bt) + b (y0 + at) = ax0 + by0 theo (1) = c Suy ( x0 − bt; y0 + at) nghiệm ax + by = c, với t ∈ Z Đảo lại, giả sử ( x1 ; y1 ) nghiệm phương trình ax + by = c, nghĩa ax1 + by1 = c Trừ đẳng thức vào đẳng thức (1) ta (2) a ( x1 − x0 ) = b (y0 − y1 ) Từ (2) có a ( x1 − x0 ) b, mà ( a, b) = nên ( x1 − x0 ) b, hay tồn tai số nguyên t cho x1 − x0 = −tb Từ (2) ta có: b (y0 − y1 ) = −tab ⇒ y0 − y1 = −ta ß Vậy x1 = x0 − bt ta có điều phải chứng minh y1 = y0 + at, Lưu ý CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 50 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Từ định lí 2, suy để giải phương trình Điơphăng bậc nhất, ta cần tìm nghiệm riêng ( x0 ; y0 ), nghiệm có dạng: ß x = x0 − bt ( t ∈ Z) (*) y = y0 + at Để cho dễ nhớ hơn, ta để ý ß x = x0 − bt ( t ∈ R) y = y0 + at phương trình tham số đường thẳng ax + by = c mặt phẳng toạ độ Oxy Bởi (∗) cho ta tất nghiệm nguyên phương trình Điơphăng bậc ax + by = c Bài 17 (ĐH GTVT Hà Nội-96) Giải phương trình cos 3x tan 5x = sin 7x (1) Bài 18 Giải phương trình: cos 3x tan 7x = sin 11x (1) Bài 19 Giải phương trình: cos2 5x − cos2 2x + = (1) Bài 20 Giải phương trình sin 3x cos 5x = x x Bài 21 Giải phương trình sin sin = Bài 22 Giải phương trình sin 7x + cos 2x = −2 B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Đề π cos 4x = tan 2x có nghiệm thuộc khoảng 0; ? Câu Phương trình cos 2x A B C D 2 sin 2x + sin x − − cos 2x Câu Giải phương trình = cos x π π A ± + kπ B + k2π 3 π π π C − + k3π D + kπ, x = + kπ 3 sin x cos x cos 2x Câu Số nghiệm phương trình = thuộc đoạn [−3π; 3π ] cos x + A 21 B 23 C 25 D 20 √ sin 2x + cos x − (cos 2x + sin x ) √ Câu Giải phương trình: = sin 2x − π π π π k2π A x = + k2π, x = − + k2π (k ∈ Z) B x = + k2π, x = + ( k ∈ Z) 6 π k2π π C x = + D x = − + k2π (k ∈ Z) ( k ∈ Z) Câu Phương trình tan 3x tan 2x = có nghiệm thuộc khoảng (0; 2π )? A B C D 10 Câu Tính số nghiệm đoạn [0; 2π ] phương trình cos 3x tan 7x = sin 11x A B 20 C 27 D 29 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 51 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Đáp án lời giải ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 52 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 A A A A B C LỜI GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM BÀI 10 MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ A BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Giải phương trình sin4 x + cos7 x = Bài Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 10 (1) Bài Giải phương trình cos x + cos 3x cos 5x = Bài Giải phương trình (sin x + cos x )4 = − sin2 2x Bài Giải phương trình sin2 x sin 5x − cos2 x cos 5x = (1) Bài Giải phương trình: 3sin4 x + 2cos2 3x + cos 3x = 3cos4 x − cos x + B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Đề Đáp án lời giải ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM LỜI GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM BÀI 11 SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ A DẤU HIỆU ĐỂ LƯỢNG GIÁC HĨA BÀI TỐN Nếu tốn chứa − √ a2 − x2 , hay điều kiện −1 ≤ x ≤ 1, ta đặt x = | a| sin t với | a| π π ≤ t ≤ x = | a| cos t với ≤ t ≤ π 2 √ | a| | a| ≤ 1, ta đặt x = với x sin t π π π | a| \ {0} x = với t ∈ [0; π ] \ t∈ − ; 2 cos t √ π π Nếu tốn chứa a2 + x2 đặt x = | a| tan t với t ∈ − ; x = | a| cot t 2 với t ∈ (0; π ) … … a+x a−x Nếu tốn chứa đặt x = a cos 2t a−x a+x Nếu toán chứa Nếu toán chứa x2 − a2 , hay điều kiện −1 ≤ ( x − a) (b − x ) đặt x = a + (b − a) sin2 t CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 53 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Lợi phương pháp lượng giác hóa đưa phương trình ban đầu phương trình lượng giác biết cách giải phương trình đẳng cấp, đối xứng điều kiện nhận loại nghiệm dễ dàng nhiều Vì lượng giác hàm tuần hồn nên ta ý đặt điều kiện biểu thức lượng giác cho khai khơng có dấu trị tuyệt đối, có nghĩa ln dương B BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Giải phương trình 1+ √ √ √ − x2 = x + − x2 x −1 Bài (Đề thi thức Olympic 30/04/2011) Giải phương trình sau tập số thực » » » + − x2 (1 + x )3 − (1 − x )3 = + Bài Giải phương trình − x2 = 4x2 − x2 √ − x + 2x − x2 = √ √ Bài Giải phương trình 2x + (4x2 − 1) − x2 = 4x3 + − x2 Bài Giải phương trình 2x2 + Bài Giải phương trình √ √ x2 + + Bài Giải hệ phương trình (1) x2 + ( x + 1)2 = 2x 2x (1 − x2 ) Bài (Đề nghị Olympic 30/04/2003-tốn 10) Giải phương trình 4x3 − 3x = ® (1) − x2 x√ − y2 = 0, 25 y − x2 = 0, 25 Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số a: √ √ a + x + a − x = a (1) Bài 10 Tìm giá trị tham số a để bất phương trình sau có nghiệm: √ √ a − x + a + x > a (1) Bài 11 Tìm m để bất phương trình sau với x ∈ [−1; 8] √ 1+x+ √ 8−x− + 7x − x2 ≤ m C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Đề Đáp án lời giải ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM LỜI GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (1) 54 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 BÀI 12 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trong ta giải bất phương trình lượng giác bản, sin x ≥ a, cos x ≥ a, tan x ≥ a, cot x ≥ a, sin x ≤ a, cos x ≤ a, tan x ≤ a, cot x ≤ a (trong a số thực) Phương pháp giải trình bày thơng qua tốn cụ thể Bài Giải bất phương trình sin x > 0, Bài Giải bất phương trình cos x > Bài Giải bất phương trình tan x < Bài Giải bất phương trình cos(2x + 1) ≥ √ Bài Giải bất phương trình sin(3 − 5x ) < √ Bài Giải bất phương trình cot x ≥ CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 55 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 ÔN TẬP CHƯƠNG A BỘ ĐỀ SỐ 1 Đề Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy cho đường trịn đơn vị (đường trịn tâm O(0; 0), bán kính R = 1) Với số thực α, ta xác định điểm M ( x; y) đường tròn đơn vị cho (OA, OM) = α hình vẽ Mệnh đề sau sai? A sin α = OK B cos α = OH OH ( K ≡ O ) C tan α = OK OH D cot α = ( K ≡ O ) OK Câu Tìm tập xác định hàm số y = sin A D = [−2; 2] C D = R + 2x x B D = [−1; 1] \ {0} D D = R\ {0} Câu Tìm tập xác định hàm số y = cot x + sin 3x π + kπ B D = R\ {kπ } A D = R\ ß2 ™ kπ C D = R\ D D = R √ Câu Tìm tập xác định hàm số y = cos x A D = [0; 2π ] B D = [0; +∞) C D = R D D = R\ {0} Câu Tìm tập giá trị T hàm số y = sin 2x A T = [−2; 2] B T = [−1; 1] C T = R D T = (−1; 1) Câu Trong hàm số y = sin 2x, y = cos x, y = tan x y = cot x có hàm số tuần hoàn? A B C D Câu Chu kỳ tuần hoàn hàm số y = sin x bao nhiêu? A π B 2π C 4π Câu Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? cos 2x A y = x2 tan x B y = x2 cot 2x C y = x D k2π D y = | sin 3x | Câu Xét hàm số y = sin x đoạn [0; π ] Mệnh đề đúng? π π ;π A Hàm số đồng biến khoảng 0; 2 π π B Hàm số đồng biến khoảng 0; nghịch biến khoảng ;π 2 π π C Hàm số nghịch biến khoảng 0; đồng biến khoảng ;π 2 π π D Hàm số nghịch biến khoảng 0; ;π 2 Câu 10 Hình đồ thị hàm số y = | sin x |? CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 56 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 y A O C O y x y x B O D O x x y √ Câu 11 Tìm tập nghiệm S phương trình cos 2x = − ß ™ ß2 ™ 3π 3π 3π 3π A S = − + kπ; + kπ, k ∈ Z B S = − + k2π; + k2π, k ∈ Z 8 ß ™ ß ™ 3π π 3π π C S = + kπ; + kπ, k ∈ Z D S = + k2π; + k2π, k ∈ Z 8 8 Câu 12 Tìm tập nghiệm S phương trình sin2 x − sin x cos x + cos2 x = ß A S = ™ π + kπ; arctan + kπ, k ∈ Z C S = + kπ; + kπ, k ∈ Z B S = {1; 3} ™ ß π + kπ; 1, 25 + kπ, k ∈ Z D S = Câu 13 Cho phương trình sin2 x + sin x cos x + cos2 x = Họ sau họ nghiệm phương trình? π π A + kπ, k ∈ Z B − + kπ, k ∈ Z π π π C − + k , k ∈ Z D + k2π, k ∈ Z 2 √ π Câu 14 Số nghiệm phương trình sin 5x + cos 5x = thuộc khoảng − ; π A B C D √ π Câu 15 Số nghiệm phương trình sin 3x − cos 9x = + sin3 3x thuộc khoảng 0; A B C D Câu 16 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x R Tính giá trị M + m C D A B Câu 17 Giải phương trình sin x + cos x − sin x cos x = x = kπ x = k2π π π A (k ∈ Z) B (k ∈ Z) x = + k2π x = + kπ 2 x = kπ x = k2π π π C (k ∈ Z) D (k ∈ Z) x = + kπ x = + k2π 2 √ √ Câu 18 Giải phương trình + (sin x + cos x ) − sin 2x − − =   x = k2π x = kπ π π   x = + k2π (k ∈ Z)  x = + k2π (k ∈ Z) A  B 2   π π x = + k2π x = + kπ 4 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 57 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679   C   Câu 19  x = k2π x = k2π π π  x = − + kπ (k ∈ Z)  x = + kπ D (k ∈ Z) 2π  π x = − + kπ x = − + kπ 4 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm: sin6 x + cos6 x = m(sin4 x + cos4 x ) A ≤m≤ 2 B m ∈ (−∞; 1] ∪ C m ∈ (−∞; 1] Câu 20 Tính tổng T tất nghiệm thuộc 0; ; +∞ D ≤ m ≤ π phương trình √ sin x = + cos x sin x π 7π π 3π B T = C T = D T = 12 12 Câu 21 Tính tổng T nghiệm lớn nghiệm bé phương trình A T = cos 3x − cos 2x + cos x − = đoạn [0; 14] A T = 3π B T = 4π C T = 5π D T = 6π 1 7π + −x Câu 22 Giải phương trình: = sin 3π sin x sin x − π 5π A x = − + kπ, x = + kπ (k ∈ Z) 8 π π 5π B x = − + kπ, x = − + kπ, x = + kπ (k ∈ Z) 8 5π π C x = − + kπ, x = + k2π (k ∈ Z) π π 5π D x = − + k2π, x = − + k2π, x = + k2π (k ∈ Z) 8 Câu 23 Biết tập hợp giá trị m để phương trình m sin2 x + sin 2x + 3m cos2 x = có nghiệm đoạn [ a; b] Tính giá trị biểu thức T = a + 3b 8 B T = C T = D T = A T = 3 Câu 24 Tìm m để bất phương trình sin x + cos x ≤ m + sin 2x có tập nghiệm R √ √ 5 A m ≥ B m > C m ≥ − − D m ≥ − 4 Đáp án lời giải ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 58 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 C B B 10 C 13 B 16 A 19 D 22 B D B D 11 A 14 D 17 D 20 C 23 B B D B 12 A 15 A 18 A 21 B 24 A LỜI GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM B BỘ ĐỀ Đề Câu Phương trình sin 2x = có tập nghiệm ß ™ π 5π π A S = + kπ, + kπ, k ∈ Z B S = + k2π, k ∈ Z 12 12 π π π + kπ, k ∈ Z D S = +k , k ∈ Z C S = 12 18 √ Câu (Chuyên Long An, 2018) Xác định nghiệm phương trình cos x − = π π A x = ± + k2π, k ∈ Z B x = ± + k2π, k ∈ Z π π D x = ± + k2π, k ∈ Z C x = ± + k2π, k ∈ Z Câu (THPT Chuyên Long An, năm học 2017-2018) Tìm điều kiện xác định hàm số y = tan 2x π π π A x = + k , k ∈ Z B x = + kπ, k ∈ Z π π π C x = + kπ, k ∈ Z D x = + k , k ∈ Z √ π Câu Giá trị nhỏ hàm số y = + sin2 x − √ √3 √ A B + C − D Câu Tính tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = − − sin 3x 4 A B − C D −1 3 Câu Tậpßnghiệm phương trình ™ sin2 x + sin x + ß = ™ π 7π π 7π A S = − + kπ, + kπ, k ∈ Z B S = − + k2π, + k2π, k ∈ Z 6 ß ™ ß ™ π 7π π π 7π π C S = − + k3π, + k3π, k ∈ Z D S = − + k , +k ,k ∈ Z 6 6 Câu Giải phương trình tan(3x − 30◦ ) = − √ A x = k60◦ , k ∈ Z B x = 60◦ + k180◦ , k ∈ Z C x = 60◦ + k120◦ , k ∈ Z D x = 30◦ + k60◦ , k ∈ Z Câu Giải phương trình sin 3x = sin x π π A x = kπ, x = + k , k ∈ Z C x = k2π, k ∈ Z π + kπ, k ∈ Z π D x = k2π, x = + kπ, k ∈ Z B x = Câu (THPT Chuyên Long An, 2017-2018) Nghiệm phương trình cot x = A x = k2π, k ∈ Z π C x = + kπ, k ∈ Z π + k2π, k ∈ Z D x = kπ, k ∈ Z B x = CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 59 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Câu 10 (Chuyên Long An, 2017-2018) π Nghiệm phương trình sin 2x + A x = −π + k2π, k ∈ Z C x = kπ, k ∈ Z = −1 π + k2π, k ∈ Z π D x = − + kπ, k ∈ Z B x = − Câu 11 (THPT Chuyên Long An, 2018) Xác định chu kỳ hàm số y = sin x 3π π A 2π B C D π 2 Câu 12 Giải phương trình cos 2x cos x = + sin 2x sin x π k2π π kπ π π A x = ± + B x = + C x = − + k2π D x = ± + k2π 9 9 Câu 13 (Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh, 2018) 1 − Tìm tập xác định hàm số y = sin x cos x ß ™ ß ™ kπ π kπ A R \ ,k ∈ Z B R \ + ,k ∈ Z 2 C R \ {kπ, k ∈ Z} D R \ {k2π, k ∈ Z} Câu 14 Giải phương trình cos2 2x + cos 2x − = π π A x = ± + kπ, k ∈ Z B x = ± + kπ, k ∈ Z 2π π C x = ± + kπ, k ∈ Z D x = ± + k2π, k ∈ Z Câu 15 (THPT Chuyên √ Hạ Long, Quảng Ninh, 2018) Giải phương trình tan x + = π π A x = − + kπ, k ∈ Z B x = + kπ, k ∈ Z π π C x = − + kπ, k ∈ Z D x = + kπ, k ∈ Z √ √ Câu 16 Tập nghiệm phương trình sin 3x − cos 3x = −1 π π π A S = + k2π, k ∈ Z B S = +k , k ∈ Z ß 12 ™ ß 36 ™ π k2π 17π k2π π 17π C S = + , + ,k ∈ Z D S = + k2π, + k2π, k ∈ Z 36 36 12 12 Câu 17 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A y = sin 3x B y = x cos x C y = cos x tan 2x D y = tan x sin x Câu 18 Trong phương trình sau phương trình có nghiệm? √ 1 A sin x = B cos 4x = C sin x + cos x = D cot2 x − cot x + = Câu 19 Cho phương trình: √ √ (1) cos x = − 3; Những phương trình vơ nghiệm A (1) B (2) (2) sin x = − √ 2; (3) C (3) sin x + cos x = D (1) (2) Câu 20 2x =  Họ nghiệm phương trình sin 2x − cos  π π x = + k2π x = + kπ 2 A  (k ∈ Z), với tan α = B  (k ∈ Z), với tan α = x = α + k2π x = α + k2π CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 60 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679  π + kπ D  (k ∈ Z), với tan α = x = α + kπ √ √ Câu 21 Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình cot x + tan x − − = đường tròn lượng giác A B C D √ √ 2−1 Câu 22 Tập nghiệm phương trình sin x cos x − sin2 x = ß ™ ß ™ π π 7π π π 7π A S = +k , +k ,k ∈ Z B S = + kπ, + kπ, k ∈ Z 24 24 ß 24 ™ ß 24 ™ 7π π 7π π π π C S = + k2π, + k2π, k ∈ Z D S = +k , +k ,k ∈ Z 24 24 24 24 4x = cos2 x Câu 23 Tập nghiệm phương trình cos ™ ß ™ ß 5π 5π π π + k6π B S = k2π, ± + k2π, ± + k2π A S = k6π, ± + k6π, ± 2 6 ß ™ ß ™ π π 5π π π 5π C S = k3π, ± + k , ± +k D S = k3π, ± + k3π, ± + k3π 4 4 π C x = + kπ (k ∈ Z) x= Câu 24 Tập giá trị hàm số y = sin2 x + sin x cos x − cos2 x + √ √ A [0; 2] B − − 1; − √ √ √ √ D − 2; + C −2 + 2; 2 + Câu 25 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin4 x + cos 4x 5 A − B − C −5 D −5 11 11 Đáp án lời giải ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM A A A 10 D 13 A 16 C 19 C 22 B C B A 11 A 14 B 17 D 20 D 23 D D B C 12 A 15 A 18 C 21 C 24 C 25 A LỜI GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ... | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 12 Bất phương trình lượng giác 54 Ôn tập chương 55 MỤC LỤC A Bộ đề số 55 B Bộ đề 58 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 MỤC LỤC... + cos 2 + √ (*) cos x = Bài (ĐH - 2010B - Phần chung) Giải phương trình (sin 2x + cos 2x ) cos x + cos 2x − sin x = (1) Bài (ĐH - 2010D - Phần chung) Giải phương trình sin 2x − cos 2x + sin x... sin 2x = sin x + cos 2x Bài 18 (Đề ĐH-2009A-Phần chung) Giải phương trình √ (1 − sin x ) cos x = (1 + sin x )(1 − sin x ) (*) Bài 19 (ĐH-2009B-Phần chung) Giải phương trình √ sin x + cos x sin 2x