Phương pháp giải các dạng toán chuyên đề hàm số và đồ thị

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ ĐẠI SỐ §1: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k số khác ) ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k Chú ý: Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x x tỉ lệ thuận với y ta nói hai đại lượng tỉ lệ thuận với Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k (khác ) x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ / k Tính chất Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với thì: • Tỉ số hai giá trị tương ứng chúng ln ln khơng đổi • Tỉ số hai giá trị đại lượng tỉ số hai giá trị tương ứng địa lượng Nếu hai đại lượng y x tỉ lệ thuận với thì: y1 y2 y3 = = =… x1 x2 x3 x1 y1 x1 y1 = , = ,… x2 y2 x3 y3 B CÁC DẠNG TOÁN Dạng CỦNG CỐ CÔNG THỨC CỦA ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Phương pháp giải Áp dụng công thức y = kx để xác định tương quan tỉ lệ thuận hai đại lượng xác định hệ số tỉ lệ Ví dụ ( ?1 tr.51 SGK) Hãy viết công thức tính: a) Quãng đường s (km) theo thời gian t (h) vật chuyển động với vận tốc 15 (km/h); b) Khối lượng m (kg) theo thể tích V ( m3 ) kim loại đồng chất có khối lượng riêng D ( kg / m3 ) (Chú ý: D số khác ) Trả lời a) s = 15t ; b) m = DV Ví dụ ( ? tr.52 SGK) -98- Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = − Hỏi x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nào? Trả lời 5 y = − x nên x = − y nghĩa x tỉ lệ thuận với y theo hejej số tỉ lệ − 3 Ví dụ (Bài tr.53 SGK) Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ thuận với x = y = a) Tìm hệ số tỉ lệ k y x ; b) Hãy biểu diễn y theo x ; c) Tính giá trị y x = ; x = 15 Giải a) Hai đại lượng x y tỉ lệ thuận với x = y = nên ta có = 2 b) y = kx mà k = nên y = x 3 2 c) Khi x = thì= y = ; x = 15 = y = 15 10 3 Ví dụ (Bài tr.54 SGK) Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ y = kx ⇒ = k ⇒ k = lệ h Hãy chứng tỏ z tỉ lệ thuận với x tìm hệ số tỉ lệ Giải z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k nên z = ky (1) y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ h nên y = hx (2) Từ (1) (2) suy z = (k h) x Vậy z tỉ lệ thuận với x thoe hệ số tỉ lệ k h Dạng LẬP BẢNG GIÁ TRỊ TƯƠNG ỨNG CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Phương pháp giải • Trước hết, phải xác định hệ số tỉ lệ k • Tiếp đó, dùng cơng thức y = kx để tìm giá trị tương ứng x y Ví dụ ( ? tr.53 SGK) Cho biết đại lượng y x tỉ lệ thuận với nhau: x y x1 = x2 = x3 = x4 = y1 = y2 = ? y3 = ? y4 = ? -99- a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ y x ; b) Thay dấu ? bảng số thích hợp; c) Có nhận xét tỉ số hai giá trị tương ứng y1 y2 y3 y4 ; ; ; x1 x2 x3 x4 y x ? Trả lời y1 = kx1 ⇒ = k ⇒ k = a) b) = y2 2.4 = 8; = y3 2.5 = 10 ; = y4 2.6 = 12 c) Các tỉ số (hệ số tỉ lệ): y1 y2 y3 y4 = = = = x1 x2 x3 x4 Ví dụ (Bài tr.54 SGK) Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Điền số thích hợp vào trống bảng sau: x −3 −1 y −4 Hướng dẫn k= y −4 = = −2 x Đáp số: x y −3 −1 −2 −4 −10 Dạng XÉT TƯƠNG QUAN TỈ LỆ THUẬN GIỮA HAI ĐẠI LƯỢNG KHI BIẾT BẢNG CÁC GIÁ TRỊ TƯƠNG ỨNG CỦA CHÚNG Phương pháp giải Xem xét tất thương giá trị tương ứng hai đại lượng có khơng Ví dụ (Bài tr.54 SGK) Các giá trị tương ứng V m cho bảng sau V 23, 7,8 15,6 31, m m V a) Điền số thích hợp vào ô trống bảng trên; -100- 39 b) Hai đại lượng m V có tỉ lệ thuận với hay khơng? Vì sao? Trả lời a) Các ô trống điền số 7,8 b) m V hai đại lượng tỉ lệ thuận m = 7,8V Có thể nói: m tỉ lệ thuận với V theo hệ số tỉ lệ 7,8 V tỉ lệ thuận với m theo hệ 10 = 78 39 C LUYỆN TẬP 1 Dạng Cho biết y ti lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ Hỏi x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nào? Dạng Chu vi độ dài cách hình vng có phải hai đại lượng tỉ lệ thuận khơng? Nếu có, hệ số tỉ lệ bao nhiêu? Dạng Nếu có p tỉ lệ thuận với q theo hệ số tỉ lệ k ta có cơng thức nào? Nếu hai đại lượng u v tỉ lệ thuận với ta có cơng thức nào? Dạng Biết y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ a ( a ≠ ); y2 tỉ lệ thuận với số tỉ lệ x2 theo hệ số tỉ lệ a Hỏi y1 − y2 có tỉ lệ thuận với x1 − x2 khơng? Nếu có, hệ số tỉ lệ bao nhiêu? Dạng Chu vi cạnh tam giác có tỉ lệ thuận với khơng? Nếu có, hệ số tỉ lệ bao nhiêu? Dạng Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Hãy điền số thích hợp vào trống bảng sau: −0,5 2,5 x −4 y −2, 25 −4,5 −7,5 Dạng Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ thuận a) Biết với hai giá trị x1 , x2 x có tổng −2 hai giá trị tương ứng y1 , y2 y có tổng Hỏi hai đại lượng x y liên hệ với cơng thức nào? b) Từ đó, điền số thích hợp vào trống bảng sau: x −2 −1 − y 1 −6 Dạng x y hai đại lương tỉ lệ thuận a) Biết với hai giá trị x1 , x2 x thỏa mãn điều kiện x1 − x2 = −8, 25 hai giá trị tương ứng y1 , y2 y thỏa mãn điều kiện y1 − y2 = 2,75 Hỏi hai đại lượng x y liên hệ với công thức nào? b) Từ đó, điền số thích hợp vào trống bảng sau: -101- x y 9 12 −3 1, 0,(6) 18 0,1(3) Dạng Cho biết y tỉ lệ thuận với x y1 , y2 giá trị y tương ứng với giá trị x1 , x2 x a) Tìm giá trị y tương ứng với x= x1 + x2 ; b) Tìm giá trị y tương ứng với x = − x1 ; x c) Tìm giá trị y tương ưng với x = ; x2 d) Tìm giá trị y tương ứng với x = x1 x2 10 Dạng Bảng giá trị x y sau có cho ta hai đại lượng tỉ lệ thuận khơng? Nếu có, hệ số tỉ lệ bao nhiêu? −4,5 1,5 2, 25 x −3 y 1,35 0,9 −0, 45 −0,675 11 Dạng Bảng giá trị x y sau có cho ta hai đại lượng tỉ lệ thuận khơng? Nếu có, hệ số tỉ lệ bao nhiêu? 6,8 −3,5 x −5 −2 −1 y 2,5 8,75 −16,32 12,5 12 Giả sử x y hai đại lượng tỉ lệ thuận x1 , x2 hai giá trị khác x ; y1 , y2 hai giá trị tương ứng y a) Tìm x1 biết x2 = , y1 = − , y2 = b) Tìm x1 , y1 biết y1 − x1 = −2 , x2 = −4 , y2 = 13 Giả sử x y hai đại lượng tỉ lệ thuận, x1 , x2 hai giá trị khác x ; y1 , y2 hai giá trị tương ứng y 1 a) Tính x2 biết x1 = , y1 = , y2 = −2 b) Tìm x1 , y1 biết y1 + x1 = 20 , x2 = −6 , y2 = §2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT • Bài tốn 1: Tốn đại lượng tỉ lệ thuận • Bài tốn 2: Chia số thành phần tỉ lệ thuận với số cho trước B CÁC DẠNG TOÁN Dạng XÉT TƯƠNG QUAN TỈ LỆ THUẬN GIỮA HAI ĐẠI LƯỢNG KHI BIẾT BẢNG CÁC GIÁ TRỊ TƯƠNG ỨNG CỦA CHÚNG -102- Phương pháp giải Xem xét tất thương giá trị tương ứng hai đại lượng có khơng Ví dụ (Bài tr.55 SGK) Các đại lượng x y có tỉ lệ thuận với hay không, a) b) x y Giải 18 a) Ta có: = = Vậy đại lượng 18 27 = x 27 36 45 x y 12 24 60 72 90 36 45 = = y tỉ lệ thuận với ( y = x ) 12 24 60 72 90 b) Ta có: = = = ≠ Vậy đại lượng x y không tỉ lệ thuận Dạng TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Phương pháp giải • Xác định tương quan tỉ lệ thuận hai đối tượng • Áp dụng tính chất tỉ số giá trị hai đại lượng tỉ lệ thuận Ví dụ (Bài tr.55 SGK) Thay cho việc đo chiều dài cuộn dây thép người ta thường cân chúng Cho biết 3m dây nặng 75g a) Giả sử x mét dây nặng y gam Hãy biểu diễn y theo x b) Cuộn dây dài biết nặng 4,5 kg? Giải a) Vì khối lượng y (g) cuộn dây thép tỉ lệ thuận với chiều dài x (m) nên ta có: y = kx (1) Thay y = 75 , x = vào (1) ta được: 75 = k ⇒ k = 75 = 25 Vậy ta có: y = 25 x b) Từ y = 25 x suy x = 1 = y 4,5 = kg 4500= g x = y Khi 4500 180(m) 25 25 Ví dụ (Bài tr.56 SGK) -103- Hạnh Vân định làm mứt dẻo từ 2,5 kg dâu Theo công thức kg dâu cần kg đường Hạnh bảo cần 3,75 kg đường, Vân bảo cần 3,25 kg Theo bạn, sao? Hướng dẫn Khối lượng đường y (kg) tỉ lệ thuận với khối lượng dâu x (kg): y = kx ⇒ = k ⇒ k = 1,5 Từ y = 1,5 x= có y 1,5.2,5 = 3,75 (kg) Trả lời: Hạnh nói Ví dụ (Bài 11 tr.56 SGK) Đố: Đố em tính đồng hồ kim quay vịng kim phút, kim giây quay vòng? Hướng dẫn Kim quay vịng kim phút quay 12 vịng; kim phút quay vịng kim giây quay 60 vịng Trả lời: Khi kim quay vịng kim phút quay 12 vòng kim giây quay 720 vòng Dạng CHIA MỘT SỐ THÀNH NHỮNG PHẦN TỈ LỆ THUẬN VỚI CÁC SỐ CHO TRƯỚC Phương pháp giải Giả sử phải chia số S thành ba phần x , y , z tỉ lệ với số a , b , c Ta làm sau: x y z x+ y+z S = = = = a b c a+b+c a+b+c S S S Do x = a ; y = b ; z = c a+b+c a+b+c a+b+c Ví dụ (Bài tr.56 SGK) Học sinh ba lớp cần phải trồng chăm sóc 24 xanh Lớp 7A có 32 học sinh, lớp 7B có 28 học sinh, lớp 7C có 36 học sinh Hỏi lớp phải trồng chăm sóc xanh, biết số xanh tỉ lệ với số học sinh? Hướng dẫn: Đưa toán “Chia số 24 thành ba phần tỉ lệ với ba số 32; 28 36” Giải Gọi số phải trồng chăm sóc lớp 7A, 7B, 7C x , y , z Theo đề ta có: x+ y+z = 24 (1) -104- x y z (2) = = 32 28 36 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, từ (2) (1) ta có: x y z x+ y+z 24 = = = = = 32 28 36 32 + 28 + 36 96 1 Từ đó: ; y = ; z = = x = 32 8= 28 7= 36 4 Trả lời: Số phải trồng chăm sóc lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự 8; Ví dụ (Bài tr.56 SGK) Đồng bạch loại hợp kim niken, kẽm đồng với khối lượng chúng tỉ lệ với 3; 13 Hỏi cần kilôgam niken, kẽm đồng để sản xuất 150 kg đồng bạch? Hướng dẫn Chia số 150 thành ba phần tỉ lệ với 3; 13 Trả lời: Khối lượng niken, kẽm đồng theo thứ tự 22,5 kg; 30kg 97,5 kg B LUYỆN TẬP 2.1 Dạng Hai đại lượng x y có tỉ lệ thuận với hay khơng, nếu: a) 2,3 4,8 x y 4,8 2,3 −9 −5 −6 −6 −5 −9 b) −6, −8, −5,1 −7,3 −9,5 2,04 2, 48 2,92 3,8 3,36 Dạng Cứ 100 kg thóc cho 60kg gạo Hỏi thóc cho kilơgam gạo? Dạng Một nước biển chứa 25 kg muối Hỏi 500 g nước biển chứa gam muối? Dạng Dùng máy tiêu thụ hết 70 lít xăng Hỏi dùng 13 máy (cùng loại) tiêu thụ hết lít xăng? Dạng Biết 14 dm3 sắt cân nặng 109,2 kg Hỏi 7m3 sắt cân nặng bao nhiêu? Dạng Ba đơn vị vận tải vận chuyển 700 hàng Đơn vị A có 12 xe, trọng tải xe Đơn vị B có 15 xe, trọng tải xe Đơn vị C có 20 xe, xe 3,5 Hỏi đơn vị vận chuyển hàng, biết xe huy động số chuyến nhau? Dạng Chia số 117 thành ba phần tỉ lệ thuận với: a) 3; 4; 1 b) ; ; x y 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 -105- 2.8 Dạng Tìm ba số x , y z , biết chúng tỉ lệ với 3; 5; z − y = : : x − z =−6,5 2 2.10 Số M chia thành ba phần tỉ lệ với 0,5 :1 : Tìm số M , biết tổng bình phương ba số 4660 2.11 Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường cho ba tổ theo tỉ lệ $5:6:7$ Nhưng sau đó, số người thay đổi nên chia lại theo tỉ lệ $4:5:6$ Do đó, có tổ làm nhiều dự định 10 mét đường Tính số mét đường chia lại cho tổ 2.12 Hai người xem áy lúc từ A từ B để gặp Người thứ từ A đến B trở ngay, người thứ hai từ B đến A trở Chỗ gặp thứ cách A 15 km, chỗ gặp thứ hai cách B km Tính khoảng cách AB 2.9 Tìm ba số x , y , z , biết x : y : z = §3: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa a hay xy = a ( A x số khác 0) ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = Chú ý: Khi y tỉ lệ nghịch với x x tỉ lệ nghịch với y ta nói hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Tính chất Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với thì: • Tích hai giá trị tương ứng chúng không đổi (bằng hệ số tỉ lệ) • Tỉ số hai giá trị địa lượng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng Nếu hai đại lượng y x tỉ lệ nghịch với thì: x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = … = a x1 y2 x1 y3 = , = ,… x2 y1 x3 y1 B CÁC DẠNG TOÁN Dạng CỦNG CỐ CÔNG THỨC CỦA ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH Phương pháp giải -106- Áp dụng công thức y = a để xác định tương quan tỉ lệ thuận hai đại lượng xác định x hệ số tỉ lệ Ví dụ ( ? tr.57 SGK) Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ −3,5 Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào? Trả lời x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ −3,5 Tổng quát: y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a : y = a a suy x = tức x tỉ lệ x y nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a Ví dụ (Bài 12 tr.58 SGK) Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch với x = y = 15 a) Tìm hệ số tỉ lệ; b) Hãy biểu diễn y theo x ; c) Tính giá trị y x = ; x = 10 Giải Hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch với nên x y = a a) Khi x = y = 15 nên= a 8.15 = 120 a 120 mà a = 120 nên y = x x 120 c) Khi x = thì= y = 20 ; 120 Khi x = 10 thì= y = 12 10 Ví dụ (Bài 15 tr.58 SGK) a) Cho biết đội A dùng x máy cày (các máy cày có suất) để cày xong cách đồng hệt y Hai đại lượng x y có tỉ lệ nghịch với khơng? b) Cho biết x số trang đọc xong y số trang lại chưa đọc b) y = sách Hỏi x y có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? c) Cho biết a (mét) chu vi bánh xe, b số vòng quay bánh xe đoạn đường xe lăn từ A đến B Hỏi a b có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Trả lời a) Tích xy số (bằng số máy cày cày xong cánh đồng) nên x y tỉ lệ nghịch với b) Ta có tổng x + y số (bằng số trang sách) khơng phải tích xy số nên x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch -107- chiều cao (dm) 16 Đào 15 Hồng 14 Hoa 13 Liên 12 11 10 O 10 11 12 13 14 tuổi (năm) 15 Hình 21 (SGK) C LUYỆN TẬP y 6.1 Dạng Viết tọa độ điểm M, N, P hình vẽ bên M -3 -2 -1 N x -1 -2 6.2 Dạng P -3 a) Viết tọa độ điểm A nằm trục tung có tung độ b) Viết tọa độ điểm B nằm trục hồnh có hồnh độ -2 c) Viết tọa độ điểm O gốc tọa độ 125 6.3 Dạng Biểu diễn hệ trục tọa độ Oxy: A(-3,-2), B(4,-1), C(3,2), D(-2,-1) 6.4 Dạng Tìm mặt phẳng tọa độ Oxy điểm có: a) Hồnh độ 2; b) Tung độ −1 6.5 Dạng Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ điểm M(x,y) phải thỏa mãn điều kiện để: a) Điểm M ln nằm trục hồnh? b) Điểm M ln nằm trục tung? c) Điểm M nằm đường phân giác góc vng phần tư thứ I? 6.6 Xác định dấu tọa độ điểm M(x, y) khi: a) M nằm góc vng thứ I; b) M nằm góc vng thứ II; c) M nằm góc vng thứ III; d) M nằm góc vng thứ IV 6.7 Các điểm sau có trùng khơng? a) A(2, 3) B(3, 2); b) M(a, b) N(b, a) 6.8 Cho điểm A(3, 2) a) Viết tọa độ điểm A1 cho trục hoành đường trung trực đoạn thẳng AA1 b) Viết tọa độ điểm A2 cho trục tung đường trung trực đoạn thẳng AA2 6.9 Viết tất cặp số (a, b) biết a, b ∈ {−3;3} Các điểm biểu diễn cặp số nằm góc phần tư nào? 6.10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm vị trí điểm có tọa độ x, y thỏa mãn mọt điều kiện: a) x(y - 1) = 0; b) (x + 1) = 0; c) (x - 1)2 + (y + 2)2 = 126 Bài 7: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y = ax(a ≠ 0) A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 1.Đồ thị hàm số y = f(x) • Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x, y) mặt phẳng tọa độ • Một điểm thuộc đồ thị (H) hàm số y = f(x) có tọa độ thỏa mãn đẳng thức y = f(x) M(x0, y0) ∈ (H)  y0 = f(x0) Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0)là đường thẳng qua gốc tọa độ Vì đồ thị hàm số y = ax đường thẳng qua gốc tọa độ nên vẽ ta cần xác định thêm điểm A (khác điểm gốc O) thuộc đồ thị đường thẳng OA đồ thị cần vẽ B CÁC DẠNG TOÁN Dạng VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax (a ≠ 0) Phương pháp giải • Vẽ đường thẳng qua điểm O(0,0) điểm A(1; a) Ví dụ ( Bài 39 trang SGK) Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số a) y = x; b) y = 3x; c) y = -2x; d) y = -x Giải a) Đồ thị hàm số y = x đường thẳng OA với O(0,0) A(1, 1) b) Đồ thị hàm số y = 3x đường thẳng OB với O(0, 0) B(1, 3) c) Đồ thị hàm số y = -2x đường thẳng OC với O(0, 0) C(1, -2) d) Đồ thị hàm số y= -x đường thẳng OD với O(0, 0) D(-2,2) -127- Dạng CỦNG CỐ CÔNG THỨC HÀM SỐ y = ax (a ≠ 0) Phương pháp giải Căn vào công thức y = ax để chứng minh tính chất tỉ số biến giá trị tương ứng hàm số xét vị trí đồ thị y = ax mặt phẳng tọa độ Ví dụ Cho hàm số y = ax (a ≠ 0), x1, x2, x3 số thức khác Giả sử y1, y2, y3 giá trị hàm số tương ứng x1, x2, x3 Chứng minh: y x1 a) = y y3 x y x y3 x y3 = ; b) = = ; = ; x x3 x1 x x1 y1 x y Giải y1 y y3 a) Ta có y1 = ax1, y2 = ax2, y3 = ax3 Do = = ; x1 x x b) Từ tỉ lệ thức x y y1 y suy = = x1 x x1 x Các tỉ lệ thức lại chứng minh tương tự Ví dụ ( Bài 40 trang 71 SGK) Đồ thị hàm số y = ax nằm góc phần tư mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu: b) a < ? a) a > 0; Giải a) công thức y = ax a > giá trị y ln ln dấu Vì thế, trường hợp này, đồ thị hàm số y = ax nằm góc phần tư I III( điểm thuộc góc có hồnh độ tung độ dấu) b) Tương tự vậy, a < 0, giá trị x y luôn trái dấu nên đồ thị hàm số nằm góc phần tư thứ II IV Dạng XÉT XEM MỘT ĐIỂM CÓ THUỘC ĐỒ THỊ CỦA MỘT HÀM SỐ CHO TRƯỚC HAY KHÔNG? Phương pháp giải Để xét xem điểm có thuộc đồ thị hàm số cho trước hay không ta cần xét xem tọa độ điểm có thỏa mãn cơng thức (hay giá trị) xác định hàm số hay khơng Ví dụ 4: (Bài 41,tr 72 SGK) Những điểm sau thuộc đồ thị hàm số y = −3x     A  − ;1 ; B  − ; −1 ; C ( 0;0 )     Giải Điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x) y0 = f ( x0 ) -128- * Thay x = −  1 vào y = −3x ta được: y = −3  −  = tung độ A Vậy A thuộc đồ thị hàm  3 số y = −3x * Thay x = −  1 vào y = −3x ta được: y = −3  −  = khác tung độ B Vậy B không thuộc đồ  3 thị hàm số y = −3x −3.0 = tung độ C Vậy C thuộc đồ thị hàm số * Thay x = vào y = −3x ta được: y = y = −3x Dạng 4: XÁC ĐỊNH HỆ SỐ a CỦA HÀM SỐ y = ax , BIẾT ĐỒ THỊ CỦA NÓ ĐI QUA MỘT ĐIỂM M ( x0 ; y0 ) CHO TRƯỚC Phương pháp giải: Thay tọa độ điểm M: = x x= y0 vào y = ax Từ ta xác định a 0; y Ví dụ 5: (Bài 47 tr.74 SGK) Đường thẳng OA hình 29 (SGK) đồ thị hàm số y = ax Hệ số a bao nhiêu? y Giải Trên hình 29 (SGK), đồ thị hàm số y = ax đường thẳng qua điểm A ( −3;1) y= a ( −3) =⇒ a= − , x = −3 1 -3 -1 -2 -1 x -2 -3 Hàm số y = − x Hình 29 (SGK) y Ví dụ ( Bài 42 trang 72 SGK) Đường thẳng OA hình 26 (SGK) đồ thị hàm số y = ax A -2 a) Xác định hàm số a ; b) Đánh dấu điểm đồ thị có hồnh độ c) Đánh dấu điểm đồ thị có tung độ −1 Giải x 2;= y vào a) Điểm A có tọa độ ( 2;1) Thay = công thức y = ax ta được: 1= a.2 ⇒ a = -129- -1 B -3 -1 C -2 -3 Hình 26 (SGK) x Hàm số phải tìm là: y = x trục hoành,ta kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt đường thẳng OA B Đó điểm đồ thị có hồnh độ c) Từ điểm −1 trục tung,ta kẻ đường thẳng song song với trục hồnh, cắt đường thẳng OA C Đó điểm đồ thị có tung độ −1 b) Từ điểm Dạng “ĐỌC” MỘT ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC Phương pháp giải • Hiểu ý nghĩa đồ thị, ý nghĩa đơn vị biểu diễn trục tung trục hồnh • Biết xác định hồnh độ ( tung độ ) điểm đồ thị biết tung độ ( hoành độ ) điểm Ví dụ ( Bài 43 trang 72 SGK) Trong hình 27 (SGK): Đoạn thẳng OA đồ thị biểu diễn chuyển động người đoạn thẳng OB biểu diễn chuyển động người xe đạp Qua đồ thị, em cho biết: a) Thời gian chuyển động người bộ, người xe đạp b) Quãng đường người bộ, người xe đạp c) Vận tốc ( km / h ) người bộ, người xe đạp Hướng dẫn Khi “đọc” đồ thị cần hiểu rõ: - Trục hoành biểu thị thời gian giờ; trục tung biểu thị quãng đường với đơn vị ứng với 10km - Đoạn thẳng OA đồ thị biểu diễn chuyển động người đoạn thẳng OB biểu diễn chuyển động người xe đạp Trả lời a) Thời gian chuyển động người giờ, người xe đạp b) Quãng đường người 20 km , người xe đạp 30 km 20 = ( km / h ) 30 = 15 ( km / h ) Vận tốc người xe đạp là: c) Vận tốc người là: Ví dụ ( Bài 44 trang 73 SGK) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) = −0,5 x Bằng đồ thị tìm: a) f ( ) , f ( −2 ) , f ( ) , f ( ) −1; y = 0; y = 2,5; b) Giá trị x y = -130- c) Các giá trị x y dương, y âm Giải −0,5.2 = −1 Vậy điểm A ( 2; −1) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) = −0,5 x Đồ Khi x = y = thị hàm số đường thẳng OA hình vẽ bên Trên đồ thị, ta thấy: a) f ( ) = −1; f ( −2 ) = 1; f ( ) = −2; f ( ) = b) y =−1 ⇒ x =2; y = ⇒ x = 0; y = 2,5 ⇒ x= c) y > ứng với phần đồ thị nằm bên trục hồnh bên trái trục tung ( góc phần tư số II ) nên x < y < ứng với phần đồ thị nằm bên trục hồnh bên phải trục tung ( góc phần tư số IV ) nên x > Ví dụ ( Bài 45 trang 73 SGK) Hai cạnh hình chữ nhật có độ dài mét x mét Hãy viết công thức biểu diễn diện tích y(m2) theo x Vì đại lượng y hàm số đại lượng x? Hãy vẽ đồ thị hàm số Xem đồ thị cho biết: a) Diện tích hình chữ nhật x = 3m? x = m? b) Cạnh x diện tích y hình chữ nhật 6m2? 9m2? y 12 Giải 11 10 Cơng thức biểu diễn diện tích hình chữ nhật cho y = 3x Với giá trị x( x > 0) ta xác định giá trị y (y > 0) nên đại lượng y hàm số đại lượng x Khi x = y = 3.1 = nên điểm A(1; 3) thuộc đồ thị hàm só y = 3x Đồ thị hàm số y = 3x đường thẳng OA hình vẽ Xem đồ thị ta thấy: a) Khi x = y = Vậy x = 3m diện tích hình chữ nhật 9m2 Khi x = y = 12 Vậy x = 4m diện tích hình chữ nhật -1 O 16m2 b) Khi y = x = Vậy diện tích hình chữ nhật 6m2 cạnh x = 2m c) Khi y = x = Vậy diện tích hình chữ nhật 9m2 x = 3m Ví dụ 10 ( Bài 46 trang 73 SGK) Đồ thị hình 28 (SGK) sử dụng để đổi đơn vị độ dài từ in-sơ sang xentimet Xem đồ thị cho biết in-sơ, in-sơ, in-sơ khoảng xentimet? Trả lời -131- Hình 28 (SGK) x in ≈ 5,08 cm; in ≈ 7,62 cm; in ≈ 10,16 cm C LUYỆN TẬP 7.1 Dạng Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số y = 3x y = -3x 7.2 Dạng Vẽ đồ thị hàm số y = x 7.3 Dạng Vẽ đồ thị hàm số a)y= x − x; = b)y x (x ≠ 0) x 7.4 Dạng Xác định dấu hệ số a biết đồ thị hàm số y = ax đường thẳng a) Nằm góc phần tư I III; b) Nằm góc phần tư II IV’ 7.5 Dạng Có thể nói dấu a, x, y đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) tia nằm góc phần tư II? Nằm góc phần tư III? 7.6 Dạng So sánh a1 a2, biết đồ thị hàm số y = a1x tập hợp điểm có hồnh độ tung độ; đồ thị hàm số y = a2x tập hợp điểm có hồnh độ tung độ hai số đối 7.8 Dạng Cho hàm số y = x2 – Các điểm A(-3; -8), B(-2, -5), C(1,0), D  ;  có thuộc đồ   thị hàm số không? Trong điểm sau, điểm không thuộc đồ thị hàm −1 −1 số: A(o; ); B(1; 4,5);C(−1; −6); D( ; −3) 2 7.9 Dạng Cho hàm số y = 5x - 7.10 Dạng Xác định hệ số a hàm số y = ax, biết đồ thị qua điểm: b) N(-4; 1) a) M(3; 9) 7.11 Dạng Cho hàm số y = (2m +1)x a) Xác định m để đồ thị hàm số qua điểm A(-1; 1) b) Vẽ đồ thị hàm số ứng với m vừa tìm 7.12 Dạng Hàm số y = f(x) có đồ thị gồm hai đoạn thẳng AB, BC hình vẽ sau Tìm giá trị x cho: a) f(x) ≥ 0; b) f(x) < -132- y B -2 -1 O A x -1 -2 C 7.13 Dạng Biết đồ thị hàm số y = f(x) đoạn thẳng AB hình vẽ sau: a) Tìm f(-3); f(0); f(3) b) Tìm x, biết f(x) = 1; f(x) = y B A -3 O -1 x -133- ÔN TẬP CHƯƠNG A BÀI TẬP ÔN TRONG SGK 48 Một nước biển chứa 25 kg muối Hỏi 250g nước biển chứa gam muối? Giải = 000 000 gam ; 25 kg = 25 000 g Gọi lượng muối có 250g nước biển x(g) Vì lượng nước biển lượng muối chứa đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có 250 1000000 250 = = 40 ⇒ x = = 6, 25(g) x 25000 40 Trả lời : 250g nước biển chứa 6, 25g muối 49 Hai sắt chì có khối lượng Hỏi tích lớn lớn lần, biết khối lượng riêng sắt 7,8(g / cm3 ) chì 11,3(g / cm3 ) Hướng dẫn Sử dụng cơng thức m = V.D dễ thấy thể tích khối lượng riêng hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Trả lời : Thanh sắt tích lớn lớn gấp 1, 45 lần so với chì 50 Ơng Minh dự định xây bể nước tích V Nhưng sau ơng muốn thay đổi kích thước so với dự kiến ban đầu sau : Cả chiều dài chiều rộng đáy bể giảm nửa Hỏi chiều cao bể phải thay đổi để thể tích bể V? Hướng dẫn V = S.h V khơng đổi diện tích S chiều cao h tỉ lệ nghịch với S giảm lần nên phải tăng chiều cao lên lần 51 Viết toạ độ điểm A, B, C, D, E hình 32 (SGK) Đáp số A ( −2; ) , B ( −4; ) , C (1; ) , E ( 3; − ) , F ( 0; − ) , G ( −3; − ) -134- D ( 2; ) , Hình 32 (SGK) 52 Trong mặt phẳng tọa độ vẽ tam giác ABC với đỉnh A(3;5) B(3;-1) , C(-5;-1) Tam giác ABC tam giác ? Giải y A -5 -4 C -3 -2 -1 O -1 x B -2 -3 Tam giác ABC tam giác vuông B 53 Một vận động viên xe đạp quãng đường 140km từ Tp Hồ Chí Minh đến Vĩnh Long với vận tốc 35km/h Hãy vẽ đồ thi chuyển động hệ trục tọa độ Oxy ( với đơn vị trục hoành biểu thị 1giờ đơn vị trục tung biểu thị 20km) chuyển động hệ trục tọa độ Oxy (với đơn vị trục hoành biểu thị đơn vị trục tung biểu thị 20km) Giải -135- s(km) 140 120 100 80 60 40 20 O 54 Vẽ hệ trục tọa độ đồ thị hàm số: −1 b) y = x c) y = x a) y = − x 2 Giải y y=-x y= -1 x y= x -1 O -1 x 55 Những điểm sau không thuộc đồ thị hàm số = y 3x −  −1  1  A  ;0  , B  ;0  , C ( 0;1) , D ( 0; −1)   3  Giải Có hai điểm A C không thuộc đồ thị hàm số y = 3x – Thật vậy, x = −1  −1  y =3   − =−2 ≠ nên A không thuộc đồ thị hàm số   Khi x = y = 3.0 – = – ≠ nên C không thuộc đồ thị hàm số 56 Đố: Xem hình 33 (SGK), đố em biết được: a) Trẻ em tròn tuổi (60 tháng) cân nặng bình thường? Là suy dinh dưỡng? Là suy dinh dưỡng nặng? Là suy dinh dưỡng nặng? b) Một em bé cân nặng 9,5kg tròn 24 tháng tuổi thuộc loại bình thường? Suy dinh dưỡng vừa? Suy dinh dưỡng nặng? Suy dinh dưỡng nặng? -136- Trả lời Xem đồ thị ta thấy: a) Trẻ em tròn tuổi, cân nặng: * Từ 14kg đến 19 kg bình thường * Từ 12kg đến 14kg suy dinh dưỡng vừa * Từ 10kg đến 12kg suy dinh dưỡng nặng * Dưới 10kg suy dinh dưỡng nặng b) Em bé cân nặng 9,5kg tròn 24 tháng tuổi thuộc loại suy dinh dưỡng vừa B BÀI TẬP BỔ SUNG a) Viết tọa độ điểm A, B, C hệ tọa độ Oxy y hình bên b) Biểu diễn cặp số sau hệ tọa độ Oxy: (-1; 2), (2; 3), (-2; -1), (1; -2) A x O -2 -1 -2 B Trong hệ trục tọa độ Oxy, điểm sau nằm đường nào? a) Các điểm có hồnh độ -3,5? b) Các điểm có tung độ ? c) Các điểm có hồnh độ tung độ? -137- C -3 d) Các điểm có hồnh độ tung độ hai số đối nhau? Cho bảng: x y -6 a) Hãy điền số vào ô trống bảng để x, y hai đại lượng tỉ lệ thuận; x y liên hệ với công thức nào? b) Hãy điền số vào ô trống bảng để x, y hai đại lượng tỉ lệ nghịch; x y liên hệ với công thức nào? Cho hàm số y = 2x + M điểm thuộc đồ thị hàm số a) Nếu M có hồnh độ -1 tung độ bao nhiêu? b) Nếu M có tung độ hồnh độ bao nhiêu? c) Điểm N(1; 4) có thuộc đồ thị hàm số hay không? Vẽ đồ thị hàm số y = c Có nhận xét đồ thị hàm hằng? Cho hàm số = y x + điểm A(1; 2), B(-1; 2), C ( ) ( ) 2; , D − 2; , E(3; 10), F(0; -1) Gọi (H) đồ thị hàm số Điền dấu thích hợp (∈, ∉) vào ô trống: A (H) , B (H) , C (H) , D (H) , E (H) , F (H) a) Vẽ hệ trục Oxy biểu diễn điểm A(1; -3), B(-1; 3) mặt phẳng tọa độ Oxy b) Vẽ đường thẳng qua điểm A, B Em có nhận xét đường thẳng AB gốc tọa độ O c) Cho điểm C(x; 4,5) điểm D(1,5; y) thuộc đường thẳng AB Tìm x, y Cho hàm số y = ax + b Hãy xác định a, b biết đồ thị hàm số qua điểm M(1 1 1; 5) N  ;  3 3 Xác định điểm M(x; y) đồ thị hàm số y = 3x biết: a) x + y = 0; b) x + 2y = -14; c) 3x – 2y = 10 Chứng minh hàm số y = f(x) = ax có tính chất: f (x1 + x ) = f (x1 ) + f (x ) 11 Cho hàm số y = f(x) có tính chất f (x1 + x ) = f (x1 ) + f (x ) Chứng minh rằng: a) f(0) = b) f(-x) = -f(x) a 12 Cho hàm số= y (a ≠ 0) Giả sử y1 , y hai giá trị hàm số tương ứng với hai giá trị x y x x1 , x biến x Chứng minh rằng: = y x1 13 Các điểm A(3; 4), B(1; 11), C(-2; -6) có thuộc đồ thị hàm số y = 12 không? x a  1 14 Biết điểm M  −3 ;  thuộc đồ thị hàm số y = Hãy tính hệ số a x  13  -138- a x a) Xác định a để đồ thị hàm số qua điểm A(-3; -2) b) Tìm tất điểm đồ thị hàm số tìm câu a) có tọa độ số nguyên −3 1   1 16 Đồ thị hàm số y = qua điểm A  ;m  điểm B  n;  Hãy xác định m, n? x 2   3 17 Chia số 310 thành ba phần: a) Tỉ lệ thuận với 2:3:5 b) Tỉ lệ nghịch với 2:3:5 18 Vẽ đồ thị hàm số: 2x x ≥  a) y =  −1 b) y = − 3x x x <  19 Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = 4x với đồ thị hàm số y = x 20 Đồ thị hàm số g(x) gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CD hình vẽ 15 Cho hàm số y = y B C -1 O A x D -1 -2 a) Tìm giá trị x cho g(x) ≥ 0, g(x) = 2, g(x) < b) Căn vào đồ thị hàm số g(x), điền số thích hợp vào bảng sau: 1 x -1 1,75 g(x) c) Lập cơng thức hàm số có đồ thị đoạn thẳng AB công thức hàm số có đồ thị đoạn thẳng BC CHÚC CÁC EM HỌC TỐT -THCS.TOANMATH.com -139-