Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 7 vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải các dạng bài tập

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP VẬN DỤNG TÍNH CHẤT TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SÔ BẰNG NHAU VÀO GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Người thực hiện: Đỗ Thị Cảnh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Thánh Tông SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tốn học THANH HỐ NĂM 2017 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Như biết, mơn tốn học mơn khoa học tự nhiên đóng vai trị quan trọng Để học sinh có kiến thức mơn tốn vững vàng em phải chăm học tập, có phương pháp học tập đắn phải nắm kiến thức cách có hệ thống Trong nhiều học sinh chưa có phương pháp học hiệu quả, chưa biết cách hệ thống kiến thức mà học sách giáo khoa Các em trông chờ vào thầy giáo, thầy dạy biết đó, dạy dạng biết dạng Nếu học sinh lớp 6, em chuyển đổi môi trường học tập (từ bậc tiểu học lên bậc trung học sở) nên có phận không nhỏ học sinh bỡ ngỡ trước cách tổ chức Dạy - Học khẩn trương khoa học mơn Tốn, làm cho học sinh khó khăn việc tiếp thu kiến thức - kĩ sang lớp em khơng cịn bỡ ngỡ lúng túng phương pháp lớp em lại phải tiếp cận đồng thời với nhiều luồng kiến thức mới, mang tính chất lề, khó dàn trải hơn, tập mang tính tư cao hơn, số liệu khơ khan, số cồng kềnh hơn.Do việc tiếp thu lĩnh hội kiến thức em học sinh lớp (đặc biệt học sinh trung bình, yếu) gặp nhiều khó khăn, lúng túng việc tìm lời giải dẫn tới tự tin học môn toán Với chút kinh nghiệm thân (sau 11 năm giảng dạy) đã, trăn trở giảng nhằm tìm giải pháp hiệu nhất, tạo cho em có niềm tin, hứng thú học tập, cho em thấy toán học môn thú vị bổ ích Trong chương I Đại số 7: Số hữu tỉ.số thực, qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi nhận thấy có đơn vị kiến thức quan trọng, kích thích tìm tịi khám phá học sinh, đặc biệt học sinh khá, giỏi là: Tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số nhau, với dung lượng kiến thức nhìn qua cơng thức áp dụng trực tiếp công thức (SGK) số học sinh (Hs khá, giỏi) cho dễ khơng khó, thực bắt tay vào giải tập ta thấy phải có “Kỹ thuật” biết sử dụng tính tính chất Đó lí mà tơi chọn tên đề tài SKKN là: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải dạng tập” Trong trình giảng dạy lớp, buổi bồi dưỡng học sinh giỏi, buổi học thêm với tìm tịi góp nhặt từ tốn đến tốn hay khó hay sai lầm thường mắc phải em học sinh giải tập thân tơi đúc rút cho kinh nghiệm nhỏ trình giảng dạy mạnh dạn trình bày sáng kiến kinh nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu Với sáng kiến kinh nghiệm “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải dạng tập” mong muốn: - Tìm cách dạy - học mơn tốn việc áp dụng tính chất dãy tỉ số cách có hiệu cao nhất, từ tiết kiệm thời gian thầy trò dạy học - Tạo cho học sinh thói quen suy nghĩ, tìm tòi, khám phá kiến thức, từ tập áp dụng công thức ban đầu đến giải tập có tính tư cao - Thông qua đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải dạng tập” nhằm giúp em chủ động kiến thức, biết vận dụng kiến thức lúc vào giải dạng tập nào? Làm cho em khơng cịn phải lo lắng, lúng túng mắc phải sai lầm bắt gặp dạng toán Bên cạnh học sinh cịn rèn luyện: + Kỹ phân tích tập tốn dạng này, biết “Quy lạ quen” + Kỹ vận dụng kiến thức biến đổi tập từ chỗ chưa áp dụng cơng thức dạng dãy tỉ số để áp dụng công thức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu học sinh lớp mà trọng học sinh khá, giỏi Ngoài cịn vận dụng sáng kiến cho cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp lớp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, tơi tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa tốn 7, sách tập tốn 7, sách giáo viên, tạp chí toán học tuổi trẻ, toán tuổi thơ, sách tham khảo Trong q trình giảng dạy, tơi ln tìm hiểu đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh để thường xuyên cập nhật bổ sung hệ thống tập cách đa dạng phong phú Và năm sau giảng dạy phần cho học sinh tơi ln tự rút kinh nghiệm để hoàn thiện năm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Ngày 4/11/2013, Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng ký ban hành Nghị Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị số 29-NQ/TW) Nghị có nội dung đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế Trong nghị 29 có nêu rõ: "Phát triển giáo dục đào tạo nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học Học đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình giáo dục xã hội" Với vị trí giáo viên trực tiếp giảng dạy, thân nhận thấy, để thực theo định hướng trước hết giáo viên phải ln ln biết tự hồn thiện mình, phải tâm huyết với nghề, có lực chun mơn vững vàng, biết làm chủ kiến thức Giáo viên phải đổi phương pháp giảng dạy, tạo học sinh động hấp dẫn Đối với mơn tốn, giảng dạy giáo viên cần giúp cho học sinh hệ thống nội dung kiến thức theo chủ đề, biết vận dụng tốt kiến thức sách giáo khoa vào giải tập toán thực tế Vì giảng dạy chun đề " Tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số nhau", thân suy nghĩ làm để học sinh nắm vững hệ thống kiến thức dạng tập từ đơn giải đến phức tạp, từ tập sách giáo khoa đến thi kỳ thi mà em trải qua, từ tạo hứng thú học tập cho học sinh, hình thành học sinh tư linh hoạt, sáng tạo chủ động tiếp thu kiến thức Khơi dậy cho học sinh, em học sinh giỏi lòng say mê học tập, khao khát khám phá điều lạ Điều thể rõ nét sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình mơn tốn lớp 7, phần Tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số mắt xích đóng vai trị quan trọng Vì việc giúp học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa biết áp dụng kiến thức vào giải tập việc làm vô cần thiết Tuy nhiên, thời gian đầu giảng dạy mơn tốn 7, dạy phần tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số tơi cịn lúng túng Các tập cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa làm bật tầm quan trọng tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số Vì học sinh học phần này, em nắm kiến thức cách dàn trải, chưa có hệ thống Các em chưa thực say mê học tập chưa thấy điều thú vị ẩn sau công thức đơn giản sách giáo khoa Sau vài năm, thân tơi có kinh nghiệm giảng dạy, tơi nghĩ phải làm để kiến thức truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có hệ thống, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, nhớ khó qn Do tơi hình thành nội dung sáng kiến kinh nghiệm mà hôm xin chia sẻ đồng nghiệp 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp sử dụng Khi giảng dạy cho học sinh lớp vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số nhắc lại cho học sinh kiến thức mà em học sách giáo khoa: Định nghĩa tỉ lệ thức: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a c = Ta viết: b d a: b = c: d.Trong a d ngoại tỉ (số hạng ngoài) ; b c trung tỉ (số hạng trong) Tính chất tỉ lệ thức: Tính chất 1: Nếu a c = b d a c = a.d = b.c b d Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức: a c a b d c d b = ; = ; = ; = b d c d b a c a Tính chất dãy tỉ số nhau: a c a c a+c a−c = suy = = = , (b ≠ ± d) b d b d b+d b−d a c e Tính chất 2: Từ dãy tỉ số b = d = f ta suy ra: Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức a c e a+c+e a−c+e = = = = , (giả thiết tỉ số có nghĩa) b d f b+d + f b−d + f Chú ý: Khi nói số x, y, z tỉ lệ với a, b, c tức ta có: x y z = = Ta viết: a b c x: y: z = a: b: c Khi giảng dạy cho học sinh lớp vận dụng tính chất Tỉ lệ thức dãy tỉ số tơi đưa hệ thống kiến thức theo ba dạng sau: DẠNG 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SÔ BẰNG NHAU Phương pháp chung: + Dạng tập học sinh gặp nhiều, phong phú đa dạng.Bài tốn thường cho kiện, có cho kiện Từ mối quan hệ ta tìm đáp án tốn, phải khéo léo biến đổi giả thiết áp dụng + Lưu ý đến dấu số cần tìm trường hợp kiện tốn có liên quan đến số mũ chẵn tích hai số, để tránh tìm số khơng thỏa mãn u cầu tốn Cũng lưu ý trường hợp xảy để khơng bỏ xót giá trị cần tìm Bài 1: Tìm x biết a) x −2 = 27 3.6 x c) 74 = 1, 61 b) −0,52 : x = −9,36 :16,38 Hướng dẫn giải: Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: a) x.3, 6=-2.27 từ suy x = -15 b) x (-9, 36) = (-0, 52) 16, 38 từ suy x = 0.91(Học sinh giải cách khác) c) x.2 = 1, 61 ⇒ x = 50 119 Bài 2: Tìm x tỉ lệ thức biết x +1 x −1 x − = = a) b) x −1 x+2 x+3 Giải: a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x +1 + x +1 x + = = = = (x ≠ −8 ) x −1 x −1+ x + = > x-1 =7 => x =8 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x − x − ( x − 1) − ( x − 2) = −1 = = x + x + ( x + 2) − ( x + 3) x −1 = −1 => x-1 = -x -2 => 2x = -1 => x = − => x+2 Lưu ý: Bài giải theo cách áp dụng tính chất: Bài 3:Tìm x, y biết: a c a c = => = b d a −b c−d x y = x + y = 16 (Trích: BT SGK -Bài - trang 30) Giải Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x = 3.2 = x y x + y 16 = = = =2⇒ Vậy: x=6, y=10 3+5  y = 5.2 = 10 Cách 2: Đặt x y = = k Khi x = 3k; y = 5k Thay vào biểu thức x + y = 16 ta có : 3k + 5k = 16 => 8k = 16 => k = => x = 6; y= 10 x y z Bài 4: Tìm x, y, z biết: = = x + y + z = 20 ; Giải Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x = 2.3 = x y z x + y + z 20  = = ⇒  y = 2.2 = Vậy: x=6, y=2, z= 10 a) = = = + + 10 z = 2.5 = 10  Vậy: x=-42, y=-9, z= -33 Cách 2: Học sinh vận dụng tương tự cách đặt ẩn phụ cách Nhận xét: Mặc dù dạng toán áp dụng cơng thức đơn giản q trình làm tập nhận thấy em mắc phải sai lầm sau: Chẳng hạn Bài tập 3a học sinh trình bày: Áp dụng tính chất dãy tỉ số x y x + y 16 = = ! Sai lầm học dùng dấu “=>” thay ta có = = > 3+5 cho dấu “=” Qua hai tập 3,4 nhấn mạnh cho học sinh có hai cách giải ‘đặc trưng’: Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số Cách 2: Đặt ẩn phụ Tiếp theo, ta xét đến toán vận dụng cao tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số tốn tìm x, y, z x y = x + y = 39 ; Bài 5: Tìm x, y, z biết Giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có  x = 3 = x y y x + y 39 = = = = = 3⇒  Vậy: x=9, y=15 10 + 10 13  y = 5.3 = 15 Nhận xét: Từ 5, tơi khai thác thêm số toán khác x y cách thay điều kiện = 5x=3y; x: y = 3: 5; thay đổi điều kiện x + 2y = 39 2y = 39 – x x y z = = x + y − z = 186 15 20 28 x y z 2x 3y z = = Giải: Từ = = hay 15 20 28 30 60 28 Bài 6: Tìm x, y, z biết: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 2x 3y z x + y − z 186 = = = = = Suy 2x = 3.30 = 90 ⇒ x=90: 2=45 30 60 28 30 + 60 − 28 62 3y= 3.60 = 180 ⇒ y=180: 3=60, Khi z = 3.28 = 84 Vậy: x=45, y=60, z =84 Tổng qt hóa tốn ta có tốn tổng quát sau: Tìm x, y, z biết x y z = = mx + ny + pz = d a b c Với a, b, c, d số cho trước m, n, p số khác y z x y Bài 7: Tìm x, y, z cho: = = x + y − z = 372 Hướng dẫn giải: x y x y = ⇒ = (chia hai vế cho 5) 15 20 y z y z = ⇒ = (chia hai vế cho 4) 20 28 x y z ⇒ = = Giải tương tự tập 15 20 28 Ta có: Bài 8: Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) x + y -z = 95 Hướng dẫn giải: x Cách 1: Từ 2x = 3y ⇒ = y y z ; 3y = 5z ⇒ = Đưa cách giải giống Cách 2: + Nghĩ cách làm xuất dạng x y z = = ? a b c + Chia vế (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x = 3y = 5z ⇒ 2x y 5z x y z x+ y−z 95 = = = = = = = =5 30 30 30 15 10 15 + 10 − 19 => x = 75, y = 50, z = 30 x y z x + y − z 95 = = = = Cách 3: Từ 2x = 3y = 5z => 1 1 1 19 =150 + − 5 30 1 Giáo viên phân tích kĩ: 2x = x: , 3y = : ;5z = : nhấn mạnh phép nhân y z phép chia cho số nghịch đảo =>x = 75, y = 50, z = 30 x y = x2+y2 = 29 x y x y2 = Giải: Cách Ta có: = ⇒ 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có x = ⇒ x = ±2 x y x + y 29 = = = =1⇒  25 + 25 29  y = 25 ⇒ y = ±5 Bài 9: Tìm x, y biết x = x = −2 Kết hợp với đề nên x y dấu ⇒   y =  y = −5 Cách 2: Đặt x y = =k => x=2k, y=5k 2 Khi x + y = 19  (2k) + (5k) 2=29  29k2= 29  k = ± x = x = −2 Kết hợp với đề ⇒   y =  y = −5 Nhận xét: Bài toán nhiều học sinh gặp sai lầm biến đổi Chẳng hạn:  x = ±2 x y (1) x y x + y 29  x = = = = ⇒ ⇒ = = = Ta có:  2 25 + 25 29  y = 25  y = ±5 Sai lầm dấu “=” (1) Cách giải đúng: Chỉ cần thay dấu “=” dấu “=>” (1) x y z Bài 10: Tìm x, y, z: = = x +2 y +4 z =141 Giải: Cách 1:Từ x y z x2 y2 z2 = = (1) ⇒ = = 16 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:  x2 =  x = ±3  x y z 2x 3z −2 x + y − 3z −77  = = = = = = = ⇒  y = 16 ⇒  y = ±4 16 25 18 75 −18 + 16 − 75 −77  z = 25  z = ±5   2 2 2 2 Kết hợp với (1) ta suy (x ;y ;z) = (3 ;4 ;5) (-3 ;-4 ;-5) Cách : Đặt ẩn phụ x y z = = xyz = 810 Bài 11: Tìm x, y, z biết rằng: Hướng dẫn giải: Cách Gợi ý học sinh liên hệ đến tính chất: A=B=C => ABC = A3 = B3 = C3 x y z x x x x y z xyz = = ⇒ × × = × × = 2 2 30 x3  x  810 ⇒ = = 27 ⇒ = 27 Ta có:  ÷ 10 ⇒ x = 8.27 = 23.33 = ( 2.3) ⇒x=6 Từ tìm y z Cách Đặt x y z = = =k giải Nhận xét: Đối với dạng tập học sinh thường mắc sai lầm áp x y z x.y.z ! Nên giáo viên cần nhắc nhở cơng thức dụng công thức: = = = 2.3.5 1.2.3 không VD: = = ≠ 2.4.6 y2 − x x + y2 10 10 = Bài 12:Tìm x, y biết x y = 1024 Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số : y − x x + y y − x + x + y 2y y = = = = (1) ta có: 3+5 2 2 2 y −x x +y y − x − x − y − 2x x = = = = ( 2) Mặt khác ta lại có: 3+5 −2 5 x y2  x   y2  y10 10 = = >  =   hay x = 10 nhân hai vế với Từ (1) (2) suy ra:    4 20 y y10 ta có: x 10 y10 = 10 = 1024 = 210 = >y 20 = 20 = >y = ±2 từ => x = ± Vậy có cặp (x ;y) thỏa mãn đề là: (1 ;2) , (-1 ;-2) , (1 ;-2) , (-1 ; 2) Nhận xét: Các toán 9, 10, 11, 12 học sinh dễ thiếu nghiệm Khi giải tập lũy thừa mũ chẵn lấy nghiệm học sinh thường sót nghiệm âm.Do tập dạng cô gắng khắc sâu nhằm giúp học sinh nắm vững chất bước biến đổi để ghi nhớ tránh sai lầm Bài 13: Tìm ba số a, b, c biết 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c = = a + b + c = -50 (Trích đề thi Học sinh giỏi huyện Thọ Xuân năm học 2015-2016) Giải: Từ giả thiết 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c 5(3a − 2b) 3(2c − 5a) 2(5b − 3c) = = = = ta suy 25 10 ⇒ 15a − 10b 6c − 15a 10b − 6c = = 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có 15a − 10b 6c − 15a 10b − 6c 15a − 10b + 6c − 15a + 10b − 6c = = = = =0 25 25 + + 38 a b c Từ suy 3a - 2b =0 ; 2c - 5a =0 ; 5b - 3c =0 => = = a b c a + b + c −50 = = −5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có = = = + + 10  a = -10 ; b = -15 ; c = -25 Nhận xét: Bài toán giáo viên cần lưu ý học sinh quan sát hệ số a, b, c để từ làm xuất cặp số đối nhau, qua đưa dãy tỉ số sở rút từ tử số tỉ số 15 20 40 Bài 14: Tìm x, y, z biết x − = y − 12 = z − 24 xy = 1200 Hướng dẫn giải: Điều kiện x ≠ 9, y ≠ 12, z ≠ 24 15 20 40 Từ x − = y − 12 = z − 24 x − y − 12 z − 24 x y 12 z 24 x y z = = ⇒ − = − = − ⇒ − = − = − 15 20 40 15 15 20 20 40 40 15 20 40 x y z Hay = = 15 20 40 ta suy Từ học sinh vận dụng phương pháp nêu để tìm x, y, z Đơi tốn xuất kiện nhất, học sinh lúng túng để giải tình này, ta xét số tốn điển hình: Bài 15 Tìm x; y; z biết: y + z +1 x + z + x + y − = = = ( 1) a) x y z x+ y+ z x y z b) y + z + = x + z + = x + y − = x + y + z (2) (Trích ví dụ 10: Sách nâng cao phát triển tốn 7-Vũ Hữu Binh) Hướng dẫn giải: a)Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, x + y + z ≠ Theo tính chất dãy tỷ số từ (1) ta có y + z +1 x + z + x + y − y + z +1+ x + z + + x + y − 2( x + y + z ) = = = = =2 x y z x+ y+z x+ y+z Từ suy ra: x + y + z = 11 Dễ dàng tìm x = ; y = ; z = x y −5 z b y + z + = x + z + = x + y − = x + y + z Trường hợp 1: Nếu x + y + z = => x = y = z = Trường hợp 2: Nếu x + y + z ≠ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x+ y+z = = = = y + z + x + z + x + y − 2( x + y + z ) Từ suy : x + y + z = 2 Tương tự tìm x = ; y = ; z = −1 Nhận xét: Ở câu a ta có trường hợp có điều kiện x + y + z ≠ Ở câu b ta phải xét hai trường hợp.Thông thường học sinh hay xét thiếu trường hợp 1.Vận dụng tương tự học sinh thực hành thơng qua tập sau: Tìm x, y biết: x + 3y − 2 x + 3y − = = (1) 6x (Trích chuyên mục “sai đâu sửa cho đúng” - Báo toán học tuổi thơ 2) Hướng dẫn giải: Từ (1) áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 2x + y − 2x + y −1 2x + y −1 = = = (2) 6x 12 Từ học sinh xét hai trường hợp : TH1 : x + y − = Khi x = −1 ;y = TH2 : x + y − ≠ (2) => 6x = 12 từ tìm x = y = Nhận xét: Thông qua tập muốn lưu ý đến học sinh hai tỉ số nhau, tử số em cần xét hai trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Tử số Trường hợp 2: Tử số khác dẫn đến mẫu số Một số tập tương tự: Bài 1: Tìm số x, y, z biết rằng: 12 x y z = = x + y − z = 28 10 21 2x 3y 4z = = c) x + y + z = 49 x y e) = x − y = x y y z = , = x + y − z = 124 x y d) = xy = 54 x −1 y − z − = = g) 2x + 3y - z = 14 a) b) Bài 2: Tìm x, y, z biết : 1 a) x = y = z = 2x = −3y = 4z b) 3x − 2y 5y − 3z 2z − 5x = = 10x − 3y − 2z = −4 37 15 c) x y3 z3 = = x + y + z = 14 64 216 DẠNG 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Để chứng minh tỉ lệ thức ta thường dùng số phương pháp sau: •) Phương pháp 1: Chứng tỏ A.D = B.C •) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số có giá trị •) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức * Một số kiến thức cần ý •) •) (n => 0) = (n N*) Sau số tập minh họa (giả thiết tỉ số cho có nghĩa) Bài 1: Cho Giải: Cách a c a c = chứng minh a −b = c −d b d a c a b a −b a c ⇒ = 1: = ⇒ = = (đpcm) b d c d c−d a −b c −d Chú ý: Nhắc nhở học sinh tránh mắc sai lầm biến đổi: a c a b = = = ! b d c d a c b d b d a −b c −d a c ⇒ = ⇒ = ⇒ 1− = 1− ⇒ = = (đpcm) b d a c a c a c a −b c −d a c Cách 3: Đặt = = k suy a = bk ; c = dk b d Cách 2: Ta có: 13 a bk bk k = = = (1) ; a − b bk − b b(k − 1) k − Từ (1) (2) suy c dk dk k = = = (2) c − d dk − d d (k − 1) k − a c = a −b c −d Cách 4: Chứng tỏ a(c − d ) = c(a − b) xuất phát từ a.d = bc Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu a c a +b c + d = ≠ = với a, b, c, d ≠ b d a −b c − d Giải:Cách 1:(Cách áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Ta có: a c a b a+b a−b a+b c+d = = => = = = ⇒ (đpcm) a −b c −d b d c d c+d c−d Cách giải khác: Cách 2: Với a, b, c, d ≠ ta có: a c a c a +b c+d = ⇒ +1 = +1 ⇒ = b d b d b d a+b b = (1) c+d d a c a −b c −d a −b b = ⇒ = ⇒ = (2) b d b d c−d d a +b a −b a+b c+d = ⇒ = Từ (1) (2) => (đpcm) c+d c−d a −b c −d a c Cách 3: Đặt = = k suy a = bk ; c = dk b d a + b bk + b b.( k + 1) k + Ta có a − b = bk − b = b.(k − 1) = k − (1) ⇒ c+d dk + d d (k + 1) k +1 Và c − d = dk − d = d (k − 1) = k − (2) Từ (1) (2) suy a+b c+d = a −b c −d Tổng qt hóa tốn ta có toán sau: Cho tỉ lệ thức: pa + qb pc + qd a c = Chứng minh rằng: = b d ma + nb mc + nd (trong m, n, p, q ∈ R tỉ số có nghĩa) Từ tốn ta việc thay giá trị m, n, p, q ta có tỉ lệ thức cần chứng minh chẳng hạn từ tỉ lệ thức minh 7a + 3b 7c + 3d = 7a − 3b 7c − 3d a c = chứng b d a c a + b5  a −b  = Bài 3: CMR: Nếu  ÷ = c +d5 b d  c −d  Giải: 14 a c a b a −b a5  a − b  = ⇒ = = ⇒ = Ta có: ÷ ( 1) b d c d c−d c5  c − d  Từ a b a b5 a + b = ⇒ = 5= ( 2) c d c d c + d5 a + b5  a−b  ⇒ = Từ (1) (2)  ÷ 5 (đpcm) c−d  c +d Tổng quát hóa phát triển tốn ta có tốn sau: n n a c a n + bn a n − bn a  a±b = (n ∈ N; n ≥ 2) Chứng minh rằng: Nếu =  ÷ =  ÷ = n c + d n cn − d n  c  c±d  b d Phát triển tốn ngược ta có tốn sau: n n n a a + b = ( n ∈ N) , ta suy Chứng minh từ tỉ lệ thức   n n c c + d   a c a c = = ± n số chẵn n số sè lỴ và b d b d (Trích BT trang 57: Sách KT Nâng cao Toán -Vũ Ngọc Đạm) Bài Cho số khác a1 , a2 , a3 , a4 thỏa mãn a2 = a1a3 ; a3 = a2 a4 a13 + a23 + a33 a  a + a2 + a3  a1 = b)  Chứng minh rằng: a) ÷= 3 a4 a2 + a3 + a4 a4  a2 + a3 + a4  (Trích BT 75- Các tốn Hay khó -Phan Văn Đức) Giải a1 a2 = (1) a2 a3 a a a33 = a2 a4 ⇒ = (2) a3 a4 a2 = a1a3 ⇒ a1 a2 a3 a13 a23 a33 a1 a2 a3 a1 Từ (1) (2) suy a2 = a3 = a4 ⇒ a23 = a33 = a 34 = a2 ×a3 ×a4 = a4 (3) a 31 a 32 a 33 a 31 + a + a 33 (4) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có = = = a a a a + a 33 + a a 31 + a + a 33 a1 Từ (3) (4) suy ra: a + a + a = a 4 b) Từ câu a ta có: a1 a a a1 + a + a = = = (**) Lập phương vế a2 a3 a4 a2 + a3 + a4 (**) biến đổi câu a ta có điều phải chứng minh Tiếp tục phát triển toán ta có tốn sau: 15 Bài 5: CMR: Nếu a a1 a a = = = = 2011 ta suy đẳng thức: a2 a3 a4 a 2012  a + a + + a 2011  a1  =  a 2012  a + a + + a 2012  2011 (Trích đề thi Học sinh giỏi huyện Thọ Xuân năm học 2011-2012) Giải: Từ giả thiết : a a1 a a = = = = 2011 a2 a3 a4 a 2012 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a a + a + + a 2011 a1 a a = = = = 2011 = a a3 a a 2012 a + a + + a 2012 ⇒ a a + a + + a 2011 a1 a a = = = = 2011 = a a3 a4 a 2012 a + a + + a 2012 2011 a  ⇒ ÷  a2  2011 a  = ÷  a3  2011 a  Mặt khác  ÷  a2  = 2011  a + a + + a 2011  = =  ÷  a + a + + a 2012  a1 a a a 2011 a = a a a a 2012 a 2012  a + a + + a 2011  a1  Suy =  a 2012  a + a + + a 2012  2011 Một số tập tương tự: Bài 1: Cho tỉ lệ thức: a c = Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả b d thiết tỉ số có nghĩa) 3a + 5b 3c + 5d = 1) 3a − 5b 3c − 5d 4) ab ( a − b ) = 3) cd ( c − d ) 2 a2 + b2 a+b 2)   = c +d2 c+d  2016a − 2017b 2016c − 2017d = 2017c + 2018d 2017 a + 2018b 5) a + 5ac 7b + 5bd = a − 5ac 7b − 5bd a b c a  a+b+c Bài 2: Cho = = Chứng minh rằng:   = b c d d b+c+d  a b c = = Bài 3: Cho Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) 2016 2017 2018 bz-cy cx-az ay-bx x y z = = ( 1) CMR: a = b = c a b c (Trích BT 74- Các tốn Hay khó - Phan Văn Đức) x y z = = Bài 5: Cho Chứng minh rằng: a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c Bài 4: Cho 16 a b c = = (abc ≠ mẫu số khác 0) x + y + z 2x + y − z 4x − y + z (Trích - Tuyển tập toán chọn lọc THCS) DẠNG 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Cho số x, y , z khác thỏa mãn: x y z = = Tính giá trị biểu thức y+z−x P = x− y+z Giải: Cách 1: x y z = = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k (k ≠ 0) 3k + 4k − 2k 5k = = P= 2k − 3k + 4k 3k Vậy P = Đặt Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z y+z−x y+z−x x− y+z x− y+z = = = = = = 3+ 4− 2−3+ y+z−x x− y+z y+z−x ⇒ = ⇒ = x− y+z Vậy P = Nhận xét: Qua tập muốn học sinh bước đầu tập làm quen với dạng tốn”Tính giá trị biểu thức”, ngồi phương pháp áp dụng tính chất dãy tỉ số giáo viên nên nhấn mạnh hiệu phương pháp đặt ẩn phụ toán Bài 2: Cho số x, y, z khác thỏa mãn 2x = 3y = 5z Tính giá trị biểu x + 2y − z thức: P = 2 2x − y + z Hướng dẫn giải: Từ 2x = 3y = 5z suy Đặt P= x y z = = 15 10 x y z = = = k => x = 15k; y = 10k; z = 6k.Thay vào biểu thức P ta có 15 10 x + 2y − z 225k + 2.100k − 36k 419 = = 2x − y + z 2.225k − 100k + 36k 386 Nhận xét: Thông qua tập 2, tơi muốn lưu ý học sinh tính hữu dụng phương pháp đặt ẩn phụ tốn tính giái trị biểu thức.Học sinh 17 vận dụng tính chất dãy tỉ số lời giải dài nhiều Bài 3: Tìm M biết M = a b c = = b+c a+c a+b (Trích đề thi học sinh giỏi mơn Toán huyện Thọ Xuân năm học 2012-2013) Giải: TH1: Nếu a + b + c = ta suy b + c = -a; a + c = -b; a + b = -c.Khi M = -1 a b c a +b+c TH2: Nếu a +b + c ≠ ta suy M = b + c = a + c = a + b = 2(a + b + c) = Vậy M = -1 M = Nhận xét: Đối với tập học sinh dễ mắc sai lầm đưa đáp án M = , giáo viên cần lưu ý học sinh xét trường hợp a + b + c = để khơng bỏ sót nghiệm tốn Bài 4: Cho a, b, c khác đôi khác thỏa mãn a+b b+c c+a = = c a b     Tính giá trị biểu thức P = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ b c a a  b  c   Bài giải: a+b b+c c+a a+b b+c c+a = = ⇒ +1 = +1 = +1 c a b c a b a+b+c a+b+c a+b+c ⇒ = = (*) c a b Từ +) Xét a + b + c = ⇒ a + b = −c; a + c = −b; b + c = −a P= a + b b + c a + c −c − a −b −abc × × = × × = = −1 b c a b c a abc +) Xét a + b + c ≠ Từ (*) ta có: a =b=c⇒ P =8 Nhận xét: Thơng qua tập muốn chốt lại tỉ số nhau, tử số em phải xét hai trường hợp, trường hợp tử số 0, trường hợp tử số khác 0, mẫu số Một số tập tương tự: Bài 1: Cho số x, y, z khác thỏa mãn điều kiện: y+z−x z+x− y x+ y−z = = x y z  x  y  z  Hãy tính giá trị biểu thức: B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ y  z  x   Bài 2: a) Cho số a, b, c, d khác Tính: T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 18 Biết x, y, z, t thỏa mãn: x 2010 + y 2010 + z 2010 + t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010 = + + + a + b2 + c2 + d a b c d b) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f a 14 c 11 e 13 = ; = ; = b 22 d 13 f 17 a b c = = c) Cho số a, b, c thỏa mãn: 2009 2010 2011 Biết a, b, c, d, e, f thuộc tập N* Tính giá trị biểu thức: M = (a - b) (b - c) - (c - a) Bài 3: Cho dãy tỉ số : 2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a + + + TÝnh M = c+d d +a a+b b+c Bài 4: Cho số x, y, z, t khác thỏa mãn điều kiện: y + z + t − nx z + t + x − ny t + x + y − nz x + y + z − nt = = = (n số tự nhiên) x y z t x + y + z + t = 2018 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y - 3z + t Bài : Cho x, y, z thỏa mãn 2015z − 2016y 2016x − 2014z 2014y − 2015x = = 2014 2015 2016 x − 3y + z = 2015 Tính giá trị biểu thức P = ( x + 2015) 2016 + ( y + 2015 ) 2016 + ( z + 2015 ) 2016 (Trích báo tốn học tuổi thơ số 153 tháng 11 năm 2015) 2.4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm Trên dạng toán thường gặp, kể sai lầm mà học sinh thường mắc phải vận dụng tính chất dãy tỉ số vào giải toán Với dạng tập toán chuyên đề, với hệ thống tập phong phú, xếp theo trình tự từ đơn giản (dùng cho hs trung bình, yếu) đến tập nâng cao (dùng cho hs khá, giỏi) , chưa thể nêu giải tất toán, trường hợp đặc biệt khác song sáng kiến kinh nghiệm phần lột tả nét chính, dạng tập chủ đề :Tỉ lệ thức , tính chất dãy tỉ số Bên cạnh sáng kiến kinh nghiệm tơi mở rộng việc áp dụng tính chất dãy tỉ số vào giải số toán lơp (lớp 9) Bản thân qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, nhận thấy việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy đem lại hiệu thiết thực: Học sinh giỏi mà tơi bồi dưỡng khơng cịn bỡ 19 ngỡ, lúng túng mà thực làm cho em hứng thú học tập hẳn kết đem lại cao hẳn Tôi mạnh dạn đưa đề tài với mức độ học sinh lớp vào khảo sát đánh giá kết áp dụng với em học sinh, qua việc giảng dạy lớp, qua học thêm đặc biệt qua công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thấy đề tài mang lại kết khả quan mong đợi C/ KẾT LUẬN 3.KẾT ḶN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Là giáo viên trực tiếp giảng dạy nhận thấy muốn học sinh nắm vững kiến thức thầy giáo, giáo phải thực tâm huyết với nghề, phải kiên trì uốn nắn cho học sinh em chưa nắm vững kiến thức Khi củng cố nội dung kiến thức tơi ln tn thủ theo ngun tắc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Hệ thống tập đưa cho học sinh bám sát vào đề thi để tạo sức thuyết phục cho học sinh Kiến thức truyền thụ đến học sinh ln có hệ thống, dạng phải chốt phương pháp giải Để giúp học sinh có kĩ tư sáng tạo, nhạy bén học tập thực hành đòi hỏi giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp sư phạm, nhiên khơng có phương pháp vạn để đạt kết tốt kì thi mà tổng hợp nhiều phương pháp khác Khi dạy học sinh cách vận dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn vào giải dạng tập, giáo viên cần sử dụng linh hoạt, mềm dẻo, tuỳ thuộc vào khả nhận thức học sinh Sau thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải dạng tập” vào giảng dạy nhận thấy kinh nghiệm phù hợp với nội dung chuẩn kiến thức kĩ thiết thực hướng dẫn học sinh ôn luyện học sinh giỏi lơp 7.Học sinh học chủ đề tỏ hứng thú, chủ động, tích cực việc lĩnh hội kiến thức kĩ Khơng khí học tập sơi nổi, học sinh u thích môn học Tôi hi vọng với việc áp dụng đề tài giúp cho học sinh nắm vững kiến thức tỉ lệ thức dãy tỉ số từ đến nâng cao Trên số kinh nghiệm nhỏ mà đúc rút qua trình giảng dạy từ năm học muốn chia sẻ với đồng nghiệp Tuy nhiên, thời gian có hạn tơi khơng thể trình bày chi tiết tập dạng chắn khơng tránh khỏi sai sót, mong góp ý chân thành đồng nghiệp để thân học hỏi, tiếp tục trau dồi hồn thiện nhằm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy 20 3.2 Kiến nghị Hàng năm, phòng giáo dục đào tạo, sở giáo dục đào tạo tổ chức lớp chuyên đề đổi phương pháp giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy cách hiệu thiết thực để giáo viên có dịp trao đổi, học hỏi kinh nghiệm Phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay huyện, tỉnh cho giáo viên để áp dụng vào trình giảng dạy nhà trường XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày tháng 01 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả: 21 NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO: - SGK, SBT mơn Tốn - Nâng cao phát triển tốn - Tác giả: Vũ Hữu Bình - Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Tác giả: Bùi Văn Tuyên - Luyện giải ôn tập toán tập - Tác giả: Vũ Dương Thụy - Phạm Gia Đức -Bài tập nâng cao toán 7- Tác giả: Nguyễn Huy Đoan - Nguyễn Ngọc Đạm -Tuyển tập tốn hay khó - Đại số - Tác giả: Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng Khanh - Kiến thức nâng cao toán tập - Tác giả: Nguyễn Quang Hanh Ngô Long Hậu - Báo toán học tuổi thơ 2- NXB GD - Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp huyện Thọ Xuân qua năm Cùng số đề thi tài liệu tham khảo khác 22 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Thị Cảnh Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Lê Thánh Tông Thọ Xuân TT Tên đề tài SKKN Kinh nghiện hướng dẫn học sinh Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại B 2011-2012 B 2017-2018 sử dụng máy tính cầm tay vào giải số dạng toán Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải dạng tập 23 24 ... học sinh giải tập thân đúc rút cho kinh nghiệm nhỏ trình giảng dạy mạnh dạn trình bày sáng kiến kinh nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu Với sáng kiến kinh nghiệm ? ?Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh. .. giảng dạy cho học sinh lớp vận dụng tính chất Tỉ lệ thức dãy tỉ số tơi đưa hệ thống kiến thức theo ba dạng sau: DẠNG 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SÔ BẰNG NHAU Phương pháp... dãy tỉ số ta có:  x2 =  x = ±3  x y z 2x 3z −2 x + y − 3z ? ?77  = = = = = = = ⇒  y = 16 ⇒  y = ±4 16 25 18 75 −18 + 16 − 75 ? ?77  z = 25  z = ±5   2 2 2 2 Kết hợp với (1) ta suy (x ;y