Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức vi et vào giải một số dạng toán

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Qua một số năm giảng dạy môn Toán bản thân thấy việc vận dụng hệ thức Vi et vào giải toán các em làm chưa linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Vi et vào giải nhiều loại bài toán đó hệ thức Vi et có ứng dụng rất rộng rãi việc giải toán Đặc biệt những năm gần các đề thi vào THPT áp dụng hệ thức Vi et để giải chiếm đến điểm đề thi.Vậy tại ta không ôn luyện cho học sinh những dạng toán, những bài tập có vận dụng của hệ thức Vi et để giải? Bản thân suy nghĩ điều kiện kinh tế gia đình của nhiều em học sinh còn nhiều khó khăn nên sự quan tâm và tạo điều kiện cho em mình học tập còn nhiều hạn chế.Vì vậy phần nhiều học sinh còn thiếu tài liệu học tập và sách nâng cao để học Do đó việc ôn tập, hướng dẫn cho học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải toán là rất cần thiết đối với các em bởi các dạng toán liên quan đến hệ thức Vi et rất đa dạng phong phú, thời lượng học theo chương trình lại rất ít chỉ có 01 tiết lý thuyết và 01 tiết luyện tập lớp Do đó nếu không được hướng dẫn thì học sinh sẽ không khỏi lúng túng gặp một số dạng toán lạ hoặc một bài toán khó.Vì vậy sự định hướng trước cho học sinh gặp các bài toán liên quan đến hệ thức Vi et là một việc làm thiết thực Từ thực tế nêu để dạy học sinh lớp phần hệ thức Vi et và hướng dẫn học sinh lớp ôn thi vào 10 có kết quả cao đã nghiên cứu đề tài: ‘Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải một số dạng toán’ Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải một số dạng toán Tác giả sáng kiến: - Họ và tên : Phan Thị Huệ - Địa chỉ tác giả sáng kiến : Giáo viên trường THCS Tân Phong - Bình XuyênVĩnh Phúc - Số điện thoại : 0914792223 E mail : phanthihue179@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Tác giả sáng kiến kinh nghiệm: Phan Thị Huệ Giáo viên: Trường THCS Tân Phong - Bình xuyên -Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng lĩnh vực giảng dạy môn Toán, vấn đề được giải quyết là Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải một số dạng toán bậc THCS Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thư: Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng lần đầu ngày 27/3/2014 Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1 Về nội dung của sáng kiến 7.1.1 Cơ sở lí luận: Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dưỡng và phát triển trí tuệ và lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm quá trình dạy học là nội dung của việc đổi mới phương pháp dạy học Dạy học Toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, để nắm vững cách giải dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan Thông qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ trình bày, kĩ sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do đó nâng cao lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả phán đoán, suy luận của học sinh 7.1.2 Cơ sở thực tiễn: Các bài toán úng dụng hệ thức Vi ét có một vị trí quan trọng chương trình dạy học toán THCS Học sinh vận dụng những ứng dụng của hệ thức Vi - ét như: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai các trường hợp a + b + c = ; a - b + c = , hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng Biết cách biểu diễn tổng các bình phương, các lập phương của hai nghiệm qua các hệ số của phương trình còn lúng túng, khó khăn quá trình vận dụng vào giải các bài toán có liên quan Các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi et rất phương phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư Những ứng dụng của hệ thức Vi ét đối với học sinh THCS là khó và mới các em thường gặp khó khăn việc tìm lời giải của bài toán này; có những bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì chương trình đã học? Làm thế nào để tìm được giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán ấy? Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc việc giáo dục tư tưởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc cụ thể cuộc sống sau này Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề: 7.1.3 Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải một số dạng toán a Hệ thức Vi ét: - Nếu x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai : ax + bx + c = ( a ≠ 0) b   x1 + x2 = − a   x x = c  a - Nếu phương trình bậc ba: ax + bx + cx + d = ( a ≠ ) có nghiệm là x1 ; x2 ; x3 b   x1 + x2 + x3 = − a  c   x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = a  d   x1.x2 x3 = − a  Và ngược lại nếu số ( I) x1 ; x2 ; x3 là thỏa mãn hệ thức ( I ) thì x1 ; x2 ; x3 là nghiệm của phương trình bậc ba ax + bx + cx + d = ( a ≠ ) +) Hệ quả 1: Nếu phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có a + b + c = c a phương trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = +) Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có a - b + c = c a phương trình có nghiệm x1 = −1 cịn nghiệm x2 = − +) Hệ quả 3: Nếu phương trình ax + bx +cx + d = ( a ≠ ) có nghiệm x0 phương trình phân tich thành ( x-x ) ( Ax +Bx + C ) = +) Có nghiệm x = a + b + c + d = +) Có nghiệm x = −1 a − b + c − d = b Tìm hai sớ biết tổng và tích của chúng: Nếu số u v có tổng u + v = S vả tích u.v = P hai số u v hai nghiệm phương trình bậc hai: x − Sx + P = Thật vậy: Các số u; v tồn nghiệm phương trình: ( x - u ) ( x - v ) = ⇔ x - ( u+v ) x + u.v = ⇔ x - Sx + P = Như vậy biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm được hai số đó thông qua việc giải phương trình bậc hai Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P ≥ * Một sớ ví dụ * Dạng I: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ ) biết các hệ số a; b; c Hệ quả 1: Nếu phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có a + b + c = thì phương trình có một nghiệm x1 = còn nghiệm là x2 = Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có a - b + c = c a thì phương trình có một nghiệm x1 = - còn nghiệm là x2 = Hệ quả 3: Nếu phương trình ax + bx +cx + d = ( a ≠ ) có nghiệm x0 c a phương trình phân tich thành ( x-x ) ( Ax +Bx + C ) = +) Có nghiệm x = a + b + c + d = +) Có nghiệm x = −1 a − b + c − d = + Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình ( Bài 31 - SGK Toán - Trang 54) a) - 5x + 3x + = b) 2008x + 2009 x + = 2 c) 3x - ( - ) x - = d) ( m - 1) x - ( 2m + 3) x + m + = Hướng dẫn cách giải: - Muốn giải phương trình ta làm thế nào ? - Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phương trình này - Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ ) có a + b + c = thì phương c hoặc a - b + c = thì phương a c trình có một nghiệm x1 = −1 còn nghiệm là x2 = − a trình có một nghiệm x1 = còn nghiệm là x2 = - Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi ét vào nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai các em đã trình bày lời giải sau: Giải: a) - 5x2 + 3x + = (a = - 5; b = 3; c = 2) Vì a + b + c = ( −5) + + = ⇒ phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = − b) 2008x + 2009 x + = (a = 2008; b = 2009; c = 1) Vì a - b + c = 2008 - 2009 + = ⇒ phương trình có hai nghiệm là: x1 = −1 ; x2 = − 2008 c) 3x - ( - ) x - = {a = ( ) } 3; b = - - ; c = - Vì a − b + c = 3- - ( - )  + ( - 1) =   ⇒ phương trình có hai nghiệm là: x1 = −1 ; x2 = −  − ÷= 3  d) ( m - 1) x - ( 2m + 3) x + m + = ( a = ( m - 1) ;b = - ( 2m + 3) ; c = m + ) Vì a - b + c = ( m - 1) - - ( 2m + 3)  + ( m + ) = ⇒ phương trình có hai nghiệm là: x1 = −1 ; x2 = − m −1 1− m = m+4 m+4 Sau tính nghiệm của phương trình xong tơi u cầu các em sử dụng máy tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra các nghiệm vừa tìm phần a b Kết luận: - Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi et để tính nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể Nếu không tính nhẩm được nghiệm của phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải - Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi et và tính toán cho phép tính nhanh chóng nghiệm của phương trình Các em có nhận xét nếu ta thay đổi yêu cầu của bài toán sau: + Ví dụ 2: Giải phương trình a) 5x - 6x + 8x - = b) 4x +2x + 8x +10 = Hướng dẫn cách giải: Hãy vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm các nghiệm của phương trình bậc ba: ax + bx +cx + d = ( a ≠ ) +) Có nghiệm x = a + b + c + d = +) Có nghiệm x = −1 a − b + c − d = - Khi đó các em trình bày lời giải sau: Giải: a) 5x - 6x + 8x - = có tổng các hệ số a + b + c + d = - + - = nên phương trình có nghiệm x = đó phương trình 5x - 6x + 8x - = ⇔ ( 5x - 5x ) - ( x 2 - x ) + ( 7x - ) = ⇔ 5x ( x - 1) - x ( x - 1) + ( x - 1) = ( x - 1) ( 5x - x + ) = ( 1) x - = ⇔  5x - x + 7= ( ) +) Giải phương trình ( 1) +) Giải phương trình ( ) ⇔ x - 1= ⇔ x =1 5x - x + = Ta có ∆ = ( −1) − 4.5.7 = + 140 = 141 > ⇒ ∆ = 141 ⇒ phương trình ( ) có nghiệm x1 = x2 = − ( −1) − 141 2.1 = − ( −1) + 141 2.1 = + 141 ; − 141 + 141 − 141 x = ; x2 = ; 2 b) 4x +2x + 8x +10 = có a - b + c - d = - + - 10 = nên phương trình có nghiệm x = −1 đó phương trình 4x +2x + 8x +10 = Vậy phương trình có nghiệm x1 = ⇔ ( 4x + 4x ) - ( 2x 2 +2 x ) + ( 10x +10 ) = ⇔ 4x ( x + 1) - 2x ( x + 1) + 10 ( x + 1) = ( x + 1) ( 4x - x + 10 ) = ( 1) x - = ⇔   4x - x + 10 = ( ) +) Giải phương trình ( 1) x + = ⇔ x = - +) Giải phương trình ( ) 4x - x + 10 = ⇔ Ta có ∆ = ( −2 ) − 4.4.10 = + 160 = 164 > ⇒ ∆ = 164 = 41 ⇒ phương trình x2 = − ( −2 ) − 41 2.4 = ( ) có nghiệm x1 = − ( −2 ) + 41 2.4 = + 41 + 41 = − 41 − 41 = Vậy phương trình có nghiệm x1 = + 41 − 41 x = ; x2 = ; 4  Như vậy: - Qua ví dụ đã hướng dẫn cho học sinh cách giải phương trình cách vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai và phương trình bậc ba một ẩn - Chú ý quá trình giải phương trình chúng ta nên vận dụng linh hoạt hệ thức vi ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai bậc ba mợt ẩn Ví dụ 3: Giải phương trình x + ( x +1) ( 5x - 6x - ) = Giải Nhận thấy x = - không là nghiệm của phương trình nên ta chia vế của  x2   x2  phương trình cho ( x +1) ta được phương trình:  ÷ +  ÷− =  x +1   x +1  Đặt y = x2 ta dược phương trình y + 5y − = x +1 phương pháp nhẩm nghiệm ta tính được y1 = và y2 = −6 x2 = ⇔ x = ( x + 1) ⇔ x − x − = +) Với y1 = ⇔ x +1 Giải phương trình này ta được nghiệm x1 = +) Với y2 = −6 ⇔ 1+ 1− ; x2 = 2 x2 = −6 ⇔ x = −6 ( x + 1) ⇔ x + x + = x +1 Giải phương trình này ta được nghiệm x3 = −3 + ; x4 = −3 − Vậy phương trình đã cho có nghiệm x1 = 1+ 1− ; x2 = ; x3 = −3 + ; 2 x4 = −3 −  Qua ví dụ đã hướng dẫn cho học sinh cách giải phương trình cách vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn và hướng dẫn cách biến đổi linh hoạt (đặt ẩn phụ) để đưa phương trình bậc về phương trình bậc hai một ẩn có thể nhẩm nghiệm được qua đó các em được rèn luyện kĩ biến đổi và trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả phân tích, dự đoán Phương pháp chung: - Vận dụng các hệ của hệ thức Vi ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai, bậc ba Hoặc các phương trình đưa về dạng để tinh nhẩm nghiệm * Dạng II: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc tìm sớ biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P hai số u v hai nghiệm phương trình bậc hai: x − Sx + P = ( SGK Toán - Trang 52) Điều kiện để có hai sớ là: S2 - 4P ≥ + Ví dụ 1: a) Tìm số biết tổng của chúng 27 và tích của chúng 180 b) Tìm số biết tổng của chúng và tích của chúng Hướng dẫn cách giải: Tìm số biết tổng của chúng 27 và tích của chúng 180  x1 + x2 = 27 Nếu áp dụng hệ thức Vi et  x1.x2 = 180 Tức là ta cần tìm số x1 và x2 biết  đảo thì x1 và x2 là nghiệm của phương trình bậc hai x - 27x + 180 = ta có lời giải sau: Giải: a) Vì số cần tìm có tổng 27 và tích 180 Nên số là nghiệm của phương trình: x - 27x + 180 = Ta có: ∆ = 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = > ⇒ ∆ = = ⇒ phương trình có nghiệm x1 = 27 + = 15 ; x2 = 27 − = 12 Vậy không có hai số cần tìm là 15 và 12 b) Vì số cần tìm có tổng và tích 5, Nên số là nghiệm của phương trình: x2 - x + = Ta có: ∆ = ( -1) - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < ⇒ phương trình vô nghiệm Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài Khai thác ví dụ tơi nêu ví dụ sau: Ví dụ 2: a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích 621 m b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích 32cm Hướng dẫn cách giải - Bài toán cho biết gì ? cần tìm gì? - Nếu gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì?  2 ( a + b ) = 100    ÷ ÷  a.b = 621   a + b = 50 - Vậy  thì a và b là nghiệm của phương trình bậc hai nào? (  a.b = 621 x - 50x + 621 = ) Với gợi ý cho các em thảo luận phút và đại diện em trình bày lời giải Giải a) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phương trình:  ( a + b ) = 100  a + b = 50 ⇔   a.b = 621  a.b = 621 Nên a và b là nghiệm của phương trình bậc hai: x - 50x + 621 = ⇒ phương trình có nghiệm x1 = 27 ; x2 = 23 Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 27 (m ) và 23 (m) b) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phương trình  ( a + b ) = 20  a + b = 10 ⇔    a.b = 32  a.b = 32 Nên a và b là nghiệm của phương trình bậc hai: x - 10x + 32 = Ta có: ∆ ' = ( −5 ) − 1.32 = −7 < ⇒ phương trình vô nghiệm Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích 32 cm2 Kết luận: Muốn tìm hai số biết tổng và tích của chúng, ta áp dụng hệ thức Vi et để đưa về dạng phương trình bậc hai một ẩn giải * Dạng III: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc tìm hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc vào tham số - Xét các bài toán đối với các nghiệm của một phuơng trình chứa tham số Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Muốn giải bài toán này trước hết ta phải đặt điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm, sau đó áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình (S và P) +) Nếu tổng và tích không chứa tham số thì ta có hệ thức liên hệ giữa nghiệm không phụ thuộc vào tham số +) Nếu tổng và tích có chứa tham số thì khử tham số từ S và P Từ đó tính được hệ thưc phải tìm + Ví dụ 1: Cho phương trình: x - ( m + 1) x + m - = (1) a) CMR: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) CMR: Giá trị biểu thức A = x1 ( - x ) + x ( - x1 ) không phụ thuộc vào m Giải a)Xét phương trình: x - ( m + 1) x + m - = ( 1) 2  19  ∆ ' =  − ( m + 1)  − ( m − ) = m + m + =  m + ÷ + > 2  Ta có: ( ∀m ∈ R ) Vậy phương trình có nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) - Áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình x - ( m + 1) x + m - = ( 1)  x1 + x2 = 2m +  x1.x2 = m − ta có:  Khi đó A = x1 ( - x ) + x ( - x1 ) = x1 − x1x + x − x1x = ( x1 + x ) − 2x1x = ( 2m + ) − ( m − ) = 10 ( ∀m ∈ R ) Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào m 2 + Ví dụ 2: Cho phương trình: x - ( 2m - 1) x + m - m - = (1) a) CMR: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m Giải 2 a) Xét phương trình: x - ( 2m - 1) x + m - m - = ( *) Ta có: ∆ ' =  − ( 2m - 1)  − 4.1 ( m − m − 1) = 4m − 4m + − 4m + 4m + = > ( ∀m ∈ R ) Vậy phương trình có nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) * Cách 1: - áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình x - ( 2m - 1) x + m - m - = ( x1 + x2 ) = 4m − 4m +  x1 + x2 = 2m − ⇔ ta có:   2  x1.x2 = m − m −  x1.x2 = 4m − 4m − Khi đó ( x1 + x2 ) − x1.x2 = là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m * Cách 2:  x1 + x2 = 2m − - áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình ( *) ta có:   x1.x2 = m − m − Từ ( 1) ⇒ m = ( 1) ( 2) x1 + x2 + Thay m vào ( ) ta được: 2  x + x +1 x + x +1 x1.x2 =  ÷ − −1 2   ⇔ ( x1 + x2 ) − x1.x2 = Khi đó ( x1 + x2 ) − x1.x2 = là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m Kết luận: Muốn chứng minh biểu thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số ta áp dụng hệ thức Vi et để tính tổng tích nghiệm thay vào biểu thức cần chứng minh rút gọn kết luận Bài tập áp dụng: 2 Bài 1: Cho phương trình: x - ( m - 1) x + m + m + = (1) 1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? 2) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m 2 Bài 2: Cho phương trình: x - ( m - 1) x + m - = (1) 10 ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ m − m ≥ ⇔ m ( m − 1) ≥ m ≥ ⇔  m ≤ m + m ( m − 1) - Khi đó phương trình ( *) có nghiệm phân biệt x1 = ; m x2 = m − m ( m − 1) m 2) áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình mx − 2mx + = ( *) ta có  x1 + x2 =    x1.x2 = m - Để phương trình có hai nghiệm cho một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, giả sử x1 = x2 1     x2 x2 =  x2 x2 = 2 x2 = m ⇔  m ⇔  m đó ta có hệ phương trình :   x2 + x2 =  x2 + x2 = 3x2 =   2 8  = m= 2  ÷ =   m ≥  m ⇔ 9 m ⇔  ⇔  3   ( thỏa mãn điều kiện  ) m ≤ x = x = x =    Vậy với m = thì phương trính có nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đơi nghiệm Hoặc em thay trực tiếp nghiệm vừa tìm cho x1 = x2 từ ta tìm giá trị m thỏa mãn điều kiện toán + Ví dụ 4: Cho phương trình x − ( m + 1) x + 2m − 15 = 1) Giải phương trình m = 2) Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn x2 + x1 = Hướng dẫn cách giải: Đối với phần ta cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm từ áp dụng hệ thức Vi - et tính tổng tích nghiệm x 1, x2 phương trình, kết  x1 + x2 = 2m +  hợp với điểu kiện toán x2 + x1 = giải hệ phương trình  x1.x2 = 2m − 15 từ  x + 5x =  tìm giá trị m thỏa mãn điều kiện toán Giải: 13 1) Thay m = vào phương trình ta được x − x − 15 = Giải phương trình này ta được x1 = và x2 = −3 Vậy với m = thì phương trình có nghiệm x1 = và x2 = −3 2) Xét phương trình x − ( m + 1) x + 2m − 15 = ( *) Ta có: ∆ ' =  − ( m + 1)  − ( 2m − 15 ) = m + 2m + − 2m + 15 = m + 16 > ( ∀m ) vì m ≥ ( ∀m ∈ R ) ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m  x1 + x2 = 2m + ( 1)  x1.x2 = 2m − 15 ( ) +) áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình ( *) ta có  Để phương trình ( *) có nghiệm thỏa mãn điều kiện x2 + x1 = ( 3)  x1 + x2 = 2m + ⇔ x + x =  Từ ( 1) và ( 3) ta có hệ phương trình   x1 + x2 = 2m +   x2 + x1 = 1− m 1− m   x1 = x1 =    x + x = 2m +   2 ⇔  ⇔  ⇔  5 x1 + x2 = 1 − m + x = 2m +  x = 5m +   2 1− m 5m + Thay x1 = ; x2 = vào phương trình ( ) ta được phương trình: 2 − m 5m + = 2m − 15 2 ⇔ ( − m ) ( 5m + 3) = ( 2m − 15 ) ⇔ 5m − 5m + − 3m = 8m − 60 ⇔ 5m + 6m − 63 = Giải phương trình này ta được m1 = ; m2 = − Vậy với m = ; hoặc với m = − 21 21 thì phương trình ( *) có nghiệm thỏa mãn x2 + x1 = Gọi x1 ; x2 x3 ; x4 là tất cả các nghiệm của phương trình: ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) ( x + 8) = Tính x1.x2 x3 x4 Giải: - Xét phương trình ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = ( 1) + Ví dụ 5: ⇔ ( x + ) ( x + )  ( x + ) ( x + )  = ⇔  x + 10 x + 16   x + 10 x + 24  - = ⇔ y ( y + 8) - = ⇔ y + y - = 14 Đặt x + 10 x + 16= y ( 2) Ta có: ∆ ' = 42 − 1.1 = 16 − = 15 > ⇒ ∆ ' = 15 ⇒ phương trình ( ) có nghiệm y1 = −4 + 15 ; y2 = −4 − 15 +) Với y1 = −4 + 15 ⇔ x + 10 x + 16 = −4 + 15 ⇔ x + 10 x + 20 − 15 = ( 3) Xét phương trình ( 3) ta có ∆ '3 = − ( 20 − 15 ) = + 15 > ⇒ phương trình ( 3) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇒ x1.x2 = 20 − 15 +) Với y2 = −4 − 15 ⇔ x + 10 x + 16 = −4 − 15 ⇔ x + 10 x + 20 + 15 = ( ) Xét phương trình ( ) ta có ∆ '3 = − ( 20 + 15 ) = − 15 > ⇒ phương trình ( ) có nghiệm phân biệt x3 ; x4 ⇒ x3 x4 = 20 + 15 Khi đó x1.x2 x3 x4 = ( x1.x2 ) ( x3 x4 ) = ( 20 − 15 ) ( 20 + 15 ) = 202 − ( 15 ) = 400 − 15 = 385 Vậy x1.x2 x3 x4 = 385 Nhận xét: Trong bài tập này phương trình đã cho có bậc xong nếu ta vận dụng linh hoạt và sáng tạo hệ thức Vi et để tính tích các nghiệm x1 x2 và x3 x4 từ đó ta có thể tính được giá trị biểu thức x1.x2 x3 x4 Phương pháp chung: Như vậy bài toán tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn điều kiện của các nghiệm đối xứng hoặc liên hệ với theo một hệ thức nào đó chúng ta cần làm sau: +) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ( ∆ ≥ ) (hoặc a.c < 0) +) áp dụng hệ thức Vi ét để tính tổng và tích của nghiệm +) Kết hợp với điều kiện ( hệ thức) giải hệ phương trình gồm điều kiện với tổng và tích các nghiệm chúng ta tìm được tham số thỏa mãn điều kiện bài toán +) So sánh với điều kiện có nghiệm để (trả lời) kêt luận bài toán Bài tập áp dụng: 1.Bài 1: Cho phương trình x − ( 3 + ) x − ( + 1) = ( 1) Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình ( 1) Tính giá trị của biểu thức: ( ) S = x12009 + x22009 − 3 + ( x12008 + x22008 ) − ( ) − ( x12007 + x22007 ) Bài 2: Cho phương trình x − 2mx + 2m − = 1)Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m 2) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm trái dấu 2 2 3) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x1 ( − x2 ) + x2 ( − x1 ) = 2 Bài 3: Cho phương trình: ( x + 3x ) ( x + x - ) = m 15 1) Giải phương trình m = 1 1 Tìm m là để phương trình có nghiệm x1 ; x2; x3 ; x4 thỏa mãn x + x + x + x = * Dạng V: Vận dụng hệ thức Vi et vào việc giải hệ phương trình đới xứng + Khái niệm hệ phương trình đới xứng: Mợt phương trình ẩn gọi đối xứng nếu ta thay x y y x phương trình khơng thay đổi Ví dụ: Phương trình đối xứng x + y + xy = 11 ⇔ y + x + yx = 11 x + y = 25 ⇔ y + x = 25 ⇒ Mợt hệ phương trình gọi hệ đối xứng loại I nếu gồm phương trình đối xứng  x + y = 25  y + x = 25 ⇔ Ví dụ: Hệ phương trình đối xứng loại I:  2  x + y − xy = 13  y + x − yx = 13 + Cách giải hệ phương trình đới xứng loại I +) Biểu diễn phương trình qua x + y ; xy +) Đặt S = x + y ; P = xy ta hệ phương trình chứa ẩn S P +) Giải hệ phương trình tìm S P +) Các số x y nghiệm phương trình t − St + P = (Vận dụng hệ thức Vi et đảo- Tìm số biết tổng tích chúng) (Hệ đã cho có nghiệm hệ phương trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn S − 4P ≥ ) Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phương trình theo tham số t từ đó suy nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phương trình Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 5 ( x + y ) + xy = −19 a)  ( x + y ) + xy = −35  x − xy + y = b)  x + y =  x2 y2 = 18  + c)  y x  x + y = 12  3  x + y = d)  ( x + y ) xy = −2 Hướng dẫn cách giải: 5 ( x + y ) + xy = −19 ( x + y ) + xy = −35 - Em có nhận xét hệ phương trình  - Muốn giải hệ phương trình ta làm ? (GV nêu cách làm cách đặt ẩn phụ S = x + y P = x y em thảo luận trình bày lời giải sau) 16 Giải: 5 ( x + y ) + xy = −19 ( x + y ) + xy = −35 a)  ⇔ 5S + P = −19   S + 3P = −35 Đặt S = x + y và P = x y ta có hệ phương trình 15S + P = −57 ⇔  2S + P = −70 13S = 13 ⇔  S + 3P = −35 S = ⇔ ⇔ 1 + 3P = −35 S =   P = −12  x + y = theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai ⇔  x y = −12 X − X − 12 = giải phương trình này ta được nghiệm là X = và X = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 4; −3) và ( −3; ) - Hoặc các em có thể biến đổi trực tiếp hệ phương trình phương pháp cộng đại số (không đặt ẩn x + y = từ đó áp dụng hệ thức vi- ét để giải hệ  x y = −12 phụ) ta tính được  phương trình tìm x; y b)  x − xy + y =  x + y = 2 ( x + xy + y ) − xy = ⇔   x + y = 52 − xy = ( x + y ) − xy = ⇔ ⇔   x + y = x + y =  xy = ⇔  x + y = Theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai X − X + = Giải phương trình này ta được nghiệm là X = và X = Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 3; ) và ( 2;3) c)  x2 y = 18  + x y  x + y = 12   x + y = 18 xy ⇔   x + y = 12 123 − xy.12 = 18 xy 54 xy = 1728 ⇔  ⇔   x + y = 12  x + y = 12 theo định lí Vi ét thì ( x + y ) − xy ( x + y ) = 18 xy ⇔   x + y = 12  xy = 32 ⇔   x + y = 12 x; y là nghiệm của phương trình bậc hai t − 12t + 32 = Giải phương trình này ta được nghiệm là t1 = và t2 = Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 4;8) và ( 8; ) 17 3 ( x + y ) − xy ( x + y ) = ( x + y ) − ( −2 ) = x + y =  x + y = ⇔  ⇔  ⇔  d)   xy = −2 ( x + y ) xy = −2 ( x + y ) xy = −2 ( x + y ) xy = −2 theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai: t − t − = (1) vì a - b + c = 1- ( -1) + ( -2 ) = nên phương trình (1) có nghiệm là t1 = −1 và t2 = Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( −1; ) và ( 2; −1) x = a x = b có nghiệm  y = b y = a Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm  Chúng ta cần lưu ý điều để khơng bỏ xót nghiệm hệ phương trình Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x + y + xy = a)  2  x + y + xy =  x + y = 17 b)  2  x + y + xy = x + y + z =  c)  xy + yz − xz =  x + y + z = 14   x + y + z =  d)  xy + yz + xz = 27 1 1  + + =1  x y z  x + x + y + y = 18 e)   x ( x + 1) y ( y + 1) = 72 Hướng dẫn cách giải:  x + y + xy = - Muốn giải hệ phương trình  2  x + y + xy = ta làm ? - Học sinh nêu cách làm biến đổi hpt dạng tổng tích x y cách S + P = đặt S = x + y P = x y ta có hệ pt   S − S − 12 = giải hệ phương trình - Khi em nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi et vào nhẩm nghiệm phương trình bậc hai em trình bày lời giải sau: Giải: a)  xy = − ( x + y ) ( x + y ) + xy =  x + y + xy = ⇔ ⇔    2  x + y + xy = ( x + y ) − xy = ( x + y ) − 5 − ( x + y )  =  xy = − ( x + y ) ⇔ Đặt S = x + y và P = x y x + y − x + y − 12 = ) ( ) ( S + P = S + P = ⇔ Ta có hệ phương trình   S = 3; S = −4  S − S − 12 = x + y =  xy = +) Với S = ⇒ P = ta có  theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai t − 3t + = (1) 18 vì a + b + c = 1+ ( -3) + 2= nên phương trình (1) có nghiệm là t1 = và t2 = Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 1; ) và ( 2;1) x + y = theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của  xy = +) Với S = ⇒ P = ta có  phương trình bậc hai t − 2t + = (2) Giải pt (2) ta có ∆ ' = ( −1) − 1.3 = − = −2 < nên phương trình (2) vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1; ) ( 2;1) Tôi gợi ý đối với hpt này ta biến đổi vế trái của hpt thành tổng của x + y ; xy đó ta có lời giải sau: ( x + y ) − ( xy ) = 17 4  x + y = 17  ⇔ b)  2 2  x + y + xy = ( x + y ) + xy = Đặt S = x + y ; P = xy  S − ( − S ) = 17  S − P = 17 ⇔  ⇔ Ta có hệ phương trình  S + P =  P = − S  S − ( − 6S + S ) = 17   P = − S  S − 12S + 35 = ( 1) ⇔  ( 2) P = − S  S − 18 + 12 S − S = 17 ⇔  P = − S Giải phương trình S − 12S + 35 = ( 1) ta được S1 = ; S2 = x + y = (I)  xy = −4 +) Với S1 = ⇒ P1 = −4 ta có  Theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai t − 7t − = (3) Giải phương trình (3) ta có ∆ = ( −7 ) − 4.1 ( −4 ) = 49 + 16 = 65 > nên phương − ( −7 ) + 65 + 65 ; t2 = = 2.1  + 65 − 65  ⇒ hệ phương trình (I) có nghiệm là  ; ÷ và 2 ÷   x + y = ( II ) +) Với S2 = ⇒ P2 = −2 ta có   xy = −2 trình (3) có nghiệm phân biệt t1 = − ( −7 ) − 65 − 65 = 2.1  − 65 + 65  ;  ÷ 2 ÷   Theo định lí Vi ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai t − 5t − = (4) Giải phương trình (4) ta có ∆ = ( −7 ) − 4.1 ( −4 ) = 49 + 16 = 65 > nên phương trình (4) có nghiệm phân biệt t3 = − ( −5 ) + 33 + 33 − ( −5 ) − 33 − 33 ; t4 = = = 2.1 2.1 19 ⇒ hệ phương trình ( II ) có nghiệm là  + 33 − 33  ;  ÷ 2 ÷   và  + 33 − 33  ;  ÷ 2 ÷    − 33 + 33  ;  ÷ 2 ÷   Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  + 65 − 65  ;  ÷; 2 ÷    − 65 + 65  ;  ÷; 2 ÷    − 33 + 33  ;  ÷ 2 ÷   x + y + z = x + y + z =   ⇔  xy + yz − xz = ⇔  xy + yz − xz =  62 − xy + yz + xz = 14 ( ) ( x + y + z ) − ( xy + yz + xz ) = 14  ( 1) ( 1) ( x + z ) + y = x + y + z = x + y + z =    ⇔  xy + yz − xz = ( ) ⇔  xy + yz − xz = ⇔  xy + yz − xz = ( )  xy + yz + xz = 11  x+z y =9  x+z y =9 ) ) ( 3) ( 3)  ( ( x + y + z =  c)  xy + yz − xz =  x + y + z = 14  Từ ( 1) ; ( 3) và áp dụng hệ thức Vi ét suy ( x + z ) ; y là nghiệm của phương trình bậc hai: t + 6t + = ⇔ ( t − 3) = ⇔ t = đó hệ phương trình trở thành hệ ( 4) y =   xz = ( ) x + z = ( 6)  Từ ( ) ; ( ) và hệ thức Vi - et suy x ; z là nghiệm của phương trình bậc hai: m − 3m + = Giải phương trình này ⇒ m1 = 2; m2 = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1;3; ) ; ( 2;3;1) Nhận xét: Bài toán giải hệ phương trình ba ẩn cách biến đổi thích hợp thì ta có thể đưa bài toán về dạng tìm hai số biết tổng và tích của chúng (với số thứ nhất là x + z và số thứ hai là xz và tim được x và z nhờ áp dụng hệ thức Vi ét từ đó tìm được các nghiệm của hệ phương trình  x + y + z =  d)  xy + yz + xz = 27 1 1  + + =1  x y z ( 1) ( 2) ( 3) 20 Hướng dẫn cách giải: áp dụng hệ thức Vi et đối với phương trình bậc ba: ax + bx + cx + d = có nghiệm x1 ; x2 ; x3 b   x1 + x2 + x3 = − a  c   x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = a  d   x1.x2 x3 = − a  ( I) ngược lại nếu số x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn hệ thức ( I ) x1 ; x2 ; x3 nghiệm của phương trình bậc ba ax + bx + cx + d = ( a ≠ ) ta có lời giải sau: Giải: - Nhận thấy x = 0; y = 0; z = không phải là nghiệm của hệ phương trình - Với x ≠ 0; y ≠ 0; z ≠ ta có : Nhân cả vế của phương trình ( 3) với xyz ta xy + yz + xz = xyz ( ) So sánh ( ) và ( ) ta được xyz = 27 đó ta có hệ được: phương trình: x + y + z =   xy + yz + xz = 27 Theo định lí Vi et đối với phương trình bậc ba thì x; y; z là  xyz = 27  nghiệm của phương trình bậc ba một ẩn: X − X + 27 X − 27 = ⇔ ( X − 3) = ⇔ X =3 Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = z = Nhận xét: Với bài toán giải hệ phương trình ta sử dụng phép biến đổi hợp lí để đưa bài toán về dạng có thể áp dụng được hệ thức Vi et đối với phương trình bậc ba một ẩn từ đó giải được hệ phương trình  x ( x + 1)  +  y ( y + 1)  = 18  x + x + y + y = 18 ⇔ e)    x ( x + 1) y ( y + 1) = 72   x ( x + 1)   y ( y + 1)  = 72 ( 1) ( 2) Từ ( 1) ; ( ) và áp dụng hệ thức Vi - et suy x ( x+1) ; y ( y+1) là nghiệm của phương trình bậc hai: t − 18t + 72 = ⇒ t1 = 6; t2 = 12 Khi đó xảy hai trường hợp  x ( x+1) =   y ( y+1) = 12  x ( x+1) = Giải hệ phương trình ( I ) :   y ( y+1) = 12 ⇔ ( II )  x + x − =   y + y − 12 = ⇒ giải hệ phương trình này ta được nghiệm: 21  x ( x+1) = 12   y ( y+1) = ( I) x =  y = và  x = −3   y = −4  x ( x+1) = 12 Giải hệ phương trình   y ( y+1) = ( II )  x + x − 12 = ⇔   y + y − = x =  x = −4  ;  y =  y = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm là; ( 2;3) ; ( −3; −4 ) ; ( 3; ) ; ( −4; −3) ⇒ giải hệ phương trình này ta được nghiệm : Nhận xét: Bài toán nhìn vào rất phức tạp chỉ biến đổi đôi chút và vận dụng linh hoạt hệ thức Vi ét về tổng và tích của số x +y và x.y nhìn nhận các số là x ( x + 1) và y ( y + 1) ta sẽ đưa được hệ phương trình về dạng đơn giản đó là hệ hai phương trình bậc hai, phương trình bậc hai một ẩn Phương pháp chung: Như từ tốn giải hệ phương trình đối xứng loại I phức tạp xong biết biến đổi linh hoạt vận dụng hệ thức Vi - et tìm hai số biết tổng tích đưa toán trở dạng đơn giản từ tìm nghiệm hệ phương trình Khi giải hệ phương trình mà vế trái đa thức đối xứng ta coi ẩn nghiệm phương trình sử dụng hệ thức Vi - et để thiết lập phương trình Nghĩa ta chuyển việc giải hệ phương trình n ẩn giải phương trình bậc n ẩn, phương trình giải nghiệm hệ n phương trình cho Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải hệ phương trình a)  x + y + xy =  đ/s  x + y + xy = { ( x; y ) } = { ( 0; ) ; ( 2;0 ) } b) { ( x; y ) } = { ( 4;9 ) ; ( 9; ) } c) 1  x + y + x + y =   đ/s  x2 + y2 + + =  x2 y { ( x; y ) } = { ( 1;1) } d)  x y + y x = 30   x x + y y = 35 ( x + y ) ( x + y ) =   2 ( x − y ) ( x − y ) = 15 { ( x; y ) } = { ( 1; ) ; ( 2;1) } Bài 2: Giải hệ phương trình a)  x + y − xy =   y + x − xy = b)  x + y − x y = 13  2 ( x + y ) − xy = 22  x + y + z =  c)  xy + yz + xz = 27 1 1  + + =1  x y z * Dạng VI : V dụng hệ thức Vi ét vào việc lập phương trình bậc hai có chứa hai biểu thức là nghiệm của phương trình Ví dụ 1: Lập phương trình bậc có các nghiệm là: x1 = 3− 3+ ; x2 = 2 Hướng dẫn cách giải: - Muốn tìm hai số biết tổng tích làm ntn? (Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P hai số u v hai nghiệm phương trình bậc hai: x - Sx + P = ; Đ/K S ≥ P ) Giải: Ta có x1 + x2 = 3− 3+ 3− +3+ + = =3 2 ( )( ) ( ) 32 −  3−   3+  3− 3+ 9−5 x1.x2 =   = = = =1 ÷ ÷ ÷ ÷ 4    Vì x1 + x2 = và x1.x2 =1 Nên x1 ; x2 là nghiệm của phương trình bậc hai: x − 3x + = Vậy phương trình cần tìm là: x − 3x + = Nhận xét: Để lập được phương trình bậc hai có nghiệm nhận số cho trước là nghiệm thì ta vận dụng hệ thức Vi et đảo (tìm hai số biết tổng và tích của chúng) ta làm sau: - Bước 1: Tính tổng và tích của hai số đó - Bước 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phương trình cần lập + Ví dụ 2: a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 x = và x1 x2 a2 − + = x1 − x2 − a − b) Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là : 3− 3+ Hướng dẫn cách giải: - Đối với phần a thì ta đã biết được tích của hai số x1 x = nên ta cần tính x1 + x = ? Từ đó hướng dẫn cho học sinh tìm tổng x1 + x = ? từ biểu thức x1 x a2 − + = x1 − x2 − a − ta có lời giải sau 23 Giải: a) Ta có: x1 x a2 − + = x1 − x2 − a − ⇔ x1 x2 − x1 + x1 x2 − x2 a − = x1 x2 − x1 − x2 + a −4 x1 ( x2 − 1) + x2 ( x1 − 1) a − = a −4 ( x1 − 1) ( x2 − 1) ( 1) ⇔ ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) a2 − = x1 x2 − ( x1 + x2 ) + a − ⇔ − ( x1 + x2 ) a2 − = − ( x1 + x2 ) + a − ⇔ − ( x1 + x2 ) a − = − ( x1 + x2 ) a − ⇔ 8 − ( x1 + x2 )  ( a − ) = 5 − ( x1 + x2 )  ( a − ) ⇔ ( x1 + x2 ) = 3a + ⇔ x1 + x2 = a + 2 Điều kiện: S − P ≥ ⇔ ( a + 1) − ≥ ⇔ a − ≥ ⇔ a ≥ hoặc a ≤ − Vậy là nghiệm của phương trình: X − ( a + 1) X + = với a ≥ hoặc a ≤ − Nhận xét: Để lập được phương trình bậc hai biết tích hai ẩn và hệ thức ( 1) thì ta cần tìm tổng của hai ẩn để áp dụng định lí Vi et 2 b) Phương trình bậc hai cần tìm có dạng tổng quát x + px + q = ( ) với ( p; q ∈ Z ) 3− = 3+ Ta có: ( ( 3− 3+ )( ) 3− = − 15 ) ( 3) − ( 5) 2 = − 15 = −4 + 15 −2 Vì phương trình ( ) có một nghiệm là : −4 + 15 ta có: ( −4 + 15 ) ( ) + p −4 + 15 + q = ⇔ 31 − 15 + p 15 − p + q = ⇔ ( 31 − p + q ) − ( − p ) 15 = 31 − p + q 31 − p + q ∈Z 15 ∈ R ; (vô lí) Vì 8− p 8− p +) Nếu − p = tức là p = ⇒ q = Cho nên phương trình cần tìm là: x + x + = +) Nếu − p ≠ ⇒ 15 = Nhận xét: Khi lập phương trình bậc hai biết trước mợt nghiệm các hệ số số nguyên Ta cần thay nghiệm của phương trình vào phương trình ban đầu xét các hệ số nguyên  Phương pháp chung: +) Muốn lập phương trình bậc hai có nghiệm là hai số cho trước ta làm sau: - Bước 1: Tính tổng và tích của hai số đó 24 - Bước 2: áp dụng hệ thức Vi et đảo để tìm phương trình cần lập ta tính tổng và tích của chúng áp dụng hệ thức Vi ét đảo để xác định phương trình cần lập +) Trong trường hợp phương trình bậc hai cần lập biết trước một nghiệm và các hệ số là các số nguyên thì ta thay nghiệm đó vào phương trình ban đầu tìm các hệ số đó Bài tập áp dụng: Bài 1: 1) Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là: x1 = 4 3+      +   2) Tính: P =  3+  3−  2 Bài 2: Cho phương trình: mx + ( m - ) x + m - = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu α ; β b) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn 3α 3β c) Lập phương trình bậc hai nhận α − β và β − α là nghiệm Tóm lại:Khi hướng dõõ̃n học sinh vọõ̃n dụng hợợ̀ thức Vi et vào giải mụụ̣t sụ́ dạng toán thì đối với dạng bài tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu với sự phân tích để các em hiểu và nắm bắt và vận dụng được phương pháp làm bài Từ một bài tập cụ thể giáo viên cần phải khai thác các cách giải mở rộng kiến thức (khái quát hoá) Khi xây dựng đề tài giáo viên phải chọn lọc và xếp phân loại các bài tập theo trình tự lôgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát cách giải từng dạng bài tập đó vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học các hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho hiệu quả nhất đụợ̀ng thời mụõ̃i giáo viên cần đầu tư thời gian, với sự tìm tòi lựa chọn xây dựng hệ thống bài toán, phân dạng bài tập, xây dựng cách giải tổng quát thì quá trình giảng dạy sẽ rèn luyện được kĩ vận dụng, trình bày lời giải, tư sáng tạo của học sinh qua đó giúp các em tự tin, phấn khởi quá trình học tập 7.2 Về khả áp dụng của sáng kiến: Qua thời gian tiếp tục nghiên cứu và áp dụng bản thân xét thấy đề tài này có tác dụng rất lớn quá trình giảng dạy môn Toán 9, đã vận dụng từng phần sau tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Vi ét để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm đồng thời rèn luyện cho các em kỹ trình bày gặp các bài toán dạng này Ngoài đề tài này còn được áp dụng vào việc ôn tâp ,ôn thi vào 10 các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng vì thế việc áp dụng hệ thức Vi et đối với các em gặp các kỳ thi hay các 25 bài kiểm tra không còn khó khăn nữa mà các em biết vận dụng linh hoạt tiếp tục học lên THPT Những thông tin cần được bảo mật: Không có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Đối với giáo viên thường xuyên nghiên cứu các tài liệu tham khảo,các đề thi vào THPT liên quan đến hệ thức Vi et để đưa vào giảng dạy ở từng tiết học,buổi học - Đối với học sinh:Cần chủ động ,tích cực học tập tham khảo các tài liệu,sưu tầm thêm các đề thi có vận dụng đến hệ thức Vi et để giải 10.Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giảvà theo ý kiến của tổ chức,cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu,kể cả áp dụng thư(nếu có) 10.1.Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả Khi chưa thực hiện chuyên đề này thì thấy kết quả sau: Ở một số dạng toán có đến 60% học sinh lớp không xác định được dùng kiến thức gì để giải.Sau đó nghiên cứu hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% học sinh lớp đã xác định được hướng giải quyết và có khoảng 75% - 80% các em đã làm được.Ngoài các em còn có khả áp dụng giải một số bài tập có yêu cầu cao Qua tiến hành kiểm tra viết đối với lớp 9B(tôi đã vận dụng SKKN) và lớp 9A(không áp dụng SKKN) thu được kết quả sau: Kết quả thực nghiệm: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu 9A 31 9,7% 9,7% 9,7% 25,8% 9B 30 23,3% 10 33,3 26,7% 16,7% 10.2 .Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức,cá nhân : Chưa có 11.Danh sách tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thư hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có) STT Tên tổ chức/cá Địa chi Phạm nhân vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Phan Thị Huệ Trường THCS Tân Giảng dạy Phong Học sinh lớp 9B Trường THCS Tân Môn Toán Phong 26 Thủ trưởng đơn vị Tân Phong, ngày 22 tháng 10 năm 2016 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Thủy Phan Thị Huệ 27 ... cứu sâu nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề: 7.1.3 Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi et vào giải một số dạng toán a Hệ thức Vi ét: - Nếu x1 ; x2 là hai nghiệm của... trọng tới vi? ?̣c dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, để nắm vững cách giải dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách... dụng hệ thức Vi et vào vi? ?̣c tìm hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc vào tham số - Xét các bài toán đối với các nghiệm của một phuơng trình chứa tham số Tìm hệ