XÂY DỰNG SONG ÁNH để GIẢI một số BÀI TOÁN tổ hợp

XÂY DỰNG SONG ÁNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP

I Tóm tắt lí thuyết

1) Cho ánh xạ f : A  B

a) f là đơn ánh � � � � ι    a a1, 2 A f a, ( )1 f a( )2 a1 a2 a a1, 2 A a, 1 a2 f a( )1 f a( )2 .

b) f là toàn ánh �b B a� , �A f a: ( )b.

c) f là song ánh � f là đơn ánh và toàn ánh�b B� , ! a�A f a: ( )b

2) Cho A, B là 2 tập hợp hữu hạn Khi đó:

a) Nếu có một đơn ánh f : A  B thì | | | | A �B

b) Nếu có một toàn ánh f : A  B thì | | | | A �B

c) Nếu có một song ánh f : A  B thì | | | | A  B

3*) Cho A, B là 2 tập hợp hữu hạn có lực lượng bằng nhau Khi đó:

a) Nếu có một đơn ánh f : A  B thì f là song ánh.

b) Nếu có một toàn ánh f : A  B thì f là song ánh.

4) Công thức tính lực lượng của tập hợp :

1

n

i



U

II Các ví dụ:

Ví dụ 1: Hãy tính trung bình cộng tất cả các số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N M và các chữ số của N thuộc 99 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Giải :

Gọi T là tập hợp tất cả các số N thỏa điều kiện đề bài Ta xây dựng song ánh f : T  T như sau :

:

f

���

trong đó b i  9 a i, i 1, 2010

 a) Chứng minh f là ánh xa :

Với mỗi N = a a a1 2 2010  T ta có :

Rõ ràng vì a i �{1, 2,3, 4,5,6,7,8} nên b i  9 a i�{1, 2,3, 4,5,6,7,8}, i 1, 2010

Vì NM và 99

2010 ' 9

( ) 9999 999 99

ch sô

N f N 1 4 2 43 M nên ( ) 99f N M

Do đó, f(N)  T Vậy f là ánh xạ.

 b) Chứng minh f là đơn ánh:

Giả sử N1  x x1 2 x2010,N2  y y1 2 y2010 �T sao cho f N( )1 a a a1 2 2010, (f N2)b b b1 2 2010 và f N( 1) f N( 2) Khi đó, a i b i, i 1, 2010�9  x i 9 y i �x i  y i, i 1, 2010�N1  N2

 c) Chứng minh f là toàn ánh: ( nếu áp dụng tính chất 3) thì không cần phải chứng minh )

Lấy số N b b b1 2 2010�T tùy ý Chọn số P a a 1 2 a2010 với a i   9 b i

Chứng minh tương tự phần a) ta có P  T Và rõ ràng f(P) = N.

Vậy, f là song ánh.

Ta có :

 

2010 ' 9

( ) 9999 999,

ch sô

N f N vì f là song ánh

�

�



�

1 4 2 43

T

2010 ' 9

T

Suy ra trung bình cộng các số N là : 2010 ' 9 2010

9999 999

ch sô N

N

T

T

Ví dụ 2: Cho tập A = {1, 2, 3, …, 2n} Một tập con của A gọi là một tập cân nếu trong tập đó số các số chẵn và số

các số lẻ là bằng nhau ( Tập � cũng là một tập cân vì nó có số các số lả và số các số chẵn là bằng 0) Gọi C là họ

tất cả các tập con cân của A và D là họ tất cả các tập con của A có đúng n phần tử.

a) Hãy xây dựng song ánh f : C  D.

b) Từ đó suy ra số tập con cân của A là C 2n n

Giải :

Gọi X và Y lần lượt là tập hợp các số chẵn và số lẻ của A Chú ý : X  Y n

Ta xây dựng song ánh :f C���D như sau:

M a (X�M) ( \�Y M)

 Chứng minh f là ánh xa :

 M  C ta có : Vì M là tập cân nên X �M  Y �M .

Do đó, (X �M)�( \Y M)  X �M Y M\ ( vì (X �M)�( \Y M)� )

= X �M Y Y �M  Y n.

Như vậy, (X �M)�( \Y M)�D

 Chứng minh f là đơn ánh:

Lấy M, N tùy ý thuộc C sao cho ( ) f M  f N( ) Tức là : (X �M)�( \Y M) ( X �N)�( \ )Y N (1)

Vì X �M X, � là tập hợp các số chẵn và \ , \N Y M Y N là tập hợp các số lẻ nên từ (1) suy ra :

 Chứng minh f là toàn ánh:

Với mỗi tập con N  D , ta chọn M X �N �Y N\ .

Số các số chẵn của tập hợp M là : X � N

Số các số lẻ của tập hợp M là : Y N\  Y Y �N  n Y�N  N Y �N  X � N

Do đó, M  C và f M( ) ( X �M)�( \Y M)X �N � �Y N  N .

Vậy f là song ánh và do đó 2

n n

C

III Bài tập

1 Tính trung bình cộng các số N gồm 2n chữ số (n > 1) thỏa mãn các điều kiện:

i) N gồm các chữ số {1, 2, 4, 5} và hiệu 2 chữ số liên tiếp luôn lớn hơn 1.

ii) N chia hết cho 11.

2 (VMO – 2002) Cho tập S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1; 2002] Gọi T là tập hợp tất cả các tập

con không rỗng của S Với mỗi X  T, kí hiệu m(X) là trung bình cộng các phần tử của X

Tính X T ( )

m X m

T

�

3 Có một nhóm người mà trong đó : mỗi cặp không quen nhau có đúng 2 người quen chung, còn mỗi cặp

quen nhau thì không có người quen chung Chứng minh rằng số người quen của mỗi người là như nhau

4 Cho trước số nguyên dương n và số nguyên dương r thỏa mãn điều kiện r < n – r + 1 Cho X là tập hợp n

số nguyên dương đầu tiên Tính số các tập con của X có r phần tử mà không chứa 2 số nguyên liên tiếp.

ĐS: C n r r 1

5 Một cửa hàng kem có bán m loại kem Một nhóm có n người vào ăn kem và gọi n cốc kem Hỏi:

a) Hỏi có tất cả bao nhiêu sự lựa chọn?

b) Hỏi có tất cả bao nhiêu sự lựa chọn, trong đó cả m loại kem đều có mặt ?

ĐS: a) C n m m 1 1 b) C n m11