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u∗ |2g e−λt θ∈[−τ,0] + λ − η1 2ν 1− |∇g|∞ 1/2 m0 η − 2c1 1/2 η1 u∗ g − 2LF + L2G η1 t × õØ e−λ(t−s) E sup |u(s + θ) − u∗ |2g ds, ∀t ≥ Ý E|u(t) − u∗ |2g ≤ sup E|u(θ) − u∗ |2g e−λt , t ∈ [, 0] [,0] è ẵ àá ắẳàá ụỉ ẵ [,0] ễ |g| 1/2 m0 η − 2c1 1/2 η1 u∗ g − 2LF + L2G > 0, ú ẵ ỉ E|u(t) − u∗ |2g ≤M0 e−α0 t , t ≥ 0, ắẳà ỉệểề (0, ) sup E|u(θ) − u∗ |2g (λ − α0 ) C0 = max θ∈[−τ,0] λ − η1 2ν(1 − |∇g|∞ 1/2 m0 η sup E|u(θ) − u∗ |2g )− 2c1 1/2 η1 2LF + L2G u∗ g − η1 −1 eα0 τ , > θ∈[−τ,0] Ò Ðù Ò ẹề ì ỉ ụỉ ề éự ắ ỉ ẹ ề ỉể ề ắà ỉ ỉ Ị ÷Đ Ị Ý u∗ Ø Ĩ Ị ÷Đ Ý Ø ø u(t) Ø Đ Ù Ịº Ì Ð ¸ Ø Ị Ø Đ Ø × Ø γ > × Ĩ Ĩ Ị Ðù º¿º log |u(t) − u∗ |2g ≤ −γ, t→+∞ t º º º lim Ò ĐỊ º × n ≥ Ð Đ Ø × Ø Ị ịỊº Ø Ị Ø |u(t) − u∗ |2g = |u(nt0 ) − u∗ |2g t −2 −2 nt0 t nt0 t +2 nt0 t + nt0 t +2 nt0 ÁØĨ¸ Ú Ú t νAg u(s), u(s) − u ∗ g ds −2 (νCg u(s), u(s) − u∗ )g ds + nt0 t nt0 Bg (u(s)), u(s) − u∗ g ds f, u(s) − u∗ g ds (F (u(s − ρ(s))), u(s) − u∗ )g ds G(u(s − ρ(s))) L02 ds (u(s) − u∗ , G(u(s − ρ(s)))dW (s))g , Ý |u(t) − u∗ |2g = |u(nt0 ) − u∗ |2g t −2 t ≥ nτ ¸ nt0 νAg (u(s) − u∗ ), u(s) − u∗ g ds t − nt0 t −2 Bg (u(s)) − Bg (u∗ ), u(s) − u∗ g ds nt0 t +2 nt0 t + nt0 t +2 nt0 À ÒÒ ¸Ø Ĩ ó ½º ´ (νCg (u(s) − u∗ ), u(s) − u∗ )g ds (F (u(s − ρ(s))) − F (u∗ ), u(s) − u∗ )g ds G(u(s − ρ(s))) L02 ds (u(s) − u∗ , G(u(s − (s)))dW (s))g ú ệ ểé ệạ ắẵà ìạ ề íàá ỉ t 2E sup nt0 t(n+1)t0 (n+1)t0 ≤ n1 E nt0 ≤ n1 E ≤ nt0 1/2 |u(s) − u∗ |2g G(u(s − ρ(s))) |u(s) − u∗ |2g sup nt0 ≤s≤(n+1)t0 E (u(s) − u∗ , G(u(s − ρ(s))))g dW (s) sup nt0 ≤s≤(n+1)t0 E G(u(s − ρ(s))) nt0 n1 , n2 Ð ØƯĨỊ Ì Ĩ G(u(s − ρ(s))) nt0 L02 ds Ị ì ắắà L02 ds, ề ề éự ắá ỉ (n+1)t0 nt0 ể 1/2 (n+1)t0 |u(s) u |2g (n+1)t0 + n2 L02 ds E|u(s − ρ(s)) − u∗ |2g ds ≤ C1 eα0 τ e−α0 nt0 ắà ỉ ẵẳà ắẵàạ ắà ỉ ìí ệ E sup nt0 s(n+1)t0 |u(s) u∗ |2g ≤ E|u(nt0 ) − u∗ |2g + − 2ν − |∇g|∞ 1/2 m0 η + 2c1 1/2 η1 u∗ g + LF η1 (n+1)t0 nt0 E u(s) − u∗ g ds (n+1)t0 + LF + (1 + n2 )L2G + E sup nt0 ≤s≤(n+1)t0 nt0 E|u(s − ρ(s)) − u∗ |2g ds |u(s) − u∗ |2g ≤ E|u(nt0 ) − u∗ |2g − η1 2ν − |∇g|∞ − 1/2 m0 η 2c1 1/2 η1 u∗ g − (n+1)t0 LF η1 nt0 + LF + (1 + n2 )L2G C1 eα0 τ e−α0 nt0 + E E|u(s) − u∗ |2g ds sup nt0 ≤s≤(n+1)t0 |u(s) − u∗ |2g ≤ E|u(nt0 ) − u∗ |2g + LF + (1 + n2 )L2G C1 eα0 τ e−α0 nt0 + E sup nt0 s(n+1)t0 ẻứ íá ỉ ỉ |u(s) − u∗ |2g sup E nt0 ≤s≤(n+1)t0 |u(s) − u∗ |2g ≤ 2E|u(nt0 ) − u∗ |2g + LF + (1 + n2 )L2G C1 eα0 τ e−α0 nt0 ≤ 2C0 e−α0 nt0 + LF + (1 + n2 )L2G C1 eα0 τ e−α0 nt0 = M e−α0 nt0 , ØƯĨỊ M = C0 + LF + (1 + n2 )L2G C1 eα0 τ > Ú α0 Ĩ ØƯĨỊ Ị Ðù º¾º Ơ Ị Ø Ị Ø P ω: sup nt0 ≤t≤(n+1)t0 ØƯĨỊ M é ẹ ỉ ú ẵ ỉ ề ỉ ề ì ì ề íũề sup nt0 t(n+1)t0 í Ø |u(t) − u∗ |g > e− Ò ´ (α0 −ǫ)nt0 Ð ƠÚ Ị n0 = n0 (ω) Ø |u(t) − u∗ |g ≤ e− ≤ M ′ e− ǫnt0 , n, t, t0 ) Ú ǫ ∈ (0, α0 )º Ì Đ Ị (α0 −ǫ)nt0 , º º º, Ú n ≥ n0 º Đ Ì ×ÙÝ Ư α0 log |u(t) − u∗ |2g ≤ − , t→+∞ t º º º lim Ị Ðù Ị ĐỊ ặ ề ĩ ỉ ẵ ỉệ ề ụỉ ÕÙ ØƯĨỊ Ơ ØĨ Ị Ø F Ü Ị Ø Ú Ị Ü Ðù Ị Ơ ú Ø Ù Ø ỉ ề ỉệũề ữ ễ ề F : Vg → Vg′ Ø Ơ Ø Ị ÕÙ Ø ƠỊ Ý Ị ρ(·) û Ị Ĩ Đ Ư Ị ể ề é ũề ỉ ễì ỉị ỉ Hg Ú Ĩ Vg′ º ÌÙÝ Ị ịỊ¸ ØƯ Ị Ơ Ị Ị Ý Ị Ø Ý Ị ºỈ Ị ó Ị Ị ó Ơ ơỊ ØƯĨỊ ƯĨỊÛ éé ể ễ ỉ ỉ 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