Chuyên đề tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tailieumontoan.com  Sưu tầm tổng hợp CHUYÊN ĐỀ TỶ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Thanh Hóa, tháng 10 năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề tỉ lệ thức tính chất dãy tỷ số Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng tốn tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số thường kì thi gần Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Lời nói đầu Tóm tắt lý thuyết chung Chủ đề Tìm số hạng chưa biết Dạng Tìm số hạng chưa biết Dạng Tìm nhiều số hạng chưa biết Chủ đề Chứng minh đẳng thức 11 Dạng Chứng tỏ rằng: ad = bc 11 Dạng Đặt k l| gi{ trị chung c{c tỷ số Tính c{c tỷ số a c ; b d 12 x m , theo k y n Dạng Dùng biến đổi đại số tính chất dãy tỉ số để biến đổi 14 từ vế thành vế Chủ đề Tính giá trị biểu thức 16 Chủ đề Tính giá trị biểu thức 18 Chủ đề Các toán tỷ lệ thức chia tỷ lệ 20 Chủ đề Sai lầm thường gặp giải toán tỷ lệ thức 23 Bài tập luyện tập tổng hợp 27 Hướng dẫn giải tập 34 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức l| đẳng thức hai tỉ số Tỷ lệ thức a c  b d a c  viết: a : b = c : d b d Trong đó: - a, b, c, d l| c{c số hạng tỷ lệ thức; - a v| d l| c{c số hạng ngo|i hay ngoại tỉ; - b v| d l| c{c số hạng hay trung tỉ; b) Tính chất Nếu - Tính chất (tính chất bản) a c  ad = bc b d Tính chất (tính chất ho{n vị) Nếu ad = bc v| a, b, c, d kh{c ta có c{c tỉ lệ thức: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a 2) Tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ tỉ lệ thức a c a c ac ac b  d   ta suy    b d b d bd bd + Mở rộng: từ dãy tỉ số ta suy a c e   b d f a c e ace ace      b d f bd  f bd  f (giả thiết c{c tỉ số có nghĩa) 3.Chú ý: + Khi có dãy tỉ số a b c   ta nói c{c số a, b, c tỉ lệ với c{c số 2; 3; ta viết a:b:c = 2:3:5 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Vì tỉ lệ thức l| đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c  suy b d ka k c a c a  c  a c ra:       ; k  k  k   ;  (k1 , k2  0) b d k1b k2d b d  b d a c e từ   suy b d f c e a  c   e  a c e a            ;    d f b d   f  b d f b 3 B/ CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP PHẦN 1: TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT 1.Tìm số hạng chưa biết a) Phương pháp: {p dụng tính chất tỉ lệ thức Nếu a c b.c a.d a.d   a.d  b.c  a  ;b  ;c  b d d c b Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích trung tỉ chia cho ngoại tỉ biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ biết b) Ví dụ minh họa: Thí dụ Tìm x biết: a) 0,52 : x   9,36 :16,38 b) x 3  5 x c) x2 x4  x 1 x  Hướng dẫn giải a) Ta có: -0,52 : x = -9,36 : 16,38  x  9,36   0,52.16,38  x  0,52.16,38  0,91 9,36 b) Cách 1: Ta có: x 3  5 x   x  3    x   x  21  25  x  12 x  46  x3 Sưu tầm tổng hợp Cách 2: Từ x 3 x 3 5 x    5 x 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x 3 5 x x 35 x     57 12 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Do đó: x 3 5    x  3   x    x  6 c) Cách 1: Ta có: Cách 2: Từ x2 x4  x 1 x    x   x     x  1 x   x2 x4 2 x x4    x 1 x  1 x x  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :  x x    x    x  4      x x  1  x    x    x  x  x  14  x  x  x   x  14  x   x  x  4  14  x  10 Do đó: 2 x     x   1  x    x   3x 1 x  x5  x  3x    x  2.Tìm nhiều số hạng chưa biết x y z   a b c (1) x + y + z = d (2) Dạng : Tìm c{c số x, y, z thoả mãn : (trong a, b, c, a + b + c ≠ v| a, b, c, d l| c{c số cho trước) Cách giải: - Cách 1: Đặt x y z    k  x  ka, y  k b, z  kc a b c Thay x = ka, y = kb, z = kc vào (2) ta có: k.a + k.b + k.c = d  k  a  b  c   d  k  Từ tìm x  d abc a.d bd cd ;y ;z  abc abc abc - Cách 2: {p dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x yz d ad bd cd     x ;y ;z  a b c a bc a b c a b c a b c a b c c)Ví dụ minh họa: Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thí dụ Tìm x , y biết rằng: x y 2x – y =  a) b) x y xy = 10  Hướng dẫn giải a) Từ tỉ số x y 2x  y 2x  y       3 5  1 Do đó: x = (-3).2 = -6 y = 5.(-3) = -15 b) Đặt x y   k  x  2k , y  5k Khi đó: xy = (2k).(5k) = 10k2 = 10  x  1 Với k = ta có: x = 2, y = Với k = -1 ta có x = -2, y = -5 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z   x +y + z = 27 b) x y z x + y - z =   Hướng dẫn giải a) Cách Đặt x y z    k  x  2k , y  3k , z  4k Từ x + y + z = 27 ta suy 2k  3k  4k  27  9k  27  k  Khi x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12 - Cách Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 27       x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 23 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z       x  2.1  2; y  3.1  3; z   4    4  23 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dạng : Cho x, y, z thoả mãn : x y z   a b c (1) x + y + z = d (2) Bằng c{ch biến đổi c{c điều kiện (1) v| (2) ta c{c b|i to{n phức tạp C{c c{ch điến đổi thường gặp: + Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) sau: * k1 x  k2 y  k3 z  e * k1 x  k2 y  k3 z  f * x.y.z = g + Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) sau: x - a  y y z ;  a2 a3 a4 - a2 x  a1 y; a4 y  a3 z - b1 x  b2 y  b3 z - b1 x  b3 z b2 y  b1 x b3 z  b2 y   a b c - x  b1 y2  b2 z3  b3   a1 a2 a3 +Thay đổi hai điều kiện Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z   2x + 3y – 5z = -21 b) 6x = 4y = 3z 2x + 3y – 5z = 14 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đặt x y z   = k suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k Do đó: 2x + 3y – 5z = 2.(2k) + 3.(3k) – 5.(4k) = -21  4k  9k  20k  21  7k  21  k  Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cách 2: Từ x y z x y 5z   suy   4 20 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 21       x  6; y  9; z  12 20   20 7 b) Từ 6x = 4y = 3z  x y 3z x y z      12 12 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 14      2  x  4; y  6; z  8 20   20 7 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) a b c   a2  b2  2c2  108 b) x : y : z = : : x  y  3z  100 2 Hướng dẫn giải a) Ta có: a b c a b2 c      4 16 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b2 c a  b  2c 108     4 16   32 27 Do đó: a2   a  16  a  4 b2   b  36  b  6 c2   c  64  c  8 16 Vậy a = 4, b = 6, c = a = -4, b = -6, c = -8 x y z x2 y z   b) Ta có: x : y : z = 3: 4: nên    16 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z 2 x  y  3z 100     4 16 25 18  32  75 25 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do đó: x2   x  36  x  6 y2   y  64  y  8 16 z2   z  100  z  10 25 Vậy x = 6, x = 8, z = 10 x = -6, y = -8, z = -10 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) a b c   x.y.z = 648 b) 40 20 28 x.y.z = 22400   x  30 y  15 z  21 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đặt x y z   = k suy ra: suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k Do đó: xyz= (2k).(3k).(4k) = 648  24k  648  k  648  27  k  24 Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 Cách 2: Từ x y z   x y z xyz 648  x         27 24   24 x3   27  x3  216  x  Từ tìm y = 9; z = 12 b, Từ giả thiết suy : x  30 y  15 z  21 x y z x y z            40 20 28 40 20 28 40 20 28  x  40k x y z     k   y  20k Đặt : 40 20 28  z  28k  Mà: x y.z  22400   40k   20k   28k   22400  22400k  22400  k  Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 Website:tailieumontoan.com 0,5  x  0,5  y  0,5  z  1,5  x 2,5  y 2,5  z    tức   2 x y z x y z 5 Vậy x  ; y  ; z  6 Câu x Ta có: y y ; z x y z k x = 8k, y = 6k, z = 5k xyz = 30 8k.6k.5k = 30 x = 4, y = 3, z = 240k3 = 30 k= Câu a) Từ a c a  c a  a.b a ( a  b) a  suy c  a.b , 2  =  c b b c b  a.b b( a  b) b a2  c2 a b2  c b b) Theo câu a) ta có: 2   2  b c b a c a từ b2  c b b2  c b   1  1 2 2 a c a a c a b2  c  a  c b  a b2  a b  a  hay Vậy 2  a2  c2 a a c a Câu a, Ta có: a c a b 4a 3b 4a  3b       b d c d 4c 3d 4c  3d 4a  3b 4c  3d   a c b, Ta có: a c a b ab     b d c d c d 2 (a  b)2 a b    c d (c  d)2 a b 3a 2b 3a  2b2      c d 3c 2d 3c  2d Câu a) Ta có: Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36 Website:tailieumontoan.com Từ 2 2 x2 y z2 2x2 2y 3z 2x  2y  3z 100 x y z ta có:        4   16 25 18 32 75 25 25  x    y   x  36  x  10   y  64    x  6  z  100  y  8    z  10 ( Vì x, y, z dấu) b) Ta có: Ta có a b c d abcd      2b 2c 2d 2a 2b  2c  2d  2a (do a,b,c,d > => a + b + c + d > 0) suy a = b = c = d Thay v|o tính P = Câu 2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d    a b c d  2012a  b  c  d  2011  a  2012b  c  d  2011  a  b  2012c  d  2011  a  b  c  2012d  2011 a  b c d a bcd a bcd a bcd a bcd (*)    a b c d + Nếu a + b + c + d kh{c Từ (*) suy a = b = c = d Vậy M = + +1 +1 = + Nếu a + b + c + d =  a + b = - ( c + d) ; a + c = - ( b + d) ; a + d = - ( b +c) Vậy M = - - – – = - Câu 10 Từ 3x  y z  x y  3z 15 x  10 y z  15 x 10 y  z      25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 15 x  10 y z  15 x 10 y  z 15 x  10 y  z  15 x  10 y  z    0 25 38 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 37 Website:tailieumontoan.com x y 2  15 x  10 y  3x  y    x z  6 z  15 x   2 z  x    10 y  z  5 y  3z 2   z y 5   x y z x  y  z 50     5   10  x  10, y  15, z  25 Câu 11 + Gọi số viên bi An, Bình, Cường l| a, b, c Vì tổng số viên bi ba bạn l| 74 nên a  b  c  74 + Vì số viên bi An v| Bình tỉ lệ với v| nên a b a b    10 12 + Vì số viên bi Bình v| Cường tỉ lệ với v| nên + Từ ta có b c b c    12 15 a b c a bc 74     2 10 12 15 10  12  15 37 + Suy a  20; b  24; c  30 Câu 12 Vì a b a b b c b c a b c nên    ;      10 15 15 12 10 15 12 Áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, ta có: a b c a b c 49      7 10 15 12 10  15  12 Suy ra: a =10.(-7)=-70; b = 15.(-7) =-105; c = 12.(-7) =-84 Câu 13 Do x, y, z khác nên xy yz zx zxy xyz yzx      ay  bx bz  cy cx  az ayz  bxz bzx  cyx cxy  azy Suy ayz  bxz  bzx  cyx  cxy  azy  az  cx, bx  ay Do x z x y x y z  ,      t  x  at , y  bt , z  ct , t ≠ a c a b a b c xy x2  y2  z2 at.bt a 2t  b 2t  c 2t    Ta có ay  bx a  b  c abt  bat a2  b2  c2 Suy t  t  t  (do t ≠ 0) 2 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 38 Website:tailieumontoan.com Vậy x  a b c ,y ,z  2 Câu 14 x y x y x z x z x  (1); 5x = 7z     (2)     21 14 21 15 y a) Ta có Từ (1) v| (2) ta có: x y z x  2y  z 32    4 = 21 14 15 21  28 15 Tìm được: x = 84; y = 56; z = 60 b) Đặt: x  y z  5t x 7k  = k  7x + 5y = k(3x – 7y)  (3k – 7) x= (7k + 5)y   (1)  3x  y 3z  7t y 3k  Tương tự: 7z + 5t = k( 3z – 7t)  (3k – 7)z = (7k + 5)t  z 7k   (2) t 3k  Từ (1) v| (2) suy điều phải chứng minh Câu 15 1) Với a, b, c  , ta có bz  cy cx  az ay  bx bza  cya bcx  baz acy  bcx =     a b c a2 b2 c2 = bza  cya + bcx  baz  acy  bcx  0 2 a b c a  b2  c2 Suy bz  cy y z =0 , bz  cy   (1) a b c cx  az x z = 0, cx  az   (2) b a c Từ (1) v| (2) suy x y c   a b z 2) Gọi ba phần chia số M l| x, y, z , ta x + y + z = M 1 Theo đề b|i ta có x : y : z  : : x3  y3  z  10728 (1) Hay x y z    k x3  y3  z  10728 10 Suy x3  103.k ; y3  63.k ; z  53.k Thay v|o (1), suy 20; y = 12; z =10 1341k   k  Vậy M = 42 Câu 16 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 39 Website:tailieumontoan.com Ta có: a c a c a     b d bd b a Mà:   b 2013 c   d  2013   a b  Từ (1) (2)    cd  2013 c   d  2013  a c    bd  2013 (1) a 2013 c 2013 a 2013  c 2013   b 2013 d 2013 b 2013  d 2013 2013  a 2013  b2013 c 2013  d 2013 (2) (đpcm) Câu 17 Ta có: x y z t x y  z t      y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z 3 x  y  z  t   3x  y  z  t ; 3y  z  t  x ; 3z  t  x  y ; 3t  x  y  z  x  y  z t ; y  z  t  x ; z t  x  y ; t  x  y  z  A x y y  z z t t  x     1111   Z z t t  x x y y  z Vậy biểu thức A có giá trị nguyên (đpcm) Câu 18 Số A chia thành ba phần số tỉ lệ theo : : Biết tổng c{c bình phương ba số 24309 Tìm số A Gọi ba phần chia là: a, b, c Theo ta có: a : b : c  Ta có: a : b : c  a2  b2  c2  24309 : : a b c : :  24 : 45  10    24 45 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a2 b2 c2 a  b2  c 24309        9 24 45 10 576 2025 100 576  2025  100 2701  a2  576.9  5184  a  72 Câu 19 Gọi diện tích ba hình chữ nhật l| S1 , S2 , S3 , chiều d|i, chiều rộng tương ứng l| d1 , r1; d2 , r2 ; d3 , r3 theo đề b|i ta có S1 S2  ;  d1  d2 ; r1  r2  27; r2  r3 , d3  24 S S3 Vì hình thứ v| hình thứ hai chiều d|i Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 Website:tailieumontoan.com S1 r1 r r r  r 27    1   3 S2 r2 9 Suy chiều rộng r1  12cm, r2  15cm Vì hình thứ hai v| hình thứ ba chiều rộng 7d S2 d 7.24    d2    21cm S3 d 8 Vậy diện tích hình thứ hai S2  d2 r2  21.15  315 cm2 Diện tích hình thứ S1  Diện tích hình thứ ba S3  4 S2  315  252 cm2 5 8 S2  315  360 cm2 7 Câu 20 Vì b  ac nên 2b = a + c 11  b d     hay 2bd = bc + cd c  b d  2bd Mặt kh{c : hay ad + cd = bc + cd ad = bc hay bốn số lập th|nh tỉ lệ thức Câu 21 Ta có : x   29  x  32  x   x  3 Thay v|o tỷ lệ thức ta :  16 y  25 z  49 y  25 z  49     2 16 25 16 25  y  7, z  Vậy x – 2y + 3z = – 2.(-7) + 3.1 = 19 Câu 22 Từ giả thiết   x  y  12 z  24 x y z         15 20 40 15 20 40  x  15k x y z    k   , Mà x y  1200  k  2 15 20 40  y  20k Câu 23 a, Từ : b, Từ : x  y  z  5  z  5   x  1   y  3  z  3x  y   34   =  30   16 3x  y z  x y  3z     => 3x  y z  x y  3z   3x  y  16 Sưu tầm tổng hợp  3 2z  4x    y  3z   12 x  y    z  12 x   8 y  z  27 0 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 Website:tailieumontoan.com 3x  y x y z x yz   2 z  x      10   4 y  3z  Câu 24 3 x y z x y z x2 y z a, Từ GT ta có :               16 36  2  4 6  x  y  z 14    16  36 56 b,  x y z x y z x  y  3z 650         25 4 16 26 26 Câu 25 x Ta có : GT   y    x3  y  64   x3  y    x3  y  12   y 3x3  16  x3 x6  x  64k  y    y    k  1 64  y  k Câu 26  x  y  z  95 a, Từ : x  y  z  95    x  y  z  95 Nên x  y  z  b, Từ : x y z x yz 95     15 10 15  10  19 18 x y z  x  z 196 x  y  z =>     11 33 33  28 Câu 27 Ta có : GT  1  y   11  y  36  24  1  y   1  y   1  y  18  24  x  1   x  , 12 42  x Thay v|o tìm y Câu 28 5x  y  5x  y  5x  y     => 4x Nếu 5x-7y-7 ≠ x  , Thay v|o ta y = Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> x  ; y  Câu 29 GT  x  y x  y  x  y   x  y x x xy      13 16 8 200 x  => xy  200 x   x 8 y  200      y  25 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 Website:tailieumontoan.com TH1: x   y  TH2: y  25  x  40 Câu 30 Ta có : GT   3a  2b   2c  5a  6c  10b 5b  3c 5b  3c     0 25 34 17 3a  2b a b c a bc   5 => 2c  5a     10 5b  3c  Câu 31 ĐKXĐ: a  2, a  13 3b  125a  3b  125a  125a    6a  13 a 4 a  6a    Suy ra: a2  6a   0,  a  125   a  2(l), a  4 , Với a  4  b  2004 Câu 32 Ta có: GT  x z x 16 z 16      z  9.16  144  z  2 y y z z TH1: z  12   x  4k x 12      4k.3k  12  k   y  y  3k TH2: z  12 l|m tương tự Câu 33 Áp dụng dãy tỉ số ta có:  a1  a2   a100   1    100    a1  a2   a100    10100   100  99   100  99   5050 Câu 34 Từ gt => a b ab M a c 11 e 13   ;  ;  =>   11  11 18 b 11 d 13 f 17 Tương tự ta có: c d cd M e f e f M       M  BC (18;24;30) , 11 13 24 24 13 17 13  17 30 M số tự nhiên nhỏ có chữ số nên M=1080 Câu 35 a b c a b c a b c x y z Gọi phân số cần tìm ; ; ta có:    ,     x y z x y z 70 5 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 Website:tailieumontoan.com a b c abc 1 a x b y c z y x y z  :  :  :  x   z   70  5 71 5   5 10 => a b c  ;  ;  l| ba ph}n số cần tìm x 35 y z 14 Câu 36 Trừ 2011 vào vế tỉ số tỉ lệ thức ta được: a bcd a bcd a bcd a bcd    a b c d TH1: a  b  c  d   a  b  c  d  M  Th2: a  b  c  d   a  b    c  d   M  4 Câu 37 Từ GT ta nghịch đảo => bc ac ab   a b c Cộng vào tỉ số ta : abc abc a bc   a b c TH1 : a  b  c   a  b  c  A  TH2 : a  b  c   b  c  a, a  c  b, a  b  c  A  3 Câu 39 Từ GT ta có: Cộng (n+1) vào tỉ số dãy tỉ số ta được:  x y  z t x y  z t x y  z t x y  z t    x y z t  2012 2012 2012 2012 2012     x  y  z  t   503 x y z t Thay v|o ta tính P  x  2x  3x  x  x  503 Câu 40  x  z   y  x   y  z  y.( z).x  1 Ta có : B      x y.z  x  y  z  Câu 41 Với a, b, c khác , nghịch đảo giả thiết ta : ab bc ca 1 1 1 1             a  b  c ab bc ca a b b c c a a b c : P  a3  a3  a3 1 3a3 Câu 42 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 44 Website:tailieumontoan.com Từ GT ta có : y x y x yx yx x       xz z y xzz y y Câu 43 Từ GT ta có : a  b  13 thay v|o B ta : B  3b  39   b  3b  b  13  2b  39  2b  13   2b  26   13 2b  13 2b  39 2b  13 Câu 44 Từ GT ta có : x y z x  y  3z  x  y  3z  x  y  3z  x  y  3z        589 589 Khi : x  y  3z   P x  y  3z Câu 45 Từ 2a  b  2 4a 5b a a 54 625 a  b        M  3 3 b b 256 Câu 46 a  b  2t a  4 8  c  5t a  b  c b  c 10  c       t   Từ GT ta có:  t   b  b  c  3t  c  2 10  c  4t Câu 47 Cộng theo vế GT ta : x  y  z   ax  by  cz  , Thay x, y , z trở lại ta có :  x  y  z   z  cz   z 1  c   Tương tự ta có : Câu 48 2z  c 1 x  y  z 2x 2y , Khi ta có : Q   ,  a 1 x  y  z b 1 x  y  z a   b   c  Ta có : Q    1    1    1  bc   ca   ab  1   Q  a  b  c       2015  bc ca ab  Câu 50 a  b  k a b bc c a     k  b  c  k => Từ GT ta có: GT  1 1 c  a  k   M   k   k    2k   4k  4k  Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 Website:tailieumontoan.com Câu 52 x  y  z  Từ GT ta có :  y  z   x  B   x y.z  2 z  x   y  Câu 53 Từ GT ta có : x3  1 ,y   x3  y   C  27 27 Câu 54 a b a  2012b a b  a  2012b  a b  a.c       b c b  2012c b c  b  2012c  c 2 Câu 55  a  a a a Từ GT ta có : 2018    a2 a3 a2019  a2018  2018  a  a  a   a2018     a2  a3  a4   a2019  2018 Câu 56 a b a  2014b a a b Từ: b  ac           b c b  2014c c b c n n 2 Mà a a b a      n  c b c b Câu 57 a c a1994  c1994  k.b    k d   Đặt   k  1994 b d b  d 1994 b1994  d 1994 1994  a  c    kb  kd  1994 1994 b  d  b  d  1994 1994  k 1994 1994  k 1994 Câu 58 Đặt  a  k.b a c , Thay vào biểu thức ta có:   k   b d c  kd  2a2  3ab  5b2 k  3k  2c2  3cd  5d k  3k     3k  3k 2b2  3ab 2d  3cd Câu 59 2 a.c 2010c 2009a a c a c a  c  a.c a c   =>            b.d 2010d 2009b b d b d b d  b.d b d Câu 60 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 Website:tailieumontoan.com GT=> 2a  13b 3a  7b  2a  13b    3a  7b  b a a c       2c  13d 3c  7d  2c  13d    3c  7d  d c b d Câu 61 GT  a.10  b b 10a a a b a b a.b a  b a           b.10  c c 10b b b c b c b.c b2  c c Câu 62 Ta có: x y zx x yzx y  z z  x y  z  z  x x  y    y  z    3 3  5 2 z  x zx yz zx x y zx x y zx  y  z   (2)   x  y    (1) 10 5 10 Từ (1) (2) ta có: x y yz  Câu 63 Vì a  d  b  c   a  d    b  c   2ad  2bc  2 a c  b d Câu 64 Đặt ax  by  k, cx  dy Chọn x  0, y   b k d Chọn x  1, y   a a b  k   c c d Câu 65 Ta có: a b c a c a b b c      k 2009 2011 2013 4 2 2 a  c  4k 2 a  c 4k      a  b  2k    4k  a  b  b  c   4k => VT= VP 4 b  c  2k  Câu 66 xz x y yz  xz  x y Từ gt =>        2 1 1  2   1   x  z  x  y y  z  yz      =>  1  Câu 67 Cộng theo vế c{c GT ta được: a  b  c   ax  by  cz    ax  a   2a  x  1  2a  x 1 a  b  c Chứng minh tương tự ta có: Sưu tầm tổng hợp 2b 2c  ,  y 1 a  b  c z 1 a  b  c TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 Website:tailieumontoan.com Khi đó: 2a  b  c 1    2 x 1 y 1 z 1 abc Câu 68 x  yz y  zx z  xy x  yz y  zx z  xy    k  a  ,b  ,c  a b c k k k Đặt: => a x  bc   x yz  y z  Chứng minh tương tự: k2 y z  xy  xz  x yz a  bc   x3  y  z  3xyz  k x b2  ca c  ab  x3  y  z  3xyz  x3  y  z  3xyz => đpcm z y Câu 69 Giả sử: a=1=>b=1=> a  b2  24 Nếu: a, b  , Giả sử: 32 a  b  a 2004  a  1  b2004 1  b2  => a 2004  b2 , Vì a  b   b2  a2   a2  b2   2004 b 1 a  a  b2   24 32 32 Câu 70 Từ GT=> => 11 1 1 1           a ab c b c 1 1 1   , Tương tự:   0,   ab ac bc ab ac bc 1   Cộng theo vế ta được: =>       ab bc ca  Câu 71 Từ bx  ay  x2 y x2  y    a b ab a b x 2000 y 2000 x 2000 y 2000     2000  1000 1000 1000 1000 1000 a b a b  a  b a  b Câu 72 Xét x   a b 2a 2b 2c 1  , z 1  , Tương tự: y   ab a b bc ca Khi VT  8abc  a  b  b  c  c  a  Tương tự:  x   Sưu tầm tổng hợp a b 2b 2c 2a  ,1  z  , 1 y  ab a b bc ca TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 Website:tailieumontoan.com Khi đó: VP  8abc  VT  a  b  b  c  c  a  Câu 73  b2  b2 2 Ta có: a  ab   15     a  ac  c    c   3   2c2  ab  ac  2c2  ab  ac  2ac  2c2  2ac  ab  ac  2c  c  a   a  b  c   2c b  c  a ac Câu 74 Từ 8y  x 8  23y  x 8  3y  x  (1) y 1 Và 3x  9y1     x  y  thay v|o (1) ta được: 3y  y    y   x  10 Câu 75 Vì a c   a.d  b.c Xét tích b d Cmtt ta có: a  b  d   ab  ad a ac => a  b  d   b  a  c     b bd b  a  c   ab  bc ac c  bd d Câu 76 Ta có : 1 1     a b a b a b a b ba Tính tương tự ta có : 1 1 ,     bc bc cb ca ca ac Cộng theo vế : 2   1   1             VT a b bc c a a b a c  bc ba  c a c b Câu 77 Từ GT ta có: ab  a ' b '  a ' b  abc  a ' b ' c  a ' bc Và bc  b ' c '  b ' c  a ' bc  a ' b ' c '  a ' b ' c Nên  abc  a ' b ' c '    a ' b ' c ' a ' bc    a ' bc  a ' b ' c   đpcm Câu 78 Vì a, b, c  0, chia giả thiết cho abc  y  z z  x x  y  x  y  z  x  y  z   x  y z  x   y  z      => ĐPCM bc ac ab ab  ac bc  ab ac  bc Câu 79 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 Website:tailieumontoan.com Đặt a b c    k rút thay vào P a1 b1 c1 Câu 80 Ta có : k  ax  by  c  A B C    k  A  ka, B  kb, C  kc  Q  k a b c ax  by  c Câu 81 Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x2 y2 z2 x2  y2  z2 a  x2  y2  z2           a b c ax by cz ax  by  cz b  ax  by  cz  Mặt kh{c theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c x2 y2 z2 x2  y2  z2       x y z a b c a  b2  c Do đó:  x2  y2  z2  x2  y2  z2 x2  y2  z2 (đpcm)      2 2 2 a b c  ax  by  cz   ax  by  cz  a  b  c Câu 82 Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z xyz     xyz a b c abc x2 y2 z2      x  y  z a b c Mặt kh{c theo tính chất dãy tỉ số ta có: x2 y z2 x2  y2  z2     x2  y2  z2 a b2 c a  b2  c Do đó:  x  y  z  x  y  z  x  y  z   xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx  Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...1 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website... LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU A/ TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức l| đẳng... kh{c ta có c{c tỉ lệ thức: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a 2) Tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ tỉ lệ thức a c a c ac ac b  d   ta suy    b d b d bd bd + Mở rộng: từ dãy