Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số nguyễn tất thu

M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ SӢ GIÁO DӨC & ĈÀO TҤO ĈӖNG NAI Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong Giáo viên thӵc hiӋn NGUYӈN TҨT THU Năm hӑc: 2008 – 2009 -1- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ MӨC LӨC MӨC LӨC LӠI MӢ ĈҪU I SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG DÃY SӔ CĨ CƠNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT II SӰ DӨNG PHÉP THӂ LѬӦNG GIÁC Ĉӆ XÁC ĈӎNH CTTQ CӪA DÃY SӔ 24 III ӬNG DӨNG BÀI TỐN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ BÀI TOÁN Vӄ DÃY SӔ - TӘ HӦP 30 BÀI TҰP ÁP DӨNG 41 KӂT LUҰN – KIӂN NGHӎ 45 TÀI LIӊU THAM KHҦO 46 -2- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ LӠI MӢ ĈҪU Trong chѭѫng trình tốn hӑc THPT toán liên quan ÿӃn dãy sӕ mӝt phҫn quan trӑng cӫa ÿҥi sӕ giҧi tích lӟp 11 , hӑc sinh thѭӡng gһp nhiӅu khó khăn giҧi toán liên qua ÿӃn dãy sӕ ÿһc biӋt tốn xác ÿӏnh cơng thӭc sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ Hѫn nӳa ӣ mӝt sӕ lӟp tốn ÿã xác ÿӏnh ÿѭӧc cơng thӭc tәng quát cӫa dãy sӕ nӝi dung cӫa tốn gҫn nhѭ ÿѭӧc giҧi quyӃt Do ÿó xác ÿӏnh công thӭc tәng quát cӫa dãy sӕ chiӃm mӝt vӏ trí nhҩt ÿӏnh tốn dãy sӕ Chun ÿӅ “M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ” nhҵm chia sҿ vӟi bҥn ÿӗng nghiӋp mӝt sӕ kinh nghiӋm giҧi toán xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ mà bҧn thân ÿúc rút ÿѭӧc trình hӑc tұp giҧng dҥy Nӝi dung cӫa chuyên ÿӅ ÿѭӧc chia làm ba mөc : I: S͵ dͭng CSC – CSN ÿ͋ xây d͹ng ph˱˯ng pháp tìm CTTQ cͯa m͡t s͙ d̩ng dãy s͙ có d̩ng cơng thͱc truy h͛i ÿ̿c bi͏t II: S͵ dͭng ph˱˯ng pháp th͇ l˱ͫng giác ÿ͋ xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙ III: Ͱng dͭng cͯa toán xác ÿ͓nh CTTQ cͯa dãy s͙ vào gi̫i m͡t s͙ toán v͉ dãy s͙ - t͝ hͫp Mӝt sӕ kӃt quҧ chuyên ÿӅ ÿã có ӣ mӝt sӕ sách tham khҧo vӅ dãy sӕ, nhiên chuyên ÿӅ kӃt quҧ ÿó ÿѭӧc xây dӵng mӝt cách tӵ nhiên hѫn ÿѭӧc sҳp xӃp tӯ ÿѫn giҧn ÿӃn phӭc tҥp giúp em hӑc sinh nҳm bҳt kiӃn thӭc dӉ dàng hѫn phát triӇn tѭ cho em hӑc sinh Trong trình viӃt chuyên ÿӅ, nhұn ÿѭӧc sӵ ÿӝng viên, giúp ÿӥ nhiӋt thành cӫa BGH quý thҫy cô tә Tốn Trѭӡng THPT BC Lê Hӗng Phong Chúng tơi xin ÿѭӧc bày tӓ lịng biӃt ѫn sâu sҳc Vì lӵc thӡi gian có nhiӅu hҥn chӃ nên ӣ chuyên ÿӅ sӁ có nhӳng thiӃu sót Rҩt mong quý Thҫy – Cô bҥn ÿӗng nghiӋp thông cҧm góp ý ÿӇ chuyên ÿӅ ÿѭӧc tӕt hѫn -3- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ MӜT SӔ PHѬѪNG PHÁP XÁC ĈӎNH CÔNG THӬC TӘNG QUÁT CӪA DÃY SӔ I SӰ DӨNG CSC – CSN Ĉӆ XÂY DӴNG CÁCH TÌM CTTQ CӪA MӜT SӔ DҤNG DÃY SӔ CĨ CƠNG THӬC TRUY HӖI ĈҺC BIӊT Trong mөc xây dӵng phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ có công thӭc truy hӗi dҥng ÿһc biӋt Phѭѫng pháp ÿѭӧc xây dӵng dӵa kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC , kӃt hӧp vӟi phѭѫng pháp chӑn thích hӧp Trѭӟc hӃt nhҳc lҥi mӝt sӕ kӃt quҧ ÿã biӃt vӅ CSN – CSC Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng cҩp sӕ nhân 1.1: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ cӝng Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ UN có tính chҩt UN = UN − + D ∀N ≥  , D sӕ thӵc không ÿәi gӑi cҩp sӕ cӝng D : gӑi công sai cӫa CSC; U : gӑi sӕ hҥng ÿҫu, UN gӑi sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ Ĉ͓nh lí 1: Cho CSC UN Ta có : UN = U + N −  D (1) Ĉ͓nh lí 2: Gӑi 3N tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSC UN có cơng sai d Ta có: N ;U + N −  D = (2)  2: Sӕ hҥng tәng quát cӫa cҩp sӕ nhân Ĉ͓nh nghƭa: Dãy sӕ UN có tính chҩt UN + = QUN ÅÅÅ∀N ∈ ` gӑi cҩp sӕ nhân công bӝi Q 3N = N − Ĉ͓nh lí 3: Cho CSN UN có cơng bӝi Q Ta có: UN = UQ (3) Ĉ͓nh lí 4: Gӑi 3N tәng n sӕ hҥng ÿҫu cӫa CSN UN có cơng bӝi Q Ta có:  QN 3N = U  Q (4) -4- M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ Áp dөng CSC – CSN ÿӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ ÿһc biӋt Ví dͭ 1.1: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: U =  ÅUN = UN − − ÅÅÅÅÅÅÅ∀N ≥  Giҧi: Ta thҩy dãy UN mӝt CSC có cơng sai D = − Áp dөng kӃt quҧ (1) ta có: UN =  − N −  = −N +  Ví dͭ 1.2: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: U =  ÅUN = UN − ÅÅÅÅÅÅÅ∀N ≥  Giҧi: Ta thҩy dãy UN mӝt CSN có cơng bӝi Q =  Ta có: UN = N − Ví dͭ 1.3: Xác ÿӏnh sӕ hҥng tәng quát cӫa dãy UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi: U = − ÅÅUN = UN − − ÅÅÅÅÅÅÅ∀N ≥  Giҧi: Trong tốn gһp khó khăn dãy UN khơng phҧi CSC hay CSN! Ta thҩy dãy UN khơng phҧi CSN xuҩt hiӋn hҵng sӕ − ӣ VT Ta tìm cách làm mҩt − ÿi chuyӇn dãy sӕ vӅ CSN   Ta có: − = − + nên ta viӃt cơng thӭc truy hӗi cӫa dãy nhѭ sau:      UN − = UN − − = UN − − (1)      Ĉһt VN = UN − Ÿ V = − VN = VN − ÅÅ∀N ≥  Dãy VN CSN công bӝi Q =        Ÿ VN = VQ N − = − N − Vұy UN = VN + = − N + ∀N =    X  hai nghiӋm cӫa phѭѫng trình : X  − AX + B = ÅÅÅ ( phѭѫng trình ÿѭӧc gӑi phѭѫng trình ÿһc trѭng cӫa dãy) Khi ÿó: UN − XUN − = X  UN − − XUN −  =  = X N −U − XU Sӱ dөng kӃt quҧ cӫa dҥng 3, ta có trѭӡng hӧp sau: X U − U N U − X U N X + X  Hay UN = K XN + L X N , ÿó •Å NӃu X ≠ X  UN =   X  − X Y −X ­°K + L = U K L nghiӋm cӫa hӋ: ® X  K + X  L = U °¯    êU A AU ã Nu X = X  = α UN = α N − «  + U −  N » , hay UN = KN + L α N − ,  ôơ  ằẳ ưL = U ú K L nghiӋm cӫa hӋ: ® + = K L U  ¯° Vұy ta có kӃt quҧ sau: ­°U  ÅU , Dҥng 5: ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN : ®   U A  U B  U ÅÅ N  − + = ∀ ≥ N − N − °¯ N ÿó A B C sӕ thӵc khác khơng; A  − B ≥  ta làm nhѭ sau: Gӑi X  X  nghiӋm cӫa phѭѫng trình ÿһc trѭng: X  − AX + B =  - 10 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ­°K + L = U •Å NӃu X  ≠ X  UN = K XN + L X N , ÿó K L nghiӋm cӫa hӋ : ® + = X  K X  L U °¯    ­°L = α U  •Å NӃu X  = X  = α UN = KN + L α N − , ÿó K L nghiӋm cӫa hӋ: ® + = K L U °¯  ­°U =  U =  Ví dͭ 1.10: Cho dãy sӕ UN ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi : ®  = + ∀ ≥ U U U N  ÅÅ  °¯ N +  N N − Hãy xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN ( ) Giҧi: Phѭѫng trình X  − X −  =  có hai nghiӋm X =  +  ÅX  =  −  ­°K + L =  Ÿ UN = K XN + L X N Vì U  =  U =  nên ta có hӋ: ® °¯ +  K +  −  L =    Vұy UN = ª +  N +  −  N º K =L = ẳ  ơ ưU =  U =  Ví dͭ 1.11: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy: UN  ®  °¯UN − UN − + UN −  = Å∀N =    Giҧi: Phѭѫng trình ÿһc trѭng X  − X +  =  có nghiӋm kép X =  nên UN = KN + L N − ­°L =  ⇔ K =  L =  Vì U  =  U =  nên ta có hӋ: ® °¯K + L =  Vұy UN = N +  N − ­°U = − U =  Xác ÿӏnh Ví dͭ 1.12: Cho dãy UN  ®  °¯UN − UN − + UN −  = N + N +  ÅÅÅ∀N ≥  CTTQ cӫa dãy UN Giҧi: Vӟi cách làm tѭѫng tӵ nhѭ Ví dͭ 1.4, ta phân tích: N  + N +  = - 11 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ = KN  + LN + T −  ªK N −   + L N −  + T º +  ªK N −   + L N  + T (5) ẳ ẳ ­K − L + T =  ­K =  ° ° Ӣ (5) cho N =  N =  N =  ta có hӋ: ®K − L + T =  ⇔ ®L =  ° −K − L + T =  °T =  ¯ ¯ Ĉһt VN = UN − N  − N −  Ÿ V = − V = − VN − VN − + VN −  =  ­°α + β = − ­°α =  ⇔® Ÿ VN = α N + β N Ta có hӋ: ® °¯α + β = − °¯ β = − Ÿ VN = N − N Ÿ UN = N − N + N  + N +  ­°U  U Chú ý : ĈӇ xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ: UN  ®   , °¯UN +  + AUN + BUN − = F N ÅÅ∀N ≥  ( ÿó F N ÿa thӭc bұc K theo N A  − B ≥  ) ta làm nhѭ sau: •Å Ta phân tích F N = GN + AGN −  + BGN −  (6) rӗi ta ÿһt VN = UN − GN ­°V = U − G  V = U − G Ta có ÿѭӧc dãy sӕ VN  ®  Ĉây dãy sӕ mà ta ÿã xét V AV BV Å N  + + = ∀ ≥ N − N − °¯ N dҥng Do ÿó ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc CTTQ cӫa VN Ÿ UN •Å Vҩn ÿӅ cịn lҥi ta xác ÿӏnh GN nhѭ thӃ ÿӇ có (6) ? Vì F N ÿa thӭc bұc K nên ta phҧi chӑn GN cho GN + AGN −  + BGN −  mӝt ÿa thӭc bұc K theo N Khi ÿó ta chӍ cҫn thay K +  giá trӏ bҩt kì cӫa N vào (6) ta sӁ xác ÿӏnh ÿѭӧc GN Giҧ sӱ GN = AM N M + AM −N M − +  + AN + A  AM ≠  ) ÿa thӭc bұc M Khi ÿó hӋ sӕ cӫa X M X M − VP l: AM  + A + B v êơ −A + B MAM +  + A + B AM − º¼ Do ÿó : I NӃu PT: X  + AX + B =  (1) có nghiӋm hai nghiӋm phân biӋt khác   + A + B ≠  nên VP(6) mӝt ÿa thӭc bұc M II NӃu PT (1) có hai nghiӋm phân biӋt ÿó có mӝt nghiӋm X =  Ÿ  + A + B =  −A + B MAM +  + A + B AM − = −A + B MAM ≠  nên VP(6) mӝt ÿa thӭc bұc M − III NӃu PT (1) có nghiӋm kép X =  Ÿ A = −B =  nên VP(6) mӝt ÿa thӭc bұc M −  Vұy ÿӇ chӑn GN ta cҫn ý nhѭ sau: - 12 - M͡t s͙ ph˱˯ng pháp xác ÿ͓nh công thͱc t͝ng quát cͯa dãy s͙ ™ NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, GN mӝt ÿa thӭc bұc vӟi F N ™ NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt, ÿó mӝt nghiӋm bҵng  ta chӑn GN = NHN ÿó HN ÿa thӭc bұc vӟi F N ™ NӃu (1) có nghiӋm kép X =  ta chӑn G N = N  H N ÿó HN ÿa thӭc bұc vӟi F N ­°U  U , Dҥng 6: ĈӇ tìm CTTQ cӫa dãy UN  ®   U A  U B  U F  N ÅÅ N  + + = ∀ ≥ °¯ N N − N − ( ÿó F N ÿa thӭc theo N bұc K B  − AC ≥  ) ta làm nhѭ sau: Xét GN mӝt ÿa thӭc bұc K : GN = AK N K +  + AK + A  •Å NӃu phѭѫng trình : X  + AX + B = Å có hai nghiӋm phân biӋt, ta phân tích F N = GN + AGN −  + BGN −  rӗi ÿһt VN = UN − GN •Å NӃu (1) có hai nghiӋm phân biӋt ÿó mӝt nghiӋm X =  , ta phân tích F N = NGN + AN −  GN −  + BN −  GN −  rӗi ÿһt VN = UN − NGN •Å NӃu (1) có nghiӋm kép X =  , ta phân tích F N = N  GN + AN −   GN −  + BN −   GN −  rӗi ÿһt VN = UN − N  GN ­°U =  U =  Ví dͭ 1.13: Xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy UN  ®  °¯UN − UN − + UN −  = N + Å∀N ≥  Giҧi: Vì phѭѫng trình X  − X +  =  có hai nghiӋm X =  X =  nên ta phân tích N +  = NKN + L − N −  êơK N  + L ẳ + N  êơK N  + L ẳ , cho N =  N =  ta °­K − L =  có hӋ: ® ⇔ K = −L = − °¯K − L =  Ĉһt VN = UN + NN +  Ÿ V =  V =  VN − VN − + VN − =  ­°α + β =  Ÿ VN = α N + β N vӟi α β  ® ⇔ α =  β = − α β   + = °¯ Ÿ VN = N −  Ÿ UN = N + − N  − N − ÅÅ∀N =   ... ? Ta thҩy : *NӃu A =  GN − AGN −  mӝt ÿa thӭc có bұc nhӓ hѫn bұc cӫa GN mӝt bұc không phө thu? ?c vào hӋ sӕ tӵ cӫa GN , mà F N ÿa thӭc bұc K nên ÿӇ có (3) ta chӑn GN ÿa thӭc bұc K +  ,