Chuyên đề bất đẳng thức nguyễn tất thu

WWW.TOANMATH.COM Mục lục Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 Khái niệm tính chất bất đẳng thức 1.1.1 Số thực dương, số thực âm 1.1.2 Khái niệm bất đẳng thức 1.1.3 Các tính chất bất đẳng thức 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý giải toán bất đẳng thức 1.2.1 Dự đoán dấu “=” xảy 1.2.2 Kĩ thuật chuẩn hóa 1.2.3 Bài tập 1.3 Hướng dẫn, đáp số 5 11 12 Chương CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 2.1 Bất đẳng thức AM-GM 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM 2.1.2 Các hệ 2.1.3 Các ví dụ 2.1.4 Bài tập 2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức 2.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức 2.2.3 Các ví dụ 2.2.4 Bài tập 2.3 Bất đẳng thức Schur 13 13 13 16 16 27 32 32 33 34 42 45 3 3 Mục lục 2.3.1 Bất đẳng thức Schur 2.3.2 Các trường hợp đặc biệt 2.3.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng 2.3.4 Các ví dụ 2.3.5 Bài tập 2.4 Hướng dẫn, đáp số 2.5 Tài liệu tham khảo Nguyễn Tất Thu 45 46 46 46 50 51 51 Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 1.1 Khái niệm tính chất bất đẳng thức Số thực dương, số thực âm • Nếu x số thực dương, ta ký hiệu x > • Nếu x số thực âm, ta ký hiệu x < • Nếu x số thực dương x = 0, ta nói x số thực khơng âm, ký hiệu x • Nếu x số thực âm x = 0, ta nói x số thực khơng dương, ký hiệu x 1.1 Khái niệm bất đẳng thức Định nghĩa 1.1 Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a − b số dương, tức a − b > Khi ta ký hiệu b < a Ta có: a > b ⇔ a − b > Nếu a > b a = b, ta viết a b Ta có: a b ⇔ a − b Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Định nghĩa 1.2 Giả sử A , B hai biểu thức số Khi mệnh đề có dạng: " A lớn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ B ", ký hiệu : A < B " A lớn hay B " ký hiệu A B " A nhỏ hay B " ký hiệu A B gọi bất đẳng thức Quy ước : • Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức • Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 1.1 Các tính chất bất đẳng thức Tính chất 1.1 (Tính chất bắc cầu)  a > b b > c Tính chất 1.2 a > b ⇔ a + c > b + c Hệ 1: a > b ⇔ a − c > b − c Hệ 2: a + c > b ⇔ a > b − c Tính chất 1.3  a > b c > d ⇒ a+c > b+d  ac > bc c > Tính chất 1.4 a > b ⇔ ac < bc c < Hệ 3: a > b ⇔  −a < − b a b   > c > Hệ 4: a > b ⇔ ac bc   < c < c c Nguyễn Tất Thu a > c 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý giải tốn bất đẳng thức Tính chất 1.5 a>b>0 c>d>0 ⇒ ac > bd Tính chất 1.6 a > b > ⇔ < 1 < a b Tính chất 1.7 a > b > 0, n ∈ N ∗ ⇒ a n > b n Tính chất 1.8 a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒ n a> n b Hệ 5: • Nếu a b hai số dương : a > b ⇔ a2 > b2 • Nếu a b hai số khơng âm : a b ⇔ a2 b2 Tính chất 1.9 Với a, b ∈ R ta có: • |a + b| | a| + | b | • |a − b| | a| + | b | • |a + b| = |a| + | b| ⇔ a.b • |a − b| = |a| + | b| ⇔ a.b 1.2 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý giải toán bất đẳng thức Dự đoán dấu “=” xảy Trong chứng minh bất đẳng thức, việc dự đốn dấu “=” xảy có ý nghĩa quan trọng Trong số trường hợp, việc dự đốn dấu “=” xảy giúp định hướng tìm lời giải Thông thường, với bất đẳng thức đối xứng ba biến đẳng thức xảy ba biến nhau, với bất đẳng thức hốn vị đẳng thức có hai biến nhau, với bất đẳng thức có biến thuộc đoạn α; β đẳng thức xả có biến α β, · · · Nguyễn Tất Thu Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1.1 Cho số thực x, y, z > thỏa x + y + z x2 + + x2 y2 + + y2 Chứng minh z2 + z2 Lời giải Ta dự đoán dấu “=” xảy x = y = z = = nên ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM x2 Khi x = x2 = cho số ta x2 + 1 = x + + + x2 x2 x2 x2 x Tương tự y2 + y2 z2 + y z z Do x2 + + x2 Mặt khác y2 + x+ x2 + + y2 y+ + x2 z2 + z z2 x + y2 1 + y z 18 x+ y+ z nên ta có (x + y + z) y2 + + z2 + z2 18 = (đpcm) Ví dụ 1.2 Cho số thực khơng âm x, y, z đôi khác Chứng minh (x y + yz + zx) Nguyễn Tất Thu (x − y) + (y − z) + (z − x)2 1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý giải toán bất đẳng thức Lời giải Vì x, y, z nên ta dự đoán dấu “=” xảy có số Ta giả sử z = { x, y, z}, ta có x y + yz + zx x y; (y − z) 1 y (z − x)2 x2 Suy VT Với t = xy (x − y) + 1 x y 1 +t + + = + = x y x y + −2 y x t−2 y x x y + > y x Ta chứng minh +t t−2 ⇔ + t2 − 2t 4t − ⇔ t2 − 6t + ⇔ (t − 3)2 Bất đẳng thức cuối Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy z = 3± x y + =3⇔x= y, y > y x Ví dụ 1.3 Cho a, b, c > thỏa a + 4b + 9c = 6.Chứng minh a3 + b + c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số thực dương ta có a3 + x3 + x3 3x2 a hay a3 + 2x3 3x2 a Tương tự: b3 + 2y3 3y2 b, c3 + 2z3 3z2 c với x, y, z số thực dương Cộng ba bất đẳng thức theo vế ta có được: a + b + c + x + y3 + z 3 x2 a + y2 b + z2 c Ta chọn x, y, z cho x2 = Nguyễn Tất Thu y2 z2 = = k2 ⇒ x = k, y = 2k, z = 3k Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Mà a + 4b + 9c = ⇒ k + 8k + 27k = ⇒ k = 1 1 Đẳng thức xảy a = , b = , c = 6 Suy a3 + b3 + c3 1.2 1 1 ⇒ x= ,y= ,z= 6 Kĩ thuật chuẩn hóa • Bất đẳng thức nhất: Bất đẳng thức có dạng f (a , a , · · · , a n ) (1) với a i ∈ D Được gọi 1 2 P Bài toán chứng minh Nguyễn Tất Thu − =1⇒P 2 2 Chương CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 48 Ví dụ 2.31 (APMO 2004) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 9(ab + bc + ca) Lời giải Ta có V T = a2 b2 c2 + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 4(a2 + b2 + c2 ) + Mặt khác a2 b + b c + c a2 + = a2 b + + b c + + c a2 + 2(ab + bc + ca) a2 b c + = a2 b c + + 9abc a+b+c 3 a2 b c = 3abc abc 2(ab + bc + ca) − (a2 + b2 + c2 ) Suy VT 2(ab + bc + ca) − (a2 + b2 + c2 ) + 2.2(ab + bc + ca) + 4(a2 + b2 + c2 ) = 6(ab+ bc+ ca)+3(a2 + b2 + c2 ) 6(ab+ bc+ ca)+3(ab+ bc+ ca) 9(ab+ bc+ ca) Bài toán chứng minh Ví dụ 2.32 (VMO 2014) Cho a, b, c Chứng minh 3(a2 + b2 + c2 ) với P = (a + b + c) Nguyễn Tất Thu ab + bc + P (a + b + c)2 , ca + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 2.3 Bất đẳng thức Schur 49 Lời giải Ta có P ⇔ a+b+c 3(a2 + b2 + c2 ) ab + bc + ca Bất đẳng thức kết quen thuộc Đặt x = a, y = b, z = c Khi đó, bất đẳng thức P (a + b + c)2 ⇔ x4 + x yz x y(x2 + y2 ) x+ x2 y2 (1) Sử dụng bất đẳng thức Schur (với trường hợp r = 2) ta có x4 + x yz x y(x2 + y2 ) x V T(1) x y(x2 + y2 ) 2 x y.2x y = x2 y2 Hay (1) chứng minh Ví dụ 2.33 Cho a, b, c > Chứng minh a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b) 1 + + a b c Lời giải Ta có a2 + bc a2 + bc − a(b + c) (a − b)(a − c) − = = a2 (b + c) a a2 (b + c) a2 (b + c) Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x(a − b)(a − c) + y(b − c)(b − a) + z(c − a)(c − b) Với x = a2 (b + c) , y= b2 (c + a) Giả sử a > b > c, ta có , z= c2 (a + b) (1) 1 ab(b − a) + c(b2 − a2 ) − = >0 a2 (b + c) b2 (c + a) a2 b2 (b + c)(c + a) hay x < y Do đó, (x, y, z) đơn điệu giảm Do đó, theo bất đẳng thức Schur suy rộng, ta có (1) Nguyễn Tất Thu ... thức hốn vị đẳng thức có hai biến nhau, với bất đẳng thức có biến thu? ??c đoạn α; β đẳng thức xả có biến α β, · · · Nguyễn Tất Thu Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1.1 Cho số... Nguyễn Tất Thu ab + bc + P (a + b + c)2 , ca + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 2.3 Bất đẳng thức Schur 49 Lời giải Ta có P ⇔ a+b+c 3(a2 + b2 + c2 ) ab + bc + ca Bất đẳng thức kết quen thu? ??c Đặt... tập 2.4 Hướng dẫn, đáp số 2.5 Tài liệu tham khảo Nguyễn Tất Thu 45 46 46 46 50