Lời giải bài toán bất đẳng thức, cực trị trong đề tuyển sinh lớp 10 môn toán

Tailieumontoan.com  Sưu tầm BẤT ĐẲNG THỨC VÀO LỚP 10 CHUYÊN 2009-2019 Thanh Hóa, tháng năm 2019 Website: Tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 2009-2019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] 2 Cho x, y số thực dương thỏa mãn: 4x  4y  17xy  5x  5y  2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  17x  17y  16xy Lời giải Ta có: 4x2  4y2  17xy  5x  5y    x  y   9xy   x  y   Đặt t  x  y, t  , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: x  y xy  t2 2 2 2 2  Do đó: 4t  t  5t   t  hay x  y  5 P  17x2  17y  16xy  17  x  y   18xy Ta có:  17  x  y   x  y  18 2 25 25  2    x  y      4   1 Dấu “=” xảy x  y  Vậy giá trị nhỏ P  Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho số thực x, y thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  xy  x   y    13x2  4y2  26x  24y  46 Lời giải Ta có: P  xy  x   y    13x  4y  26x  24y  46         x  2x y  6y  13 x  2x  y  6y  46 2 2   x  1  1  y      13  x  1  1   y      46        Đặt a  x  1, b  y  , đó:        P  a  b2   13 a   b2   46  a b  9a  b   13a  13  4b  36  46 2 2 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH Website: Tailieumontoan.com  4a  3b2  a b2  6 a  x 1    x  1, y  3 Dấu “=” xảy  b  y     Vậy giá trị nhỏ P Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab  bc  ca  abc  1   1 a2 b2 c2 1   2) Tìm giá trị nhỏ nhất: P  a  b2  b2  c  c2  a2  1) Chứng minh rằng:       Lời giải 1) Ta có: 1   1 a2 b2 c2   b   c     a   c     b   a     a   b   c    ab  bc  ca   a  b  c   12  abc   ab  bc  ca    a  b  c     ab  bc  ca Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi l| tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức:   x2  y   x  y  (*) 11 1     (**) xy 4x y Thật vậy: *   x  y * *    (luôn đúng) 2 xy    x  y   4xy   x  y   (luôn đúng) 4xy x  y Các bất đẳng thức (*), (**) xảy dấu “=” x = y Lần lượt áp dụng (*) (**) ta có:   a  b2   1   a  b  a  2   b  2 1 1     a  b   Tương tự:  b2  c  1 1     ; b  c    4  c2  a2  1 1     ; c  a    4 Cộng theo vế ta được: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH Website: Tailieumontoan.com 1 1  1 P       2a2 b2 c2 2 D}u “=” xảy a = b = c [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020] Vậy giá trị nhỏ P Câu 4: Cho K  ab  4ac  4bc với a,b,c  a + b + 2c = 1 2) Tìm giá trị lớn K 1) Chứng minh rằng: K  Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2  b  2c   a  b  2c  1 4bc    2   4bc     2     Mặt khác: a, b,c   K  ab  4ac  4bc  4bc   Dấu “=” xảy a  0, b  1 ,c  Cách khác: Ta có: K  ab  4c  a  b   ab  1  a  b  a  b    ab   a  b   a  b  2b   a   b  2a  2a  Do đó: 2b2   a   b  2a  2a  K   *  Để tồn K phương trình (*) Phải có nghiệm:        a    4.2 2a  2a  K   8K  20a  17a  Vì a, b,c  a  b  2c    a  Do đó: 2a  17a  a  20  17a   a  20  17.1  3a  Do 8K  4  K   1 ,c  2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Dấu “=” xảy a  0, b   a  b  2c  a  b  2c        LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH Website: Tailieumontoan.com Mặt khác: a, b,c   K  ab  4ac  4bc  ab  4ac  2ab  4ac  2a  b  2c   a  b  2c   2  Dấu “=” xảy khi: a  b  2c,a  b  2c  1, bc  0,ab   a  1 , b  0,c  [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020] Vậy giá trị lớn K Câu 5:    a, b,c  Cho số thực a, b, c thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ biểu  2a  3b  4c  thức P    a  3b  4c   b  4a  8c   c 2a  3b   Lời giải Ta có: P   a  3b  4c   b  4a  8c   c  2a  3b  1    a   2a   b   6b   c   4c  1    a   2a  b   2b  c 1  2c  2a 3b 4c    a   2a  b   2b  c   2c 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  a  a   2a  a 1  2a      27   Tương tự: b2   2b   1 ; c   2c   27 27 Suy ra: P  27  2a  3b  4c   81 Vậy giá trị nhỏ P 81 Dấu “=” xảy a  b  c  Câu 6: [TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab Chứng minh rằng: a b  4b  4a  2  Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH Website: Tailieumontoan.com Ta có: a  b  4ab   a  b    a  b  a  b  1   a  b 1 a  b   Lại có: a 4b2  a 4ab2 4ab2  a   a  ab 4b 4b2  b 4a b 4a b  b  b  a  ab 4a 4a  4a  a b ab 1 Do đó:    a  b   2ab   a  b    a  b  2 2 4b  4a  1 Dấu “=” xảy a  b  Câu 7: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020] 2 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x  y  z  3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P    x  1  y    z   2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1 11 1 (*)       2  a b   a  b 2 a b Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: P  x  1  y    1     z  3   y  x   2     z  3  64  y   x   z  5   Mặt khác:     x  z  x2  z2  3y  y  P 64  2   2y  y      3y  y 64 2  8   y      1 Dấu “=” xẩy  x, y, z   1, 2,1 Vậy giá trị nhỏ P Câu 8: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: biểu thức: P  1    Tìm giá trị nhỏ a 1 b1 c 1 a3 b3 c3   a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH Website: Tailieumontoan.com Lời giải Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức: 1 (với x,y,z  ) (*)    x y z xyz  1 1 Thật vậy: (*)   a  b  c       a b c Áp dụng AM – GM ta được:  a  b  c   a1  b1  1c     abc 3 abc 9 Vậy bất đẳng thức (*) chứng minh, dấu “=” xảy x = y = z Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được: 1 1     abc3  abc  a 1 b1 c 1 a  bc  b3 c3 a3   Đặt Q  a  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2 Ta có: a  b3 b3  c c3  a3   a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a  a  b  a  ab  b2  b  c  b2  bc  c  c  a  c  ca  a    a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a  a  b   b  c   c  a  PQ        0 Do đó: P = Q Mặt khác: x2  xy  y   x  xy  y  * *  Thật vậy:   2 x  xy  y  3x  3xy  3y  x  xy  y   x  y   Sử dụng (**) ta được: x2  xy  y  a  b3 b3  c c3  a3   a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a  a  b  a  ab  b2  b  c  b2  bc  c  c  a  c  ca  a    a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a 1  a  b   b  c    c  a  3 2   a  b  c    3 Mà P  Q  P  PQ        Dấu “=” xảy a = b = c = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH Website: Tailieumontoan.com Vậy giá trị nhỏ P Câu 9: [TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020] Cho số dương a, b, c dương thỏa mãn abc  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a b 2  b c 2  c  a2 Lời giải Từ abc  a  b  c    a  b  b  1 c  1   a  1 b  1   b  1 c  1   c  1 a  1  1   1 a 1 b1 c 1 Đặt  x, y, z  1  x,  y,  z a 1 b1 c1 x  y  z  Khi đó: a  Nên P  xy 1 x y  z zx  ;b  ;c  x x y z a  b2   b2  c c2  a2   1       ab bc ca   y y  x z z x      zx xy x  y y  z   y  z z  x  y y  x z x z      zx xy x  y y  z   y  z z  x  y   x  y x   z z         2  y  z z  x   z  x x  y   x  y y  z    y   y  x z   z x          2  x  y x  y   y  z y  z   z  x z  x   Dấu “=” xảy x  y  z hay a  b  c a = b = c = Câu 10: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Vậy giá trị lớn biểu thức P   Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x2  y2  z2  9x  y  z   18yz  Tìm giá trị lớn biểu thức: Q  2x  y  z yz Lời giải Ta có:   x  y  z  9x  y  z   18yz   5x  9x  y  z    y  z   28yz  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH Website: Tailieumontoan.com  5x  9x  y  z    y  z   7.4yz   y  z  2  5x  9x  y  z    y  z   2  x  x  5 2 0   yz yz Đặt: t  x  t   đó: yz 5t  9t     5t  1 t     5t    t2  x 2 yz Ta có: Q  2x  y  z x    2.2   yz yz x Dấu “=” xảy y  z  Vậy giá trị lớn Q Câu 11: [TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020] Cho x, y, z không âm thỏa mãn x  y  z  Tìm GTLN GTNN biểu thức M  x2  6x  25  y2  6y  25  z2  6z  25 Lời giải Ta có: M  x  6x  25  y  6y  25  z  6z  25    x  16  3  y  16  3  z  16  abc  Đặt a   x, b   y,c   z, Khi đó:  0  a, b,c  M  a  16  b2  16  c  16 Tìm GTNN: Theo bất đẳng thức Minkowski ta có: M  a  16  b2  16  c  16  a  b  c       2 6 Đẳng thức xảy a = b = c = Tìm GTLN Sử dụng phương ph{p UCT với điều kiện  a  ta Thật vậy:  *   a  a  16  a  12 *   16   a  12   8a  24a   a  a    (đúng) LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH Website: Tailieumontoan.com Ho|n to|n tương tự suy ra: M  14 Đẳng thức xảy  a, b,c    0, 3,  hóa vị Câu 12: [TS10 Chuyên KHTN, 2019-2020] Cho x, y,z số dương thỏa mãn xy  yz  zx  Chứng minh rằng: y 1 2 x z       2 2  1 x 1 x 1 y 1 z 1 y  z2      (1) Lời giải Ta có:  x2  xy  yz  zx  x2   x  y  x  z  Tương tự:  y2   x  y  y  z  ;  z2   x  z  y  z  Do đó: VT1  1     x  y  z  x  y  x  z   x  y  y  z   x  z  z  y   x  y  y  z  z  x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:  x  x y y z  z     x  y  z      2    x2  y2  z   1 x 1 y 1 z     y x z  x  y  z       x  y  y  z   x  y  y  z   x  z  z  y    x  y  z  xy  yz  zx    x  y  y  z  z  x   x  y  z  x  y  y  z  z  x  Suy ra: VP1  x  y  z  x y z     x  y  y  z  z  x    x  y2  z2      Như để chứng minh bất đẳng thức cho ta cần chứng minh: x 1 x  y 1 y  z 1 z   2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x  x2  Tương tự: 1 x x       x  y  x  z   x  y x  z  x y  1 y z 1 z z     ;       y2  x  y y  z   z2  z  x y  z  y LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 163 Website: Tailieumontoan.com  1 1  (c (a  b)  a (b  c)  b (c  a)  2abc)       a  b b  c c  a abc   1 1   c a  b  a b  c  b c  a  2abc  ca bc ca abc  Suy điều phải chứng minh, đẳng thức xảy a = b = c 2    c  a  b  abc    Câu 261: [TS10 Chuyên Kiên Giang, 2010-2011] Tìm a, b để biểu thức: X = 2a2 + 9b2 + 2a – 18b – 6ab + 2010 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Lời giải Ta có: X = (3b)2 -2.3b.(3 + a) + + 6a + a2 + a2 – 4a + + 1997 = (3b)2 -2.3b.(3 + a) + (3 + a)2 + (a2 – 4a + 4) + 1997 = (3b – – a)2 + (a – 2)2 + 1997  1997  3b   a  3b    b  Dấu “=” xảy    a2  a2   a   Vậy với a = b = Xmax = 1997 Câu 262: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2010-2011] a) Cho số dương a v| b Chứng minh : b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn P 11 1     ab 4a b 1    2010 Tìm GTLN biểu thức: x y z 1   2x  y  z x  2y  z x  y  2z Lời giải a) Biến đổi tương đương bất đẳng thức sau 2 11 1      4ab   a  b     a  b  ab 4a b Bất đẳng thức cuối Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy a  b b) Áp dụng bất đẳng thức ta LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 164 Website: Tailieumontoan.com 1 1  2 1         2x  y  z  x  y x  z  16  x y z  Ho|n to|n tương tự ta 1 1 1 1 1 2     ;      x  2y  z 16  x y z  x  y  2z 16  x y z  Cộng theo vế bất đẳng thức ta P 1 1  1  2010 1005         2x  y  z x  2y  z x  y  2z  x y z  Vậy giá trị lớn P 1005 Đẳng thức xẩy x  y  z  670 NĂM HỌC 2009-2010 Câu 263: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2009-2010] Giải phương trình: x   1  3   2x  5x    4x   Lời giải Ta chứng minh: a  b  1   3    c b  2c c  2a   a  2b  (*) với a > 0; b > 0; c > a  b   a  2b  (1) + Với a > 0; b > ta có:    + Do   b  a   a  b  nên + Từ (1) (2) ta có: a  b  a 3 a  2b  b  a 2 b (2) (3) (Với a > 0; b> 0; c > 0) + Áp dụng (3) ta có: a  b   1   3    với a > 0; b> 0; c > c b  2c c  2a   a  2b 1 Phương trình x    1  3   có ĐK: x  2x  5x    4x  Áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x; b = x; c = 2x - ta có: x  x    1  3    2x  5x  4x    3x LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 165 Website: Tailieumontoan.com  x    1  3   với x  2x  4x    5x  Dấu “ = ” xảy  x  2x   x  Vậy phương trình có nghiệm x = Câu 264: [TS10 Chuyên Hải Phòng, 2009-2010]  1 1 a) Cho số dương a, b, c tùy ý Chứng minh rằng:  a  b  c       a b c b) Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  Chứng ming rằng: 2009   670 2 a  b  c ab  bc  ca Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a  b  c  abc; 1 1   3 a b c abc  a  b  c   a1  b1  1c   Suy   Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c b) Ta có ab  bc  ca  a  b2  c a  b  c   ab  bc  ca  3 2007  669 ab  bc  ca Suy Áp dụng bất đẳng thức câu a, ta có  1    a  b2  c  2ab  2bc  2ca    2  a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca   1   1 2 a  b  c ab  bc  ca  a  b  c 2 Suy Do ta  2009   670 2 a  b  c ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  Câu 265: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2009-2010] a) Cho x, y, z, a, b, c số dương Chứng minh rằng: abc + xyz  (a + x)(b + y)(c + z) LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 166 Website: Tailieumontoan.com b) Từ suy : 3  3  3  3  23 Lời giải a) Ta có: abc  xyz  (a + x)(b + y)(c + z) (1) Lập phương vế (1) ta : abc + xyz + 3 (abc)2 xyz + 3 abc(xyz)2  (a + x)(b + y)(c + z)  abc + xyz+ 3 (abc)2 xyz + 3 abc(xyz)2  abc + xyz + abz + ayc + ayz + xbc + xyc + xbz  3 (abc)2 xyz + 3 abc(xyz)2  (abz + ayc + xbc) + (ayz + xbz + xyc) (2) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : (abz + ayc + xbc)  3 (abc)2 xyz (3) (ayz + xbz + xyc)  3 abc(xyz)2 (4) Cộng hai bất đẳng thức (3) v| (4) ta bất đẳng thức (2), (1) chứng minh b) Áp dụng BĐT (1) với a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = - 3, y = 1, z = Ta có : abc = + Từ : 3 , xyz = 3- 3 , a + x = 6, b + y = 2, c + z = 3+ 3  3- 3  6.2.2  3 (đpcm) Câu 266: [TS10 Chuyên Đ| Nẵng, 2009-2010] Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh a  b2  c  4(ab  bc  ca)  Lời giải Ta có: a2 + b2  2ab ; b2 + c2  2bc ; c2 + a2  2ca  a2 + b2 + c2  ab + bc + ca (1) Lại có: a2 + b2 + c2 = a2 + b2 + c2 + (a + b + c)2  Hay a2 + b2 + c2 = 2(a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca)  (1) v| (2)  (2) a2 + b2 + c2  4(ab + bc + ca)  đpcm Câu 267: [TS10 Chuyên Bình Định, 2009-2010] Với số tự nhiên n  Chúng minh S n  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 167 Website: Tailieumontoan.com Với S n   1   5 2     2n  1  n  n 1  Lời giải Với n  , ta có  2n  1  n  n 1  n 1  n n 1  n  2n  4n  4n   n 1  n  4n  4n  1 1      n  n  n n 1  n +1 - n Do ta 1 1 1  1  Sn           1  2 2 n n 1   n 1  Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 268: [TS10 Chuyên Hải Dương, 2009-2010] Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x2  4x   x2  6x  13 Lời giải Ta có: P   x  2  12   x  3  22 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy c{c điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh được: AB   x   x    1    x  2 OA  Mặt khác ta có: OA  OB  AB   12 , OB   x  2  12   25   26  x  3  x  3  22  2  26 Dấu “=” xảy A thuộc đoạn OB B thuộc đoạn OA  x2   x  Thử lại x = A(5; 1); B(10; 2) x3 Câu 269: [TS10 Chuyên Bình Định, 2009-2010] Chứng minh m   n n2  3  , với số nguyên m, n Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 168 Website: Tailieumontoan.com Vì m, n số nguyên nên m số hữu tỉ n m  0 n số vô tỉ nên Ta xét hai trường hợp sau + Trường hợp 1: Với m  , ta n m2  2n2  m2  2n2  hay m  2n2  Từ suy m 2n  1     2  n n n 2 2 n      n2 1 2  n  2  2   n n   + Trường hợp 2: Với  3  m  , ta n m2  2n2  m2  2n2  hay m  2n2  Từ suy 22 m m 2n  1   2  2   2  n n n n    n2      n   n2  2  n  n2 3  Vậy b|i to{n chứng minh Câu 270: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2009-2010] Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh rằng: a2  b2  c2  b  c   c  a  a  b  2 2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 169 Website: Tailieumontoan.com    a b c  ab bc ca     b  c  c  a  a  b          b  c  c  a   c  a  a  b   a  b  b  c   Mà ta lại có ab bc ca    b  c  c  a   c  a  a  b   a  b  b  c   ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a   a  b  b  c  c  a    a  b  b  c  c  a   1  a  b  b  c  c  a   a b c  Do bất đẳng thức trở thành     0  bc c a a  b  Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy b|i to{n chứng minh Câu 271: [TS10 Chuyên Lam Sơn, 2009-2010] Cho biểu thức P  a  b2  c2  d2  ac  bd , ad  bc  Chứng minh rằng: P  Lời giải Ta có  ac  bd    ad  bc  2  a c  2abcd  b2d2  a 2d2  2abcd  b2 c          a c  d2  b2 d2  c  a  b2 c  d2  Vì ad  bc  nên   ac  bd   a  b2 c  d2  (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta P  a  b2  c  d2  ac  bd  a    b2 c  d2  ac  bd Suy ta P    ac  bd   ac  bd Rõ ràng P    ac  bd   ac  bd 2 Đặt x  ac  bd , ta     P   x2  x  P2   x2  4x  x2  x2   x2  4x  x2  4x2  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 170 Website: Tailieumontoan.com Hay P     x  2x   Do ta P  Vậy bất đẳng thức ad  bc   chứng minh Đẳng thức xẩy 2a  3d  c  2b   3c  d Câu 272: [TS10 Chuyên Nghệ An, 2009-2010] Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  b2  c  ab  bc  ca a b  b c  c 2a Lời giải Dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a  b  c  giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a  b2  c  ab  bc  ca 4 a b  b2 c  c 2a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có    a  b2  c   a  b  c  a  b2  c   a  b3  c  a b  b2 c  c 2a  ab  bc  ca Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a  ab2  2a b; b3  bc  2b2c; c  ca  2c 2a Suy     a  b2  c  a b  b c  c 2a  Do ta a  b2  c  ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b2  c  2 a bb cc a a  b2  c 2 Phép chứng minh hoàn tất ta a  b2  c  Hay a b c  2 ab  bc  ca 4 a  b2  c   a  b2  c  a  b2  c  4 Đặt t  a2  b2  c2 Từ giả thiết a  b  c   a2  b2  c2  , ta t  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 171 Website: Tailieumontoan.com Bất đẳng thức trở thành t 9t   2t   t  8t   t   2t    2t Bất đẳng thức cuối t  Vậy b|i to{n chứng minh xong Câu 273: [TS10 Chuyên Lam Sơn, 2009-2010] Gọi a, b, c l| độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x2 y z2 2x2  2y  2z2    a b2 c a  b2  c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với y2 2y x2 2x z2 2z      0 a a  b2  c b2 a  b2  c c a  b2  c x2 b2  c  a y a  c  b2 z2 a  b2  c  2  2  2 0 a a  b2  c b a  b2  c c a  b2  c             Do a, b, c l| độ dài cạnh tam giác nhọn nên a  b2  c ; b2  c  a ; c  a  b2 b2  c2  a  0; a  c  b2  0; a  b2  c  Nên ta Do bất đẳng thức B|i to{n chứng minh xong Câu 274: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] Với a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 3a  8b  14ab 2  b2 3b  8c  14bc 2  c2 3c  8a  14ca 2  abc Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 3a  8b2  14ab  3a  8b2  12ab  2ab  4a  9b2  12ab   2a  3b  Suy a2 3a  8b2  14ab  a2  2a  3b   a2 2a  3b Áp dụng tương tự ta thu LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 172 Website: Tailieumontoan.com a2 3a  8b2  14ab  b2 3b2  8c  14bc  c2 3c  8a  14ca a2 b2 c2    2a  3b 2b  3c 2c  3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a  b  c   a  b  c a2 b2 c2    2a  3b 2b  3c 2c  3a  a  b  c  Do ta được: a2 3a  8b2  14ab b2  3b2  8c  14bc  c2 3c  8a  14ca  abc Vậy b|i to{n chứng minh xong Đẳng thức xẩy a  b  c Câu 275: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện  x, y, z  x  y  z  Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: M  x4  y4  z4  12 1  x 1  y 1  z  Lời giải Đặt a  x  1; b  y  1; c  z  , ta 1  a; b; c  a  b  c  Biểu thức M viết lại thành     M  a  b4  c  a  b3  c  a  b2  c  a  b  c    12abc Để ý a  b  c  a3  b3  c3  3abc  nên biểu thức thử thành   M  a  b4  c  a  b2  c  Theo đ{nh gi{ quen thuộc a  b4  c  abc  a  b  c   a  b2  c  a  b  c   Do suy M  hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a  b  c  hay x  y  z  Mặt khác 1  a; b; c  nên ta có a ; b ; c  Từ ta có a  a  a ; b4  b2  b ; c  c  c     Suy M  a  b4  c  a  b2  c   a  b  c  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 173 Website: Tailieumontoan.com Mà ta lại có a  b  c  nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số l| b v| c Khi ta b  c  bc  a Đến đ}y ta có M  14 a   17 hay giá trị lớn M l| 17 Đẳng thức xẩy a  1; b  1; c  hoán vị hay x  2; y  0; z  hốn vị Câu 276: [TS10 Chun Thái Bình, 2009-2010] a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau:  k  1  1   2   k k 1   k 1    b) Chứng minh rằng:  2010 2009  88 45 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  k  1 k  k 1 2 k k k   2k   k  k  1    k 1  k  0 Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có VT      2010 2009    1     2       2    2 2 3 2010     2009     88  21  VP   1   2010   45  45  Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Câu 277: [TS10 Chuyên TP Hồ Chí Minh, 2009-2010] a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a  b   b  c   c  a   ab  bc  ca  a b c 2 26 b) Cho a  0; b  Chứng minh LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2009   a b 2a  b FB TRỊNH BÌNH 174 Website: Tailieumontoan.com Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b   b  c   c  a  2 2 12  a  b  Hay 2 13 a  b    b  c   c  a   26 b  c  2  2007  c  a  2009 2 0 Bất đẳng thức cuối Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   a  b 2a  b Đặt c  b , b  nên ta c  , bất đẳng thức viết lại thành   a c 2a  c Theo đ{nh gi{ quen thuộc ta 2 2.4      a c 2a c 2a  c 2a  c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy 2a  b Câu 278: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho x, y, z số thực dương cho xyz  x  y  z  Chứng minh rằng: xy  yz  zx  Lời giải Giả thiết b|i to{n viết lại thành Đặt a  1    x1 y 1 z1 1 ; b ; c Khi ta a  b  c  Từ suy x1 y1 z1 x 1a b  c 1 b c  a 1 c a  b  ; y  ; z  a a b b c a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 175 Website: Tailieumontoan.com ab   b  c  c  a  bc   c  a a  b  ca  a  b  b  c  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: ab 1 b a      b  c  c  a   b  c c  a  bc 1 c b      c  a  a  b   c  a a  b  ca 1 a c      a  b  b  c   a  b b  c  Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: ab   b  c  c  a  bc   c  a a  b  ca  a  b  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Câu 279: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho số thực không âm a, b, c cho ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 1   1 a 2 b 2 c 2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2   1 a  b2  c  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a  b  c   a  b  c  a2 b2 c2    1 2 2 2 a  b  c  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca  2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Câu 280: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  2y  3z  18 Chứng minh rằng: 2y  3z  3z  x  x  2y  51    1 x  2y  3z Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 176 Website: Tailieumontoan.com Đặt a  x; b  2y; c  3x , giả thiết trở thành a  b  c  18 bất đẳng thức viết lại thành b  c  c  a  a  b  51    1 a 1 b 1 c Bất đẳng thức tương đương với bc5 ca5 ab5 51  1  1 1  1 a 1 b 1 c Hay  a  b  c    1 a  1 b  1 c   72   Phép chứng minh hoàn tất ta 1    1 a 1 b 1 c Thật theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 9       a  b  c  a  b  c 21 Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  hay x  6; y  3; z  Câu 281: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho số thực x, y thỏa mãn: x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x y( x  y) Lời giải Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: P  ( x  y)  y   y( x  y)  x  8y  8y  x  16 y  x4    Đẳng thức xảy      8 y  y ( x  y )  y  64  y    Vậy minP = x = y = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 177 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: Tailieumontoan.com FB TRỊNH BÌNH ... abc   Do đó: 4 2a 12 2a a  b  c     a  2b  c  7a  10b  7c  a b c  VT  12      7a  10b  7c 7b  10c  7a 10a  7b  7c  a  b  c   c   17  ab  bc  ca   12 ... b ab ab ab ab      ab   10 ab 4 ab 2 Suy ra: A  10 a  b   Đẳng thức xảy  a  b ab  a  b    ab  Vậy gi{ trị nhỏ A 10 a  b  Câu 58: *TS10 Chuyên Đồng Nai, 2018-2019]... x  0, y  2z1  42 x2  y2   x2 y2  100  102    Nếu x  2, y  3 2z1  42 x2  y2   x2 y  2500  50 Vậy x  2, y  3,z  Câu 52: [TS10 Chuyên Kiên Giang, 2018-2019] Cho ba số