Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải quyết các bài toán bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HOẰNG HOÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HƯỚNG GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: Nguyễn Thị Hương Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Hoằng Thắng SKKN MÔN: TOÁN THANH HÓA NĂM 2017 Mục lục Nội dung Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vần đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Kết luận, đề xuất Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại Trang 1 1 1 1, 2 2-9 10 11 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong dạy học toán, việc hướng dẫn học sinh tìm hướng giải bài toán là một việc làm quan trọng mà giáo viên cần phải có ý thức thực hiện “Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải quyết các bài toán bất đẳng thức” không phải là công việc dễ Nó đòi hỏi người giáo viên phải có một sự hiểu biết, có lòng nhiệt huyết và có nguyên tắc đắn Đứng trước một bài toán nếu giáo viên biết cách khéo léo hướng dẫn người học có cảm giác tự có thể làm được bài tập đó, gây hứng thú cho người học Được sự hướng dẫn tìm tòi lời giải của giáo viên, học sinh có một cách hiểu biết về bài toán làm mà cả bài toán có dạng tương tự Mỗi một bài toán có một nội dung toán học đòi hỏi trình độ tư khác của học sinh Do đòi hỏi người giáo viên một sự hướng dẫn tìm tòi lời giải theo hướng khác Để giải bài toán bất đẳng thức, học sinh phải thực sự tư duy, đào sâu suy nghĩ để tìm hướng Sau tìm được hướng học sinh cảm thấy yêu thích môn toán Đây chính là lý chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải quyết các bài toán bất đẳng thức” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Để giúp học sinh có cái nhìn tổng quát về giải toán bất đẳng thức Rèn cho học sinh khả phân tích xem xét bài toán Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải, để học sinh phát huy được khả tư linh hoạt, nhạy bén giải bất đẳng thức, tạo được lòng say mê sáng tạo, ngày càng tự tin, không tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bất đẳng thức Giúp giáo viên tìm phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú học môn toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp – Trường THCS Hoằng Thắng 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu qua tài liệu, SGK, SGV, SBT Toán 8, - Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến bất đẳng thức - Nghiên cứu qua thực hành lớp qua bài giải của học sinh Bằng phương pháp thực nghiệm sở học sinh khá giỏi lớp 9A và các phương pháp khác: Phương pháp quan sát, phương pháp điều tra giáo dục, phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động, phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm gíáo dục, phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ tầm quan trọng của bài tập dạy học toán và giúp học sinh hứng thú học toán, tìm điều thú vị toán học, từ nắm vững kiến thức để vận dụng vào cuộc sống một cách thiết thực và có hiệu quả Thông qua việc “Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải quyết các bài toán bất đẳng thức” giúp các em củng cố, đào sâu, mở rộng kiến thức Đây là việc làm cần thiết của giáo viên dạy bộ môn toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp, thấy nguyên nhân dẫn đến việc học sinh ngại giải bài tập bất đẳng thức là do: - Lúng túng việc xác định hướng giải - Khả liên hệ các mạch kiến thức yếu - Chưa biết phân tích đề bài để tìm các phương pháp giải khác - Chưa nắm vững kiến thức cần thiết hỗ trợ giải bài tập 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề - Trước hết giúp học sinh biết hệ thống hoá kiến thức đã học, tìm được mối liên hệ kiến thức này với kiến thức khác thông qua sơ đồ tư - Giúp học sinh nắm vững trình tự để giải một bài tập toán + Bước 1: Đọc kĩ đề bài , nắm vững các liệu, điều đã biết, điều phải tìm + Bước 2: Vạch kế hoạch giải: Tìm sự liên hệ cái chưa biết và cái đã biết tìm các phương pháp giải khác + Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải + Bước 4: Kiểm tra lại lời giải Bài tập Cho x, y, z là ba số thực tùy ý Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 –yz - 4x – 3y -7 * Hướng giải quyết: Vì đa thức có chứa các đơn thức x2; y2; z2; yz; 4x; 3y nên nghĩ đến vận dụng đẳng thức (A B)2, thêm chút khéo léo giúp đến: x2 + y2 + z2 –yz -4x – 3y = (x – 2)2 + ( y - z)2 + (y - )2 – * Bài giải cụ thể: x + y2 + z2 –yz - 4x – 3y = (x2 – 4x + 4) + ( y2 – yz + z2) + ( y2 – 3y + 3) -7 = (x – 2)2 + ( y - z)2 + (y - )2 – -7 với mọi x, y, z R (đpcm) * Nhận xét: Với định hướng cách giải đa số học sinh khá giỏi đều giải được bài tập này Các em bớt lo lắng, suy nghĩ là bài toán bất đẳng thức khó nên không thể giải được Bài tập Cho các số a, b, c đều lớn Q= + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: + * Hướng giải quyết: Từ biểu thức Q và các điều kiện a, b, c - > 0; - > 0; -5>0 Giúp nghĩ đến vận dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương * Bài giải cụ thể: Vì b > 2 Áp dụng BĐT Côsi cho số dương, ta có +2 –5≥2 +2 –5≥2 ≥2 -2 +5 (1) Chứng minh tương tự ta có: ≥2 -2 +5 (2) ≥2 -2 +5 (3) Từ (1), (2) và (3) ta có Q ≥ 15 Dấu “=” xảy và a = b = c = 25 (thích hợp) Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 15 *Nhận xét: Đây là một bài toán khó của cấu trúc đề thi vào lớp 10, đề thi HSG lớp 9, đề thi học kỳ toán Tuy nhiên với định hướng giải đã góp phần tháo gỡ khó khăn cho các em Bài tập 3: Cho các số dương x,y,z Chứng minh bất đẳng thức: + + >2 *Hướng giải quyết: Các biểu thức dưới dấu của bất đẳng thức cần chứng minh giúp ta nghĩ đến: x+(y+z) y+(x+z) z+(x+z) Khéo léo giúp đến được + + >2 Tiếp tục tìm cách để xem dấu đẳng thức xảy nào? * Bài giải cụ thể Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: x + (y + z) ≥ Do đó: ≥ (1) Chứng minh tương tự ta có: (2) (3) Từ (1), (2) và (3) ta có + + Dấu “=” xảy x+y+z=0 Điều này vô lý x; y; z > Dấu “=” không xảy Vậy có + + >0 * Nhận xét: Với bài toán này nếu định hướng giải của giáo viên số học sinh làm được rất ít Nhưng với định hướng số lượng các em giải được tăng lên rõ rệt Bài tập Cho ba số x, y, z thỏa mãn Chứng minh x2 + y2 + z2 11 *Hướng dẫn giải quyết: Bí quyết để giải dạng bài toán này là khai thác điều kiện để từ ta có (x + 1)(y + 1)(z + 1) + (3 – x)(3 – y)(3 – z) giúp ta được lời giải bài toán * Bài giải cụ thể Ta có Do -1 x xyz + xy + yz + zx + x + y + z + -1 y -1 z Suy (x + 1)(y + 1)(z + 1) Và (3 – x)(3 – y)(3 – z) 0 Và 27 + 3xy + 3yz + 3zx – 9x – 9y – 9z –xyz 2xy + 2yz + 2zx -2 (vì x + y + z = 3) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx (x + y + z)2 32 x2 + y2 +z2 – x2 + y2 +z2 – x2 + y2 +z2 – x2 + y2 + z2 11 (đpcm) Ghi chú: Bài toán tổng quát: Cho x, y, z thỏa mãn (Với m, n, p thỏa mãn 2m + n p 2n + m Chứng minh x2 + y2 + z2 (m + n + p)2 + m2 + n2 Bài tập Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a2 + 2b2 3c2 Chứng minh: * Hướng giải quyết Ta có bài toán quen thuộc: Cho x, y, z > Chứng minh giúp nghĩ đến tìm cách chứng minh vậy là xong *Bài giải cụ thể Ta có (a – b)2 a2 -2ab + b2 2a2 – 4ab + 2b2 2a2 – 5ab + 2b2 9ab (a + 2ab)(b + 2a) 9ab (1) Mặt khác ta có = Mà a2 + 2b2 3c2 nên ta có Vì vậy ta có Từ (1) và (2) ta có = = (2) (đpcm) * Nhận xét: Bài toán này giáo viên định hướng cho học sinh tháo gỡ nút của bài thông qua bất đẳng thức quen thuộc Dẫn đến việc giải bài toán nhẹ nhàng nhiều Bài tập 6: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy a) Chứng minh dấu “=” xảy nào b) Chứng minh dấu “=” xảy nào * Hướng giải quyết a) Phương pháp biến đổi tương đương giúp có được lời giải bài toán b) Vì có ( = Do vậy áp dụng bất dẳng thức Côsi cho hai số dương và vận dụng câu a) cho ta lời giải bài toán * Bài giải cụ thể: a) + (x – y)(x + xy2 – y – x2y) (x – y) (x – y)2(1 – xy) (Bất đẳng thức (x – y)2 và xy 1 – xy Dấu “=” xảy x = y xy = b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương và vận dụng a), ta có 10 ( = Dấu “=” xảy x=y * Nhận xét: GV hướng dẫn học sinh vận dụng kết quả câu a) vào giải quyết câu b) rất hay và dễ hiểu Bài tập Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh: *Hướng giải quyết: Dễ dàng nhận từ ab + bc + ca = giúp có được P = 2(a + b + c) Từ a, b, c dương và ab + bc + ca = 1; không khó khăn để có được P *Bài giải cụ thể: Vì ab + bc + ca = Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) Tương tự ta có: b2 +1 = (a + b)(b + c); c2 + = (a + c)(b + c) Do đó: P = = + + =a+b+b+c+c+a = 2(a + b + c) = =2 Dấu “=” xảy a=b=c= 11 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = * Nhận xét: Với định hướng giải mà giáo viên gợi ý cho học sinh đã giúp các em tìm cách giải ngắn gọn, đơn giản Đó là sự thành công của giáo viên việc dạy học giải toán ở trường THCS Bài tập Chứng minh bất đẳng thức: +….+ * Hướng giải quyết Việc phát hiện > ; > …… > Rồi “lồng ghép” vào tổng + +…+ = + thật đặc sắc *Bài giải cụ thể: Ta có > ; > ; …; > Do +….+ = ( > ( = ( = (- + + + + + + + +…+ + …+ + ) ) ) ) = (-1 + 9) = Bài tập 12 Cho a, b, c là các số dương và a + b + c Chứng minh * Bài giải cụ thể Ta có a, b, c > và a + b + c 1 (a + b + c)2 9(a2 + 2bc) + 9(b2 + 2ca) + 9(c2 + 2ab) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có 9(a2 + 2bc) + 9(a2 + 2bc) + (2) Tương tự có 9(b2 + 2ca) + (3) 9(c2 + 2ab) + (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ta có Dấu “=” xảy a=b=c= Nhận xét: Dễ nhận phải giải bài toán này cách vận dụng bất đẳng thức Côsi Việc dự đoán dấu “=” xảy a = b = c = gúp điều chỉnh các hệ số thích hợp để có (2), (3) và (4) 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Số liệu điều tra trước và sau thực hiện đề tài 13 Thông qua khảo sát chất lượng học sinh khá giỏi của lớp năm học liên tiếp 2015-2016; 2016-2017 (số lượng: 10 em) ở dạng bài tập về chứng minh bất đẳng thức Tôi đã thu được kết quả sau: Năm học 2015-2016 Năm học 2016-2017 Số học sinh tham gia Số HS giải Số HS Tỉ lệ Tỉ lệ (10 em) được giải được Khi chưa có sự định 30% 30% hướng giải của GV Khi đã có sự định 50% 70% hướng giải của GV Qua thực tế giảng dạy năm học 2015-2016; 2016 – 2017 Tôi đã áp dụng phương pháp này, kết quả là học sinh khá, giỏi lớp 9A hứng thú giải bài toán BĐT hơn, chất lượng học môn toán có chuyển biến tích cực Các học sinh khác dù chưa giải được bài toán BĐT một cách hoàn chỉnh các em đã không ngại tiếp xúc với các bài toán dạng BĐT Thông qua lời giải của cô giáo và các bạn, kết quả của em đã được nâng lên rõ rệt KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trên là kinh nghiệm của cá nhân mà quá trình giảng dạy bộ môn toán ở bậc THCS đã đúc kết được Tôi mong kinh nghiệm này của được đồng nghiệp bổ sung, hoàn thiện và được áp dụng quá trình dạy học không ở môn toán mà ở các môn học khác Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2017 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan là SKKN của viết, không chép nội dung của người khác Người viết Nguyễn Thị Hương 14 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hương Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Hoằng Thắng TT Tên đề tài SKKN Xây dựng cách tìm lời giải các bài Toán chương ôn tập và bổ túc số tự nhiên Toán Giải nhiều cách các bài Toán Khơi dậy hứng thú học môn Hình học của HS THCS Giải nhiều cách một số Bất Đẳng thức Ứng dụng định lý Ta lét vào chứng minh bài Toán Hình học Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại C 2004-2005 B 2009-2010 C 2010-2011 C 2011-2012 C 2012-2013 15 Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên cho HS THCS Phòng GD&ĐT Hoằng Hóa C 2014-2015 16 ... dạy học toán, việc hướng dẫn học sinh tìm hướng giải bài toán là một việc làm quan trọng mà giáo viên cần phải có ý thức thực hiện Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải. .. nghĩ để tìm hướng Sau tìm được hướng học sinh cảm thấy yêu thích môn toán Đây chính là lý chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh tìm hướng giải quyết các bài toán bất đẳng thức ... dung toán học đòi hỏi trình độ tư khác của học sinh Do đòi hỏi người giáo viên một sự hướng dẫn tìm tòi lời giải theo hướng khác Để giải bài toán bất đẳng thức, học sinh phải