MỘT số GIẢI PHÁP GIÚP học SINH PHÁT TRIỂN NĂNG lực GIẢI các bài TOÁN về đa THỨC với sự hỗ TRỢ của máy TÍNH cầm TAY

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CẦM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VỚI SỰ HỖ TRỢ

CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY

Người thực hiện: Lê Thị Ny

Tài liệu tham khảo

1 Hướng dẫn giải toán trên máy tính casio fx - 570VN Plus – TS Nguyễn Thái Sơn.

2 Sách giáo khoa Toán 8 Tập 1 - NXB Giáo Dục.

3 Sách giáo khoa Toán 8 Tập 1 - NXB Giáo Dục

4 Kinh nghiệm giải toán trên máy tính Casio II – Hoàng Hồ Nam.

5 Một số đề thi giải toán trên máy tính cầm tay các Tỉnh

6 Một số đề thi giải toán trên máy tính cầm tay cấp Quốc gia

7 Chuyên đề bồi dưỡng thường xuyên về Đa Thức – Phân Thức đại

số - Phương trình_ Nhà xuất bản Giáo dục

8 Một số tài liệu cần thiết có liên quan trên mạng Internet

- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8.

- Bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay chuyên đề đa thức.

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng về năng lực giải quyết các bài toán trong chuyên đề

đa thức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay ở học sinh khối 8 - Trường

Trung học sơ sở Thị Trấn Ngọc Lặc trước khi áp dụng đề tài.

3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng giúp học sinh nâng cao năng lực giải

các bài toán về đa thức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay

3

2.3.1 Kiến thức cần nắm vững 3 2.3.2 Phát triển năng lực giải các bài toán về đa thức với sự

hỗ trợ của máy tính cầm tay qua các dạng bài cụ thể.

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC XẾP

LOẠI

Tên đề tài Sáng kiến

Năm cấp

Xếploại

Số, ngày, tháng, năm của quyết định công nhận, cơ quan ban hành QĐ

Đổi mới phương pháp dạy học định lí

hình học 7 theo hướng tích cực hóa

hoạt động học tập của học sinh 2012

B

Số 57/QĐ- GD&ĐT,ngày 22 tháng 05 năm

2012, Trưởng phòngGD&ĐT Ngọc Lặc

Sử dụng phiếu học tập cho học sinh

yếu kém trong dạy học phân hóa đối

tượng học sinh theo năng lực 2013 B

Số 66/QĐ- GD&ĐT,ngày 16 tháng 05 năm

2013, Trưởng phòngGD&ĐT Ngọc Lặc

Sử dụng bài tập tích hợp trong dạy học

đại số nhằm nâng cao năng lực giải

toán cho học sinh ở trường THCS

Số 201/QĐ- GD&ĐT,ngày 20 tháng 05 năm

2015, Trưởng phòngGD&ĐT Ngọc Lặc

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Đa thức và các phép toán về đa thức là một trong những mảng kiến thứcrất quan trọng trong chương trình đại số cấp THCS Thực hiện thành thục cácphép toán về đa thức như: Tính giá trị của đa thức, phân tích đa thức thành nhân

tử, xác định nghiệm của đa thức, tìm thương và dư trong phép chia đa thức mộtbiến… là những chuẩn kiến thức - kĩ năng cơ bản của chương trình đại số lớp 8,các bài toán về đa thức còn là chủ đề phong phú được khai thác và sử dụngnhiều trong kì thi thi học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay cấp trunghọc cơ sở

Máy tính cầm tay đã trở thành một công cụ hỗ trợ học tập cần thiết đốivới các em học sinh từ cấp Trung học cơ sở cho đến Đại học Đối với các nước

có nền giáo dục tiên tiến, trong các tài liệu sách giáo khoa chuyên mục sử dụngmáy tính để giải toán được chú trọng từ rất sớm Ở Việt Nam chỉ từ sau nhữngnăm 2000 máy tính cầm tay mới bắt đầu được sử dụng rộng rãi và dần thay thếcác bảng tính, bảng lượng giác cồng kềnh Tuy nhiên đối với các trường thuộccác huyện miền núi nói chung và huyện Ngọc Lặc nói riêng do điều kiện kinh tếkhó khăn, khả năng tiếp cận và ứng dụng các thiết bị hỗ trọ học tập còn chậm thìmáy tính cầm tay chỉ được sử dụng phổ biến trong dạy và học kể từ sau năm2010

Khoa học kĩ thuật phát triển nhanh, các loại máy tính được Bộ Giáo dụccho phép sử dụng trong các kì thi Quốc gia và kì thi học sinh giỏi giải toán bằngmáy tính cầm tay cũng được nâng cấp và cập nhật các chức năng mới liên tục,trong khi đó tài liệu hướng dẫn cũng như các chuyên đề giải toán bằng máy tínhcầm tay ít được biên soạn và xuất bản chính thống Chính vì vậy nhiều giáo viêncòn lúng túng và gặp không ít khó khăn khi hướng dẫn học sinh thực hành giảitoán trên máy tính cầm tay Đối với học sinh, tuy số lượng sử dụng máy tínhngày càng tăng, song do không được hướng dẫn và bổ trợ các kĩ năng cần thiếtnên hầu hết máy tính chỉ được dùng để thực hiện các phép toán thông thường,các chức năng của máy tính chưa được khai thác và sử dụng hiệu quả trong dạy

và học Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy bộ môn toán 8 và bồi dưỡng đội tuyểngiải toán bằng máy tính cầm tay, với mong muốn giúp học sinh có cái nhìn tổngquát, cách giải cụ thể và kĩ năng thực hành máy thành thạo để giải quyết các

dạng toán về đa thức, tôi mạnh dạn sưu tầm, tìm tòi và đưa ra sáng kiến “Một số

giải pháp giúp học sinh phát triển năng lực giải các bài toán về đa thức với

sự hỗ trợ của máy tính cầm tay ” cho học sinh lớp 8 và đội tuyển học sinh giỏi

giải toán bằng máy tính cầm tay lớp 8, lớp 9 ở trường THCS Thị trấn Ngọc Lặc

1.2 Mục đích nghiên cứu:

- Củng cố, mở rộng, khắc sâu các kiến thức về đa thức

- Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải các dạng toán về đa thức.

- Nâng cao năng lực giải toán bằng máy tính cầm tay cho học sinh lớp 8 và độituyển học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay lớp 8, lớp 9 ở trường THCSThị trấn Ngọc Lặc

- Xây dựng chuyên đề dạy học, làm tài liệu tham khảo cho bản thân và đồngnghiệp trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ.

- Nâng cao chất lượng giáo dục đại trà, đặc biệt là chất lượng bồi dưỡng độituyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay ở trường THCS Thị trấnNgọc Lặc

- Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, năng lực tự học, năng lực tự giảiquyết vấn đề của học sinh, tạo điều kiện cho các em có tài liệu tự học và thamkhảo

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các giải pháp giúp học sinh lớp 8 và đội tuyển học sinh

giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay lớp 8, lớp 9- Trường THCS Thị trấn NgọcLặc, phát triển năng lực giải các bài toán về đa thức với sự hỗ trợ của máy tínhcầm tay

Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán về đa thức trong đề tài được giải với sự hỗ

trợ của máy tính casio fx - 570VN PLUS, áp dụng cho học sinh khối 8, và độituyển học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm tay lớp 8, lớp 9 ở trường THCSThị trấn Ngọc Lặc

1 4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu chương trình, xây dựng cơ sở lí thuyết

- Nghiên cứu thực tiễn

- Phân tích điều tra, khảo sát thực tế

- Kiểm nghiệm kết quả trước và sau tác động

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận

Đa thức là một chuyên đề cơ bản trong chương trình đại số 8 Các dạngtoán về tính giá trị của đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử …có nhiều ứngdụng quan trọng trong chương trình toán phổ thông Tuy nhiên ngoài các kiếnthức nền trong chương trình, nếu thiếu kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay các em

sẽ gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài toán về đa thức Thực tếcho thấy, máy tính cầm tay không chỉ phát huy tác dụng trong các kì thi học sinhgiỏi giải toán bằng máy tính cầm tay mà nó đã trở thành một công cụ hữu íchnhờ khả năng xử lí dữ liệu phức tạp với tốc độ nhanh, chính xác giúp tiết kiệmnhiều thời gian và công sức cho người học

Trong những năm gần đây, hình thức kiểm tra, đánh giá bằng trắc nghiệmngày càng được sử dụng nhiều trong các nhà trường ở hầu hết mọi cấp học Đặcbiệt theo quyết định của Bộ Giáo dục thì tất cả các môn học sẽ được thi theohình thức trắc nghiệm trong kì thi Tốt nghiệp Quốc gia từ năm học 2016 – 2017.Đối với bộ môn toán học việc tổ chức thi, kiểm tra theo hình thức trắc nghiệmđòi hỏi học sinh ngoài việc rèn luyện khả năng tư nhạy bén, các em còn rất cần

kĩ năng tính toán nhanh và chính xác, chính vì vậy trong hành trang đến trườngcủa các em không thể thiếu “người bạn đồng hành” là chiếc máy tính cầm tay.Việc khai thác và sử dụng tốt các chức năng của chiếc máy tính cầm tay sẽ hỗ

trợ đắc lực cho học sinh trong học tập cũng như thi cử ở các bộ môn khoa học tựnhiên, đặc biệt là môn toán với hình thức thi trắc nghiệm.

2.2 Thực trạng về năng lực giải quyết các bài toán trong chuyên đề đa thức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay ở học sinh khối 8 - Trường Trung học sơ

sở Thị Trấn Ngọc Lặc trước khi áp dụng sáng kiến.

Thị trấn Ngọc lặc có điều kiện kinh tế tương đối phát triển, vì vậy số họcsinh sử dụng máy tính cầm tay trong học tập chiếm khoảng 70% tổng số họcsinh toàn trường Tuy nhiên do áp lực về mặt kiến thức và hạn chế về mặt thờigian trong các tiết học, nên giáo viên ít có thời gian hướng dẫn học sinh khaithác hết các chức năng của máy Bên cạnh đó tài liệu hướng dẫn cũng như cácchuyên đề giải toán bằng máy tính cầm tay ít được biên soạn và xuất bản chínhthống nên giáo viên và học sinh gặp khó khăn trong việc tìm tài liệu tham khảo

Đó là những nguyên nhân dẫn tới thực trạng học sinh thiếu kĩ năng thực hànhtính toán trên máy tính cầm tay, số lượng học sinh tham dự kì thi học sinh giỏigiải toán trên máy tính cầm tay ít và chất lượng giải thấp

Kết quả của thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến vào dạy học.

1 Nghiệm của đa thức một biến

Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a ( hoặc x = a) làmột nghiệm của đa thức đó (1)

nhỏ hơn bậc của B ( R được gọi là dư trong phép chia A cho B)

Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết.(1)

3 Định lý Bezout (2)

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a chính là f(a)

Hệ quả:

- Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a

- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f(-b

(1) Phần chú ý – Trang 31_ Sách giáo khoa Toán 8 Tập 1.

(2), (3) Thao khảo từ: Chuyên đề bồi dưỡng thường xuyên về Đa Thức – Phân Thức đại số Phương trình_ Nhà xuất bản Giáo dục.

-(4) Từ hằng đẳng thức thứ 1 đến thứ 7 – Sách giáo khoa Toán 8 Tập 1

Hằng đẳng thức 8 và 9 - Chyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 _ Nguồn Internet.

(5) Chyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 – Nguồn Internet.

2.3.2 Phát triển năng lực giải các bài toán về đa thức với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay qua các dạng bài cụ thể.

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Dạng 1.1: Các bài toán rèn luyện kĩ năng tính toán.

Bài toán 1: Cho đa thức P(x) 17x  5  5x 4  8x 13x 11x 357 3  2  

Bài tập phát triển kĩ năng

Bài 1.1: Cho biểu thức: C = 7 3 2 33 2 2 55 3 47182314

3 2 2

3 2

x y x

z x z xy y

x

Tính giá trị của biểu thức C tại: x = 0,53 ; y = 1,34; z = 2,18

Hướng dẫn Giải:

- Nhập biểu thức C vào máy tính:

- Sử sụng phím CALC để tính giá trị của biểu thức C tại các giá trị của biến, vàghi kết quả

Bài 1.2: ( Đề thi Quốc gia giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9 – Năm 2013)

- Nhập biểu thức: 4x4 + 3x3 + 2x2 +x Sử sụng phím CALC để tính giá trị củabiểu thức tại các giá trị của biến x = 2 ; y = 26; z = 2013 và lần lượt đưa cácgiá trị tìm được vào ô nhớ B, C, F

- Nhập vào máyA C E

B D F  =Kết quả: M = 2518, 1750

Bài 1.3: Tính tổng các hệ số của đa thức:

b) (Đề thi Quốc gia giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9 – Năm 2016)

Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x -7)64 Tính tổng các hệ số của đa thức chínhxác đến đơn vị

Dạng 1.2: Kết hợp kĩ năng tính toán với vận dụng các hằng đẳng thức.

Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức sau:

P(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x8 + x9 tại x = 0,53241

Phương pháp

Áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1)

Ta có : a + b = 1,006 (gán vào A: 1,006 SHIFT STO A )

a2 + b2 = 2,012 (gán vào B: 1,006 SHIFT STO B )

 (a+b)2 = 1,006 2

 a2 + b2 + 2ab = 1,0062

 ab = (1,0062 - 2,012) : 2

(Để tính ab trên máy thực hiện dòng lệnh: (A2 – B):2 ấn  SHIFT STO C )

Bước 2 ( Có thể thực hiện theo một trong 2 cách sau)

Cách 1: Từ hằng đẳng thức (a+ b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+ b)

Ta suy ra hằng đẳng thức a3 + b3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b)

Khi đó : A = x3018 + y3018 = a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab(a+b)

(Để tính A trên máy thực hiện dòng lệnh: A3 – 3.C.A và ấn )

Cách 2:

Áp dụng hằng đẳng thức: a3 + b3 = (a+b)(a 2- ab + b2)

Khi đó : A = x3018 + y3018 = a3 + b3 = (a+b)[(a 2 + b2) - ab]

(Để tính A trên máy thực hiện dòng lệnh: A.(B-C) và ấn )

Kết quả : A = 2,52705

Bài tập phát triển kĩ năng

Bài 1.4( Đề thi Tỉnh Bình Thuận giải toán trên MTCT lớp 8 – Năm 2014)

Bài 1.5( Đề thi Tỉnh Gia Lai giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9 – Năm 2015)

Tính giá trị của biểu thức

32 31 30

10 9 8

1 1

k

k a

Bài tập 1.2.4: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Bài tập phát triển kĩ năng

Bài 1.6( Đề thi Tỉnh Sóc Trăng giải toán trên MTCT lớp 9 – 2015)

Cho đa thức: P x  x11ax10bx9cx8 mx n và P(1) = 3; P(2) = 7;P(3) = 13; P(4) =21 ; P(5) = 31; P(6) = 43; P(7) = 57; P(8) = 73; P(9) =91;P(10) = 111; P(11) = 133 Tính P(12)

Vậy ta có 1, 2, 3, 4, …, 11 là nghiệm của Q(x)

Mặt khác P(x) là đa thức bậc 11 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên:

Cách 2: Xác định các hệ số a, b, c, d của đa thức, sau đó tính giá trị của đa thức

theo bài toán 1

Do P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16.Nên các hệ số a, b, c, d của đa thức là nghiệm của hệ phương trình:

Mặt khác P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên:

Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

Do đó P(x) = Q(x) +f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x2

 P 17 16 15 14 13 17    2 43969

Cách 4: Xác định đa thức dư

Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0

Do bậc của H(x) phải nhỏ hơn bậc của P(x), nên bậc H(x) nhỏ hơn 4, nghĩa là:Q(x) = P(x) + a1x3 + b1x2 + c1x + d1

Bài tập tự luyện

Bài tập 1.3.1: ChoP(x) =ax + bx + cx + mx+ n17 16 15

biết: P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18)

Bài tập 1.3.2: ( Đề thi Tỉnh Thừa Thiên Huế giải toán trên MTCT lớp 8 – 2015)

Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, biết P(1) = 8; P(2) = 18; P(3) =32; P(4) =50 ; P(5) = 72

Bài tập 1.3.4: ( Đề thi Tỉnh Bình Thuận giải toán trên MTCT lớp 8 – 2014)

Cho đa thức f(x) có bậc 6 và hệ số cao nhất là 1 Biết f(5) = 2029;

Bài tập 1.3.6: ( Đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT lớp 9 – Năm 2005)

Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết rằng khi x lầnlượt nhận các giá trị 1,2,3,4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là8,11,14,17 Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15

Dạng 2: Tìm thương và số dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax+b

Cơ sở lí thuyết

Định lý Bezout

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)

Hệ quả của định lý Bezout:

- Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a

- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f(-b

a)

Để tìm hệ số của đa thức thương khi chia đa thức f(x) cho (ax + b): dùng lược

đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa thức P(x) cho (x +b

a) sau đó nhânvào thương đó với 1

a ta được đa thức thương cần tìm

Vậy: Thương của phép chia là: x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751

x = 2 là nghiệm của đa thức P(x)  P(2) = 0  m = - 46

x = 2 là nghiệm của đa thức Q(x)  Q(2) = 0  n = - 40

Vậy với m = - 46 , n = - 40 thì P(x), Q(x) có nghiệm chung x = 2

Bài tập tự luyện

Bài tập 2.1:

a) Tím số dư của phép chia đa thức f(x) = x 14 -x 9 -x 5 +x 4 +x 2 +x-723 cho 125x-203

b) Tìm số dư trong phép chia:

a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho 2x – 5 khi m = 2003

b) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho 2x - 5

Bài tập 2.5:

Cho P x  x4  5x4 4x2 3x 50  Tìm số dư r1, r2 khi chia P(x) cho x - 2

và x - 3 Tìm BCNN(r1,r2)?

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những bài toán cơ bản trongchương trình đại số lớp 8, kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử đóng vai tròquan trọng và nhiều ứng dụng trong cộng, trừ, nhân, chia, rút gọn phân thức,cũng như giải các dạng phương trình đưa được về phương trình tích Ngoài cácphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được học trong chương trình chínhkhóa, ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của máy tính bỏ túi và và sơ

đồ Hoocne để tìm nghiệm, sau đó sử dụng hệ quả của định lý Bezout để viết đathức thành nhân tử

- Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x1, x2 thì nó viết được dướidạng ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)

- Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + ….+ a1x + a0 có n nghiệm x1, x2 …,xnP(x) được phân tích được thành P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)

Bài toán 7: Phân tích các đa thức thành nhân tử

Bài tập phát triển kĩ năng

Bài 1.10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: