Phương pháp chuẩn hóa tọa độ giải hình học phẳng oxy nguyễn tiến chinh

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN - WWW.TOANMATH.COM NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ KỸ THUẬT I: CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ CÁC BƯỚC GIẢI TOÁN: Đọc đề, phân tích kiện - Tìm điểm tập trung Phán đốn mối quan hệ điểm (góc có tìm khơng? Có vng góc ?) Tìm giải pháp chứng minh phán đoán ( nhớ loại bỏ bớt phán đốn) Trình bày tìm “ đầu mối ” tốn Tìm yếu tố cịn lại: Chú Ý: bước - phán đốn chứng minh phán đốn vơ quan trọng,nó định em giải tốn hay không?muốn làm điều tốt em cần phải rèn luyện nhiều tốn để có nhiều kinh nghiệm nhé: - Để CM phán đốn dùng phương pháp sau: CM hình học túy - thường nhanh hợp với em vững kiến thức Phương pháp véc tơ Phương pháp tọa độ - phương pháp phù hợp với nhiều đối tượng ( khuyên dùng) nhiên để làm phương pháp phải tính tốn nhiều cẩn thận Phương pháp gán độ dài cho cạnh hình lớn Trong khóa học ta bàn với phương pháp 1,3,4 Phương pháp 1: Cần nắm vững kỹ hình học - thường cấp tam giác đặc biệt, tính chất hình, đường trịn ngoại tiếp,tứ giác nội tiếp … Phương Pháp 3: - Chọn hệ trục tọa độ Oxy đẹp (dễ tìm tọa độ điểm nhất) - Tìm tọa độ điểm cần làm sáng tỏ ( điểm tập trung) - Sử dụng cơng thức liên quan tới phán đốn như: tích vơ hướng,góc… - CM dựa vào kết Phương pháp 4: thường dùng phán đoán liên quan tới góc - Gán độ dài cho cạnh hình lớn,tìm độ dài cạnh cịn lại - Sử dụng hệ thức tam giác vuông sin,cos,tan… tam giác khơng vng dùng định lý hàm số sin,cos Phương pháp CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Các bước : Chọn hệ trục tọa độ - thương chọn gốc chân góc vng Chọn cạnh hình lớn để chuẩn hóa độ dài (tham khảo vài dạng hình vẽ chuẩn hóa dưới) Đối với tốn có tứ giác như: hình vng, hình chữ nhật, tam giác vng Đối với ta chọn hệ trục tọa độ có gốc nằm đỉnh vng, có hai trục Ox Oy chứa cạnh tương ứng góc vng Và chọn đơn vị trục độ dài hai cạnh góc vuông Bằng cách chọn vậy, tham số giảm tối đa Và dạng hình dạng áp dụng thuận lợi phương pháp tọa độ mặt phẳng y B(0;1) A y y B(0;b) C(1;1) D(1;0) x A C(0;c) C(1;b) D(1;0) x A B(1;0) x Đối với tốn có chứa tam giác đều, tam giác cân, tam giác thường Ta xây dựng hệ trục cách dựa vào đường cao Cụ thể, ta dựng đường cao từ đỉnh NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ (đối với tam giác cân ta nên dựng đường cao từ đỉnh cân) Chân đường cao góc tọa độ, cạnh đáy đường cao vừa dựng nằm hai trục tọa độ y y B(0; 3) C(0;h) A(-1;0) H C(1;0) x A(1-a;0) O B(1;0) x Đối với tốn có chứa đường trịn ta chọn góc tọa độ nằm tâm đường tròn đơn vị hệ tọa độ bán kính đường trịn, hai trục chứa bán kính, đường kính đường trịn y A(1;0) x O BT Mẫu 1:(trích ĐH 2013A):Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD,có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x + y + = điểm A ( - 4;8).Gọi M điểm đối xứng B qua C,N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD.Tìm tọa độ điểm B,C biết N ( 5; -4) Phân tích & Giải: 1.Nhận thấy kiện tập trung vào ba điểm A,N,C trực quan vẽ hình ta phán đốn chúng có mối quan hệ vng góc,cụ thể: AN  CN Tìm phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Hình học túy Ta có: Tứ giác DBCN nội tiếp nên   BNC   ABCN nội tiếp CAB Y   BNC  mà BDC   CAB  nên BDC  ANC  900 Hay AN vng góc CN Phương pháp 2: Gán trục tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ - D (0 ; 0), A( ; a), C(b; 0) B(b ; a), M(b; -a) Y NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ  DM  : bx  ay  - Pt đường:   BN  : ax  by  2ab  A B  2a b 2ab  - Lúc N  BN  DM  N  ; 2   a b a b    2a b ab  a    a 2b  b3 2ab  - Lại có: AN   ; ; CN   ; 2 2  X  a b a b   a b a b    D C - Vậy ta có AN CN   AN  CN N Phương pháp 3: Gán độ dài cho cạnh hình lớn     BDM   2 Đặt AD = a, DC = b , DMC a b M - Xét DMC ta có: sin   ; cos   2 2 a b a b DN b2  a 2 - Xét BDN ta có: cos 2   DN  BD  cos   sin    BD a  b2 ADN  AN  DN  AD  AD.DN cos   900   a - Xét CN  DC  DN  DC.DN cos   b - Vậy ta có: AN  CN  AC  ACN vuông N Nhận xét : Qua ba phương pháp ta thấy rõ ưu điểm nhược điểm phương pháp - Với hình học túy - nhanh làm ko nhớ tính chất hình học - Với Gán hệ trục gán độ dài cho cạnh hình lớn - thích hợp với nhiều đối tượng học lực,tuy nhiên nhược điểm hai phương pháp tính tốn nhiều chọn hai phương pháp làm em nhớ tính tốn cẩn thận Gợi ý giải -Ta có AN  CN (các em trình bày lại ba cách nhé) - Gọi C ( a ; - 2a - 5) thuộc d   - Từ ĐK: AN  CN ta có AN CN   C 1; 7  lại có AC : 3x + y + = - AC //DM , BN  DM  BN  AC  pt  BN  : x  y  17    - Tham số hóa B ( 3b+17;b) mà AB  BC nên AB.BC   B  4; 7  BT Mẫu 2: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang vng ABCD ( vng A B) có BC = AD.Điểm H  13   ;  hình chiếu vng góc điểm B lên cạnh CD.Xác định tọa độ điểm B D hình  5 thang,biết A ( -3 ; 1) trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng x + 2y - = Phân tích: Dựa vào giả thiết tốn,ta nhận định điểm tập trung toán gần A,H,M.Tới cố gắng phán đoán mối liên hệ chúng phương pháp trình bày mẫu trên.Bằng trực quan ta suy đốn có mối quan hệ vng góc H điểm Phương pháp : Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Đặt AB = a; BC = b ta có - B ( ; ),M( b/2 ; 0), C(0 ; b) ; D ( b/2 ; a) - Lại có pt DC : 2bx + ay - 2ab = - BH  DC nên có pt: ax - 2by =  4b a 2bx  ay  2ab  2b a  - Mà H = DC  BH   H ; 2  ax  2by   4b  a 4a  c    - Tương tự ta có AH HM  nên AH vng HM NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Điều nghĩa suy đốn ta xác Note: - Bài em chuẩn hóa theo cách khác dễ hơn,đó cho cạnh hình vng hết Bài sử dụng phương pháp gán độ dài cho cạnh hình lớn - Tuy nhiên việc tính tốn gặp nhiều khó khăn nên ta ko nên dùng,tới gần chắn tọa độ hóa có sức mạnh ghê gớm việc chinh phục “ chìa khóa” giải tốn Oxy.( Bài em tự chuẩn hóa nhé) Gợi ý giải Chứng minh AH vng góc MH , Tìm tọa độ điểm M sau - Tham số hóa M ( 2a - 1;a)   - Sử dụng điều kiện AH HM  tìm M  Lập pt DC qua H song song AM   Tham số hóa D thỏa mãn pt DC dùng Đk AD.DM  tìm D 2  BA  DM dùng Đk  B 2  BM  AD   Chú Ý tìm B thơng qua điểm C sau : MC  AD ,M trung điểm BC BT Mẫu 3: (ĐH 2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD.Gọi M trung điểm cạnh BC,N  11  điểm CD cho CN = ND.Giả sử M  ;  đường thẳng AN có phương trình 2x - y - =  2 0.Tìm tọa độ điểm A Phân tích :Nhìn nhận vấn đề ta thấy tốn cho kiện,như Một cách tự nhiên ta nghĩ tới việc thiết lập thêm kiện cho tốn Và phải thơng qua việc tính tốn yếu tố hình vẽ - Bài toán cho kiện xoay quanh ba điểm A,M,N Pt đường AN biết , điểm M biết nên ta nghĩ tới việc tìm kiện cho A có lẽ việc xác định góc a lúc hợp lý yếu tố liên quan mật thiết cạnh với - Ở tơi dùng phương pháp có lợi gán trục tọa độ hình vẽ : Điểm A ( ; 0), B(0 ;a), C(a ; a) D ( a ; ), M ( a/2 ; a) ; N (a ; a/3)   a    a  - Ta có AM   ; a  , AN   a;  2   3 a2 a2    AM AN    450 tới có lẽ việc xong - Ta có cos MAN      ta có MAN AM AN 50a 36 toán yêu cầu tìm điểm A mà thơi ta giải tiếp sau   AM u AN       a  1 a  - Tham số hóa tọa độ điểm A ( a; 2a - 3) ta có cos MAN AM u AN BT Mẫu 4: Cho tam giác ABC vuông B có BC = BA,điểm M ( 7/4; 1) trung điểm AC Điểm N thuộc BC cho BN = ¼ BC,điểm H (2; 2/3) giao điểm AN BM.Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết N nằm đường thẳng  : x  y   PHÂN TÍCH Dữ kiện toán tập trung vào A,H,M,N Sau vẽ hình ta phán đốn Sẽ dung A,H,M A,N,M NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Ta tìm mối liên hệ phương pháp gán trục tọa độ xem - Chọn hệ trục hình vẽ - B ( ; ), A (0 ; a ) , C ( 2a; 0), N ( a/2 ; ), M ( a, a/2)   a    a  - AN   ; a  , BM   a;  2   2   Vậy AN BM   AN vuông BM H     2 - Tham số hóa N ( - 2a; a)  HN    2a; a   dùng ĐK HN HM   H  ?  3    - Lập pt HM , B nằm HM nên tham số hóa B,tiếp tục dùng HB.HN   B   - Lập pt HN, tham số hóa điểm A dùng Đk: AB.BN   A   - Dùng Đk : BN  BC  B Lưu Ý: Do cạnh AB BC tỉ lệ với em chuẩn hóa tọa độ sau: B (0; ),A (0,1) , C ( 0; 2), M ( 1; ½) N (4 ; 0) BT Mẫu 5: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa đô Oxy, cho tam giác ABC cân A ( -1 ; 3).Gọi D điểm cạnh AB cho AB = 3AD H hình chiếu vng góc B CD.Điểm M(1/2 ; - 3/2) trung điểm đoạn HC Xác định tọa độ điểm C, biết điểm B nằm đường thẳng x + y + =0 PHÂN TÍCH VÀ GỢI Ý GIẢI: Đọc kiện nhận thấy tốn có nhiều điểm thuận lợi việc gán hệ trục tọa độ tam giác cân , trung điểm, tỷ lệ đoạn thẳng …do ta tiến hành vẽ hình xây dựng hệ trục tọa độ sau: dự đoán A,B,M cho mối quan hệ đặc biệt kiện tập trung vào ba điểm nhiều Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ với O ( 0; ) C ( ; 0), B ( -1 ; ), A ( 0; a )     2a  2a AD  AB  D( ; )  CD    ;     2; a  3 3  3  Ta có pt CD: ax - 2y - a = BH : 2x + ay + = ( BH  CD)  a  4a  Giải hệ gồm hai đường ta H  ;   a 4 4a  M( a2 2a ; )  a  a2   a 2a  a    2a  2a    Từ tìm AM   ; ,  AM BM   AM  BM  ; BM   2   a2   4a  a 4 4a      Tham số hóa điểm B (a; -a - 7) dung Đk AM BM   B (?) có B ta tìm D theo ĐK: AD  AB Có D ta tìm C dễ dàng có M trung điểm CD BT Mẫu 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình thang vng ABCD, vng B C, có AB = BC = CD,đỉnh A ( 1; 5/2 ) Gọi M trung điểm BC.Đường thẳng AM BD giao H ( 2; 2/3),biết điểm D nằm đường thẳng có phương trình 2x - 4y + =0 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HĨA TỌA ĐỘ PHÂN TÍCH VÀ GỢI Ý GIẢI TỐN - Khi vẽ hình ta thấy hình vẽ có AM BD cắt nhau,nếu hai đường chéo khơng có phải hồi nghi hết cả, nhiên ta thấy rõ ràng chúng phải có mối quan hệ đó,có thể  ABM vng B.Từ suy luận ta tìm hiểu thử H ( vng góc),có thể BAM mối quan hệ chúng phương pháp GÁN TRỤC TỌA ĐỘ hình vẽ - Đặt AB = 2a BC = 2a,CD = a ta có: A ( 2a ; ), B(0;0), C(0;2a), M(0 ; a), D (a; 2a)     - Ta có: BD   a; 2a  , AM   2a;a   BD AM   BD  AM  H Như không cần kiểm tra thêm việc rõ ràng tới nút thắt toán tháo bỏ ( em nhớ thử kiểm tra A xem , có lại có thêm cách giải khác) CÁC BƯỚC GIẢI TIẾP THEO:   - Tham số hóa tọa độ điểm D (2b - 5/2 ; b) dùng ĐK: DH AH   D - Lập phương trình DH, B nằm DH nên tham số hóa B,lại có …   - Tìm C dễ dùng ĐK: BA  2CD xong! BT Mẫu 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD coa C ( ; -3 ) đỉnh A thuộc đường thẳng d: x + 2y - = Gọi E điểm thuộc cạnh BC, Điểm F giao điểm đường thẳng 89 7 AE CD, I ( ; ) giao điểm đường thẳng ED BF.Tìm tọa độ điểm B,D biết M ( 4/3; 0) 19 19 thuộc đường AF ( Đề thi thử trường THPT Thành Nhân) Chọn trục tọa độ chuẩn hóa tọa độ Cạnh hình vng 1: ta có D ( 0; 0), C ( 1; ) ,B(1 ;1) , A(0; 1) E ( 1; a) - Ta có: pt: DC y = - Pt đt AE : (1 - a)x + y - =   - Lại có F = AE  DC  F  ;0  1 a  - PT đường DE : ax - y =0 - Pt đường BF : (1 - a)x + ay - = a   - I  DE  BF ta có I  ;   a  a 1 a  a 1  Chú ý kiện toán tập trung vào A,C,I,E nên ta nghi chúng có mối quan hệ với   nhau… Đến việc coi sáng tỏ,ta cần tìm véc tơ AE , CI     a 1 1 + AE  1; a  1 , IC  ( ; )  AE CI  AE vng góc với CI đến “Nút thắt a  a  a  a 1 “của tốn gỡ bỏ hồn toàn bước làm sau: - lập AF qua M vng góc CI: pt AF 3x + 5y - = - A = d  AF  A  2;  - O tâm hình vng trung điểm AC ta có O ( ½ ; - ½) - Lập pt đường BD qua O vuông góc AC,cuối dùng ĐK AB vng BC ta có B !!!! NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Mẫu :( ĐH 2012 A) :Trong mặt phẳng Oxy cho hình vng ABCD.Gọi M trung điểm BC, N CD cho CN = 2DN, điểm M ( 11/2 ; 1/2) đường AN có phương trình : 2x - y - = 0.Tìm tọa độ điểm A Hướng dẫn giải Bài toán thực chất khơng phải khó có nhiều cách giải thầy cô nước, nhiên tơi trình bày cách giải đẹp dựa vào cơng cụ chuẩn hóa tọa độ sau Ta thấy tốn u cầu tìm tọa độ điểm A cho sẵn ta đữ kiện A AN,ta đặt câu hỏi liệu M biết mà đề cho tham gia vào tốn ? có mối liên hệ với A,M,N Các em theo dõi lời giải : Chọn trục tọa độ hình vẽ Chuẩn hóa cạnh hình vng ta có : B ( ; ), C ( ; 0) ; D ( ;1) A ( ; 1) M ( 1/2 ; ) ; N (1 ; 2/3)      1  Có : AM   ; 1 , AN   1;  2   3   AM AN    450 cosMAN    MAN AM AN 10 Đến cơng việc coi hồn tất cịn nhiệm vụ tìm xác điểm A mà ta làm sau : - Tham số hóa A ( a ; 2a - 3) thuộc AN   AM u AN    a  ?  A  ?  Xong !!! - Có cos MAN AM u AN BT Mẫu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD, có điểm C thuộc đường x + 2y - = Điểm M ( 1; ) thuộc canh BD.Hình chiếu M lên AB, AD nằm đường thẳng x + y - = 0.Tìm tọa độ điểm C Hướng dẫn giải: Gọi F, G hình chiếu M lên AB,AD - Chon hệ trục tọa độ hình vẽ với D (0; 0) - Khơng tính tổng qt ta chọn cạnh hình vng Có độ dài ta có: C ( 1; 0), M(a ; a), F (a; 1) , G ( 0; a)   Ta có CM   a  1; a  , GF   a;1  a    Vậy CM GF  o  CM  GF Tham số hóa C ( - 2a ; a)     dùng ĐK CM GF  o  CM ud   C  ? BT Mẫu 10: Cho hình chữ nhật ABCD có A ( -1 ; 3),M N trung điểm cạnh BC AD.H hình chiếu B lên CN, H ( 43/17 ; 19/17) Biết trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng có phương trình x + y - =0 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật HƯỚNG DẪN GIẢI Qua kiện thấy tốn tập trung kiện vào ba điểm A,M,H,bằng trực quan hình vẽ ta đề xuất khả có quan hệ vng góc ba điểm Giải pháp: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ A ( 0; ) ,B(1; 0) , C (1; b) , D ( 0; b) , M(1; b/2), N(b/2; 0) Pt đường NC: 2bx + (b - 2)y - b =0 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Pt BH : ( - b)x -2by + b - = Giải HPT gồm hai đường ta tìm thấy điểm H Nhiên thấy việc tìm điểm H hệ trục vất vả ta tìm hệ trục khác : CHỌN HỆ TRỤC NHƯ HÌNH VẼ : B ( ; ), A ( ; a), C(0 ; 1) , D (1 ; a), N (1/2 ; a), M (1/2 ;0) Pt NC : 2ax + y - 2a = Pt BH : x - 2ay = Tọa độ H nghiệm HPT gồm NC BH  4a 2a  Giải hệ ta có H  ;   4a  4a     4a a  4a    2a  / 2a  AH   ; ;   , MH    4a  4a    a  4a     Vậy AH MH   AH  MH Tới nút thắt giải :   - Tham số hóa M ( a,5 - a) dùng ĐK vng góc AH MH   M - Lập pt AM,ta suy pt CN ( song song AM qua H ) - Có pt CN ta có pt BH,tham số hóa B,dùng ĐK AB vng BM tìm B,do M trung điểm BC nên tìm C ……….Xong!!! Nhận xét: Qua ví dụ em thấy việc đặt hệ trục tọa độ vơ quan trọng,nó định 80% khả thành -bại tốn.ở chọn B xác hợp lý ta cần tìm tọa độ điểm H, Khi liên quan tới pt đường BH,như B ( 0; 0) giảm tối đa việc tính tốn cho em BT Mẫu 11: Cho tam giác ABC cân A với A ( 0; 2) gọi D thuộc AB cho AB = AD,H hình chiếu B lên CD.M trung điểm HC M ( ¾ ; - 57 / 100).Tìm tọa độ điểm C biết C nằm đường thẳng có phương trình: x + y + = ... nhiều khó khăn nên ta ko nên dùng,tới gần chắn tọa độ hóa có sức mạnh ghê gớm việc chinh phục “ chìa khóa” giải tốn Oxy. ( Bài em tự chuẩn hóa nhé) Gợi ý giải Chứng minh AH vng góc MH , Tìm tọa độ... vng góc AC,cuối dùng ĐK AB vng BC ta có B !!!! NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Mẫu :( ĐH 2012 A) :Trong mặt phẳng Oxy cho hình vng ABCD.Gọi M trung điểm BC, N CD cho CN = 2DN,... thường Ta xây dựng hệ trục cách dựa vào đường cao Cụ thể, ta dựng đường cao từ đỉnh NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ (đối với tam giác cân ta nên dựng đường cao từ đỉnh cân) Chân