Phân dạng các bài toán bất đẳng thức và min max mẫn ngọc quang

Qstudy.vn Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi TUYỂN CHỌN BẤT ĐẲNG THỨC NĂM 2016 Giáo Mẫn Ngọc Quang BẤTviên: ĐẲNG THỨC BIẾN Học Toán Không Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn §1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG Bài 1: Cho số thực x, y thay đổi thỏa x2  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu   thức P  x3  y3  3xy P  2 x  y 3   3xy   x  y   x Đặt t = x + y ĐK : t  xy  , Bài giải  xy  y   3xy   x  y   xy   3xy t2  2 P  t  t  6t  , với t  2 t  Xét f (t )  t  t  6t  [-2,2]  f '  t   3t  3t  6; f '  t     t  2 13 Ta có f 1  ; f    1; f  2    7   1  1 x  x    x  y  13 13   2 max f  t   t = nên max P    2    2,2 2 x  y    y  1  y  1   2  x  y  2  x  y  1 f  t   7 t = -2 nên minP = -  2  2,2 x  y  Bài 2: Cho x  y  thỏa điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  Bài giải x y   Đặt t  xy , điều kiện  t    Ta có  xy   P  f t   t  t t  2 1  f 't     2 t 1  t  1  t  1 Bảng biến thiên xy  Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn x 0 P/ + P Vậy GTLN P  Khi x  1; y  Bài 3: Cho a, b  thỏa mãn  a  b2   a 2b2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b   b 1 a 1 a  b2  Ta có a b   a  b    a  b   ab  a  b 2 Bài giải 2 a  b2    a  b   2ab    a  b    a  b     a  b  1 2  a  b2   a  b  1  a   b  P  1    1    b 1   a 1  a  b2  1     a  b  1   2   a 1 b 1  a  b2    a  b  1  2 a  b  a  b 1 Đặt t  a  b , ta có  a  b  2a  b 2    ab   a  b  16  a b  4  t  1   2; t  ta t2 t 1 MinP  M inf  x   x  y  Xét f  t   Bài 4: Cho x, y số thực dương thỏa mãn xy  x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức: P 3x 3y xy     x2  y  y 1 x 1 x  y Bài giải Đặt t  x  y  xy   t; x  y   x  y   2xy  t    t   t  2t  x y Ta có xy     3t  t  t    Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn Suy P   x2  y    x  y   xy 12   x  y   t  t   x y t xy  x  y  12 Xét hàm số f  t   t  t   với t  t 2 Ta có f '  t   2t    0, t  Suy hàm số f  t  nghịch biến với t  t  P  f t   f  2  Vậy giá trị lớn P x  y  Bài 5: Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x  y )  xy  Tìm giá trị nhỏ biếu thức P  3( x2  y )2  2( x  y)2  xy(3xy  4)  2015 Bài giải Với số thực x, y ta ln có ( x  y )  xy , nên từ điều kiện suy ( x  y)3  ( x  y)2  ( x  y)3  4xy   ( x  y)3  ( x  y)2    x  y  Ta biến đổi P sau 3 ( x  y )  ( x  y )  2( x  y  xy)  xy(3 xy  4)  2015 2 3  ( x  y )  ( x  y )  2( x  y )  2015 (3) 2 (x  y )2 Do x  y  nên từ (3) suy P  ( x  y )  2( x  y )  2015 Đặt x  y  t t  (do x  y  1) 9 1 Xét hàm số f (t )  t  2t  2015 với t  , có f ' (t )  t   , với t  nên hàm số f(t) đồng biến 2   32233  ;  Suy f (t )  f     1 16 2 2  t ;   P 2 Do GTNN P  32233 , đạt x  y  16 Bài 6: Cho số dương x, y Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 P   2 2 3 x  y  x  3y 3x  y Xét biểu thức P  x2  y Trước hết ta chứng minh  3x  y x  3y 2   Bài giải 3 x  y  3x  y 2  x y Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn   x2  y    1   2   2   x  y x  y  x  y 3x2  y       x  y   x  y    x  y  3x  y    x2  y      2 2 2 2 2  x  y  3x  y   x  y   x  y  3x  y   x  y   1 Thật vậy,    x2  y 3x  y  Xét  x 4  x  y   3y  3x y  x  y 0 x  3y 2  3x  y 2  Dấu “=” xảy x = y 2 Như vậy, P   x  y  x  y 3 Đặt, t  ,t  x y 2t  f '(t )   2t ; f '(t )   t  1 Xét hàm số f (t )  2t  Bảng biến thiên t f’(t) – – – + + – 4/3 f(t) t = Vậy, GTLN P x  y  Từ BBT ta thấy GTLN f(t) Bài 7: Với mo ̣i số thực x,y thỏa mañ điề u kiê ̣n  x2  y   xy  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P  x4  y xy  Bài giải Đă ̣t t  xy Ta có: xy    x  y   xy   4 xy  xy     1 Và xy    x  y   xy   xy  xy  nên   t    3 x y Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn x Suy ra: P   y   2x2 y 2 xy   7t  2t   2t  1  t  t  t  7t  2t  ; f 't     Xét hàm số f  t   có f '  t    2t  1  2t  1 t  1 l   1 1 f     f    ; f  0   5   15 Vậy giá trị lớn , giá trị nhỏ 15 Bài 8: Giả sử x, y số thực dương thỏa mãn  x  y    x  y  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  2y 2x  y  2 x  2y 2x  y2 Bài giải Ta có x  2y xy xy x     2 2 x  2y x  y  x  y   y x  y xy  y x  y x  y x  y 2x  y y   2 2x  y x  y x  2y x  y x y   , vì bấ t đẳ ng thức này tương đương với Mă ̣t khác, ta cũng có 2x  y x  y Tương tự, ta cũng có x  y  xy 2  , hay  x  y   2 x  y  xy  x y  3 Suy P       x y x  y  2x  y x  y  x  y x  y x  y 2 Từ giả thiết ta lại có  x  y    x  y     x  y   Từ đó ta có P  (1) Suy  x  y   , hay x  y  (2) Từ (1) (2) ta có P  Dấu đẳng thức xảy x  y  Vâ ̣y giá tri ̣lớn nhấ t của P bằ ng 2, đa ̣t x  y  Bài 9: Cho hai số dương x, y thoả mañ x  y  Tìm giá tri ̣nhỏ nhấ t của biể u thức  1  1 P   x  1 1     y  1 1    x  y Bài giải  t  1 t 1 x  y2  x  y Biế n đổ i P  x  y  2t 2t 2 xy t 1 t 1 t 1  xy  t   t2  2 Đă ̣t x  y  t  xy  Có  x  y  2 Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn La ̣i có  x, y   x  x , y  y  x  y  vâ ̣y  t    nửa khoảng 1;   t 1 Xét hàm số f  t   t  Có f  2  43 Kế t luâ ̣n: P  f  t    1;  Bài 10: Cho x y hai số thực dương thay đổi thuộc nửa khoảng (0;1] x+y=4xy Tìm gía trị lớn 1 1  nhỏ biểu thức: P= x2 y  xy     6 x y  Bài giải Ta có: xy  x  y  xy  xy  x; y  (0;1]  (1  x)(1  y )    ( x  y )  xy    xy  xy   xy  1 1   ( x  y )  xy   4( xy )    ( xy ) xy  P = x y  xy      xy ( x  y )   6 x y  6 Đặt t = xy P = t  f '(t )  8t  1 1   f (t ) với t   ;  3t  3 24t  1 1   0, t   ;  suy f (t ) nghịch biến đoạn 2 3t 3t  3 Do f    f (t)   3 1 1  ;  1 1 1 f   , t   ;  4  3 13 đạt x  y  12 1 11 minP =  đạt x  1; y  x  ; y  3 maxP =  Bài 11: Cho hai số thực thỏa mãn x  1; y  (x + y) = 4xy 1 1 Tìm gía trị lớn nhỏ biểu thức: P = x3  y3     x y  Bài giải 3x 4x  3y 3y Có 3( x  y )  x y  x  (vì y  ) Xét hàm số f ( y )  [1; ) có 4y 3 4y 3 9 f '( y )   0, y  [1; )  f ( y )  f (1)    x  (4 y  3) Đặt t  xy x  nên 3( x  y )  x y  3x  3xy  x y  xy  Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn 3x 9 [1;3]   g ( x)  Vậy t  [ ;3] 4 4x      Khi P  ( x3  y3 ) 1  3    x  y   3xy( x  y)      ( xy)3   x y   Xét hàm số g(x)   xy 3 12 64 xy     64t 3  64t   4t       4t  1     1    3xy  27 t   ( xy )   27  t    64t 12 64  4t   với t  [ ;3] 27 t 64t 12 8  12  8t   8t  t  1   0,  t  [ ;3] Ta có P '(t )  t 9  t Xét hàm số P(t )  Vậy MaxP  P(3)   x   x  280  xy  t     ; x  y  y 1 y      304  MinP  P      t      36    xy  x y   x  y  Bài 12: Cho các số thực dương x,y thỏa mañ x  y  Tìm giá tri ̣nhỏ nhấ t của biể u thức A  xy  1  2 x y Bài giải Ta có P  xy  1   xy  x y xy x y Đă ̣t t  xy ta có  t  xy       2 31 31 33 Khi đó: P  t   32t   31t  32.2   16   t t 4 Dấ u đẳ ng thức xảy và chỉ x  y  z  33 Vâ ̣y A  Bài 13: Cho số thực x, y thỏa mãn  x     y    xy  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 A  x3  y   xy  1 x  y   Bài giải Ta có  x  4   y    xy  32   x  y    x  y     x  y  2 A   x  y    x  y   xy    x  y   3  x  y    x  y   Xét hàm số: f  t   t  t  3t  đoạn  0;8 Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn Ta có f '  t   3t  3t  3, f '  t    t  1 1 t  (loại) 2    17  5 17  5 , f    398 Suy A    4   Ta có f    6, f  Khi x  y  17  5 1 dấu xảy Vậy giá trị nhỏ A 4 Bài 14: Cho số thực dương a, b thỏa mãn a5b  ab5    ab  1 Tìm giá trị lớn P 1 8ab    2  4ab 1 a 1 b Bài giải Ta có (ab  1)  a b  b5 a    ab(a  b )   2a 3b3   ab  1   2  ab 1 a 1 b 2 8ab  8t  1 P   Xét hàm số f (t )  với t  ab; t   ;1  ab  4ab  t 4t  2  31  f (t ) max  f ( )  Pmax  ab 12 Khi ta có BĐT quen thuộc : Bài 15: Cho x, y số thực thuộc (0;1) thỏa mãn biểu thức P  1 x  1 y ( x3  y )( x  y )  (1  x)(1  y ) Tìm giá trị lớn xy  xy  x  y Bài giải Ta có: (1  x)(1  y )  Xét P  1  x2 x, y  (0;1)   ( x  y )( x  y )   xy  x  y  xy   3xy  x  y  3xy  xy xy 1  y2  xy  x  y  1  x2  1  y2  xy  1  x2  1  y2  xy 1 (*)   2  xy 1 x 1 y Thật (*)  (2  x  y )(1  xy)  2(1  x )(1  y )  ( x  y )2 (1  xy)  Luôn x, y  (0;1) Suy P   1  xy, xy   0;   xy  9 Xét hàm số f (t )  1  1  1   0, t   0;   2t , t   0;  Có f  (1  t )  t 1 t  9  9 56 Vậy P  f      10 nên maxP = 56 10 x y Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn Bài 15b: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a5b  ab5    ab  1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  1 8ab    2 1 a 1 b  4ab Bài giải Ta có (ab  1)  a b  b5 a    ab(a  b )   2a 3b3   ab  1   2  ab 1 a 1 b 2 8ab  8t  1 P   Xét hàm số f (t )  với t  ab; t   ;1  ab  4ab  t 4t  2  31  f (t ) max  f ( )  Pmax  ab 12 Khi ta có BĐT quen thuộc : B BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG Bài 16: cho x, y số không âm thỏa mãn x  y  Tìm GTLN nhỏ của: P  5( x5  y )  x y (5 xy   xy  12) Bài giải   x ( x  2)  Ta có  x, y     x3  y  2( x  y )  2   y ( y  2)   (1  )( x  y )  ( x  y)   x  y 2 2  2( x3  y )  ( x  y)( x3  y )  ( x x3  y y )2   x3  y  Đặt t  x3  y Ta có : t  2;2  Ta có  ( x  y )3  x  y  3x y ( x  y )  x6  y  x y  ( x3  y )2  x y  x y  x3 y  x y  t  2( x3  y )  ( x3  y )( x  y )  x  y  x y  x y  x  y  x y ( x  y )  x5  y  x y ( x  y )  2t P  5( x5  y )  x y (5 xy   xy  12)  4 x3 y  12 x y  5( x5  y )  x y 2  xy  2(2 x3 y3  x y )  5( x5  y )  5x y x  y  xy  2(t  8)   x  y  xy  x y ( x  y )   2t  10t  16  f (t )   f / (t )  4t  10; f / (t )   t    2; 2  57 Ta có: f (2)  28, f ( )  f (2 2)  20 2 57 Vậy MinP  2;2  f (t)  f (2)  28 MaxP  f ( )    2 Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn y  14 yz  z  x  1 y  1 z  1 P 2   x z x yz2  y  z Bài giải z Do z   x, y, z nên ta có x  z   x    2 Ta lại có z  y   y  z   y  y z  y z  yz  z  y  14 yz y  y z  y  y  14 yz  z   y  z y  14 yz  z 1  y  y  z  y z  y  z y  2   x  1 y  1 z  1 1   Do ta có P  2 x yz2 z z   x  y  2 2   1 Ta có    2 z  z   x  y  z 2  z z   x  y  x  y          2  2 2    y  14 yz  z  2   Và  x  1 y  1 z  1    x  y  z    xy  yz  zx   xyz    x  y  z    xy  yz  zx  Lại có 1  x 1  y 1  z     x  y  z    xy  yz  zx   xyz   xy  yz  zx  x  y  z   xyz  x  y  z   P  x  y  z  16  x  y  z  x yz2 16t  với t  a  b  c t  0;3 t2 t  16 32 Ta có f '  t     ; f '  t    t   f  t   f    10 t t  2 Xét hàm số f  t   Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 10 , dấu "  " xảy x  y  1, z  Câu 8: Cho số thực x, y, z  thõa mãn xyz   x  y  z Tìm GTLN biểu thức P x2  x   y  y   z  z   x  y  z  2 xyz  (Trích đề thi thử lần thầy Quang Baby) Bài giải Ta có: x( x  1)   x  x   x  x   x  x   x  x   x  Tương tự ta có: Do : P  y  y   y  1; z  z   z  2x 1 y 1 2z 1 2( x  y  z )       2 ( x  y  z) xyz  ( x  y  z) x  y  z x  y  z (x  y z) Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn  với t  x  y  z  t t2 Hàm số f  t  nghịch biến nên P  f  t   f  3  Xét hàm số f  t   Vậy giá trị lớn biểu thức P 1, dấu "  " xảy x  y  z  Câu 9: Cho  a, b, c  , a (4  a  b)  c(a  b) Tìm GTNN : P  1  a  b 1  b  c 1  c  a   16a  16bc  64a (Trích đề thi thử lần 16 thầy Quang Baby) Bài giải  a, b, c  a(4  a  b)  c(a  b)  4a  a  ac  bc  ab  (a  b)(a  c) 16a  16bc  64a  16(ab  ac) (1  a  b)(1  c  a)(1  b  c)  (1  6a  b  c)(1  b  c)   6a  2b  2c  6a(b  c)  (b  c)  P   6a  2b  2c  6a(b  c)  (b  c)  16(ab  ac)   (2a  4a )  (b  c)  2b  2c  10a(b  c )   [2a]   4a  (b  c)    2b  2c   10a(b  c) Vi :  a, b, c   [2a]  a(b  c),  4a  (b  c)   4a (b  c),  2b  2c   2a (b  c )  P   a(b  c)  4a(b  c)  2a (b  c)  10a (b  c)    5 Câu 10: Cho a, b, c  0;1 Chứng minh a b c    abc   bc  ac  ab (Trích đề thi thử trường THPT Đào Duy Từ năm 2012) Bài giải Không làm tính tổng qt tốn, ta giả sử:  a  b  c  a b c b c bc    abc     bc  bc    bc  ac  ab  bc  bc  bc  bc  bc bc  Vậy nên: A  bc   Ta có: 1  b 1  c     bc  b  c    bc  bc 1 Đặt t   ab 1  t   đó: f  t   t   f '  t       :1  t    f  t  đồng biến 1; 2 t t  f  t max  f     a  b  c  Ta có: A  Câu 11: Cho x, y, z  0; 2 ; xy  yz  zx  Tìm P  x  y  z  10  xy  yz  zx   96 x  y3  z (Trích đề thi thử trường THPT Đơ Lương 1) Bài giải Ta có: P   x  y  z    x  y  z   96 2 x  y3  z Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn x2  y  z   x  x    y  y    z  z     x  y  z    x  y  z  ; x3  y3   x  y  , z  z 96 Khi đo: P   x  y  z    x  y  z   2 x  y  z Đặt t  x  y  z  t    P  5t  8t  48  Pmin  28  x  2, y  z  t a  b  5c  6abc   abc Câu 12: Cho a, b, c  1,3 , a  b  c  Tìm Max P  ab  bc  ca (Trích đề thi thử trường THPT Đặng Thúc Hứa) Bài giải Ta đánh giá:  a  1 a   a  1 a     b   b  1 b   b  1   a  b  5a  5b  P  a  b2  c   6abc  ab  bc  ca  abc  a  1 b  1 c  1   abc    ab  bc  ca    abc  3   a   b   c   Ta lại có  P  6abc  73 Vậy Pmax  abc  10   Pmax   a  b  1, c  abc    a  b  1, c  Câu 13: Cho số thực a,b,c thỏa mãn: a  0,1 , b  0, 2 , c  0,3 Tìm Max P  2(2ab  bc  ac) 8b b    2a  b  3c b  c  b(a  c)  12a  3b2  27c  (Trích đề thi thử trường THPT Anh Sơn 2) Bài giải  1  a  b  c    2a  b  3c  2ab  ca  bc  b a  c       Ta có  b  c  a  b  c   PTa có:  2  12a  3b  27c  P  2ab  bc  ca    2a  b  3c  b 8b  2ab  bc  ca  2ab  bc  ca   2ab  bc  ca Đặt t  2ab  bc  ca  t   2t 16 16    Pmax   a  1, b  2, c  1 t t  7 16 Vậy Pmax   a  1, b  2, c  P Học Toán Không Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn Câu 14: Cho x, y, z   0,1 Chứng minh P  (1  1 1 )( x  y  z )     xyz x y z (Trích đề thi thử trường THPT Ngơ Sĩ Liên) Bài giải Ta có:  x  1 y  1   xy   x  y     1 1 1 1 1 1       2     xy x y xy yz zx x y z 1 1 1 Ta có: P    1  x  y  z      x  y  z       x  y  z  xy yz zx  xyz  x y z P 1 1 1 1 1       x  y  z        x  y  z   x  y  z   P  x  y  z   dpcm  x y z x y z x y z Dấu xảy  x  y  z  Câu 15: Cho x, y, z  1, 4 , x  y  z  Tìm : P  z x2  y 1  8( x  y ) xyz Bài giải P z x  y 1 z x y z        2 2 xyz xyz xyz  x  y  z xyz 8 x  y  8 x  y  2 2  x  1 y  1   xy  x  y    z 2  x  y   z  10 z  26 Ta có:  P z 1     z  10 z  26  z z   z  2  z    z  45 z  117  0 Ta chưng minh: P   z   z   z  10 z  26  MaxP   x  y  1, z  Câu 16: Cho a, b, c  0,1 Tìm GTLN biểu thức: P  a b c    2(1  a )(1  b)(1  c ) bc  ac  ab  (Trích đề thi thử lần thầy Đặng Thành Nam) Bài giải Giả sử c  b  a Ta có: 1  a 1  b    ab   a  b Ta chứng minh: a 2a b 2b c 2c   2bc   a  b;   2ca   a  b;   2ab   a  b bc  a  b  ca  a  b  ab  a  b   a  b  c  1  a 1  b 1  c 1  a  b   a  b  c  1  c  P    2 a  b 1 1 a  b a  b 1 1 a  b Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn Dấu xảy  a  b  c  a  b  1, c  ( hoán vị)  1 a b c    (1  a )(1  b)(1  c) Câu 17: Cho a, b, c  0,  Tìm P  b  c 1 a  c 1 a  b 1  2 (Trích đề thi thử lần 11 thầy Đặng Thành Nam) Bài giải  5   1  a  b  a  b  5 8 1  a  b    a   b    2 27    Áp dụng AM - GM ta có:    c  a   a   b        2    5   5   c   a   b  b   a   c  a 2 2       1 a 1 b 1 c   Ta có P      8 b  c 1 5   5   c   a   b  b   a   c  a   2    1 a 1 b 1 c   Đặt: f  a       8 b  c 1   Ta có: f  a min   f   , f     7  3 Ta có ) f     bc   b  c    b  c    c  g  b  32 32  32 8  3  1  1 Do  c    0, c  0;   f    g  b   g    32  2 8  2 bc 1 ) f       8    b  c  Vậy Pmin  abc Câu 18: Cho a, b, c  1,3 , a  b  c  Tìm max P  abc(a3  b3  c3 )2 Bài giải Ta có: a3  b3  c3   a  b  c    a  b  b  c  c  a   216  18  ab  bc  ca   3abc Ta có:  a  3 b  3 c  3    ab  bc  ca    a  b  c   27  abc  27  abc   P  3  ab  bc  ca   27  216  18  ab  bc  ca   3  ab  bc  ca   27   P   ab  bc  ca  9 135   ab  bc  ca   P  7776 Vậy Pmax  7776  a  1, b  2, c  hoán vị Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn Câu 19: Cho a, b, c  1, 2 , a  b  c  14 Tìm GTLN của: P  a  c  21b2  12(a3  b3 )  28b2  25 Bài giải a  21a  20   a  1 a   a     c  21c  20 14 Ta có:   P  21 a  b  c   40  2 28  a  b  c   3a  7a   3c  7c   13 29  a  1 b  1 c  1   ab  bc  ca   t    a   b   c    Đặt: t  a  b  c Với  c  b  a   Câu 20: Cho a  b  2c  ab  bc  ca  Tìm Giá trị lớn biểu thức: a  2b  4c    ab  bc  ca  b2  ab  bc  3ac P  2a  4b  8c  18  Bài giải Từ giã thiết ta có:  b  a  b  c    b  ca  b  a  c  b2  ab  bc  3ac  b  ab  bc  3ac   ab  bc  ca    ab  bc  ca 2 Mặt khác ta lại có:  a  1   b  2   c     2a  4b  8c  18  a  b2  2c   ab  bc  ca Suy ra: 2 2a  4b  8c  18  ab  bc  ca Từ ta có: P  ab  bc  ca   ab  bc  ca  2 2 4  ab  bc  ca  2  2 a  b  c  Dấu bẳng xảy khi:  Câu 21: Cho số thực x, y, z   0;1 z   x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   y  z x z   yz  1  y  y  z  xy  xz  yz (Trích đề thi thử lần thầy Quang Baby) Lời giải Với toán có điều kiện biên x, y, z   0;1 tìm cách khai thác , dự đoán điểm rơi là: x  y  1, z  Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn có chứa xy  xz  yz mẫu , hạng tử gợi ý cho dồn biến xy  xz  yz xy  xz  yz Hơn với Ta có: x, 0;1 Suy xx ,  y  z x  y  z  xz xx  z  x2  y  z  xx  z  Dấu A = B > Do đự đoán điểm rơi A.B A  B Áp dụng BĐT phụ Cô-Si ngược ta có : x = y = , z = nên khả x = x + z y = y + z hồn tồn xảy Ta có: x2  y  z   yz  1  yz    2y  z y  y  z 2  x  y  z 2x  z xx  z 2 x  y  z   yz  1  xy  yz  xz  1  2    Do P  2x  z 2y  z xy  xz  yz x yz xy  xz  yz 2 A2 B ( A  B)2   , x y x y Với điều kiện: x, y, z   0;1 , ta ln có: 1  x 1  x 1  x    xy  yz  xz   xyz  x  y  z  x  y  z Suy P  x  y  z  xy  xz  yz Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x2   y  z   x  y  z   x  y  z   xy  xz  yz  Mà x, y, z   0;1 ,  x  y  z  x  y  z   xy  xz  yz  Suy P  2( xy  xz  yz )  xy  xz  yz AM GM  x  y  z  Dấu “=” xảy   Vậy giá trị nhỏ P MinP  đạt  x; y; z   1;1;0  Câu 22: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện  x  2;  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  2y y  2x   x  y  y  3x   x  y  1 (Trích đề thi đại học khối D năm 2014) Bài giải Do  x  nên  x  1 x    0, nghĩa x   x Tương tự y   y Suy P  x  2y y  2x x y     3x  y  3x  y   x  y  1 x  y   x  y  1 Đặt t  x  y, suy  t  Xét f  t   t  , với  t  t   t  1 Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn Ta có f '  t    t  1   t  1 Suy f '  t    t  11 53 7 ; f  3  ; f    nên f  t   f  3  Do P  12 60 8 x  7 Khi x  1, y  P  Vậy Pmin    8 y  Mà f    Câu 23: Cho số thực a, b, c thuộc đoạn 1;3 thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a 2b  b c  c a  12abc  72  abc ab  bc  ca (Trích đề thi thpt quốc gia năm 2015) Bài giải 2 2 Đặt t  ab  bc  ca Ta có: 36   a  b  c    a  b    b  c    c  a    3t  3t Suy t  12 Mặt khác  a  1 b  1 c  1  nên abc  ab  bc  ca   t  5;   a   b   c   nên 3t   ab  bc  ca   abc  27  t  22 Suy t  11 Khi P  a 2b  b 2c  c a  12abc  72  abc ab  bc  ca  ab  bc  ca    72 abc t  72 t  t  5t  144     ab  bc  ca t 2t t  144 t  5t  144 Xét hàm số f  t   với t  11;12 Ta có f '  t   2t 2t Do f '  t   0, t  11;12 , nên f '  t  nghịch biến 11;12 Suy f  t   f 11  160 160 160  Pmax   a  1, b  2, c  hoán vị chúng Do P  11 11 11 Câu 24: Cho x, y, z  1;3 Tìm Giá trị nhỏ biểu thức:  10  4608 P   x  y  3z   y  z      x  y  xy  z Bài giải a, b, c  1; 2 Tìm Giá trị nhó biểu thức: a  b  c  Câu 25: Cho  P  c  1 2abc  10c   a  b  c  1   a  b  1  13 4c  13  (Trích đề thi thử lần 19 thầy Quang Baby) Bài giải Qstudy.vn Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Câu 26: Cho a, b, c số thực thuộc đoạn 1; 4 thỏa mãn a  b  2c  Tìm GTLN P  a  b3  5c3 Bài giải Ta có : (a  1)(b  1)   ab  (a  b)    2c Khi : P  a3  b3  5c3  (a  b)3  3ab(a  b)  5c3  (8  2c)3  3(7  2c)(8  2c)  5c3 Lại có : a  b  2c   2c   (a  b)   (1  1)   c  Xét : f (c)  (8  2c)3  3(7  2c)(8  2c)  5c3 với c  1;3  f '(c)  9c  168c  294 a  b  BBT  f (c)max  max  f (1); f (3)  f (3)  137   c  Câu 27: cho các số không âm a,b,c cho a, c  [0;1] và ab  bc  ca  tìm giá tri ̣nhỏ nhấ t của: P a(b  c) c(a  b) 3(a  c)  2b    b  2c b  2a 4(ac  3) (Trích đề thầy Mẫn Ngọc Quang) Bài giải a(b  c) c(a  b) 2ac(a  b  c)   ac Lưu ý là : mă ̣t khác: b  2c b  2a (b  2a)(b  2c) (b  2a)(b  2c)  b  2b(a  c)  4ac  (b  2)  4b   2(ab  bc  ca)  2ac  4b   2ac a (b  c) c(a  b) ac(b  ac  1)  ac  b  2c 2b  ac  b  2a ac(b  ac  1) ac  ac(1  ac)   (a  1)(c  1)  Mà: a  c  2b  ac  2(2b  ac  3) ac  ac(1  ac)(2b  ac  3) ac(1  ac)   (a  1)(c  1)   tiế p theo ta có đánh giá: 4(2b  ac  3)(ac  3) 4(ac  3) Và a  b  c  b  ac   (a  1)(c  1)  ac  b  đó  ac (a  c  2) ac   a  c  2(2  a  c )   2(2  b  c ) đó ac ac ac (2  a  c) (b  a  c) (b  a  c) (1  a)(1  c)    mă ̣t khác dễ thấ y ac  a  c 1 nên: 16 4(ac  3) bac  (1  ac)(2b  ac  3)  2(2  a  c)(b  a  c)  (b  a  c) => ac(1  ac)(2b  ac  3) (b  a  c)2  4(2b  ac  3)(ac  3) 4(ac  3) La ̣i có: 3(a  c)2  2b2   4(ab  bc  ca  2)  (b  a  c)2  (a  c)2  28  2(b  a  c) Từ những đánh giá ta có : P (ac  2) ac(1  ac) (b  a  c) 14  (b  a  c) (ac  2) ac(1  ac)       4(ac  3) 2(ac  3) 2(ac  3) 4(ac  3) ac  Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn = 13 (ac  1) 13 13   P= a=c=1 và b=2 4(ac  3) 4 Câu 28: Cho các số thực x, y, z  1,3 tim ̀ max P  x y   x  y  18 z ( x  y )(3z  3) z Bài giải x  y  18 z  3( x  y )( z  1)  (3 z  x)(3  x)  (3z  y)(3  y)   x  y  18 z  3( x  y )( z  1) 2 x y 1  1 P       3( x  y )(z  1) 3( x  y )( z  1) z 3( z  1) z  3  2 1  1 max P     : x  y  3; z   3 Câu 29: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x, y, z  1; 2 Tìm Giá trị nhỏ biểu thức: P xyz  x  y  3 x3    x2  z  xy  x  x  xz  Bài giải Từ giả thiết ta có:  x  1 x   x  3   x   x (1) Từ giả thiết ta lại có:  y  1 y   x  3    xy  x  3x  x  y  3 (2) Từ (1) (2) ta có: P  1  xz  x  z   x  z   xz xz  x  z   MinP= "  "   x; y; z   1;1;1 ; 1; 2;1  x, y , z   Câu 30: Cho  xy  Tìm Giá trị nhỏ biểu thức: 4 z x  y   x  y   xy    P z  z xyz  z  xy    z z  z2 z  xy xy Bài giải Từ giả thiết ta có: z  x  y  1  x  y  xy   xy  1  xy  z  x  y    x  y   z  z  x  y   z  Từ ta suy ra:  xy  1 z  1   xyz   xy  z Từ ta có: z  xy    z  xyz   xy  z  xy   xy  xy   z xyz z   xy  z   Áp dụng (*) ta có P  1  z xyz  * z z  xy xy  z z z z   xy   xy    xy  1  xy  xyz z  xy xy  xy z Học Toán Không Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn Xét hàm xy>=1  MinP=3, dấu x=y=z=1   x, y, z   0;1 Tìm Giá trị nhỏ biểu thức:   xy  yz  zx  Câu 31: Cho    x  y  z 3   x  y  z   x  y  z    P  ln   x yz  xyz   Bài giải Từ giả thiết ta có:  x  1 y  1 z  1   xyz  x  y  z   xyz   xyz   xyz   x  y  z   x  y  z   x  y  z x2  y  z     xyz  xyz 2 Mặt khác ta có: x  y  z   x  y  z   3 x2 2  z  x yz  x  y  z   3 x  y  z   x yz 2   x  y  z   4( x  y  z )   x  y  z   x  y  z x yz Từ ta có: P  ln  x  y  z   x yz  xy  yz  zx   x  y  z   xyz   x  y  z  Xét hàm x  y  ( hoán vị) z  Suy P= ln  dấu  Câu 32: Cho các số thực a, b, c   ;1 Tìm giá tri ̣lớn nhấ t của : 3  9(ab) 16b c 6a  6b  P   2 2 a  3b  c  2a  4b  c  18ab  9a  9b  Bài giải Áp du ̣ng Bđt am_gm và cauchy_schwart ta có 16b c  (2b  c  1) và 9(ab)  (a  b  1) 2 Do đó P   a  b  1 a  3b  c  2   2b  c  1 6a  6b  2a  4b  c  18ab  9a  9b  2   a  b  1 a2 b2 Mặt khác ta có 2  2   a b b c b  a  3b2  c  Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn (2b  c  1) b2 c2 b2     2 2 2 2 2a  4b  c  a  b b  c 2b a 1 1 6a  6b  Do đó P     mă ̣t khác với mo ̣i a,b dương và a  b  18ab  9a  9b  1 (ab  1)(a  b)2     đúng ngoài lưu ý rằ ng : a  b2  ab  (ab  1)(a  1)(b2  1) Và ta có: 18ab  9a  9b   2(3a  2)(3b  2)  (3a  2)  (3b  2) đó: 2  6a  6b   3a  3b   1 18ab  9a  9b   2 3a  3b  suy P   (3a  2)(3b  2)  từ các đánh giá (3a  2)(3b  2)  2 (3a  2)(3b  2) 2  tiế p theo từ (a  1)(a  2)   a  3a  tương tự b  3b  ab  (3a  2)(3b  2)  nhân vế vế suy ab   3a   3b   từ kế t luâ ̣n P dấ u=khi a=b=c=1 Câu 33: Cho x, y, z  0; 2 thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1    xy  yz  zx 2 x  y  y  z  z  x2  2 Bài giải Ta có x2  y    x2  1   y  1   x  y  ,….; 1 1 xy  xy  ,…  Nên P      xy  yz  zx  3 x y y  z z  x  Ta có  x  y  z  xy  yz  zx   xyz  x  y  z  xy  yz  zx   x  y  y  z    y  z  z  x    x  y  z  x    x  y  y  z  z  x    x  y  z  xy  yz  zx   xyz  1    x y yz zx  x  y  y  z  z  x   x  y  z   xy  yz  zx  x  y  z   xy  yz  zx 27     x  y  y  z  z  x   x  y  z  xy  yz  zx   xy  yz  zx   1 27 27   xy  yz  zx     xy  yz  zx  8 Suy P   Đặt t  xy  yz  zx Do x, y, z   0; 2    x   y   z    xy  yz  zx  Mặt khác: xy  yz  zx   x  y  z    t  Vậy t   2;3  xyz 2t 2 Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn 27 27 Ta có P    t    f  t   8t 8 1 8t  27 27  Xét hàm số f  t  với t  0; 2 ta có f '  t   t     8t  16t  t   2;3 nên hàm số f  t  đồng biến  2;3  f  t   f  3  15 15 15 Do P  f  t   P  Có P  x  y  z  4 15 Vậy giá trị nhỏ P đạt x  y  z  Câu 34: Cho a, b, c ba số thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh: a b c    (1  a )(1  b)(1  c )  b  c 1 a  c 1 a  b 1 Bài giải Do vai trò a, b, c nên giả sử a  b  c, đó: Đặt S  a  b  c   b  c   S  a  S  c; a  c   S  c; a  b   S  c Ta có 1  a 1  b 1  a  b    1  a  b  ab 1  a  b    b  a  b  a  1  a  (đúng) 1 c  1  a 1  b 1  c   S c S c a b c a b c 1 c S  c    1  a 1  b 1  c       1 Do b  c 1 a  c 1 a  b 1 S c S c S c S c S c Mà 1  a 1  b  S  c    1  a 1  b   Câu 35: Cho số thựca, b, c thuộc [4; 6] thỏa mãn điều kiện a + b + c = 15 Tìm giá trị lớn biểu thức: a 2b  b c  c a  30abc  180 P  abc ab  bc  ca 20 Bài giải Ta có  ab  bc  ca   a b  b c  c a  2abc  a  b  c   a 2b2  b2 c  c a  30abc 2  ab  bc  ca  2  180 2 abc Đặt t  ab  bc  ca ab  bc  ca 20 Ta có  a   b   c     abc  16  a  b  c    ab  bc  ca   64   abc  4t  176 Do P   t  180 44 180 44  t  t  t 5 t Ta có  a   b   c     abc  36  a  b  c    ab  bc  ca   216   abc  6t  324 P abc  4t  176  4t  176  6t  324  t  74 abc  6t  324 Kết hợp  2 2 Ta có 152   a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca    a  b    b  c    c  a     ab  bc  ca  Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn  152  3t  t  75  t  74;75 180 44 180 4t  900  ; f '  t    t  15 với t   74;75  f '  t     t 5 t 5t  f  t   f 15  35 a  4, b  5, c  Xét hàm số f  t   t  Câu 36: Cho x, y, z  0; 2 thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1    xy  yz  zx 2 x  y  y  z  z  x2  2 Bài giải Ta có: x  y    x  1   y  1   x  y  , ; xy  1 1 xy  ,  Nên P      xy  yz  zx  3 2x y y z z x  Ta có  x  y  z  xy  yz  zx   9xyz  x  y  z  xy  yz  zx   x  y  y  z    y  z  z  x    x  y  z  x    x  y  y  z  z  x    x  y  z  xy  yz  zx   xyz  1    x y yz zx  x  y  z   xy  yz  zx   x  y  y  z  z  x    x  y  y  z  z  x   x  y  z   xy  yz  zx  x  y  z  xy  yz  zx  1 27 27  Suy P    xy  yz  zx     xy  yz  zx  8 Đặt t  xy  yz  zx  27   xy  yz  zx  Do x, y, z   0; 2    x   y   z    xy  yz  zx   xyz 2t 2 Mặt khác: xy  yz  zx   x  y  z    t  Vậy t   2;3 27 27 Ta có P    t    f  t   8t 8 1 27  8t  27 Xét hàm số f(t) với t  0; 2 ta có f '  t   t     8t  16t  2;3  f  t   f  3  15 15 15 Có P  x  y  z  4 15 Vậy giá trị nhỏ P đạt x  y  z  Do P  f  t   P   0t   2;3 nên hàm số f(t) đồng biến Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn Câu 36: Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [1;4] thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  z x2  y 1  xyz  x2  y  Bài giải Ta có T  z x  y 1 z x2  y     2 2 xyz xyz xyz 8 x  y  8 x  y  2 x2  y 2 xy 1 1  x  1 y  1  xy  x  y    xy  x  y    z   xyz   z  z Với x, y, z thuộc đoạn [1;4] thỏa mãn x + y +z = ta có x2  y   x  y   xy    z   xy    z     z   z  10 z  36 T  2 z    z  10 z  26  z z   z  2  z   z    z  45 z  117       0z  1; 4 Xét hiệu  2   z  10 z  26  z z   z   z   z   z  10 z  26  1 Do T  Với x  y  1, z   T  2 Vậy giá trị nhỏ T MinT  ...    x  y  13 13   2 max f  t   t = nên max P    2    2,2 2 x  y    y  1  y  1   2  x  y  2  x  y  1 f  t   7 t = -2 nên minP = -  2  2,2 x  y... số P(t )  Vậy MaxP  P(3)   x   x  280  xy  t     ; x  y  y 1 y      304  MinP  P      t      36    xy  x y   x  y  Bài 12: Cho các số thực... 57 Ta có: f (2)  28, f ( )  f (2 2)  20 2 57 Vậy MinP  2;2  f (t)  f (2)  28 MaxP  f ( )    2 Học Tốn Khơng Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi Qstudy.vn Bài 17: Cho x2  y  2x 