Bài giảng điện tử :Bất đẳng thức Cô si nằm trong chương trình Đại số lớp 10 được biên soạn khá đầy đủ và chi tiết gồm 11 slide. Các slide được thiết kế rõ ràng, hình thức đẹp.
BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỐI VỚI n SỐ KHÔN ÂM Cho n số không âm a1, a2,…,an, ta có : a1 + a2 + + an ≥ n a1a2 an (1) n Dấu (=) xảy a1=a2=… Ta có (1) tương đương với : a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an (2) Ta có (1) tương đương với : n a1 + a2 + + an ≥ a1a2 an n (3) Aùp dụng (1) ta có : a + a + + a ≥ a1a2 an n n n n n (4) Từ (1) ta có : Nếu tổng S = a1+a2+…+an không đổi tích P = a1.a2….an lớn a1=a2=…=an Từ (1) ta có: Nếu tích P = a1.a2….an khôn đổi tổng S = a1 +a2+…+an bé a1 =a2=…=an MỘT VÀI ỨNG DỤNG THỰC TẾ Bài 1: Người ta rào diện tích đất rộng 29400 m2 hình chữ nhật ABCD (AB =x ≤ y= BC) sau chia đôi đám đất thành hai phần hàng rào ( hình vẽ) Hỏi kích thước hình D A y chữ nhật độ dài hàng rào : d = 3x+2y ngắn x x x B C Giải 29400 Ta x > 0, y = >0 x có 29400 Vậy d = x + A x D y x x x 29400 Mà ÷.3x = 6.29400 không đổi x 2.29400 Vậy d ngắn ⇔ x = 3x 2.29400 ⇔x = ⇔ x = 140 Từ : y =210 Vậy x = 140; y = 210m C Bài 2: A Người ta rào đám b đất hình tam giác có c chu vi 30m (hình vẽ).Hỏi độ dài B a C cạnh đám đất diện tích Giải: Ta kí hiệu theonhất thứ tự đám đất P, làS lớn diện tích chu vi tam ABC ) có: P giác = (a + b + cTa S= P ( p − a )( p − b)( p − c) Ta coù (P-a), (P-b), (P-c) số dương , theo bất đẳng thức côsi cho ba số không âm, ta có: Ta coù ( P − a ) + ( P − b)( P − c) ≥ ( P − a )( P − b)( P − c) (1) Dấu (=) xảy ⇔ P-a=P-b=P-c ⇔ a=b=c, P ⇔ ≥ ( P − a )( p − b)( P − c ) 3 P ⇔ ≥ ( P − a )( P − b)( P − c ) 27 P ⇔ ≥ P ( P − a )( P − b)( P − c) = S 3 p2 Vì không đổi nên S lớn ⇔ a = b = c = 10m 3 S = 10 m Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (AD đáy lớn ) AB = BC = CD = a Hỏi góc DCB = α+β độ A diện tích hình thang ABCD lớn D Giải: Ký hiệu S α diện tích hình H a a β thang ABCD α S= diện tích ∆ABC +diện tích ∆ACD Ta có HA= acos B a C S=HA.HB+1/2.CA.CD.sin β α;HB=asin α = a2sinα cosα+a2cosαsinβ ( 0< sin β ≤ 1) Nên S≤ a2cosα.sinα + a2cosα(dấu “=“xảy Ta có S≤ a2cosα(1+sinα) ⇔ S2 ≤ a4cos2α(1+s ⇔S2 ≤ a4 (1-sinα) (1+sinα) (1+sinα)(1+sinα) ⇔ S ≤ a ( − sin α )(1 + sin α )(1 + sin α )(1 + sin α ) sin β = sin β = Ta có S lớn ⇔ ⇔ 3 − sin α = + sin α sin α = ⇔ β = 90 o ;α = 30 o Từ ta có góc DCB= α+β =120o Chú ý: Trong thực tế người ta ứng dụng toán để gò máng nước làm mương thủy lợi ... S=HA.HB+1/2.CA.CD.sin β α;HB=asin α = a2sinα cosα+a2cosαsinβ ( 0< sin β ≤ 1) Nên S≤ a2cosα.sinα + a2cosα(dấu “=“xảy Ta có S≤ a2cosα(1+sinα) ⇔ S2 ≤ a4cos2α(1+s ⇔S2 ≤ a4 (1-sinα) (1+sinα) (1+sinα)(1+sinα)... (1-sinα) (1+sinα) (1+sinα)(1+sinα) ⇔ S ≤ a ( − sin α )(1 + sin α )(1 + sin α )(1 + sin α ) sin β = sin β = Ta có S lớn ⇔ ⇔ 3 − sin α = + sin α sin α = ⇔ β = 90 o ;α = 30 o Từ ta có góc DCB=... + cTa S= P ( p − a )( p − b)( p − c) Ta coù (P-a), (P-b), (P-c) số dương , theo bất đẳng thức c si cho ba số không âm, ta có: Ta coù ( P − a ) + ( P − b)( P − c) ≥ ( P − a )( P − b)( P − c) (1)